CC BY
20
воспользуемся соответственно асимптотическими формулами для нулей собственных функций (см. [1, теорема 1, с. 73-76]) и леммой [3]. Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Турашвили К. Б. Асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений задачи Штурма—Лиувилля//Математика. Механика: сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 14.
2. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отчетов Уиттекера—Котельникова— Шеннона для непрерывных функций на отрезке //Мат. сб. 2009, Т. 200, №11. С. 61108.
УДК 519.7
В. Е. Новиков
НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В АЛГЕБРЕ КОНТЕКСТОВ
Предметов работы является дальнейшее исследование алгебры контекстов. Работа представляет собой естественное продолжение предыдущих исследований автора [1]. Основной результат работы определяет критерий нейтральности элемента относительно операций алгебры контекстов.
Восстановим необходимые определения. Будем говорить, что задан формальный полиатрибутный контекст К = (С, (М^),р), если заданы С - непустое конечное множество объектов, (М^) - семейство непустых конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < % < п, р С С х М1 х ... х Мп - некоторое (п + 1)-арное отношение. Под словом контекст далее будем понимать полиатрибутный контекст. Допустим (д,т1,т2,... , тп). Это значит, что объект д по атрибуту 1 имеет значение т1? по атрибуту 2 - значение т2, по системе атрибутов (1, 2) -
значение (т1 ,т2) и т. д. Мы полагаем, что всякий объект по каждо-
р
С
точно одно значение, то такой контекст называется однозначным.
Концептом в контексте К = (С, (М^), р) по системе атрибутов % называем стабильное множество X С С объектов, которые имеют по системе атрибутов общее множество значений У С М^, % С п. Ста-
С
значения по системе атрибутов
В [2] показано, что множество концептов однозначного контекста образует решётку, там же представлены основные характеристики этой
решётки. Если K = (G, (Mi),p) - однозначный контекст, то обозначаем L(K) как решётка у его концептов.
Соединение K > <Ж2 контекстов K = (G, (Ai),p) 1 < i < n, и K2 = (G, (Bj),с), 1 < j < m, определяется равенством
Ki XK2 = (G, (Ai,Bj ),p ><с),
где p > <с = [J ^jg}(p) x Ят(д)- Таким образом, соединение контекстов see
определено для контекстов с одним и тем же множеством объектов и равносильно тому, что к одному контексту добавляются множества атрибутов другого контекста, сохраняя значения атрибутов каждого объекта из второго контекста.
Объединение K1 U K2 контекст ов K1 = (G1, (Mi),p) и K2 = = (G2, (Mi), с) определяется равенством
Ki U K2 = (Gi U G2, (Mi),p U с),
где G1U G2 и pU с являются теоретико-множественными объединениями.
Пусть X1 - концепт контекста K1 = (G1, (Mi),p) по системе атрибутов jk и X2 - концепт копт екста K2 = (G2, (Mi), с) по той же системе атрибутов. Будем говорить, что концепт X1 эквивалентен копцепту X2, если pjk (X1) =<с jk (X2). Два однозначных контекста^ и K2 будем считать равными, если все их концепты попарно эквиваленты друг другу. Очевидно, в этом случае решётки L(K^ и L(K2) будут изоморфными, причём изоморфизм определится указанным отношением эквивалентности. Однако обратное не верно, т.е. если решётки L(K1) и L(K2) изо-
K1 K2
В работе [1] показано, что множество однозначных контекстов замкнуто относительно операции соединения, и выделено подмножество множества однозначных контекстов, замкнутое относительно объединения. А именно это множество тех однозначных контекстов, в которых один и тот же объект в разных контекстах по одному и тому же атрибуту не может иметь различных значений. Обозначим это множество однозначных контекстов K, тогдa (K, U, X) - алгебра однозначных контекстов.
Поскольку в определении объединения контекстов используется только теоретико-множественное объединение, то все свойства теоретико-множественного объединения сохраняются и для операции объединения контекстов. Операция соединения контекстов также является коммутативной и ассоциативной.
Если К и К2 = К1? то К2 - единица элемента К относительно операции и Есл и К1 > <Ж2 = К1? то К2 - единица элем ента К1 относительно операции, X. Следующие утверждения определяют условия нейтральности элемента относительно операций соединения и объединения.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1) К2 = (С2, (М^),^) является единицей контекста К1 = = (С1, (М^),р) относительно операции и тогда, и только тогда, когда для любого д2 € С2 существует д1 € С1 такой, что Рп ({д1}) п
({.92});
2) однозначный контекст К2 = (С2, (М^),^) является единицей однозначного контекста К1 = (С1, (М^), р) относительно операции и тогда и только тогда, когда решётка Ь(К2) является подрешёткой решётки Ь(К1).
Теорема 2. Контекст К2 = (С, (Bj■)7 1 < ] < ш7 является единицей контекста К1 = (С, (А^),р); 1 < г < и, относительно операции X тогда и только тогда, когда для любого ] существует г8 С и так, что в контексте К1 > <Ж2 отношение р > имеет В-зависимость А, ^ Bj,
Следовательно, при объединении контекста К1 с нейтральным элементом некоторые атомы решётки как бы раздуваются, наполняясь объектами из нейтрального контекста. А в случае соединения с нейтральным элементом раздуваются классы эквивалентных систем атрибутов по отношениям В-зависимости. Поэтому, если контекст К1 минимальный [3], а К2 - его единица относительно и или X, то после минимизации соответственно контекстов К1 и К2 или К1 > <Ж2 мы снова получим контекст К1 с точностью до обозначения объектов или атрибутов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новиков В. Е. Некоторые алгебраические операции над формальными контекстами // Математика. Механика: сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 73-76.
2. Новиков В. Е. Решётка концептов в однозначном контексте // Математика. Механика : сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 53-56.
3. Новиков В. Е. Минимизация однозначного контекста // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар, науч. конф. Саратов: Издат, центр «Наука», 2012. С. 233-236.
