CC BY
13Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 13.2011
УДК 512.556
СТРОЕНИЕ РЕШЕТОЧНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ ПОЛУКОЛЕЦ, ПОРОЖДЕННЫХ ОДНОЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
В. В. Сидоров
Описаны изоморфизмы решеток А^ и А^ всех подалгебр с единицей полуколец [/] и [д] функций, порожденных соответственно неотрицательными действительнозначными функциями / и д. Показано, что любой изоморфизм этих решеток порождается изоморфизмом самих полуколец [/] и [д]. Применяется техника од-нопорожденных подалгебр.
Ключевые слова: изоморфизмы решеток, изоморфизм полуколец, однопорожденные подалгебры, неотрицательная функция
Введение
В нашей работе описаны изоморфизмы решеток А/ всех подалгебр с единицей полуколец [/] функций, порожденных одной неотрицательной действительнозначной функцией /, |1т/| ^ 3. Случай |1т/| = п ^ 4 сводится к случаю п — 3. Случай 11т/| = ос разобран в [3].
Данная задача возникла при исследовании изоморфизмов решеток А(С+(Х)) подалгебр полуколец непрерывных неорицательных функций на топологических пространствах X (см. [1,2]). Важная роль в этих исследованиях отводится подрешеткам А1(С+(Х)). Для изучения изоморфизмов решеток А1(С+(Х)) весьма полезными оказываются их однопорожденные подалгебры. Отметим, что каждая подалгебра решетки есть точная верхняя грань включенных в нее однопорожден-ных подалгебр. Кроме того, при изоморфизме а решетки А1(С+(Х)) на решетку А1(С+(У)) образом произвольной однопорожденной подалгебры [/],/ € С+(Х), служит некоторая однопорожденная подалгебра [д])9 £ С+{У). Поэтому а однозначно задается образами однопорож-денных подалгебр. С подалгеброй [/] связана подрешетка А/ решетки
© Сидоров В. В., 2011.
Ai(C+(X)), образованная всеми подалгебрами А С [/] с единицей. Возникает ествественный вопрос: как связаны между собой изоморфизмы полуколец [/] и [д] и изоморфизмы решеток Af и Ад? Функции / и g будем считать произвольными неотрицательными действительнозначными функциями, так их непрерывность оказывается несущественной.
1. Основные понятия и результаты
Исходной алгебраической структурой у нас служит полукольцо. Под полукольцом понимается алгебраическая система (¿S,+,-,0), в которой (5, +, 0) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, (5,-)— полугруппа, выполняются законы дистрибутивности операции умножения относительно сложения, 0 • s = s • 0 = 0 для всех s Е 5.
Пусть X — топологическое пространство и М+ (Р) — множество всех неотрицательных (положительных) действительных чисел. Множество всех неотрицательных действительнозначных функций на X с поточечными операциями сложения и умножения функций образует полукольцо F(X) = (М+)Х . Множество всех непрерывных функций из F(X) образует его подполу кольцо, которое обозначим через С+(Х). Подалгеброй в полукольце F{X) называется произвольное его подполу кольцо, выдерживающее умножение на числа (константы) из М+. Простейшими примерами подалгебр служат нулевая подалгебра 0, подалгебра констант М+, полукольца С+(Х) и F(X). Обозначим через A(F(X)) решетку всех подалгебр полукольца F(X) относительно включения С (символ С в работе означает строгое включение), а через Ái(F(X)) ее подре-шетку, состоящую из всех подалгебр с единицей. Решетки A(F(X)) и Ai(F(X)) являются алгебраическими, то есть полными компактно порожденными [4, с. 111]. Решеточными операциями в A(F(X)) служат
А Л В = А П В, А\/ В — А + В + AB,
где AB — {конечная сумма fi £ А 9% £ В}. Минимальные
(ненулевые) подалгебры в F(X)— это атомы решетки A(F(X)), а максимальные (собственные) подалгебры — ее коатомы. Наименьшую подалгебру А Е Ai(F(X)), содержащую функцию / Е F{X), назовем однопорожденной и обозначим [/]. Она состоит из всевозможных многочленов от / с коэффициентами из М+. Множество всех подалгебр с единицей, включенных в [/], образует подрешетку решетки Ai(F(X)), которую обозначим через A f. Множества Z (/) = {х Е X: f{x) — 0} и coz / = X\Z(f),f Е F{X), называются нуль-множеством и конуль-множеством функции / соответственно. Ясно, что для функции g Е [/] либо z(g) = Z(/), либо z(g) =
Сформулируем основные результаты.
Теорема 1.1. Для произвольных функций / е Р{Х) и д е экви-
валентны следующие утверждения:
1) [/] = [д] как М+ -алгебры;
2) А; 2 Ад;
3) выполняется одно из условий:
а) |1ш/| = \1тд\ = 1;
б) 11т /| = 11тд\ — 2, 0 ^ 1т / и 1тд или 0 е 1т / П 1тд\
в) 11т/| = 11тд\ = п ^ 3, / = кд, к е К+, как упорядоченные п-ки чисел;
г) 11т /| = 11т ¿/| = ос.
В данной работе, как уже отмечалось, подробно разобран случай 11т/| ^ 3, а именно доказана
Теорема 1.2. Ддл произвольных функций / е |Ьп/| ^ 3 и д £
Р{У) эквивалентны следующие утверждения:
1) [/] = [д\ как М+ -алгебры;
2) А/ - А9;
3) выполняется одно из условий:
а) 11т /| = 11т = 1;
б) 11т /| = 11т д\ — 2, 0 ^ 1т / и 1т б/ или 0 е 1т / П 1т д\
в) 11т/1 = \1тд\ = 3, / = кд,к е М+, как упорядоченные тройки чисел.
Случай п ^ 4 может быть сведен к случаю п = 3. Если функции /яд— бесконечнозначные, то решетки А/ и А^ изоморфны решетке А1(М+[х]) всех подалгебр с 1 полукольца многочленов М+[х]. Поэтому задача описания изоморфизмов решеток А/ и А^ в случае бесконеч-нозначных функций / и д сводится в описанию автоморфизмов решетки А1(М+[х]). Ответ содержит
Теорема 1.3 ( [3]). Автоморфизмы решетки А1(М+[х]) порождаются автоморфизмами полукольца М+[х], которые, в свою очередь, получаются заменами х рх, р е Р. В частности, группа автоморфизмов решетки А1(М+[х]) изоморфна мультипликативной полугруппе Р положительных действительных чисел.
Из теорем 1.1 и 1.3 следует
Теорема 1.4. Изоморфизмы решетки А/,/ е Р(Х) индуцируются изоморфизмами полукольца [/].
2. Свойства однопорожденных подалгебр
В этой части изучаются свойства однопорожденных подалгебр, которые потребуются для доказательства теоремы 1.2. Во многих рассуждениях используется
Лемма 2.1 (Правило знаков Декарта [5, с. 249]). Если мономы многочлена от одной переменной с действительными коэффициентами упорядочены по убыванию (возрастанию) показателей степеней, то число положительных корней многочлена равно числу перемен знака между последовательными ненулевыми коэффициентами или на четное число меньше этого числа. Корни считаются с учетом кратности.
Для успешного использования правила знаков Декарта нам понадобится следующее наблюдение. Рассмотрим произвольную последовательность действительных чисел
а0, ах,..., а/, cty+i, а0 ^ 0, щ+i ^ 0.
Наибольшее число перемен знака, которое может иметь подобная последовательность, обозначим через MCS(/). Если I— четно, то a&a^+i ^ 0 для некоторого k ^ I. Поэтому MCS(/) = MCS(/ — 1) для четных значений I. В свою очередь, MCS(Z) = I + 1, когда I— нечетно, поскольку каждое из (/ +1)/2 чисел ai, аз,..., щ доставляет максимум две перемены знака, причем он достигается в случае чередования знаков у членов последовательности. Значит, MCS(/) = I для четных значений I.
Все многочлены, если не оговорено противное, считаем с коэфици-ентами из М+. Коэффициенты обозначаем буквами а, 6, с и d (часто индексированными) .
Непосредственным следствием правила знаков Декарта является
Лемма 2.2. Для любой функции f е F(X), | lm/\{0}| ^ 3 и k е N
fk = a0 + aif + ... + anfn ^ = 1,^ = 0 для г фк. При к — 1 достаточно считать, что | 1т/| ^ 3.
Очевидно, что пропорциональность функций / и g из F(X) влечет равенство [/] = [д] соответствующих им подалгебр. Докажем, что в случае, когда функции / и д являются трех и более значными, верно и обратное.
Лемма 2.3. Для трех и более значных функций f,g е F{X) [/] = [в] f и 9 пропорциональны.
Доказательство. Достаточность отмечалась выше. Докажем необходимость. Пусть трех и более значные функции / и д таковы, что [/] = [д]. Равенство подалгебр означает, что / = (¿(д) и д — Р(/) для некоторых многочленов Е и Р Е Поэтому / = ((^ о Р)(/). Если мно-
гочлены (5 и Р не мономы первой степени, то многочлен о Р также не моном первой степени от /. Поэтому согласно лемме 2.2 равенство / = ((3 о Р)(/) невозможно. Значит, и Р — мономы первой степени, то есть / = кд для некоторого числа /с Е Р. □
Пусть / Е Р(Х) и 1ш/ = {гь...,гп},г1 > ... > гп ^ 0. Тогда множества Х1 = /_1(г1),... ,ХП = /_1(гп) образуют разбиение множества X, и любая функция д Е [/]\М+ будет п-значной, причем если = {г[},...,д(Хп) = К}, то г;! > ... > г'п ^ 0. Используем это наблюдение следующим образом: функции, задающие подалгебры из [/], иногда будем записывать упорядоченными по убыванию п-ми чисел (значения функций), причем нормированными, то есть наибольшие значения, которые функции принимают на считать равными единице. Само пространство X будем считать п-точечным, отождествляя точки из с номером г. Например, если функция / Е Р(Х) равна 2 на Х1 С X и 1 на Х\Х1, то [/] = [(1; 1/2)], поскольку функция К = //2 порождает ту же однопорожденную подалгебру, что и [/]. Кроме того, К записана упорядоченной по убыванию двойкой (1; 1/2) своих значений.
Предложение 2.1. Для произвольной функции / Е Р(Х) верны следующие утверждения:
1) |А/| = 1^/ЕМ+;
2) |А/| =2^1т/ = {гьг2},г1 >г2 >0;
3) |А/|=3^1т/ = {г1,0},г1>0;
4) |А/| = ос ^^ 11т/| ^ 3.
Доказательство. Утверждение 1 очевидно. Оно, в частности, дает решеточную характеризацию подалгебры М+ в А/.
Пусть 1т/ = {7*1,7*2}, 7*1 > г2 > 0. Докажем, что [д] = [/] для произвольной функции д Е [/]\М+. Для этого достаточно установить включение [/] С [д]. Не ограничивая общности, можно считать, что д — (1, а) и / = (1,6), где 1>а>0,1>6>0. Если а = 6, то [д] = [/]. Пусть а > Ь. Выберем п Е N так, чтобы ап ^ Ь. Тогда [/] С [д], так как
Ъ- ап а-Ъ п
/ =-9 +---9 -
а — ап а — ап
Случай а < Ъ сведем к предыдущему. Для этого выберем число г > 0 так, чтобы у нормированной функции (д + г)/(1 + г) = (1, с) значение с
было больше а. Тогда, как было показано выше, [/] С [д + г]. Следовательно, [/] С [д], так как [д + г] С [д]. Получается, что все подалгебры из [/], отличные от М+, совпадают с [/]. Значит, решетка А/ — двухэлементная цепь М+ С [/].
Пусть 1т/ = {7*1, 0}, 7*1 > 0. Очевидно, М+ С [/ + 1] С [/] и для любой функции д Е [/]\М+ имеем [д] = [/] если Z(g) ф 0 и, как было показано ранее, [</] = [/ + 1] если Z(g) = Поэтому решетка Af — трехэлементная цепь, состоящая из подалгебр М+, [/ + 1] и [/].
Если \ lmf\ ^ 3, то по лемме 2.3 в цепи
[/]3[/2]Э...Э[Л D[fn}D..., пе N,
все включения строгие, а потому |А/| = ос. □
Следствие 2.1. Если решетка А/ — конечная, то все ее элементы являются однопорожденными V-неразложимыми подалгебрами.
Опишем однопорожденные подалгебры произвольной решетки А/.
Предложение 2.2. Однопорожденные подалгебры решетки Af — это в точности У-неразложимые компактные элементы решетки А/.
Доказательство. Очевидно, однопорожденные подалгебры будут ком-патными элементами решетки А/. Докажем их V-неразложимость. Допустим, напротив, что некоторая однопорожденная подалгебра [д] из Af V-разложима: [д] = А V Б, А, В С [(/]. Элементами подалгебр А и В служат многочлены Р(<7), причем deg Р(д) ^ 2, если многочлен Р(д) без свободного члена. Ясно, что [д] ф М+. Поэтому функция д как элемент подалгебры А\/ В имеет вид
д = а0 + (цд + ... + апдп, ап > 0, n ^ 1,
причем п ^ 2 в случае а0 = 0. Если n = 1, то |Imp| = l,a при п ^ 2, согласно правилу знаков Декарта, |Imp| ^ 2. В силу предложения 2.1 это означает, что решетка Ад— конечная, что противоречит следствию 2.1. Значит, все однопорожденные подалгебры из [/] являются V-неразложимыми элементами решетки А/.
Для завершения доказательства осталось заметить, что в решетке Af компактность подалгебры равносильна ее конечнопорожденности, и если любая система образующих конечнопорожденной подалгебры содержит больше одного элемента, то такая подалгебра V-разложима. □
Условимся называть подалгебру [д] С [/] У-включенной в [/], если [д] С [и] V [и] для некоторых подалгебр [и] и [и] из [/], отличных от [д] и [/], и V-невключенной в [/], если такой пары подалгебр [и] и [и] нет.
Лемма 2.4. Для любой трех и более значной функции / е Р(Х) и функции д такой, что
д = ап/п, ап > 0,п ^ 4,
или
д = + ... + а^/-7, щ > 0, а, > 0, г < з, подалгебра [д] У-включена в [/].
Доказательство. Если д — ап/п,ап > 0,п ^ 4, то подойдут [гл] = [/2] и [г;] = [/п~2], так как подалгебры [/2] и [/п_2] отличны от [/] и [/п] по лемме 2.3. Иначе положим
1 2
и = - (щГ + ... + о^/-7"1) + V — д — и.
Тогда [д] С [-гх] V [г;], так как д — и + и, а [п] и [г;] отличны от [/] по лемме 2.2. Покажем, что [и] ф [д]. Допустим обратное. Тогда по лемме 2.3 найдется число к > 0 такое, что
к (агГ + -.. + а,--!/'"1) + ка,Г = \ Ы1 + ■■■ + а,--!/'"1) + .
В последовательности
^ - 0 аг,..., ^ - 0 а3_ь ^ - 0 а,
при любом значении к не более одной перемены знака, причем первое и последнее числа не равны нулю одновременно. Поэтому согласно правилу знаков Декарта |1т/\{0}| ^ 1. Противоречие. Значит, [и] Ф [д]. Аналогично доказывается, что [и] ф [д]. □
Лемма 2.5. Для любой функции / е Р{Х), 11т/\{0}| ^ 3 множество V-невключенных подалгебр в [/] — это в точности {[/2], [/3]}-
Доказательство. По лемме 2.4 подалгебры [/2] и [/3]— единственные претенденты на \/-невключенные подалгебры в [/]. Предположим, что [/2] С [и] V [у] для некоторых подалгебр [и] и [у] из [/], отличных от [/] и [р]. Тогда
/2 = «00 + «10« + а01У + а20и2 + апиь + а02г>2 + ... + ап0«п + • • • +
В силу леммы 2.2 это равенство означает, что правая часть как многочлен от / имеет вид /2. Последнее невозможно, так как по лемме 2.3 функции и и V отличны от функций вида ах/ и а2/2. Противоречие. Значит, подалгебра [/2] не может быть \/-включенной в [/]. \/-невключенность подалгебры [/3] доказывается аналогично. □
Опишем свойства решетки А/, характерные только для трехзначной функции / с непустым нуль-множеством.
Предложение 2.3. Для произвольной трех и более значной функции / Е Р{Х) эквивалентны следующие условия:
1) 1т/ = {гх, 7*2, 0}, Т\ > г2 > 0;
2) любая подалгебра [д] С [/] V-включена в [/].
Доказательство. Пусть 1т/ = {гх,г2,0},гх > г2 > 0. Тогда
Гх + Г2 Гх + г2 Гх + г2 Гх + г2
Справедливость импликации 1) 2) теперь следует из леммы 2.4. Обратная импликация верна в силу леммы 2.5. □
Замечание. Будем говорить, что имеется решеточная характери-зация решеткой А/ свойства Рг подалгебр или функций из [/], если существует набор свойств решетки А/, равносильный Рг. Например, в силу пункта а) предложения 2.1 свойство подалгебры А Е А/ «быть подалгеброй констант М» имеет решеточную характеризацию в А/. Важно, что при изоморфизмах решетки свойства, имеющие в ней решеточную характеризацию, сохраняются. Например, предложение 2.2 содержит решеточную характеризацию однопорожденных подалгебр решетки А/. Поэтому образами однопорожденных подалгебр при изоморфизмах решетки А/ являются однопорожденные подалгебры. Обратимся еще к одному примеру. В предложении 2.3 решеточная характериза-ция свойства Рг «функция /, порождающая решетку А/, трехзначная и обращается в нуль» дана в предположении |1т/| ^ 3, а решеточная характеризация неравенства 11т /1 ^ 3 была дана ранее в предложении 2.1. Поэтому имеется решеточная характеризация наличия или отсутствие свойства Рг для произвольной решетки А/. Подобная ситуация, когда для решеточной характеризация свойства Рг используется свойство Рг7, решеточная характеризация которого была получена ранее, будет встречаться неоднократно. Так, в следующей лемме решеточная характеризация подалгебры [/2п+1] дана в предположении, что множество подалгебр {[/п], [/п+1]} уже охарактеризовано.
Лемма 2.6. Для множества подалгебр {[/n], [/n+1]}, | Im/\{0}| ^ 3, п ^ 2, в Áf имеется решеточная характеризация подалгебры [/2п+1].
Доказательство. Рассмотрим множество подалгебр
M={[g}C[f}:[g}c[nv[r+1], [g] £ [fn], [g] £ [Г+1]} . (2.1)
Легко видеть, что [/2n+1] G М (см. лемму 2.2).
Докажем, что для произвольной подалгебры [g] G М эквивалентны следующие условия:
1) \д] = [/2п+1];
2) {[и], М} = {[/"], [Г+1]} ^ [д] С [и] V М, где [и] ф [г;] - подал-гебры из [fn] V [/n+1], отличные от [д].
1) 2). Пусть [#] = [/2п+1]. По лемме 2.3 [fn] ф [/n+1], а потому импликация в условии 2) верна. Докажем ей обратную. Из леммы 2.2 следует, что функция /2п+1 представима многочленом с неотрицательными коэффициентами от функций fn и /п+1 единственным способом: /2n+1 = fnfn+l. По условию подалгебра [/2n+1] отлична от [и] и [v] и [и] V [г;] С [fn] V [/п+1]. Поэтому /2n+1 £ [гг] V [v], если
2) 1). Поскольку д е [/n] V [/n+1], то функция д имеет вид
9 = а^Г7(п+Ш + • • • + Ор,Л7(п+1)', i,j,...,p,le No.
Допустим, многочлен в правой части не моном от /. Не ограничивая общности, можно считать, что
ni + (п + 1)j < ... < пр + (п + 1)/, dij > 0, api > 0.
Положим
« = \ (aii/nV(n+1)i + •••) + \*pifnpf{n+1)\ v = д — и.
Тогда [t¿], [г;] С [fn] V [/n+1] и [g] С [и] V [г;], так как д — u + v. Соотношения [д] ф [и], [д] Ф [v] и [и] Ф [v] несложно установить, используя лемму 2.3 и правило знаков Декарта. По лемме 2.2 {[и], [г;]} Ф {[/п], [/п+1]}-Получили противоречие с условием 2). Значит, функция д как многочлен от / обязательно моном от /, то есть [д] = По условию [д] [fn] и [д] [/п+1]. Следовательно, г ф 0 и j ф 0. Положим М = [fn% М = [f{n+1)j]. Очевидно, [д] С [и] V[v] и [и], [г>] С [/n] V[/n+1]. По лемме 2.3 подалгебра [д] отлична от [и] и [v]. Кроме того, [и] Ф [г;], так как тогда имели бы [д] С [и] С [/п]. Далее, если г ^ 2 или j ^ 2, то {М, [г;]} ф {[/п], [/п+1]} по лемме 2.3, и условие 2) нарушается. Значит, г = j = 1, то есть [</] = [/2п+1]. □
Предложение 2.4. Для любой подалгебры [/], |lm/\{0}| ^ 3 и показателя п G N подалгебра [fn] имеет решеточную характеризацию в
А,.
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по п. Базой служат случаи п = 2 и п = 3. Разберем их. Для этого воспользуемся леммой 2.5 и рассмотрим множество подалгебр {[/2], [/3]}- Опишем свойства решетки А/, позволяющие различить подалгебры [/2] и [/3]. С этой целью применим лемму 2.5 к решеткам Aj2 и А^з и рассмотрим множества подалгебр {[/4], [/6]} и {[/6], [/9]}. Их симметрическая разность {[/4],[/9]}. Применим лемму 2.6 для п — 2 и рассмотрим подалгебру [/5]. Очевидно, [/9] С [/4] V [/5], но [/4] £ [/9] V [/5]. Таким образом, мы можем отличить подалгебру [/4] от [/9], а, значит, и [/2] от [/3].
Пусть имеется характеризация подалгебр [fn] для всех п k 1 k ^ А. Если к — нечетное, то подалгебра [fk] может быть получена применением леммы 2.6 для п — {к — 1)/2. В случае четного к рассмотрим подалгебру [fk/2]. Ее «квадрат» дает [fk]. □
Лемма 2.7. Ддл любой подалгебры [/] в А/ имеется решеточная характеризация подалгебр вида [/ + г], г G Р.
Доказательство. Если / G М+ или Im/ = {t*i, 7*2}, 7*1 > r2 > 0, то согласно предложению 2.1 [/ + г] = [/] для всех г G Р, а в случае 1т/ = {ri,0}, ri > 0 решетка А/ — трехэлементная цепь: М+ С [/ + 1] С [/], причем [/ + г] = [/ + 1] для всех г G Р.
Пусть 1т/ = {7*1,7*2, 0}, 7*1 > г2 > 0. Воспользуемся предложением 2.3 и рассмотрим множество подалгебр
M = {[g]c[f]: Z{д)ф0}.
Докажем, что любая подалгебра [h] С [/] такая, что [h] ^ [д] для любой [g] G M, имеет вид [/ + г], г G Р. Действительно, если
h — а0 + ai/ + ... + an/n, а0 > 0, an > 0, n ^ 2,
то [Л] С [#] для g = ai/ + ... + an/n, и [#] G M, так как Z(p) = Z(/) и [g] ф [/] по лемме 2.3. Кроме того, включение [/ + г] Ç [g] G M, г G Р влечет
/ + г = 60 + bj + ... + bmfm, 6m > 0, m ^ 2.
Поскольку 0 G Im /, то г = 60- Откуда / = bif + ... + &m/m, что невозможно по лемме 2.2.
Пусть, наконец, |1т/\{0}| ^ 3. Обозначим через М множество подалгебр [д] С [/] таких, что [д] £ [/2] V [/3] и [д2] £ [/2] V [/3] (см. предложение 2.4). Тогда для любой подалгебры [д] Е М
коэффициенты ао и а\ положительные. Покажем, что [/ + г] Е М для всех г Е Р. Допустим, [/ + г] С [/2] V [/3] для некоторого г Е Р. Тогда
В последовательности 60 — ~~ 1, &2? • • • ? ^ не более двух перемен знака. Поэтому 11т/\{0}| ^ 2 в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Невозможность включения [(/ + г)2] С [/2] V [/3] доказывается аналогично.
Далее, обозначим через М' множество всех подалгеб [д] из М таких, что [д] С [Ь] для некоторой подалгебры
Отметим, что если [д] Е М и
д = а0 + ах/ + ... + аш/ш, а0 > 0, > 0, аш > 0, га ^ 2,
то [д] Е М', так как за [/г] можно взять подалгебру [ах/ + ... + аш/ш].
Докажем, что [/ + г] ^ М' для всех г Е Р. Пусть все же для некоторого г нашлась подалгебра [Н\ С [/] для которой условие (2.2) выполняется. Если функция к как многочлен от / имеет степень выше первой, то
/ + г = Со + Сх/ + с2/2 + ... + ск>0,к^2.
В последовательности с0 — г, сх — 1, с2,..., не более двух перемен знака. Поэтому 11т/\{0}| ^ 2 в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Значит, к = Ъ0 + Ьх/, &о > ОА > 0. Откуда ввиду [Ь2] С [/2] V [/3], получаем:
Ъ2, + 260&1/ + ЪЦ2 = ¿о + ¿2/2 + • • • + ¿¿Л Ь > 0,1 > 2.
В последовательности — —2Ьо&х? ¿2 — Ь?, • • • А не более двух перемен знака. Поэтому |1т/\{0}| ^ 2 в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Значит, множество подалгебр вида [/ + г], г Е Р это в точности М\М'. □
д = а0 + ах/ + ... + ат[
•т
/ + г = Ь0 + Ъ2р + ... + &*/*, Ьк > 0, к > 2.
М <=[/], [Л2]С[/2]У[/3].
(2.2)
Следующая лемма показывает, что если функция / — трех и более значная, то на множестве подалгебр вида [/ + г], г Е М+ включение С задает порядок, согласованный с естественным порядком на М+.
Лемма 2.8. Для любой трех и более значной функции / Е по-
далгебры [д] С [/], [д] ф М+, и чисел 7*1, г2 Е М+
[д + гх] С [д + г2] Т\ > г2.
Доказательство. Пусть г\ > г2. Тогда б/ + 7*1 = (д + г2) + (гх — г2), а потому [д + 7*1] С [д + г2]. По лемме 2.2 [д + 7*1] ф [д + г2]. Значит, [р + гх] С [д + г2].
Обратное утверждение очевидным образом следует из доказанного.
□
Предложение 2.5. Для любой функции / Е Р{Х), |1т/\{0}| ^ 3 в А/ имеется решеточная характеризация следующих видов подалгебр: 1) [а0 + ах/]; 2) [а0 + а2/2]; 3) [ах/ + а2/2]; 4) [а0 + ах/ + а2/2]. Здесь ах, а2, а3 Е Р.
Доказательство. В силу предложения 2.4 и леммы 2.7 достаточно получить характеризацию подалгебр третьего типа.
Пусть [д] С [/]. Докажем эквивалентность следующих утверждений:
1) [д] = [аг/ + а2/2], аьа2 Е Р;
2) выполняются условия:
а) [р] Ф V1 + г] Для любых [Ь] С [/] и г Е Р;
б) [б/ + п] = [(/ + г2)2] для некоторых Гх, г2 Е Р.
В самом деле, пусть [д] = [ах/ + а2/2]. Тогда по лемме 2.3
д = Ы + <Ы2)к, ке Р. Условие 2.6) выполняется, поскольку
д + т^^
4а2
Докажем 2.а). Рассуждая от противного, получаем:
ах/ + а2/2 = 60 + 6х/ + ... + ЬтГ, 60 > 0.
В последовательности 61 — ах, Ь2 — а2, 63,..., Ът не более двух перемен знака. Поэтому 11т/\{0}| ^ 2 в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Импликация 1) 2) доказана.
Обратно, пусть д = а0+ах/+.. .+ап/п. Если а0 > 0, то [д] = [/¿+а0/2], где к — а0/2 + ах/ + ... + ап/п. Противоречие с условием 2.а). Значит, ао = 0. Обратимся к условию 2.6). По лемме 2.3
п + ец/ + ... + апр = к{г1 + 2г2/ + /2)
для некоторых гх,г2,& Е Р. Если Гх > то последовательность
Гх — ах — 2А;г2, а2 — аз,..., ап — ненулевая и в ней не более двух перемен знака. Поэтому |1т/\{0}| ^ 2 в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Случай т\ < кт\ ведет к противоречию с условием 2.а), так как тогда [д] = [(кг% — Т\) + (2/сг2/ + кр)]. Значит, т\ — кт\. Если последовательность а\ — 2/сг2,а2 — аз,..., ап — ненулевая, то |1т/\{0}| ^ 2 согласно правилу знаков Декарта. Противоречие. Поэтому ах = 2кг2, а2 = к, а3 = ... = ап = 0. Откуда [д] = [2г2/ + /2]. □
Обозначим через множество всех подалгебр [д] С [/] таких,
что
ы=
£
Л=1
Например, [/ + /3] Е МЛ2Д.
Лемма 2.9. Для любой трех и более значной функции / Е Р(Х) такой, что
|1ш/\{0}| ^ 21- 1, 2, к ^21-1, к, /ЕМ, в А/ имеется решеточная характеризация множества
Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Для произвольной подалгебры [д] С [/] докажем равносильность следующих утверждений: 1)
2) выполняются условия:
а) Ы М/^х^+з;
б) [#] С [/*] V [и] для некоторой подалгебры [и] Е Мд/_х,/с+2;
в) [я] £ [/1 V [Рк] V [/2/с+1] V ... V [/ш] для любого т ^ 2к]
г) [</] ^ [/*] V [/г] для любой подалгебры [к] ф такой, что
[^[^[ЛуЩУ.^Г].
для некоторых т ^ 2/с, [г;] Е Мдг_х,/с+2.
1) 2). Пусть [д] Е к. Тогда по лемме 2.3
<7 = а*/* + а*+2/*+2 + • • • + ак+2(1-1)/к+2('1~1\
где ак, ак+2, • • •, ^+2(^-1) е Р.
а) Допустим, [д] е Мдг_15/с+2. Тогда по лемме 2.3
Я = Ь*+2/*+2 + Ък++4 ...+ Ь*+2(/-1)/к+2(,-1),
где • • •, &/с+2(/-1) ^ Р. В последовательности
й/с, &к+2 ~ • • • , 0>к+2(1-1) — &/с+2(/-1)
не более I перемен знака. Поэтому 11т/\{0}| ^ I в силу правила знаков Декарта. По условию 11т/\{0}| ^ 21 — 1. Следовательно, I ^ 21 — 1, что невозможно, так как I ^ 2. Значит, [р] ^ Му^-х^+х.
б) Положим и — д — ак/к. Тогда [и] е М/?|_ 1,^+2 и [#] С [/*] V [гг].
в) Рассуждая от противного, получаем:
9 = Ьо + Ък/к + Ъ2крк + бгл+х/2**1 + ... + Ьпр, п > 2к. По условию к ^ 21 — 1. Откуда 2/с>/с + 2(/ — 1).В последовательности
Ь(Ь — 0>кч ~ак+2, • • • , —а/ь+2(г-1), &2Ь ^2/с+Ъ • • • тК
не более двух перемен знака. Поэтому 2 ^ |1т/\{0}| в силу правила знаков Декарта. По условию 11т/\{0}| ^ 21 — 1. Откуда 2 ^ 21 — 1, что невозможно, так как I ^ 2.
г) Допустим, [д] С [/*] V [к] для некоторой подалгебры [к] такой, что
[Л] ^ М^к+2, [/г] С [«] V [рк] V [/2*+1] V ... V [Г], для некоторых т ^ 2/с и [г;] е Mf1^-1, л+2- Тогда
/-1 п—2к
Н = ъ0 + ^ Ьк+2г!к+2г + бй-н/2**
г=1 г=0
для некоторого п ^ 2к. Докажем, что &/С+2 > о, б/с+4 > о,..., 6/с+2(/-1) > о, тах{60, Ъ2к, &2Л+ъ • • • А} > 0. (2.3)
Заметим, что все функции вида и где г,^, £ е ^ 2,
принадлежат подалгебрам вида [/2/с] V [/2/с+1] V ... V [/ш] для подходящих т. Поэтому представление функции к в виде многочлена с неотрицательными коэфициентами от г; и степеней функции / не ниже 2к обязательно содержит ненулевой моном от V первой степени, так как в противном случае [к] С [рк] V [/2/с+1] V ... V [/ш], а, значит, и
[g] Ç [fk] V[/2/c] V.. .\/[П чт0 противоречит условию в). Следовательно, коэффициенты Ък+2,..., 6/c+2(/-i) ~~ положительные числа. Далее, равенство
maxj&o, 62л, &2Л+ъ ... А} = О
означало бы [/г] G Mfj_i,/c+2, что невозможно.
Поскольку [g] С V [/г], то, учитывая соотношения (2.3), имеем:
1-1 t-2k 9 = Со + + J] ck+2lfk+2г + J]
г=1 г=0
где i ^ 2к. В силу в) [д] [fk]. Поэтому в представлении функции g многочленом от fk и h обязательно имеются ненулевые слагаемые вида (,fk)lhг G No,i G N. Откуда, учитывая соотношения (2.3), получаем
max{c0, с2/с, с2/с+ь ..., ct} > 0.
Значит, в последовательности
Со, ск — ак, Ск+2 — ак+2, • • • , C/c+2(Z-l) — «А;Ч-2(/—1)5 С2Ь ¿2к+ь • • • ? Q
не все члены равны нулю. Кроме того, в ней не более I и I + 1 перемен знака для четного и нечетного I соответственно. Используя правило знаков Декарта и неравенство | Im/\{0}| > 21 — 1 из условия, получаем:
21- 1 ^ 11т/\{0}| ^ I
для четного /, и
2/ - 1 ^ | Im/\{0}| ^ / + 1,
когда I нечетно. Противоречие с I ^ 2. Значит, такой подалгебры [/г] не найдется и условие г) выполняется.
2) 1). Пусть для подалгебры [д] С [/] условия а)-г) выполнены. Согласно условию б) [g] Ç [/*] V [гл], где [гл] G Mfj_i5/c+2. Поэтому
¿-1 п—2к
g = a0 + Yl ак+2г!к+2г + Y1
г=0 г=0
где n ^ 2к. Заметим, что функция вида G No принадлежит
подалгебре [fk] V [/2/с] V... V [ fm] для некоторого m ^ 2к для любых г и j, кроме быть может случая г — 0, j = 1. Поэтому представление функции g многочленом от fk и и обязательно содержит ненулевой моном от
и первой степени. Иначе противоречие с условием в). Следовательно, коэффициенты 2, 4,..., а/с+2(/-1) — положительны. Далее, условие а) означает, что среди коэффициентов ао, &2/с+ъ • • •, также есть
положительные. Допустим, это не а^. Положим
/-1 п—2к
V = ^ ак+2г1к+2\ Н = а0 + V + ^ С2к+г/2Ш.
г=1 г=О
Тогда
И е м/>г_м+2, [Л] с И V [Л V [/2*+1] V... V [/"]. Если [/1] Е то по лемме 2.3
1-1
г=1
Однако, в последовательности
а/с+2 — • • • , &/с+2(7-1) — Ь/ь+2(г-1), 0>2кч а2к+1, • • • , 0>п
не более I перемен знака. Поэтому I ^ 11т/\{0}| в силу правила знаков Декарта. По условию 11т/\{0}| ^ 21 — 1. Следовательно, I ^ 21 — 1, что противоречит I ^ 2. Значит, [/г] ^ 1,к+2- Кроме того, [д] С [/*] V [Л]. Получили противоречие с условием г). Следовательно,
= = ^2/с+1 = ... = ап = 0, аь > О,
то есть [д] Е Мд^. Импликация 2) 1) доказана.
Теперь утверждение леммы может быть доказано индукцией по I. База индукции: I = 2. Предложение 2.4 выделяет в Af множество подалгебр для любого к Е N. Тем самым эквиваленция 1) 2)
доставляет решеточную характеризацию множества подалгебр для любого к ^ 3.
Индукционное предположение: пусть имеется характеризация множества подалгебр
11т/\{0}| ^ 21' - 1 21' - 1,
для всех 2 ^ V ^ / — 1.
Доказательство индукционного шага: пусть
11т/\{0}|
Тогда
|1ш/\{0}| ^ 2(1 - 1) - 1,£ + 2 ^ 2(1 - 1) - 1,1 - 1 ^ 2,
а потому согласно индукционному предположению в А/ имеется харак-теризация множества подалгебр х,/с+2- Для выделения в А/ мно-
жества подалгебр х,/с+2 применим условие 2) установленной ранее
эквиваленции 1) 2). Индукционный шаг, а значит, и лемма доказаны. □
Предложение 2.6. Для любой функции / е Р(Х) свойствами решетки А! можно установить, является ли функция / бесконечнозначной или нет, а для конечнозначной функции / найти мощность множества ее значений и установить обращается ли / в нуль на X.
Доказательство. Пусть 1т/\{0} = {г1,...,гп}, Т\ > ... > тп. Тогда утверждение предложения 2.6 для п = 0,п=1ип = 2,0^1ш/ верно в силу предложения 2.1, а для п = 2,0£1т/ — предложения 2.3. Пусть п ^ ш, т ^ 3.
1) т— нечетное. Воспользуемся леммой 2.9 и рассмотрим множества подалгебр М^ т+1 \ I и М^ т+1 ^т. Докажем, что
П = т М7) т±1)ТО+1 П М7) т±1>т ф 0.
Пусть п = т. Рассмотрим функцию
Тогда = Р(/) - д(/), где
Р(/) = ат.,Г+1 + ... + а2рт~2 + /2™, <Э(/) = + • • • + ^з/2т"3 + ах/2"1"1.
Здесь через а^ 1 ^ г ^ т мы обозначили элементарный симметрический многочлен от значений т*х,..., гт. Очевидно,
[Р(/)] е м/;™±1)ТО+1, [<2(/)] е м/;™±1)ТО,
и многочлены Р(/) и £?(/) задают одну и ту же функцию на X, так как функция д тождественно равна нулю на X. Поэтому
[Р(Я], Ш)] е м/|2^1>т+1 п м/>в^1>т.
Обратно, пусть
Mfirn±1?ш+1 П Mfirn±1?ш ^ 0. Тогда, учитывая лемму 2.3, получаем:
^m+l/m+1+^m+3/m+3 + - • - + а2mf2m = ^т/Ш + ат+2/Ш+2 + • • - + &2m-l/2m \
где все коэффициенты am, am+i,..., а2Ш — положительны. В последовательности
Ъ ат+2, 3; • • • ? а2т-Ъ ~а2т
ровно m перемен знака. Поэтому п ^ m в силу правила знаков Декарта. По условию п ^ т. Значит, п — т.
2) m — четное. Воспользуемся предложением 2.4, леммой 2.9 и рассмотрим множества подалгебр М2 — {[h] : [/г] С [/2]} и М^ ь Докажем, что
п = m ^^ М2 П М/? f ,m+i ^ 0. Пусть п — т. Рассмотрим функцию
9 = fm(f-n)-...-(f-rm).
Раскрыв скобки, получим g = Р(/) — Q(/), где
Q(/) = ^-i/™*1 + • • • + a3/2m-3 + (л/2™"1.
Очевидно,
[P(/)]GM2, [Q(/)]eM/>¥>m+1,
и многочлены P(f) и Q(/) задают одну и ту же функцию на X, так как функция g тождественно равна нулю на X. Поэтому
[Р(Я],Ш)]ем2пм/1?1т+1.
Обратно, пусть
M2nM/)f)m+1/0.
Тогда, учитывая лемму 2.3, получаем:
am+ifm+1 + «ж+з/т+3 + • • • + «2Ж-1/2"1'1 = «о + a2f + ... + a2kf2k,
где все коэффициенты am+i, аш+3,..., a2m-i — положительны, а в правой части равенства все мономы имеют четную степень. В последовательности
а-о, . . . , dm-) ~ат+Ъ аш+2? ~~ ат+3; • • • ? ^2m-2i — &2т-Ъ a2mi • • • 1 а2к
не более тп перемен знака. Поэтому п ^ т в силу правила знаков Декарта. По условию п ^ т. Значит, п — т. Очевидно,
11т/| = ос 11т/\{0}| ^ т
для всех т Е N.
Для того чтобы определить, обращается ли конечная трех и более значная функция / в нуль на X, воспользуемся леммой 2.7 и рассмотрим произвольную подалгебру [/ + г], г Е Р. Если 11т/\{0}| = 11т(/ + г)|, ТО г(/) = иначе г(/) ф 0. □
3. Изоморфизмы решеток А/, 11т/| ^ 3
Выясним, каковы должны быть функции / и д, чтобы решетки А/ и А^ были изоморфны. Для случая 11т/| ^ 2 ответ содержит предложение 2.1. Если 11т/| = ос, то согласно предложению 2.6 изоморфизм решеток А/ и А^ влечет бесконечнозначность функции д. Верное и обратное: если функции / ид — бесконечнозначные, то решетки А/ и А^ будут изоморфными, так как однопорожденные подалгебры [/] и [д] изоморфны полукольцу многочленов М+[х]. Случаи 11т /| = п, п ^ 3 гораздо сложнее. При этом исключительная роль принадлежит случаю п — 3, так как случай п ^ 4 может быть сведен к п = 3.
Итак, пусть |1т/| = 3. Для описания изоморфизмов решетки А/ помимо результатов, полученных ранее, потребуется несколько дополнительных утверждений.
Предложение 3.7. Для произвольных трехзначных функций
/ = (1 ,а, 6), 1 > а > Ь > О
и
д = (1, с, в) Е [/], 1 > с > (1 > О
верны следующие утверждения:
1) существует номер щ Е N такой, что для каждого натурального п ^ щ найдется показатель тп Е N для которого
1 — аШп 1-сп 1 1 ^ 1-^ < 1 - ; ^ ' ^
2) имеется решеточная характеризация последовательности (тп) в А/;
3) есуш с = то
г
а = 1т -.
п->+оо п
Доказательство. 1) Достаточно показать, что
1 - ип 1 - ип+1
I -уп 1 _ уп+1 ' ' )
для любых Заметим, что неравенство (3.5)
равносильно
1-й 1 + и + ... + ип~1 1-й 1 + и + ... + ип 1 — V 1+У + ... + Vй-1 1-у 1+У + + что, в свою очередь, равносильно
(1 + П + ... + ип-1)уп < (1 + V + ... + уп-1)ип.
Последнее верно, так как ввиду и > V > 0
икуп < укип для всех 0 ^ к ^ п - 1.
2) Для дальнейших рассуждений будет удобно следующее соглашение: произвольной подалгебре [дп] такой, что
[Чп] С [/], 9=(1,2/,х),1>2/>х>0,
поставим в соответствие точку с декартовыми координатами (хп; уп).
Заметим, что точка Сп попадает в треугольник (возможно, на границу) с вершинами в точках ^0(1;1), Гтп(Ьтп; атп) и ¥2Шп (Ь2гПп; а2тПп) тогда и только тогда, когда [дп] — [а0 + + а2/2Шп] для подходя-
щих а0,а!,а2 £ М+ (это равенство имеет решеточную характеризацию в силу предложений 2.4 и 2.5). Далее, двойное неравенство (3.4) равносильно существованию на отрезке точки Нп ф такой, что все точки отрезка попадают в треугольник ¥ъ¥Шп¥<1Шп^ но не лежат в треугольнике ^о-РШп+1^2(Шп+1) (это следует из геометрического смысла 1~Уп
частного - — тангенс угла между лучами, выходящими из точки
1 — хп
^о, к точкам с координатами (0; 1) и (хп\уп)). Точке Нп соответствует подалгебра [дп + г], а точкам отрезка Г$Нп — подалгебры [дп + г'], г' ^ г. Описанные условия также имеют решеточную характеризацию в силу предложения 2.4, леммы 2.7 и сделанных выше замечаний.
Таким образом, поиск значений щ и тП1п ^ щ может быть таким: для текущего номера п проверяем, существуют ли числа г и тп такие, что подалгебры [дп + г7], г7 ^ г имеют вид [а0 + а\/тп + а2/2Шп], но отличны от подалгебр [&о + Ь\ /т"+1 + 62/2(т"+1)]. Первый номер п для которого такие г и тп найдутся и будет щ.
3) Пусть
а = с, е — .
Тогда
с — аа, (I = еа.
Непосредственными выкладками убеждаемся, что двойное неравенство (3.4) равносильно следующей системе:
/ /е\ап\ {Ъ\тп {Ъ\тп
аа" V1 ~(а) 1а) "(а) " ^
(у \ тп +1 / 7 \ тп-\-1
(3.6)
а) -{а) ■(!-(;)' )■
Зафиксируем произвольное число е > 0. Допустим, для любого номера п' существует номер п > п' такой, что ап — тп ^ —е. Тогда
аап-тп ^ а-е?
а потому
аап-тп
Учитывая, что е<аи6<а<1,а числа тп и an при п —>> +ос становятся сколь угодно большими, получаем:
fb\mn fb\mn lim 1 + aan ( — ) - - -ean = >1.
n^+oo \a) \a J
Противоречие. Значит, для любого числа е > 0 найдется номер щ такой, что an — тп > —£ для всех n ^ щ.
Аналогичными рассуждениями, используя второе неравенство системы (3.6), получаем: для любого числа е > 0 найдется номер щ такой, что an — (mn + 1) < £ для всех n ^ п2. При n ^ max{ni,n2} имеем:
е mn s +1
--< а--< -.
п п п
Видим, что последовательность (тп/п) при п —>> +ос имеет предел и он равен а. □
Лемма 3.10. Для любой подалгебры
Ы = [Л + a2n.2f2n~2}, а2п-2 > 0,п е N
в Аf, | Im /\{0}| ^ 3 имеется решеточная характеризация подалгебры
[Р + а2„_2].
Доказательство. Очевидно, [д] С [/2 + а2п_2] V [/2п_2]. Докажем, что [д] ^ [/2 + г] V [/2п_2] для любого числа г > а2п_2- Заметим, что каждая функция подалгебры [/2 + г] V [/2п_2] реализуется многочленом от /2, причем равенство функций а2п_2/2п_2 + /2п и 60 + &2/2 + • • • + &2т/2ш равносильно тому, что &2п-2 = &2п-2-> &2п = 1 и Ы = 0 при г ^ {2п —2, 2п}. Это следует из того, что в последовательности
Ьо, • • • , &2п-4, &2п-2 — &2п-2, &2п — 1? &2п+2,
2т
не более двух перемен знака. Поэтому если в ней имелись бы ненулевые числа, то в силу правила знаков Декарта 11т/\{0}| ^ 2, что противоречит условию леммы. Отсюда следует, что функция а2п_2/2п-2 + /2п, будучи многочленом с неотрицательными коэффициентами от /2 + г и /2п~2, имеет вид (/2 + г)/2п~2 + с2п_2/2п~2, причем г + с2п_2 = а2п_2. Последнее невозможно, так как г > а2п_2. Значит, подалгебра [/2 + г7] такая, что [д] С [/2 + г7] V [/2п~2], но [#] £ [/2 + г] V [/2п~2] для любого числа г > г7, будет в точности [/2 + а2п_2]. □
Предложение 3.8. Ддл произвольной трехзначной функции
/ = (1,а, 6), 1 > а > Ъ > О,
подалгебры
[/2 + а + Ь + аЬ] =
а + Ь а + Ь ' 1 + 6' 1 + а
[/2 + 2^/] =
имеют решеточную характеризацию в А/.
а2
„ +2Л/аа б2 + 2л/а6\ ' 1 + 2^/а 1 + 2^/а /
Доказательство. Воспользуемся леммой 2.9 и рассмотрим множества подалгебр М^2,з и Л^/,2,4- Пусть [д] £ П Тогда, учитывая
лемму 2.3, получаем:
д = а3/3 + а5/5 = а4/4 + а6/6,
где аз,а4,а5,аб е Р. По условию функция / не обращается в нуль. Поэтому
аз - а4/ + а5/2 - а6/3 = 0.
По формулам Виета:
аз = абае, = (а + Ъ + а6)ае, <25 = (1 + а + Ь)ав.
Следовательно,
Ы = [(а + Ъ + аЬ)/4 + /6] = И/3 + (1 + а + Ь)/5].
Применив к подалгебре [д] = [(а + Ь + аб)/4 + /6] лемму 3.10 для п — 3, получим подалгебру [/2 + а + Ь + аЬ].
Для характерпзацпп подалгебры [/2 + 2 у/а/] воспользуемся леммой 2.7, предложением 3.7 и рассмотрим подалгебру [/ + г], г е К+ такую, что
[/ + Л = [(!> л/а, 1> у/а> (I.
По лемме 2.3 (а + г)/(1 + г) — ^/а. Откуда г — у/а. Воспользуемся леммой 2.7, предложениями 2.4 и 2.5 и рассмотрим подалгебру
[р] = [а2/2 + а1/]
такую, что
[а2/2 + а1/ + г] = [(/ + лА)2]
для некоторого г е Р. Очевидно, подходит [</] = [/2 + 2^/а/]. Докажем единственность [д]. Пусть
[°г/2 + ах/ + г] = [/2 + 2д/а/ + «]•
Тогда в силу леммы 2.3 для некоторого числа к > 0 к(а2/2 + аг/ + г) = /2 + 2^/ + а. В последовательности
1 — ка2, 2у/а — ка\, а — кг
не более двух перемен знака. Поэтому если бы в ней имелись ненулевые числа, то 11т/\{0}| ^ 2в силу правила знаков Декарта. Противоречие. Значит,
ка2 = 1, ка\ — 2 у/а, кг = а, то есть [а2/2 + а^} = [/2 + 2^/]. □
Лемма 3.11. Уравнение
1 + 2^
имеет не более одного действительного корня х е (0; 1).
Доказательство. Расмотрим функцию
у{х) — 1п(х + 2\[х) — 1п(1 + 2\[х) — а\пх, х Е (0; 1].
Очевидно, каждый корень исходного уравнения будет нулем этой функции. Ее производная равна
п ч 1 / 1 + + ОС у (х) = - • ( --—I--а
х \2 + Ъ^/х + 2х
Так как х > 0, то знак производной у'(х) совпадает со знаком множителя при 1/х. Его производная равна
—3 + Зх
2л/х(2 + ЬЛ/Х + 2Х)2'
Видим, что найденная производная отрицательна на интервале (0;1). Поэтому если у\х) и меняет знак на промежутке (0; 1], то ровно один раз и с «+» на « —». Учитывая это и то, что у{1) = 0, получаем: функция у{х) на интервале (0; 1) обращается в нуль не более одного раза. □
Приступим к доказательству основной теоремы. Доказательство теоремы 1.2.
Импликация 1) 2) очевидна. Докажем 2) 3). Случаи
11т /1 = 1 и 11т /| = 2 покрываются предложением 2.1. Пусть / = (1, а, 6), 1 > а > Ь ^ 0.
1) Ь > 0. Согласно предложению 2.6 функция д— трехзначная и положительная:
д = (1,с, с?), 1 > с > А > 0. Воспользуемся предложением 3.8 и рассмотрим подалгебры
а2 + 2л/аа б2 + 1 Г/ с2 + 2^/сс в2 +
' 1 + 2^/а 1 + 2л/а )\ ' |д ' 1 + 2^ ' 1 + 2^ у
Пусть числа а и /3 таковы, что
а2 + 2л/аа а с2 + 2^сс р —-—= а , —-—= с . (3.7)
1 + 2^ 1 + 2л/с v ;
Тогда а — ¡5 согласно предложению 3.7. Легко видеть, что показатели а и /3 из интервала (1; 2). Поэтому после деления равенств (3.7) на а и Ь к полученным равенствам можно применить лемму 3.11. Откуда а — с.
Для доказательства равенства Ь = с1 вновь воспользуемся предложением 3.8 и рассмотрим подалгебры (учли, что а — с)
1,
а + Ь а + Ь 1 + 5' 1 + а
1,
а + А а + с1 1 + бГ 1 + а
Аналогично предыдущему получаем, что
а + Ь а + с1
ТТб = а =ТТ^
для подходящего показателя 7. Откуда Ъ — А.
2) Ь = 0. Тогда согласно предложению 2.6 функция д— трехзначная и обращается в нуль на У :
0 = (1,с,О), 1 > с > 0.
Воспользуемся леммой 2.7 и рассмотрим подалгебру [/ + г], г £ Р. В силу все той же леммы 2.7 при изоморфизме решетки А/ на А^ ее образом служит подалгебра вида [д + г7], г' £ Р. Решетки А[/+г] и А^+г/] — изоморфны. Поэтому согласно пункту 1) доказательства
а + г с + г' г г'
1 + г 1 + г7' 1 + г 1 + г7
Откуда, г = г7 и а = с, то есть функции /ид равны как упорядоченные тройки чисел.
3) 1). Если выполняется одно из условий З.а), З.б) или З.в), то подалгебры [/] и [д] совпадают как множества упорядоченных по убыванию п-ок чисел, где п = 1,2,3 соответственно (см. предложение 2.1), а потому изоморфны как М+-алгебры.
Теорема доказана. □
Автор благодарит профессора Е. М. Вечтомова за постановку задачи и внимание к работе.
Литература
1. Сидоров В.В. О строении решеточных изоморфизмов полуколец непрерывных функций / / Тр. Машем. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва. 2009. Т. 39. С. 339-341.
2. Вечтомов Е.М., Сидоров В.В. Определяемость полуколец непрерывных функций решеткой их подалгебр // Вестник СыктГУ. 2010. Сер. 1. Вып. 11. С. 112-125.
3. Сидоров В.В. Группа автоморфизмов решетки всех подалгебр полукольца многочленов над полуполем неотрицательных действительных чисел // Изв. вузов. Матем. 2011. №4- С. 10^-107.
4. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1981. 456 с.
5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: учеб. для вузов. 2-е изд., исправл. М.: Физматлит., 2000. 272 с.
Summary
Sidorov V.V. Structure lattice isomorphisms of semirings generated by a one nonnegative function
In this paper we describe isomorphisms of lattices Af and Ag of all subalgebras with unit of semirings of functions [/] and [g] generated by nonnegative real-valued functions / and g, respectively. It is proved that any isomorphism of lattices Aj and Ag is generated by an isomorphism of semirings [/] and [g]. A technique of unigenerated subalgebras is applied. Ключевые слова: isomorphisms of lattices, isomorphism of semirings, one-generated subalgebra, nonnegative function,
Вятский государственный гуманитарный университет Поступи-
ла 24.12.2010
