О решетках конгруэнции и топологий унарных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.567.5

О РЕШЕТКАХ КОНГРУЭНЦИЙ И ТОПОЛОГИЙ УНАРНЫХ АЛГЕБР

А. В. Карташова (г. Волгоград)

ON CONGRUENCE LATTICES AND TOPOLOGY LATTICES OF UNARY ALGEBRAS

A. V. Kartashova (Volgograd)

Аннотация

В данной заметке приведен обзор некоторых результатов исследований решеток конгруэнций и топологий унарных алгебр.

The paper is a survey of some results of investigations on congruence lattices and topology lattices of unary algebras.

1 Введение

Пусть A = (A, Q) - произвольная алгебра и a - топология на ее носителе A. Сигнатурная n-арная операция F называется непрерывной относительно топологии а, если для любых элементов а\,а2,... ,an G A и произвольной окрестности U элемента F(ai ,а2,..., ап) найдутся окрестноети U1, U2,..., Un элементов ai, а2,..., an, соответственно, такие, что F(U1, U2,..., Un) С U, Если относительно топологии а непрерывна каждая сигнатурная операция алгебры A, то а

A

образуют полную решетку по включению. Будем называть ее решеткой топологий алгебры A и обозначать через S(A). Решетка конгруэнций алгебры A , как обычно, обозначается через ConA. Такие решетки несут важную информацию

о свойствах самих алгебр.

К настоящему времени исследования решеток конгруэнций и топологий уна-ров (т,е, с алгебр с одной унарной операцией) достаточно глубоко продвинуты. Например, Д, Берманом в [1] описаны унары, рещетка конгруэнций которых либо полумодулярна сверху, либо атомарна. Л,А, Скорняковым и Л И. Егоровой в [2] найдены условия, при которых решетка конгруэнций унара является булевой, либо решеткой с дополнениями, В [3] охарактеризованы унары, решетка конгруэнций которых является дистрибутивной, модулярной, стоуновой, либо цепью.

Для решеток топологий унаров автором в [4] охарактеризованы классы уна-ров, решетка топологий которых является модулярной, дистрибутивной, булевой, решеткой с дополнениями, с псевдодополнениями, либо цепью. Описан класс модулярных решеток, реализуемых решетками топологий унаров.

Приведем некоторые из этих результатов.

Теорема 1. Пусть Ь - произвольная модулярная решетка. Тогда, Ь изоморфна решетке % (А) топологий некоторог о унара А тогда, и только тогда, когда, Ь изоморфна решетке Ьп натуральных делителей некоторого числа п.

Отсюда сразу вытекает, что на классе решеток топологий унаров тождество модулярности эквивалентно тождеству дистрибутивности.

Следствие 1. Решетка % (А) топологий у нара А является, цепью тогда, и только тогда, когда, А является, циклом, длины, рк, где р - простое, а к -некоторое целое неотрицательное число.

Теорема 2. Решетка %(А) топологий унара А = (А, f) является, решеткой с дополнениями тогда, и только тогда, когда, для, каждого элемента а € А элем,ент f (а) является циклическим и длины всех циклов унара А равны, неко-

пп

Следствие 2. Реш,етка, % (А) топологий унара А = (А, f) булева, тогда,

А

циклов, либо - однопорожденным унаром многообразия унаров, определяемого тождеством f (х) = fп+1(х), где п свободно от квадратов.

Теорема 3. Решетка %(А) топологий унара А является, решеткой с псев-

А

А

сты.

Отметим также, что в [5] такого типа результаты получены для решеток топологий алгебр (А, ^ д) многообразия А1,1., определенного тождествами fg(x) =

д!' (х) = х-

2 Взаимосвязи между решетками конгруэнций, топологий и квазипорядков алгебр

Квазипорядком на алгебре называется рефлексивное и симметричное отношение на ее носителе, которое стабильно относительно каждой сигнатурной операции этой алгебры.

Нетрудно показать, что решетка конгруэнций произвольной алгебры вкладывается как подрешетка в решетку ее квазипорядков (см,, например, [6]),

Теорема 4. ([7]) Решетка СогвА, двойственная к решетке квазипорядков А

если А - конечная алгебра, то %(А) = СогвА.

Из теоремы 4 непосредственно вытекает, что решетка, СопА, двойственная к решетке конгруэнций произвольной алгебры, также изоморфно вложима в решетку ее топологий.

Отметим некоторые достаточные условия, при которых все три решетки СопА СогвА и %(А) изоморфны между собой. Для этого напомним, что топологическое пространство (А, а) называется однородным, если для любых элементов а,Ь € А существует гомеоморфизм такой, что р(а) = Ь.

Известно, что если алгебра А = (А, П) является, например, группой, коль-

а

(А, а)

Среди унарных алгебр к таким алгебрам относятся сильно связные унарные алгебры (т.е. те, которые порождаются любым своим элементом).

Теорема 5. Пусть А = (А, П) - конечная, алгебра, и для, любой топологии, а на алгебре А топологическое пространство (А, а) однородно. Тогда, %(А) = СопА

3 Проблемы Гретцера и Маккензи для решеток конгруэнций и их аналоги для решеток топологий алгебр

Г, Гретцером в [8] была поставлена проблема IV,36 "Всякая ли конечная решетка изоморфна решетке конгруэнций конечной алгебры?",

В [9] доказано, что решетка конгруэнций произвольной конечной алгебры изоморфна решетке конгруэнций некоторой конечной унарной алгебры.

Проблема, аналогичная IV,36, возникает, если вместо класса решеток конгруэнций рассматривать класс решеток топологий алгебр,

В [10] установлено, что для решения этой проблемы также достаточно рассматривать только класс решеток топологий унарных алгебр.

Далее, согласно теореме Маккензи решетка конгруэнций произвольной конечной алгебры представима как решетка конгруэнций конечной алгебры с четырьмя унарными операциями (см,, например, [11]).

Для решеток топологий алгебр справедлив аналог теоремы Маккензи.

Теорема 6. ([10]) Решетка топологий произвольной конечной алгебры, изоморфна решетке топологий некоторой конечной алгебры, с четырьмя унарными операциями.

Поставленная Маккензи проблема, существует ли конечная унарная алгебра, решетка конгруэнций которой не представима как решетка конгруэнций алгебры менее чем с четырьмя унарными операциями, остается открытой. Проблема, аналогичная теореме Маккензи, открыта и для класса решеток топологий алгебр.

В [11] приведен пример конечной алгебры с двумя унарными операциями, решетка конгруэнций которой не изоморфна решетке конгруэнций никакого унара. Для класса решеток топологий алгебр удалось найдено счетное множество таких решеток. А именно, справедлива

m > О

порядка 2т + 1 с двумя унарными операциями, реш,етка, топологий которой дистрибутивна, состоит из 4m + 1 элементов и не изоморфна решетке топологий никакого унара.

Эта теорема показывает, что класс решеток топологий конечных алгебр шире класса решеток топологий конечных унаров.

Известно, что конечность решетки топологий либо решетки конгруэнций унара равносильна конечности самого унара ([4], [12]). Это утверждение можно обобщить для коммутативных унарных алгебр.

Теорема 8. ([13]) Пусть A = (A, О) - коммутативная унарная алгеб-ConA

A

I Із теоремы 8 непосредственно вытекает

Следствие 3. ([13]) Пусть A = (A, О) - коммутативная унарная алгебра. Тогда, реш,етка, Q(A) топологий алгебры, A конечна тогда, и только тогда,

A

Как показывает следующее предложение, условие коммутативности алгебры

A

О

тура, содержащая хотя бы три унарных символа. Тогда, существует такая бесконечная алгебра, A сигнатуры О, что |S(A)| = IConAI = 2.

4 Коммутативные унарные алгебры с линейно упорядоченной решеткой конгруэнций

Пусть А = (А, П) - произвольная унарная алгебра, т. е, алгебра, сигнатура которой состоит только из унарных символов. Через П* обозначается свободный моноид слов с порождающим множеством П относительно композиции. Единицей в П* служит пустое слово 0.

Результат т(а) применения слова т Є П* к элементу а Є А определяется индукцией по длине слова т (см. [14, с. 142]). Отсюда, если т = т1т2;ТО т(а) = т1(т2(а)), где т,т1,т2 Є П* и а Є А. По определению также полагаем ^(а) = 0а = а, f п(а) = f (/п-1 (а)) для пронзволь пых f Є П, а Є А и п є N.

Для любого слова и Є П* определим отображение 6и : А ^ А равенством

$и(а) = и(а),

а Є А

Множество {5и1и Є П*} образует полугруппу Б (А) относительно композиции. Эта полугруппа называется характеристической полугруппой унарной алгебры, А и обозначается через Б (А) ([15]).

А

алгебра, то справедливы следующие утверждения:

1)|А| = ІБ (А)1-,

2) СопА = СопБ(А).

Для решеток топологий справедливо

А

тивная унарная алгебра, то ^(А) = ^(Б(А)).

Отсюда в силу теоремы 3.1 из [16] вытекает

Предложение 3. ([13]) Реиметка, топологий произвольной сильно связной конечной коммутативной унарной алгебры, является, модулярной.

С использованием предложения 2 описан класс всех коммутативных унарных алгебр, решетка топологий которых является цепью.

Пусть С1 - класс коммутативных унарных алгебр А = (А, П), для каждой из которых существуют операция f Є П и простое чи ело р такие, что редукт (А, f) является циклом длины рк, где к - некоторое целое неотрицательное число.

Теорема 9. ([13]) Решетка топологий коммутативной унарной алгебры, А является цепью тогда и только тогда, когда, А Є С1.

Охарактеризуем теперь класс всех коммутативных унарных алгебр, решетка конгруэнций которых является цепью. Для этого введем следующие обозначения.

Будем говорить, что алгебра A' = (A', О') получена из алгебры A = (A, О) присоединением петли е, если A = A' \ {e^ и О С О', причем выполнены следующие условия:

1) алгебра A является подалгеброй редукта (A, О) алгебры A';

2) (Wf Є О')^(е) = е)

3) (Wf Є О' \ О)^(A) = {е}).

Пусть K1 - класс коциклических унарных алгебр ([17]), а К2 - класс алгебр, каждая из которых получается из некоторой алгебры класса K1 присоединением петли.

Через К3 обозначим класс коммутативных упар пых алгебр (A, О), каждая из которых удовлетворяет следующим трем условиям:

(A, О) e

2) бинарное отношение заданное по правилу

(Wx,y Є A)(x ^ y & (y) С (x)),

A (x)

x

3) для любой нетождественной операции f Є О редукт (A, f) связен и If-1({a})| ^ 1 ПРИ всех a Є A \ {е}.

A

является цепью тогда и только тогда, когда, A Є Ki для, некоторого числа

і Є {1, 2, 3}.

Обозначим далее через С2 класс коммутативных унарных алгебр, каждая из которых получается присоединением петли к некоторой алгебре класса С1.

Через С3 будем обозначать класс таких коммутативных унарных алгебр A = (A, О) с петлей е, что для некоторой операции f Є О редукт (A, f) является либо однопорожденным унаром с одноэлементным циклом, либо - объединением возрастающей последовательности таких унаров, и для любой операции g Є О либо g(A) = {е}, либо g = fs, вде s - некоторое целое неотрицательное число,

A

конечной сигнатуры, является, цепью тогда, и только тогда, когда, A Є Сі для, некоторого і Є {1, 2, 3}.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Berman J, On the congruence lattices of unary algebras // Proc, Amer, Math, Soc. 1972. V. 36. N 1. P. 34-38.

[2] Егорова Д.П., Скорняков Л.А. О структуре конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз, науч. сб. Саратов, 1977. Вып. 4. С. 28-40.

[3] Егорова Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов, 1978, Вып. 5, С, 11-44,

[4] Kartashova А, V, On lattices of topologies of unary algebras // J, of Math, Sci, 2003. V. 114. N 2. P. 1086-1118.

[5] Карташова А.В. О решетках топологий унарных алгебр многообразия // Известия Вузов. Математика. 2009. N 4. С. 25-32.

[6] Chajda I., Pinus A.G., Denisov A. Lattices of quasiorders on universal algebras // Czech. Math. J. 1999. V. 49. N 2. P. 291-301.

[7] Карташова А.В. О решетках квазипорядков и топологий алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. N 5. С. 85-92.

[8] Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

[9] Johnson J,, Seifert E.L. A survey of multi-unarv algebras. Mimeographed seminar notes. U.C. Berkeley, 1967.

[10] Карташова А.В. Аналог теоремы Маккензи для решеток топологий конечных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. N 3. Р. 109-117.

[11] Jonsson В. Topics in Universal Algebra. Nashville, 1970.

[12] Kopecek O. A note on some cardinal functions on unary algebras // Contrib. Gen. Algebra. 2. Proc. Klagenfurt Conf,, June 10-13, 1982, Wien. Stutgart, 1983. P. 221-227.

[13] Карташова А.В. О конечных решетках топологий коммутативных унарных алгебр // Дискретная математика. 2009. Т. 21. N 3. С. 119-132.

[14] Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[15] Esik Z,, Imreh В. Remarks on finite commutative automata. // Acta Cvber-netica. 1981. V. 5. N 3. P. 143-146.

[16] Smarda B, The lattice of topologies of topological L-groups // Czechosl. Math. J. 1976. V. 26. N. 1. P. 128-136.

[17] Esik Z,, Imreh B. Subdireetlv irreducible commutative automata // Acta Cybernetiea. 1981. V. 5. P. 251-260.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет.

Поступило 14.10.2011