CC BY
18Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.И.2010
УДК 512.556
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОЛУКОЛЕЦ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ РЕШЕТКОЙ ИХ ПОДАЛГЕБР
Е.М. Вечтомов, В.В. Сидоров
Решена задача определяемости полуколец непрерывных функций решеткой их подалгебр. Именно, доказано, что изоморфность решеток всех подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций на произвольных топологических пространствах влечет изоморфность самих полуколец непрерывных функций.
Введение
Идея координатизации, представления одних математических объектов в других, производных объектах пронизывает всю математику. Обычно исходные математические объекты имеют тополого-геометрическую природу, а производные объекты — арифметико-алгеб-раическую. Можно назвать двойственности Понтрягина, М. Стоуна, Хьюитта, классические функторы алгебраической геометрии и алгебраической топологии. Задачи определяемости топологических пространств заданными на них алгебраическими системами непрерывных функций занимают видное место в современной математике. Важным направлением исследований в абстрактной алгебре служит изучение связей той или иной алгебраической структуры с группой ее автоморфизмов, полугруппой эндоморфизмов, решеткой конгруэнций, решеткой подалгебр. В 1939 г. И. М. Гельфанд и А. И. Колмогоров [7] доказали одну из первых теорем определяемости топологических пространств: произвольный компакт X определяется кольцом С{Х) всех заданных на нем непрерывных действительнозначных функций. Эта теорема послужила образцом для различных обобщений и углублений как за счет ослабления ограничений на топологию пространства X, так и за счет рассмотрения других функционально-алгебраических объектов, связанных с X (см. обзор [2]). Большая статья Хьюитта 1948 г. [14] стала
© Вечтомов Е.М., Сидоров В.В., 2010.
основополагающей в классической теории колец непрерывных действительнозначных функций, изложенной позднее в известной монографии Гиллмана и Джерисона [13]. Хьюитт доказал определяемость всякого хьюиттовского пространства X кольцом С(Х).
Полукольца непрерывных действительнозначных функций представляют собой дальнейший этап в развитии теории колец С(Х). Систематическое изучение полуколец С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций на топологических пространствах X началось в 90-е годы XX века (см. [1], [5], [12]). Заметим, что для всякого топологического пространства X кольцо С(Х) = С+(Х) — С+(Х) есть кольцо разностей полукольца С+(Х), а полукольцо С+(Х) совпадает с множеством всевозможных квадратов элементов кольца С(Х). Поэтому любой изоморфизм полуколец С+(Х) и С+(У) однозначно продолжается до изоморфизма колец С(Х) и С(У), и обратно, любой изоморфизм а колец С(Х) и С (У) является продолжением некоторого единственного изоморфизма — ограничения а на С+(Х) — полуколец С+(Х) и Следовательно, задача определяемости произвольного хьюиттовского пространства X полукольцом С+(Х) равносильна задаче определяемости хьюиттовского пространства X кольцом С(Х). Для решеток подалгебр кольца С{Х) и полукольца С+(Х), тем более полукольца подобной связи уже нет.
В статье [3] Е. М. Вечтомовым была доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X решеткой всех подалгебр кольца С(Х). В настоящей работе мы решили задачу определяемости произвольного хьюиттовского пространства X решеткой всех подалгебр как полукольца С+(Х), так и полукольца С^(Х) (теорема 4). Сама задача была поставлена более 10 лет тому назад (см. [4]). Из этого результата следует определяемость каждого из полуколец С+(Х) и С^(Х) решеткой их подалгебр (теорема 5). В доказательстве основной теоремы 4 применяется оригинальная техника однопорожденных подалгебр, решеточная характеризация которых дана в теореме 1.
Полученные результаты доложены и анонсированы в [6].
1. Предварительые сведения
Пусть X — произвольное топологическое пространство и М+ — множество всех неотрицательных действительных чисел. Множество всех непрерывных неотрицательных функций на X с поточечными операциями сложения и умножения функций образует аддитивно сократимое полукольцо С+(Х). На множестве С+(Х) существует также операция
V:
(/ V 9)(х) — max{/(x), g(x)} для всех х е X.
Относительно поточечных операций max-сложения и обычного умножения множество С+(Х) становится аддитивно идемпотентным полукольцом CV(X). Подалгеброй в полукольце С+(Х) или CV(X) называется произвольное его подполу кольцо, выдерживающее умножение на числа (константы) из М+. Простейшими примерами подалгебр служат нулевая подалгебра 0, подалгебра констант М+ идеалы полукольца С+(Х) или СУ(Х).
Обозначим через А+(Х) (AV(X)) решетку всех подалгебр полукольца С+(Х) (соответственно, CV(X)) относительно включения С. Через А(Х) будем обозначать любую из решеток А+(Х), AW(X). Решетка А(Х) является алгебраической, то есть полной компактно порожденной решеткой [8, стр.111]. Символ С всегда означает строгое включение. Решеточными операциями в А+(Х) служат АпВ и А\/В — А-\-В-\-АВ для всех А, В е А+(Х), где АВ — {конечная сумма ^ : fi е A, gi е 5}, а в решетке AV(X): АпБ и AV5 = AVBVAB для любых А, Б е где = {точная верхняя грань конечного числа функций \/ /¿^: fi G A, gi G 5}. 2 Минимальные (ненулевые) подалгебры в С+(Х) или CV(X) — это атомы решетки Отметим, что решетки А+(Х) и
AV(X) не обязаны совпадать как множества (см. [10]).
Хаусдорфово пространство X называется тихоновским, если для любого замкнутого множества V С X я любой точки х G X\V найдется функция Л G С+(Х) такая, что А (У) = {0} и А (я) = 1. Тихоновские пространства — это, с точностью до гомеоморфизма, подпространства тихоновских степеней числовой прямой М. Топологическое пространство X называется хъюиттовским, если оно гомеоморфно замкнутому подпространству некоторой тихоновской степени пространства R. Известно [13, теоремы 3.9 и 8.7], что для произвольного топологического пространства X существуют тихоновское пространство тХ и хьюиттов-ское пространство vtX, для которых канонически изоморфны кольца С{Х), С(тХ) и С{утХ\ а, значит, и изоморфны соответствующие им полукольца С+(Х) и С+(итХ), Су (X) и Cy{vrX).
Говорят, что полукольцо С+(Х) (хъюиттовское пространство X) определяется решеткой А+(Х), если для любого (хьюиттовского) топологического пространства Y изоморфность решеток А+(Х) и A+(Y)
1 Подалгебра констант МУ полукольца Cv (X), совпадающая как множество с М+, всюду обозначается через М+. Это не повлечет недоразумений.
2 Символ V в зависимости от контекста обозначает либо точную верхнюю грань подалгебр, либо точную верхнюю грань функций.
влечет изоморфность полуколец С+(Х) и (гомеоморфность про-
странств X и Y)3.
Множества Z(/) = {х G X: /(ж) = 0} и coz/ = X\Z(f)J G С(Х), называются нуль-множеством и конуль-множеством соответственно. Ключевую роль в работе играют однопорожденные подалгебры. Наименьшую подалгебру A G содержащую функцию / G
С+(Х), назовем однопорожденной и обозначим (/). Она состоит из всевозможных многочленов от / без свободных членов с коэффициентами из М+ (в Cw (X) многочленами от / являются функции вида а0 V ai/ V ... V anfn, а0, аь ..., an G М+). Докажем технически важную лемму.
Лемма 1. Для функции f G С+(Х)\М+ такой, что 1 G im/; верны следующие утверждения:
А. Пусть
/ + г = ai/ + ... + an/n, г, ai,..., an G M+, an > 0, n ^ 2.
Тогда / = 1 при r > 0 и im / = {0,1} при r = 0; Б. Пусть
f = ai/ V ... V an/n, ab ..., an G M+, an > 0, n ^ 2. Тогда a\ — l или im / = {0,1}.
Доказательство. А. Легко выводится из правила знаков Декарта [9, стр. 249].
Б. Допустим ai ф 1 и im/ ф {0,1}. Тогда, учитывая 1 G im/, получаем
ai < 1, a2 V ... V an — 1.
Откуда
«i/ V ... V anfn < f
при 0 < / < 1, и a^ = 1 при некотором 1 < к ^ п. Последнее означает, что
«i/ V ... V an/n > /
при / > 1. Значит, / = 1, что противоречит выбору функции /. □
Аналогично [3, лемма 1] устроены минимальные подалгебры в С+(Х) и CV(X), то есть атомы решеток А+(Х) и AV(X).
3 Аналогично для полуколец CV(X).
Лемма 2. Подалгебра А Е А(Х) минимальна А = еМ+ для некоторого ненулевого идемпотента е Е С+(Х).
Доказательство. Очевидно, что подалгебры еМ+, где е / 0 и е2 = е G С+(Х), минимальны. Предположим, что А — минимальная подалгебра на X. Возьмем ненулевую функцию / Е А и рассмотрим подалгебру (/2). Тогда А = (/2) и / = /2д для подходящего многочлена g от / с коэффициентами из М+. Положив е = Jj G 4, имеем Z(e) = Z(/) и е = 1 на coz /. Следовательно, е2 = е и А = еМ+. □
Лемма 3. А. Для любых различных минимальных подалгебр А, В Е подалгебра А У В включает в себя в точности две или
три минимальные подалгебры из А+(Х).
Б. Для любых различных минимальных подалгебр А, В Е Ау (X) подалгебра А У В включает в себя в точности две,три или четыре минимальные подалгебры из Ау (X).
Доказательство. Поскольку А и В — различные минимальные подалгебры из А(Х), то согласно лемме 2 имеем А = eiR+ и В — в2М+, где е\ и в2 — различные ненулевые идемпотенты из С+(Х). Если cozei С coze2 или coz 62 С coz ei, то подалгебра А У В включает в точности две минимальные подалгебры eiR+ и в2М+.
Если cozei П coze2 = 0, то три минимальные подалгебры:
A. eiM+, е2М+, (ег + е2)М+;
Б. eiM+, е2М+, (ег Ve2)M+.
Наконец, в случае cozei П coze2 ф 0, cozei ^ coze2, coze2 ^ cozei имеем три или четыре минимальные подалгебры:
A. eiM+, е2М+, еге2Ж+;
Б. eiM+, е2М+, eie2M+, (ег У е2)М+. □
Следствие 1. Минимальная подалгебра А Е А(Х) совпадает с М+ для любой минимальной подалгебры В Е А(Х), отличной от А, подалгебра А У В содержит ровно две минимальные подалгебры из А(Х). Значит, подалгебра констант М+ решететочно выделяется в А(Х). □
Заметим, что подалгебра констант R не обязана выделяться в решетке всех подалгебр кольца С(Х) (см. [3]).
Напомним определения V-неразложимого (см. [8, стр. 75]) и компактного элементов решетки (см. [8, стр. 110]). Элемент А решетки L называется V-неразложимым, если из того, что А — ВУС для В,С g L,
следует А — В или А — С. Элемент А полной решетки называется компактным, если для любого непустого семейства (А^^ ее элементов А ^ А^ влечет А ^ А^ для некоторого конечного подмножества
I С J. Очевидно, в решетке А{Х) компактность элемента А равносильна его конечнопорожденности.
Решеточное описание однопорожденных подалгебр дает
Теорема 1. Однопорожденные подалгебры из А(Х) — это в точности У-неразложимые компактные элементы решетки А(Х).
Доказательство. Пусть (/) = АУВ, где А, Р Е А(Х) и А, В С (/). Очевидно, функция / не может быть мультипликативным идемпотентом. Не ограничивая общности, можно считать, что 1 Е Ш1 /. Элементами подалгебр А и В служат многочлены не ниже второй степени от / с неотрицательными коэффициентами без свободного члена.
А. Случай А(Х) = А+(Х). Функция / как элемент А\/ В имеет вид
/ = сц/ + ... + ап/п, аь ..., ап Е М+, ап > 0, п ^ 2.
Согласно лемме 1 имеем т/ = {0,1}, что невозможно. Значит, подалгебра (/) — \/-неразложима в А+(Х).
Б. Случай А(Х) = (X). Функция / как элемент А\/ В имеет вид
/ = р0(Я V (2о(.П V Р1(/Ш/) V... V Рто(/Ш/),
где — многочлены не ниже второй степени с коэффициентами
из М+ без свободных членов. Поскольку многочлен
будучи не нулевым, не содержит монома первой степени и не является мультипликативным идемпотентом, то согласно лемме 1
Следовательно, многочлен Р0 или Со отличен от нулевого и содержит моном /. Не ограничивая общности, можно считать, что
Д)(/) = / V а2/2 V ... V ап/п, а2,..., ап Е М+, ап > 0, п ^ 2.
Очевидно, Р0(/) ^ /• Поскольку Р0(/) Ф /, то Р0(/(х0)) > /(ж0) в некоторой точке Хо Е X. Противоречие.
Компактность подалгебры (/) очевидна. Для завершения доказательства осталось заметить, что если любая система образующих ко-нечнопорожденной подалгебры содержит больше одного элемента, то такая подалгебра \/-разложима. □
2. Подалгебры специального типа
Подалгебру А Е А(Х) назовем:
— ер-подалгеброй, если любая ненулевая функция / Е Л строго положительна, то есть тГ / > 0;
— Ъ-подалгеброй, если все ее функции ограничены сверху;
— и-подалгеброй, если нуль-множества всех ее ненулевых функций пустые;
— г-подалгеброй, если каждая ее функция имеет непустое нульмножество.
Ясно, что все йр-подалгебры являются и-подалгебрами, а в случае компакта X (то есть компактного хаусдорфова пространства) верно и обратное, при этом все подалгебры будут Ь-подалгебрами.
Заметим также, что подалгебра А Е А(Х) обладает свойством Р (быть йр-, Ь-, и- или г-подалгеброй) тогда и только тогда, когда любая (/) С А обладает свойством Р. Подалгебра констант М+ является йр-, Ь- и и-подалгеброй, но не является г-подалгеброй. Поэтому для решеточной характеризации йр-, Ь-, и- или г-подалгебр в А(Х) можно ограничится однопорожденными подалгебрами, отличными от М+. С этого момента пространство X считаем тихоновским.
Утверждение 1. А. Для произвольной функции / Е С+(Х)\М+
(/) — зр-подалгебра (/) С (д) V М+ и (/) ^ (д)
для некоторой подалгебры (д).
Б. Для произвольной функции / Е СУ(Х)\М+
(/) ~~ зр-подалгебра (/) С (д\) V
для некоторых подалгебр (д\) и {Н\) таких, что
Ы С (д) V К+, (91) £ (д), </»!> С </»> V К+, (Ь) £ {К) (2.1)
для некоторых подалгебр (д) и (к).
Доказательство. А. Пусть тГ / > 0. Можно считать, что / > 1 и 1 Е т/. Тогда подалгебра (д), порожденная функцией д — / — 1, будет искомой. В самом деле, включение (/) С (д) \/М+ очевидно, а по лемме 1
(/) £ (д)-
Обратно, пусть (/) С (д) V М+. Тогда / = д\ + г для некоторой функции дх Е (д) и числа г ^ 0. Поскольку (/) ^ (д), то г > 0. Значит, (/) ~~ яр-подалгебра.
Б. Пусть (/) — йр-подалгебра, отличная от М+. Можно считать, что / > 1. Выберем точки г/о £ X и числа а, 6, с £ М+ такие, что
а < /Оо) < Ь < ¡(у0) < с.
Тогда множества
Л = ¡(х) <£ (о, 6)}, В = {хеХ: ¡(х) ф (Ь, с)}
будут непустыми и замкнутыми. Воспользуемся тем, что пространство X — тихоновское и рассмотрим пару функций Ха^в € С^(Х) таких, что
(А^ 1; Г .В —>■ 1;
Ал: < ->■ 0; Ав: < у0 ->■ 0; ( Ал < 1; [ Ав < 1.
Положим
Л = /АЛ, р = /Ав, /11 =/Ал VI, 01 = /АвУ1.
Тогда для функций /г, /гх, <7 и ¿/х верны включения 2.1. В самом деле, справедливость включений
Ы с (Ь) С (/г)У1+
следует из способа задания функций дг и поскольку ^(хо) = 5*1 (Уо) = 1, но /гОо) = = 0, то
Осталось заметить, что / = V /гх. Обратно, пусть / = V /гх. Тогда
/ = РоЫ V <Эо(Лх) V ^1(^1)^1(^1) V... V Р^Ш/гО,
где Рг^г — многочлены с неотрицательными коэффициентами и без свободных членов. Включения 2.1 показывают, что (¿/х) и (/гх) — вр-подалгебры. Поскольку / ф 0, то хотя бы одна из функций Р0(б/х), <Эо(Лх), Р1 (^1)^1(^1),. ••, РпЫЯп^г) отлична от нулевой, а, значит, строго положительная. Следовательно, (/) — йр-подалгебра. □
Получим описание однопорожденных Ь-подалгебр.
Утверждение 2. А. Для произвольной функции f е С+(Х)\М+
(/) - Ъ-подалгебра ^^ М+ С (/) V (д)
для некоторой ер-подалгебры (д) ф М+.
Б. Для произвольной функции f е CV(X)\M+ подалгебра (/) является Ь-подалгеброй для любой ненулевой ер-подалгебры (д) С (/) V М+ найдется ер-подалгебра (h) ф М+ такая, что М+ С (д) V (Л).
Доказательство. А. Пусть (/) — b-подалгебра. Можно считать, что
/ < 1. Положим g = 1 - /. Тогда М+ С (/) V (д) и (#) ф М+, так как /¿R+
Обратно, пусть Е+ С (/} V (д) для некоторой sp-подалгебры (д) ф R+. Тогда
1 = Р0(/) + ^оЫ + Pi(f)Qi(g) + ■ ■ ■ + Pntf)Qn(g),
где Pi, Qj — многочлены с неотрицательными коэффициентами и без свободных членов. Предположим, sup / = +оо. Тогда Р0 = 0. Далее, поскольку д £ М+, то PiQi ф 0 для некоторого г ^ 1. Откуда с учетом infg > 0 имеем supP^Qz = +оо, что невозможно. Значит, (/) — Ь-подалгебра.
Б. Пусть (/) — b-подалгебра. Если (д) = М+, то М+ С (д) V (h) для любой sp-подалгебры (h) Ф М+. В случае, когда (д) ф М+ достаточно положить h = g-1.
Обратно, включение М+ С (д) V (/¿) означает, что
1 = Ро(д) V QoW V v ... v Pn(g)Qn(h),
где Pi и Qi — многочлены с неотрицательными коэффициентами и без свободных членов. Допустим, (д) — не b-подалгебра. Тогда функция Pi(g) — либо нулевая, либо неограничена сверху. Поэтому функция Ро(д) необходимо нулевая. Так как (h) Ф М+, то функция Pj(g)Qj(h) — ненулевая для некоторого 1 ^ j ^ п. Но (h) — sp-подалгебра, поэтому функция Pj(g)Qj(h) неограничена сверху. Противоречие. Значит, все sp-подалгебры в (/) VR+ являются b-подалгебрами. А это возможно лишь тогда, когда (/) — Ь-подалгебра. □
Итак, решеточно охарактеризованы sp- и Ь-подалгебры (/). Опишем z-подалгебры (/).
Утверждение 3. А. Для любой функции / е С+(Х)\М+, inf / = 0 (/) - z-подалгебра ^^ М+ £ (/) V (д)
для произвольной не b-подалгебры (д).
Б. Для любой функции f Е CV(X)\M+, inf / = О
(/) — z-подалгебра включение М+ С (/) V (д)
означает, что (д) — Ъ-подалгебра.
Доказательство. А. Пусть (/) — z-подалгебра и М+ ^ (/) V (д). Тогда
1 = Р0(Я + Qo(g) + Pi(f)Qi(g) + ■ ■ ■ + Pn(f)Qn(g),
где Pi,Qj — многочлены с неотрицательными коэффициентами и без свободных членов. Откуда для произвольной точки х0 £ Z(/) получаем
1 = (Р0(Я + QoG/) + Pi(f)Qi(g) + ■ ■ ■ + Pntf)Qn(g)) Ы = Q0(g)(x0).
Следовательно, Qq ф 0 и supg < +ос.
Обратно, пусть / > 0. Тогда функция д — /_1 Е С+(Х) — неограниченная сверху в силу inf / = 0 и М+ С (/) V (д), что противоречит условию. Значит, (/) — z-подалгебра.
Б. Пусть (/) — z-подалгебра и х0 Е Z(/). Включение М+ С (/) V (</) означает, что
1 = Р0(/) V д0Ы V PxU)QM V • • • V р„(/)д„ы,
где Pi ж Qi — многочлены с неотрицательными коэффициентами и без свободных членов. Так как
(Po(f) v Qo{g) V PiU)QM V • • • V Р„(/)д„Ы) Ы = Q0{g)(x0) = 1,
то многочлен Qq отличен от нулевого. Следовательно, функция д ограничена сверху, то есть (д) — Ь-подалгебра.
Обратно, если функция / всюду положительна, то, принимая во внимание inf / = 0, получаем, что подалгебра (д) = (/-1) — не Ь-подалгебра, хотя М+ С (/) V (д). Противоречие. Значит, Z(/) ф то есть (/) — z-подалгебра. □
Утверждение 4. Для однопорожденной подалебры (/) Е А(Х) (/) — и-подалгебра (/) — не z-подалгебра .
□
Итогом предложений 1-4 служит принципиально важная
Теорема 2. Свойства подалгебры решетки А{Х) быть sp-nod-алгеброй, Ь-подалгеброй, и-подалгеброй или z-подалгеброй являются решеточными. □
3. Определяемость
С каждой точкой х Е X естественным образом связана подалгебра
мх = Це с+(х): /(х) = 0} е А+(Х)
всех функций из С+(Х), равных нулю в этой точке. Подалгебра Мх \/М+ образована всеми функциями С+(Х), принимающих в точке х наименьшее значение. Для полукольца СУ(Х) множество функций Мх также образует подалгебру.
Дадим решеточное описание подалгебр вида Мх для компакта X.
Теорема 3. Пусть X — компакт. Тогда подалгебра А Е А(Х) имеет вид Мх для некоторой точки х Е X А — максимальная г-подалгебра.
Доказательство. Пусть А — максимальная г-подалгебра решетки А(Х). Докажем существование точки х Е X, в которой все функции из А обращаются в нуль. Предположим противное, то есть для каждой точки х Е X существует функция /х Е А такая, что > 0. Тогда и в
некоторой открытой окрестности Ух точки х функция /х будет положительна. Открытые множества вида Ух покрывают компакт X. Поэтому найдется конечное число точек х, у,..., г в X такое, что множества Ух,Уу,...,Уг будут также покрывать X. Функции + /у + ... + ¡г Е С+(Х) и /ж V V ... V Д Е Су (X) строго положительны на X и по крайне мере одна из них лежит в А, что невозможно. Пусть х — точка, в которой все функции из А обращаются в нуль. Поскольку А — максимальная г-подалгебра, то А = Мх. □
Из теоремы 3 с учетом теоремы 1 получаем
Следствие 2. Пусть X — компакт. Тогда любая г-подалгебра содержится в некоторой подалгебре Мж, х Е X. □
С этого момента считаем топологическое пространство X — хьюит-товским, то есть X = утХ. Пусть /ЗХ — стоун-чеховская компактифи-кация хьюиттовского пространства X. Принимая во внимание компак-тификационную теорему (см. [13, стр. 86]), получаем, что множество всех ограниченных функций полукольца С+(Х) образует Ь-подалгебру 6С+(Х), канонически изоморфную М+-алгебре С+(/ЗХ). Поэтому решетка ЬА^(Х) всех подалгебр полукольца 6С+(Х) канонически изоморфна решетке А+(/ЗХ). Поскольку полукольца С+(Х) и СУ(Х) совпадают как множества, то Ь-подалгебра ЪСУ {X) канонически изоморфна
М+-алгебре Су (/ЗХ). Значит, решетка ЬАУ (X) всех подалгебр полукольца ЪСУ(X) канонически изоморфна решетке Ау (¡ЗХ).
Совпадение полуколец ЬС+(Х) и ЪСУ (X) как множеств в дальнейших рассуждениях используется без дополнительных оговорок.
Лемма 4. Точка х Е /ЗХ лежит в X прообраз подалгебры Мх V М+ Е А((ЗХ) при каноническом изоморфизме решетки ЪА(Х) на решетку А((ЗХ) не содержит одноророжденной не вр, и-подалгебры.
Доказательство. Если х Е X, то прообразом подалгебры Мх V М+ Е А([ЗХ) при каноническом изоморфизме решетки ЪА(Х) на решетку А{РХ) служит подалгебра (Мх V М+) П ЬС+(Х).
Пусть х Е /ЗХ\Х. Тогда согласно [11, теорема 3.11.10] найдется функция / Е С+(/ЗХ) такая, что /(х) = 0 и / > 0 на X. Значит, прообраз подалгебры Мх V М+ Е А((ЗХ) при каноническом изоморфизме решетки ЬА(Х) на решетку А((ЗХ) содержит не йр, и-подалгебру
[/ы- □
Теорема 4. Всякое хьюиттовское пространство X определяется каждой из решеток А+(Х) и Ау (X).
Доказательство. Пусть для произвольных хьюиттовских пространств X и У имеется изоморфизм а решетки А(Х) на решетку А(У). По теореме 2 а изоморфно отображает решетку ЬА(Х) на решетку ЬА(У). Если фх и Фу — канонические изоморфизмы решеток ЬА(Х) и ЬА(У) на А(/ЗХ) и А((ЗУ) соответственно, то отображение 7 = фу Фх1 является изоморфизмом решеток А((ЗХ)) и А((ЗУ). Тогда соответствие
ф{х) = у ^^ 7 (Мх V М+) =МуУМ+ для любых х Е (ЗХ и у Е (ЗУ
согласно следствию 2 будет биекцией пространства /ЗХ на пространство /ЗУ.
Докажем, что (р — гомеоморфизм. Покажем, что (р сохраняет нульмножества. Для этого возьмем произвольную функцию / Е С+(/ЗХ). Тогда 7([/]) = [д] для некоторой д Е С+(/ЗУ) и
ср ^(¡)) = ср ({х Е (ЗХ: [/] — г-подалгебра из Мх V М+}) =
= {у Е ¡ЗУ: [д] — г-подалгебра из Му V М+} = 2(д).
Точно также показывается, что (р~г сохраняет нуль-множества. Поскольку нуль-множества образуют базу замкнутых множеств в любом тихоновском пространстве, то (р — гомеоморфизм пространств /ЗХ и ¡ЗУ. По лемме 4 ограничение ср\х гомеоморфно отображает X на У. □
Из теоремы 4 аналогично [3, теорема 2] выводится
Теорема 5. Для произвольных топологических пространств X и У эквивалентны следующие утверждения:
1. А+(Х) ^А+(У);
2. С+(Х)^С+(У);
3. АУ(Х) ^ Ау(У);
I СУ{Х) ^Су{У). □
Литература
1. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С. 493-510.
2. Вечтомов Е.М. Вопросы определяемостп топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 28. М.: ВИНИТИ. 1990. С. 3-46.
3. Вечтомов Е.М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства // Математические заметки. 1997. Т. 62. № 5. С. 687-693.
4. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. Киров: ВятГПУ, 2000.
5. Вечтомов Е.М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. С. 57-64.
6. Вечтомов Е.М., Сидоров В.В. О решеточном изоморфизме полуколец непрерывных функций // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции. Новосибирск: Математический институт им. C.JI. Соболева. ИГУ. 2009. С. 113.
7. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Доклады АН СССР. 1939. Т. 22. № 1. С. 11-15.
8. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Физматлит, 2000.
10. Сидоров В.В. Об условиях совпадения идеалов и тах-идеалов в полукольце непрерывных функций // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. № 10. С. 89-92.
11. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
12. Artamonova I.I., Chermnykh V.V., Mikhalev A.V., Varankina V.I., Vechtomov E.M. Semirings: sheaves and continuous functions / / Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Petersburg, 1999. P. 23-58.
13. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N.J.: Springer-Verlag, 1976.
14. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions. I // Transactions of the American Mathematical Society. 1948. Vol. 64- № 1• P• 45-99.
Summary
Vechtomov E.M., Sidorov V.V. On difinability of semirings of continuous functions by their subalgebra lattice
It is solved the problem of semirings of continuous functions difinability by their subalgebra lattice. Namely, it is proved that an isomorphism of lattices of all subalgebras of semirings of continuous nonnegative functions over arbitrary topological spaces implies an isomorphism of semirings of continuous functions.
Вятский государственный гуманитарный университет
Поступила 11.02.10
