Конгруэнции и гомоморфизмы абелево-регулярных положительных полуколец Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОЛОДЫЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ

О. В. Старостина

КОНГРУЭНЦИИ И ГОМОМОРФИЗМЫ АБЕЛЕВО-РЕГУМРНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПОЛУКОЛЕЦ

Получено описание конгруэнций и гомоморфизмов произвольных абелево-регулярных положительных полуколец.

1. Введение

Алгебра <S, + , ■, 0, 1> называется полукольцом, если <S, +, 0> - коммутативный моноид, <S, ■, 1> - моноид, 1 * 0, выполняются законы дистрибутивности умножения относительно сложения и тождество 0-x = x-0 = 0. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом. Если в нем выкинуть нуль, то получится полутело без нуля.

Полукольцо S называется абелево-регулярным положительным, или arp-полукольцом, если S -абелево-регулярное (т. е. для любого aeS найдется такой элемент xeS, что axa = a и каждый его идемпотент e коммутирует с любым элементом из S) и положительное полукольцо (т. е. для любого элемента aeS элемент а + 1 обратим в S).

Этот класс полуколец введен в работе [1], где была развита структурная теория arp-полуколец.

Относительно операций сложения + и умножения ■ в S множество всех обратимых элементов U(S) полукольца S образует полутело без нуля. А относительно умножения ■ полукольца S и сложения V множество всех идемпотентов L(S) является дистрибутивной решеткой с 0 и 1. При этом операция сложения V определяется следующим образом: каждый элемент a arp-полукольца S представляется в виде произведения a = e^u обратимого элемента ueU(S) и однозначно определенного идемпотента eaeL(S) [1, предложение 2.1], поэтому полагают f V g = ef+g.

Для каждого arp-полукольца S также рассматриваются решеточный антигомоморфизм nS : L(S) ^ ConU(S), сопоставляющий каждому идемпотенту eeL(S) конгруэнцию n(e) [1]:

uç(e)v ] eu = ev, u, veU(S), и решеточный гомоморфизм RS : L(S) ^ ConU(S), e ^ R(e), сохраняющий 0 и 1:

СТАРОСТИНА Ольга Валентиновна - аспирант ка-

^едры алгебры и геометрии ВятГГУ Старостина О. В., 2005

иф{е)у ] и + ех = V + еу для некоторых х, уеи(5).

При этом для каждого идемпотента ееЬ(5) конгруэнции р(е) и ф(е) дополняют друг друга, т. е. #(е) °р(е) = 1 и ^(е)пр(е) = 0 [2].

Кроме того, конгруэнции р(е) и ф(е) являются дистрибутивными и стандартными элементами в модулярной решетке Сопи(5), т. е. для р(е) и любых конгруэнций г, г2еСопи(5) имеют места равенства

р(е) °(г1пГ2) = (п(е) ог^р^^

и Г1п(П(е) °гг) = (ГпП(е)) ° (^1п^2).

Соответствующие равенства выполняются и для конгруэнции ф(е).

Абстрактная тройка <Ь, и, р>, состоящая из ограниченной дистрибутивной решетки Ь, полутела без нуля и и решеточного антигомоморфизма р: Ь 6 Сопи, переводящего 0 в 1 и 1 в 0, которая соответствует некоторому агр-полу-кольцу 5, называется индуцированной. Можно также рассматривать абстрактную тройку вида <Ь, и, ф>, которую также назовем индуцированной, если она соответствует некоторому агр-по-лукольцу.

Установлено, что абстрактная тройка <Ь, и, р> (или <Ь, и, ^>) является индуцированной тогда и только тогда, когда все элементы р(Ь) ($(Ь)) дополняемы в Сопи. И два произвольных агр-полукольца изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их индуцированные тройки (см. [1, 2]).

Операции в произвольном агр-полукольце 5 сводятся к операциям над элементами дистрибутивной решетки Ь(5) и полутела без нуля и(5) следующим образом: для любых е, /еЬ(5), и, veU(S)

(еи)/) = е/т и еи + (V = (е V /)и, где обратимый элемент и однозначно определяется соотношениями

ир(е/)(и + V), и(р(е)°^(/))и, и(р(/)°^(е)^.

Итак, с каждым агр-полукольцом можно связать тройку <Ь(5), и(5), р8>, или <Ь(5), и(5), и вести изучение агр-полуколец в терминах таких троек.

2. Конгруэнции на агр-полукольцах

В [1, §4] было изучено строение конгруэнций на предбулевых полукольцах и доказано, что существует биекция между множеством всех кон-груэнций р на предбулевом полукольце 5 и множеством всех согласованных пар (с, г) конгру-

энций на Ь(5) и и(5). В данной статье этот результат распространен на произвольные агр-по-лукольца.

Напомним, что агр-полукольцо 5 называется предбулевым, если для каждого идемпотента ееЬ(5) найдется такой идемпотент е1еЬ(5), что для любых двух обратимых элементов и, юеи(5) существует единственный обратимый элемент юеЩ5), удовлетворяющий равенствам еи = ею и е^ю = е;ю. Предбулевость полукольца 5 равносильна тому, что является булевой подре-шеткой в решетке Сопи.

Предложение 1. Пусть р - произвольная конгруэнция на агр-полукольце 5, о = р^« и т = р|[7(5)- Тогда о и т - конгруэнции на Ь(5) и и(5) соответственно, и для любых е, /еЬ(5), и, юеЩ5) выполняются условия:

1) (еи)р(/ю) ] ео/ и и(т °п(е))ю;

2) ео/ ^ т °п(е) = т °п(/)-

Доказательство. Очевидно, что т является конгруэнцией на полутеле и(5) и отношение эквивалентности о сохраняет операцию умножения в ¿(5). Ниже будет показано, что ео/ влечет (е V ^)о(/ V ,§■), е, /, g е ¿(5), а значит, о является конгруэнцией на ¿(5).

Пусть (еи)р(/ю). Тогда ер/(юи-1) и ер/(юи"1)1. Откуда /(юи'1)р/(юи'1)1, или /р/(юи-1). Из имеющихся соотношений ер/(юи^ и /р/(юи^ следует ер/, что эквивалентно соотношению ео/. Тогда (е + g)р(f + g), или (е V g)uр(/ V g)v для некоторых элементов и, V е и(5). Откуда (е V g)оf V g).

Пусть (еи)р(/ю), тогда по доказанному /ре, а значит, (/ю)р(ею) и (еи)р(ею). Прибавим к обеим частям последнего соотношения элементы и и V, получим соответственно и(е + 1)р(ею + и) и (еи + ю)р(е + 1)ю. Откуда

ир(ею + и)(е + 1)"1 и 1р(е + 1)(еи + ю)" 1ю, так как е + 1 коммутирует с любым обратимым элементом полукольца 5. Перемножим почленно два последних соотношения ир(ею + и)(еи + ю)" 1ю и заметим, что

е(ею + и)(еи + ю)" 1ю = е(ю + еи)(еи + ю)" 1ю = ею. Значит, ир(ею + и)(еи + ю)" 1юп(е)ю, или и(т°п(е))ю.

Обратно, если ео/ и и(т°п(е))ю, то для некоторого х е и(5) имеем итх, хф(е)ю, ер/и ирх. Тогда (еи)р(ех), ех = ею и (ею)р(/ю). Откуда (еи)р(/ю).

Утверждение (2) следует из (1), поскольку если ео/, то условие и(т°п(е))ю равносильно (еи)р(/ю), а оно, в свою очередь, равносильно и(т °п(/))ю.

Пусть о - конгруэнция на дистрибутивной решетке Ь(5) и т - конгруэнция на полутеле и(5). Пара конгруэнций (о; т) называется согласованной, если она удовлетворяет условию: ео/ ^ т°п(е) = т °п(/).

Замечание 1. Так как в интервале [т; 1] любая конгруэнция решетки Сопи(5) имеет не более одного дополнения [3], то условие

r°n(e) = J °n(/) равносильно равенству j °R(e) = j °R(/). Поэтому пара конгруэнций (о; j) является согласованной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию го/ y j °R(e) = j °R(/).

Лемма. j °n(e) = J °n(/) ] (n(г) °n(f)n nR(e) °R(/))=r.

Доказательство. Пусть j °п(г) = J °n(/), тогда j °n(e) °n(/) = J °n(/) и согласно замечанию j °R(e) = j °R(/), J °R^) °R(/) = J °R(/). Откуда j °(n(e) °n(/)nR(e)°R(/)) = j °n(e) °n(/)n J °R(e) °R/) = = j °n(/)nj ° R(/) = J. А это означает, что (n( г) °n(/)nR(e)°R(/))cJ.

Обратно, если (n(e) °n(/)nR(e)°R(/))c j, то j°n(e) °n(/) = J°n(e) °(n(e) °n(/)nfi(e) °R(/))c j°п(г). Откуда j °n(e) °n(/) = J °n(/). Аналогично доказывается, что J°n(e) °n(/) = J °n(/). Значит,

j °n(e) = J °n(/).

Из леммы следует, что конгруэнции полутела U(S), согласованные с фиксированной конгруэнцией oeConL(S), - это в точности те конгруэнции, которые находятся в интервале [Jmin; 1], где наименьшая конгруэнция Jmin полутела U(S) равна Jmin = e^f (П(г) °n(/)nR(e) °R(/)). В частости

если L(S) - булева решетка, то Jmin = ^ R(e),

так как n(e) °n(/)nR(e)°R(/) = (n(e)nR(/)) ° °(П (/)n R (г)) = (R(г')nR(f))°(R(f)nR(г)) = =R(e '/V г/), а для любых г, /eL(S) таких, что го/, г ' / V г/'е[0]а, и для любого идемпотента ee[0]o. e'-0 V el = e.

Если фиксирована конгруэнция j на полутеле U(S), то все конгруэнции oeConL(S), согласованные с j, совпадают с конгруэнциями из интервала [0; о ] и наибольшая согласованная с ней

L 7 maxJ

конгруэнция FmaxeConL(S) задается формулой:

eFmaxf] J°n(e)ma^ J0П(/).

Предложение 2. Пусть S - arp-полукольцо, и (о; j) - произвольная согласованная пара конгруэнций на L(S) и U(S). Бинарное отношение р на S, заданное формулой

(eu)p(fv) ] ecf и u(j°n(e))v, (1)

является конгруэнцией на полукольце S, при этом

p\L{S) = c и p\u{S) = J.

Доказательство. В силу согласованности пары (о, j) отношение р определено корректно.

Рефлексивность и симметричность р очевидны. Докажем транзитивность р. Пусть (eu)p(fv) и (fv)p(gw), где e, f, geL(S) и u, v, weU(S). Тогда

u(j°n(f))v, v(j°n(f))u>, ecf и fog, причем, в силу согласованности (о; j), j °n(e) = J °n(f) = J °n(g). Откуда eog и u(j°n(e))w, и, следовательно, (eu)p(gw). Таким образом, p является отношением эквивалентности.

Отношение (eu)p(fv) влечет (eu-gz)p(fv■ gz), e, f, geL(S) и u, v, zeU(S). Действительно, если (eu)p(fv), то ecf и u(j°n(e))v. Откуда (eg)o(fg) и

(иг)(тор(е))№), и тем более (иг)(тор(е) on(g))(vz). Тогда по определению р имеем (еg■ uz)p(fg■vz).

Осталось показать, что р сохраняет операцию сложения, т. е. имеет место импликация (еи)р(/у) ^ (еи + gz)p(fv + gz). Пусть еи + gz = (е V g)w1 и ^ + gz = (f V g)w2, где обратимые элементы и &>2 удовлетворяют условиям: и(п(е)° z(ре))^1, (и + z)(p(eg)wl и v(p(f)оR(g))w2, ^п^УфЦ^ги^ (v + z)p(fg)w2. Надо показать, что ((е V g) ■ г^)р((/ V g)■ юг), т. е. (е V g)a(f V g) и ^(г °р(е V g))w2.

Очевидно, если eof, то (е V g)о(f V g). Кроме того, так как о - конгруэнция на решетке ¿(5) и (о; г) - согласованная пара конгруэнций, то ео(е/), ео(е V /) и г°р(е) = г°р(/) = г°р(е/) = г°р(е V /). Тогда в силу замечания г °^(е) = г 0^(/) = г о^(е/) = г °^(е V /).

Из соотношений ^(р(е) оВ^^))и, и(г °p(e))v, v(p(/) и равенства г °р(е) = г °р(е) °р(/)

вытекает ^(г °р(е) °R(g))w2. Аналогично, из ю1р (eg)(u + z), (и + z )(г° p(e))(v + z) и (v + z)p(fg)w2 получаем ^1(г°p(eg))w2. А из ^(р^) (e))z, z(p(g)о^(/))®2 и равенства г °^(е) = г °^(е) следует ^1(г °p(g) °ф(е))юг

Откуда ю1(г °р(е V g))w2, так как (г ор(е) ° (г °Р^Ь(г ор^)о ^(е)) =

= [г °р(е) о(^°:)пР^))]п[г °p(g) о(^(е)пр(е))]= = г °р(е)пг °p(g) = г °(р(е)пр(§)) = г °р(е Vg).

Покажем, что если для произвольной согласованной пары (о; г) построить конгруэнцию р по формуле (1), то р^ = о и = г. Действительно, upv ] (1 ■ и)р(1 ■ v) ] и(г°p(1))v ] иги, и ер/] (е- 1)р(/1) ] ео/.

Теорема 1. Отображение а : р 6 (р| ; р|[7(5)) является изоморфизмом решетки всех конгруэнций Соп5 атр-полукольца 5 на подрешетку всех согласованных пар конгруэнций на ¿(5) и и(5) решетки Соп^(5)хСопЦ"(5), более того, Соп5 является подпрямым произведением решеток СопЩ) и СопЩЗ) и а (0) = (0; 0), а (1) = (1; 1).

Доказательство. Несложно убедиться в том, что отображение а является биекцией между множеством всех конгруэнций атр-полукольца 5 и множеством всех согласованных пар конгру-энций на ¿(5) и и(5). Согласно предложению 1 пара (р^; р|и(5(), где р - конгруэнция атр-полукольца 5, является согласованной. Если ограничения на ¿(5) и и(5) двух конгруэнций р и

р 1 равны = ли = о и Н^) = лЦ = г, то

и сами конгруэнции равны. Действительно, отношение (еи)р/) равносильно по предложению 1 условиям ео/ и и(г °p(e))v, а они также равносильны (еи)р1(/и). Значит, рассматриваемое отображение всюду определено и инъективно. Сюръектив-ность отображения следует из предложения 2.

Если пары конгруэнций (а1; г1) и (о2; г2) согласованы, то (о1по2; г1пг2) и (о1Vо2; г1°г2) так-

же являются согласованными парами конгруэн-ций, т. е. 1та образует подрешетку в решетке СопД^хСопЦ"^). Согласованность пары конгруэнций (о1по2; г1пг2) очевидна. Пусть е(о1 V о/, или ео1е1о2е2о1ез...епо1/, где е.е£(5), /=1 ,..., п. Тогда в силу согласованности (о1; г1) и (о2; г2) имеем

г1 °Р(е) = гl°p(el), г2 °р(е^ = г2 °p(e2), г1 °р(е2) = г1 °р(е3), ..., г1 °р(еп) = г1 °р(/). Откуда

г1 °г2 °р(е) = г1 °г2 °р(е1) = г1 °г2 °р(е2) = ...

= г1 0 г2 0Р(еП) = г1 °г2 "РО^)

А это означает согласованность пары

(оlVо2; г10г2).

Из того, что для любых конгруэнций г0Сопи(5) и о0СопД5) пары (0; г) и (о; 1) являются согласованными, следует, что Соп5 - под-прямое произведение решеток Соп£(5) и Сопи(5).

Наконец, покажем, что биекция а является изоморфизмом. Пусть р1, р2 - произвольные конгруэнции атр-полукольца 5 и (о1; г1), (о2; г2) -их соответствующие согласованные пары кон-груэнций на ¿(5) и и(5). Очевидно, что = о1по2 и ^^Ц) = г1пг2. Убедимся в том, что = 0lV02 и ^М^) = г10г2.

Если е(р1 V р^ т. е. ер1(е1и1)р2(е2и2)р1(езиз)_

...(епип)р1/, где е.еЦ5), и.еи(5), г =1, ..., п, то по предложению 1 имеем ео1е1о2е2о1е3...епо1/, или е(о1 V о/. Обратно, если ео1е1о2е2о1ез...епо1/, где

е0Ц5), г =1, .. n, то ер 1е^2е2р 1ез...епр 1/ и

е(р1 V р2)/.

Пусть и(р1 V P2)v, т. е. ир1(е1и1)р2(е2и2)р1(езиз).

...(enun)p1v, где е.еЦ5), и.еи(5), г =1, ..., п. Тогда согласно предложению 1 иг1и1(г2 ор(е1))и2(г^1 о ор(е2))из.ор(еп)^, или в силу перестановочности конгруэнций в решетке СопЦ"(5) имеем и(г1о г2 о р(е1) о р(е2)о... о р(en))v. Кроме того, г1 = г1 оР(е1), г2 оР(е1) = г2 ор(е2) = г, ор(е1) оp(e2), г2оР(еп-1) = г2 оР(еп) = г2 0Р(en-1)оР(en), г1 ор(еп) = г1, откуда г1о г2 = г1ог2ор(е1) =

= г1ог2ор(е1) ор(е2) = ...= г1ог2ор(е1) ор(е2)о...°р(еп) и и^^г^. Обратно, иг1хг2и, хеЦ(5), означает ир1хр2и, или и(р1 V p2)v.

Следствие. Решетка конгруэнций Соп5 произвольного атр-полукольца 5 модулярна.

Доказательство. Из теоремы 1 и из того, что решетка конгруэнций СопД5) решетки ¿(5) дистрибутивна [4, с. 110], а решетка Сопи(5) полутела и(5) модулярна [1, с. 289], следует модулярность решетки конгруэнций Соп5.

Теорема 2. Решетка конгруэнций Соп5 атр-полукольца 5 дистрибутивна тогда и только тогда, когда решетка СопЩЗ) полутела и(5) дистрибутивна.

Доказательство. Если решетка Сопи(5) дистрибутивна, то из теоремы 1 вытекает дистрибутивность решетки конгруэнций Соп5.

Пусть решетка конгруэнций Соп5 атр-полукольца 5 дистрибутивна. В силу теоремы 1 она является подпрямым произведением

решеток ConL(S) и ConU(S). Поэтому решетка ConU(S) так же дистрибутивна, как гомоморфный образ решетки ConS.

3. Гомоморфизмы arp-полуколец

Изучение гомоморфизмов arp-полуколец было начато в статье [1], где установлено, что класс всех arp-полуколец замкнут относительно гомоморфных образов [1, предложение 2.4], и доказано, что соответствие S ^ <L(S), U(S), nS >, a 6 (a |од; a | ) осуществляет эквивалентность между категорией всех предбулевых полуколец и их строгих гомоморфизмов и категорией всевозможных предбулевых троек и их строгих мор-физмов [1, теорема 4.4].

Предполагается, что гомоморфизмы полуколец сохраняют 0 и 1. Гомоморфизм a : S ^ T arp-полуколец называется строгим, если для любого eeL(S) равенство nS(e) = p влечет ПТ(а (e)) = p для p = 0 или p = 1. Строгим мор-физмом троек <L, U, n> и <M, V, n0> называется пара ($, (), где $: L ^M - решеточный гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, у: U ^V - гомоморфизм полутел, при этом для любых eeL, u, veU из un(e)v следует y(u)n0($(e))y(v) и для каждого eeL(S) равенство n(e) = p влечет n0($(e)) = p при p = 0 или p = 1.

Однако не каждая пара гомоморфизмов ($, у) из произвольной тройки <L(S), U(S), nS> в тройку <L(T), U(T), nT>, удовлетворяющая перечисленным условиям, индуцирует гомоморфизм а полукольца S в полукольцо T. Это показывает следующий пример.

Пример. Рассмотрим множество

S = (Q+x Q0 )и{(0; 0)}, где Q+ - множество положительных рациональных чисел, Q0+ - множество неотрицательных рациональных чисел. Несложно убедиться в том, что множество S с покоординатно заданными обычными операциями сложения и умножения образует arp-полукольцо, идемпотентами которого являются элементы (0; 0), (1; 0) и (1; 1), а обратимыми элементами - (q1; q2), q, q2 e Q+. Множество всех обратимых элементов образует полутело без нуля U(S), а множество всех идемпотентов относительно поточечно определенной операции сложения max и умножения полукольца S образует трехэлементную цепь L(S). Зададим отображение a : S ^ S, полагая ( = а Ц: (q1; q2) ^ (qi; qi), $ = a | - тождественное отображение и a (eu) = $(e)y(u). Очевидно, что $ - решеточный гомоморфизм, ( - гомоморфизм полутела и для любых eeL(S), u, veU(S) выполняется условие eu = ev y $(e)((u) = $(e)y(v). Но a не является полукольцевым гомоморфизмом S, так как a (fc; q) + (1; 0)) = q + 1; q1 + 1) * q + 1; q) = a q) + a (1; 0^

Теорема 3. Отображение a : S ^ T является гомоморфизмом arp-по луко льца S в

атр-полукольцо Т тогда и только тогда, когда $ = а к(^) - решеточный гомоморфизм ¿(5) в Ь(Т), сохраняющий 0 и 1, у = а | - гомоморфизм полутела 17(5) в полутело и(Т) и для любых ееЦ5), и, уеи(5)

ир5(е)у у(и)Рт($(е))у(у) и иФ5(е)у ^ ((и)Ф т ($(е))у(у) причем а (еи) = $(е)у(и).

Доказательство. Необходимость. Достаточно доказать, что $ = а | - решеточный гомоморфизм ¿(5) в Ь(Т), остальные условия очевидны. Рассмотрим ядерную конгруэнцию р гомоморфизма а : (еи)р(/у) ] а (еи) = а (/у), е, /еЬ(3), и, уеи(5). По предложению 1 р|од = о - конгруэнция на ¿(5), при этом ео/ ] а (е) = а (/). Следовательно, а | - гомоморфизм решетки ¿(5) в решетку Ь(Т).

Достаточность. Пусть $: ¿(5) ^Ь(Т) - решеточный гомоморфизм и у: и(5) ^и(Т) - гомоморфизм полутел. Обозначим через о ядерную конгруэнцию $ (ео/ ] $(е) = $(/)), а через г ядерную конгруэнцию у (игу ] у(и) = у(у)). Зададим отображение а : 5 ^ Т, полагая а (еи) = $(е)у(и), ееД5), иеи(5). Отображение а определено корректно, так как если еи = /у, то е = /и ир((е)у, откуда $(е) = $(/), у(и)рт($(е))у(у) и а (еи) = $(е)у(и) = $(/)у(у) = а (/у).

Докажем, что $(е)у(и) = $(/)у(у) равносильно условиям ео/ и и(р((е)° г)у. Пусть $(е)у(и) = $(/)у(у), тогда $(е) = $(/) и у(и)рг($(е))у(у). Для некоторого элемента хеи(5) имеем ир5(е)х$5(е)у, а значит, у(и)рт($(е))у(х) и у(х)^т($(е))у(у). Откуда у(х)Рт($(е))у(у), у(х)$т($(е))у(у) и у(х) = у(у). Следовательно, ео/ и ир((е)хгу. Обратно, из ео/ и ир((е)хгу следует $(е) = $(А у(у) = у(х) и у(х)Рт($(е))у(и). Откуда $(е)у(и) = $(е)у(х) = $(е)у(у) =$(/)у(и).

Из доказанного следует, что ео/ влечет р((е)°г = р((/)°г. Значит, (о; г) - согласованная пара конгруэнций на ¿(5) и 17(5), и по ней однозначно строится конгруэнция р на атр-по-лукольце 5. Конгруэнция р совпадает с отношением равнообразности отображения а :

(еи)р(/у) ] ео/ и и(г°р((е))у ] $(е)у(и) = $(/)у(у) ] а (еи) = а (/у).

Следовательно, а : 5 ^ Т является гомоморфизмом атр-полукольца 5 в атр-полукольцо Т.

Замечание 2. Для каждой конгруэнции р(е)е1тр( дополнение ф(е) определяется однозначно. Поэтому если у: и(5) ^и(Т) - изоморфизм полутел, то ип ((е)у ] у(и)п т($(е))у(у) равносильно и$((е)у ] у(и)^т($(е))у(у). В самом деле, пусть ир((е)у ] у(и)рт($(е))у(у). Зададим на полутеле и(Т) бинарное отношение р, полагая ю1рюг ] и$((е)у, где у(и) = ю1 и у(у) = Отношение р определено корректно в силу инъек-тивности у и, очевидно, является конгруэнцией на и(Т). Покажем, что р является дополнением

Е. А. Счастливцева. Густав Шпет об объективности истории

рг($(е)), а значит, р = ^г($(е)). Пусть ((и), у^) -произвольные элементы полутела и(Т). Для некоторого хеи(5) выполняется ир5(е)х$5(е^, откуда у(и)рт($(е))у(х)ру^) и рг($(е)) ор = 1. Если у(и)рт($(е))у(р) и у(и)ру^), то ир5(е^, и^5(е^ и и = v, значит, рг($(е))пр = 0.

Рассмотрим абстрактную индуцированную тройку <Ь, и, р>, состоящую из ограниченной дистрибутивной решетки Ь, полутела без нуля и и решеточного антигомоморфизма р : ¿6 Сопи, переводящего 0 в 1 и 1 в 0. Известно, что абстрактная тройка и, р> является индуцированной тогда и только тогда, когда все элементы р^) дополняемы в Сопи (см. [1, 2]).

Морфизмом троек и, р> и <М, V, р0> назовем такую пару ($, у), состоящую из решеточного гомоморфизма $: Ь бМ, сохраняющего 0 и 1, и гомоморфизма полутел у: и 6 V, что для любых eеЬ, и, vеU ир(е^ ^ у(u)p0($(e))у(v) и ^ у(u)Ro($(e))У(v).

Из теоремы 3 вытекает

Теорема 4. Соответствие 5 6 <¿(5), и(5), р5>, а 6 (а |од; а | ) осуществляет эквивалентность между категорией всех атр-полуколец и их гомоморфизмов и категорией всевозможных индуцированных троек и их морфизмов.

Примечания

1. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца [Текст]/ Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282-309.

2. Старостина, О. В. К теории абелево-регуляр-ных положительных полуколец [Текст] / О. В. Старостина // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. № 3.

3. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел [Текст] / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 92-95.

4. Гретцер, Г. Общая теория решеток [Текст] / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982.

Е. А. Счастливцева ГУСТАВ ШПЕТ ОБ ОБЪЕКТИВНОСТИ ИСТОРИИ

Статья раскрывает один из аспектов феноменологического метода Г. Г. Шпета, в основе которого лежит проблема «социального» как особой организации, в которой каждая вещь выполняет функцию социального знака. Объективность феноменологического описания действительности, по мысли Шпета, свидетельствует об объективности самого исторического процесса. Объективность феноменологического метода философ доказывает объективностью логического восприятия и описания цели, являющихся одним из значительных моментов его феноменологии.

СЧАСТЛИВЦЕВА Елена Анатольевна - кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры философии и социологии ВятГГУ © Счастливцева Е. А., 2005

Работы Г. Г. Шпета могут служить прекрасной иллюстрацией к феноменологическому описанию действительности. В них читатель найдет способ применения феноменологического метода к истории. В то же время история с ее каузальными связями хорошо встраивается в феноменологический метод философа. Так, Т. Г. Щедрина утверждает, что феноменология истории в понимании Шпета есть «феноменологическое описание исторической действительности» [8, с. 138].

Историческое описание у Г. Г. Шпета принимает объективный характер. В этом вопросе взгляды Шпета оттачивались в полемике с представителями логического монизма: Хр. Зигвар-том и В. Вундтом.

Именно история раскрывает перед нами все многообразие явлений в их причинной логической связи, а специфичность истории мы наблюдаем в ее предмете, явленном нам в виде социальных знаков, один из которых - цель.

Логический подход Шпета через понятие к проблеме исторической действительности представляется сегодня своевременным по ряду причин. Во-первых, с позиции, к примеру, неокантианского подхода концепция Шпета представляется новой, свежей, по-иному трактующей проблему логического в исторической действительности. Если в неокантианстве история рассматривается сквозь призму «ценностей» и объяснение осуществляется здесь с помощью законов, которые оказываются сходными с естественнонаучными, то это вызывает некоторого рода сомнения: а применимо ли понятие механического закона природы в гуманитарной области, ведь в последнем случае мы имеем дело с пониманием смыслов?

Развитие неокантианского понимания закона в «науках о духе» способствовало разработке вопроса о психологическом характере их законов, а значит, и утверждению психологической причинности, психологических принципов для гуманитарных наук, для которых вводится термин «психологическое объяснение». Но что такое психологизм в истории? Четкого определения монизм этому понятию не дает. Он только рассматривает некоторые параметры, из которых выводит некую психологическую причинность: мотивы, цели. Но цель-мотив не может быть объяснительным принципом, поскольку переход от цели к причине (или от следствия к причине) есть переход регрессивный, поскольку идет от действия к причине, а не наоборот. Этот процесс, отыскивающий причины явлений, является процессом дедуктивным (не индуктивным), уже установленным, процессом, исключающим выяснение причин, к которым так стремился Вундт. По мнению Шпета, «дедуктивное заключение» не может быть настоящим объяс-