Определяемость t1-пространств решеткой подалгебр полуколец непрерывных частичных действительнозначных функций на них Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 1 (22). 2017

УДК 512.566

ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ^-ПРОСТРАНСТВ РЕШЕТКОЙ ПОДАЛГЕБР ПОЛУКОЛЕЦ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧАСТИЧНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

НА НИХ

Е. М. Вечтомов1, Е. Н. Лубягина

Работа относится к общей теории полуколец непрерывных функций. Рассматриваются подалгебры полуколец СР(X) непрерывных частичных функций на топологических пространствах X со значением в топологическом поле И, действительных чисел. Изучаются минимальные и максимальные подалгебры И-алгебры СР(X). Доказана теорема определяемости произвольного Т-пространства X решеткой А(Х) всех подалгебр полукольца СР (X).

Ключевые слова: полукольцо, поле действительных чисел, частичная действительнозначная функция, подалгебра.

Полукольцом называется непустое множество Б с бинарными операциями сложения + и умножения •, для которых (Б, +) — коммутативная полугруппа, (Б, •) — полугруппа и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Поле К всех действительных чисел является коммутативным полукольцом с делением с мультипликативным нулем 0 и единицей 1.

Для произвольного множества X через БР(X) = и{ИУ : У С X} обозначается множество всех частичных И-значных функций f на X. Области определения D(f) функций f являются подмножествами множества X. На множестве БР (X) полукольцевые операции задаются правилом: для любых частичных функций f,g Е БРх функции f + д и

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ, «По-

лукольца и их связи», проект 1.5879.2017/БЧ.

© Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., 2017.

/д определены на Д(/ + д) = ^(/д) = Д(/) П Д(д) поточечно, т. е.

(/ + д)(х) = /(х) + д(х) и (/д)(х) = /(х)д(х) для всех х е ) П

В результате множество £Р (X) становится коммутативным полукольцом с единицей 1 и поглощающим элементом 0, рассматриваемым как частичная функция с пустой областью определения: ^(0) = 0.

Для любого топологического пространства X через С(X) обозначается кольцо всех непрерывных действительнозначных функций на X ([7], см. также [3, гл. 2]), а через СР (X) = у {С (У) : У С X} -полукольцо всех непрерывных частичных И.-значных функций на X с поточечными операциями сложения и умножения частичных функций / и д на их общей области определения Д(/) П (д). Считаем, что С(0) = {0}. Ясно, что полукольцо СР(X) служит дизъюнктным объединением колец С (У) по всевозможным подпространствам У в X и подполукольцом полукольца £Р (X). Полукольцо СР (X) имеет поглощающий элемент 0. Если топологическое пространство X дискретно, то С (X) = и СР (X) = £Р (X).

Впервые полукольца частичных и непрерывных частичных функций изучались в статье [2]. Теория полуколец £Р(X) и СР(X) развита в [4, гл. 8].

Подалгеброй в полукольце СР(X) называется произвольное его под-полукольцо, выдерживающее умножение на числа из К. Пустое множество 0 также считается подалгеброй в СР(X). Относительно отношения включения С множество А^) всех подалгебр полукольца СР (X) образует полную решетку с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом СР (X). При этом точной нижней гранью всякого непустого семейства подалгебр в СР(X) будет их пересечение, а вир(А, В) = А V В = А и В и (А + В + АВ) для любых А, В е А^).

Топологическое пространство X называется:

7\-пространством, если для любых его различных точек х и у существует открытое множество в X, содержащее х и не содержащее у, что равносильно замкнутости всех одноточечных подмножеств пространства X;

То-пространством, если для любых его различных точек х и у существует открытое множество в X, содержащее ровно одну из этих точек, что эквивалентно тому, что равенство замыканий одноточечных множеств {х} и {у} влечет равенсто самих точек х,у е X.

Информацию топологического характера можно найти в книге [6].

Для любого подмножества У топологического пространства X обозначим через Оу и 1у такие функции из СР(X), что Д(0у) = ^(1у)= У, Оу = 0 и 1у = 1 на У. Имеем О0 = 10 = 0. Для точек х е X будем

писать 0Х = 0{х} и 1Х = 1{х}.

Атомами решетки Ь с наименьшим элементом в называются минимальные элементы упорядоченного множества Ь \ в. Двойственным образом определяется понятие коатома решетки с наибольшим элементом. Атомы (коатомы) решетки А^) называются также минимальными (максимальными) подалгебрами полукольца СР(X). Элемент а решетки Ь с наименьшим элементом в назовем ее предатомом, если а строго больше ровно двух элементов решетки Ь: в и некоторого атома. Теоретико-решеточные сведения содержатся в книге [5].

Следующее, легко проверяемое, предложение дает описание всех атомов и предатомов решетки А^). Предварительно отметим, что {0у} = {0^} ^ У = Z (для любых У^ С X).

Предложение 1. Для любого топологического пространства X верны следующие утверждения:

1) атомами решетки А^) являются в точности одноэлементные подалгебры {0у},У С X;

2) предатомы решетки А^) суть в точности подалгебры вЯ по всем идемпотентам в Е СР(X), принимающим ровно одно значение 1 (в = 1у при У = 0) или ровно два значения 0 и 1.

Предложение 1, с другой стороны, описывает некоторые простейшие подалгебры полуколец СР(X) в терминах решеток А^). На языке А^) приведем решеточные характеризации ряда других соотношений в полукольцах СР (X).

Следующие три леммы доказываются непосредственно. Лемма 1. Для любых двух различных атомов {0у} и {0^} решетки А^) верны следующие утверждения:

1) {0у } } = {0У, 0^, 0Упя};

2) подалгебра {0у} V {0^} содержит ровно два атома {0у} и {0^} ^ У С Z или Z С У;

3) подалгебра {0у} V {0^} содержит ровно три атома {0у}, {0^} и

{0уп^} ^ У С Z и Z С У.

Отметим, что в 3) {0у} = {0} ^ У П Z = 0.

Лемма 2. Для произвольного атома {0у} решетки А^) имеем:

1) {0у} = {0} или {0у} = {0Х} ^ {0у} V {0^} содержит ровно два атома для любого атома {0^} = {0у};

2) {0у} = {0} ^ не существует предатома над {0у};

3) {0у} = {0Х} ^ {0у} удовлетворяет достаточной части эквивален-ции 1) и не удовлетворяет достаточной части эквиваленции 2).

Лемма 3. Для любых отличных от {0} различных атомов {0у} и {0^} решетки А^) имеем: У С Z ^ существует такой атом {0^},

что {0^} V {0у} включает ровно три атома {0^}, {0у}, {0} и {0^} V {0^} включает только атомы {0^} и {0^}.

В силу предложения 1 леммы 1-3 устанавливают на множестве всех атомов решетки А^) отношение подчинения, при этом, очевидно, имеет место

Предложение 2. Упорядоченное множество {{0у} : У С X} с отношением подчинения изоморфно булеану В^) = {У : У С X} с отношением включения С, причем атомы {0Х} решетки A(X),х е X, соответствуют атомам {х} булеана B(X).

Замечание 1. Предложение 2 позволяет отождествлять атомы {0у} решетки А^) с подмножествами У топологического пространства X.

Лемма 4. Пусть X — произвольное Т-пространство, 0 = У С X и х е X \ У. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) точка х не принадлежит замыканию множества У в X ^ существует функция е е С (У и {х}), равная 0 на У и 1 в точке х;

2) подалгебра еЯ решеточно определяется как предатом Р решетки А^), для которого единственным включенным в него атомом служит {0уи{х}} и подалгебра РV{0у} включает ровно 5 подалгебр, именно: 0, {0у}, {0уи{ж}}> Р, Р V {0у}.

Доказательство. Утверждение 1) очевидно.

Докажем 2). Ясно, что подалгебра еИ служит предатомом решетки А^) над атомом {0уи{х}}, причем еИ V {0у} включает ровно 5 подалгебр. По утверждению 2) предложения 1 над атомом {0уи{х}} существуют также другие предатомы Q = /И, в частности 1уи{ж}И. Но в решетке А^) подалгебры Q V {0у} включают по 6 подалгебр: 0, {0у}, {0уиЫ}^, Q V {0у} и дЯ, где д — сужение функции / на множество У.

Из пункта 1) леммы 4 следует

Лемма 5. Подмножество У произвольного Тх-пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда для любой точки х е X \ У существует такая функция е е С (У и {х}), что е = 0 на У и е(х) = 1.

На основе предложения 2, лемм 4 и 5 получаем:

Теорема. Произвольные Т-пространство X и топологическое пространство У гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны решетки А^) и А(У) их подалгебр.

Следствие. Любое Тх-пространство X определяется (однозначно с точностью до гомеоморфизма) полукольцом СР(X) в классе всевозможных топологических пространств.

Отметим, что определяемость хьюиттовских пространств X решетками подалгебр колец С(X) установлена в [1], см. также [3, п. 9].

Пример 1. Возьмем одноточечное топологическое пространство X = {х}. Полукольцо СР(X) совпадает с 1ХИ и {0}, и решетка А^) = {0, {0}, {0Х}, {0, 0Х}, 1ХИ, СР(X)} — это шестиэлементная дистрибутивная решетка, изоморфная прямому произведению двухэлементной и трехэлементной цепей.

Пример 2. Рассмотрим двухточечное антидискретное топологическое пространство X = {х, у} и связное двоеточие У с этими же точками х и у. Тогда СР (X) = СР (У) = 1Х И и 1У И и 1И и{0} есть множество частичных функций-констант на X. Стало быть, А^) = А(У). Решетка А^) содержит пентагон {0, {0Х}, {0У}, {0,0Х}, {0, 0Х, 0У}} в качестве подрешетки, поэтому не является модулярной. Пусть теперь Z — произвольное топологическое пространство, содержащее, по крайней мере, две различные точки х и у. Решетка А^) имеет своей подрешеткой пентагон {0, {0Х}, {0У}, {0, 0Х}, {0,0Х, 0У}}, значит, не является модулярной.

Замечание 2. Легко видеть, что множество СР(X) состоит лишь из функций-констант на топологическом пространстве X тогда и только тогда, когда каждое двухэлементное подпространство в X является связным двоеточием. Последнее условие на X эквивалентно тому, что открытые множества пространства X образуют цепь по отношению включения.

Пример 3. Пусть X = {х,у,г}, т\ = {0, {х}, {х,у}, {х^}^} и т2 = {0, {у}, {г}, {у,г}^} и — топологии на X. Получаем него-меоморфные, но антигомеоморфные То-пространства XI = (X, т\) и X2 = (X, т2), имеющие равные полукольца СР(X!) = СР^2). Поэтому Т0-пространства X не обязаны определяться ни полукольцом СР (X), ни тем более решеткой А^).

Примеры 1 и 2 доказывают справедливость следующего утверждения:

Предложение 3. Для любого топологического пространства X имеем:

1) если X содержит ровно одну точку, то решетка А^) дистрибутивна;

2) если X содержит более одной точки, то решетка А^) не моду-лярна.

Замечание 3. Решетка подалгебр кольца С(X) над двухэлементным дискретным пространством X является диамантом, поэтому она модулярна, но не дистрибутивна [3, с. 114, рис. 2]. Для трехэлементного дискретного пространства У решетка подалгебр кольца С (У) является немодулярной 15-элементной решеткой [3, с. 114, рис. 1], изоморфной

подрешетке решетки А(С(X)) над любым Тх-пространством X мощности > 3.

Подпространство У топологического пространства X называется С -расширяемым, если каждая функций из С (У) продолжается до некоторой функции из С(X).

Легко видеть, что справедливо

Предложение 4. Пусть X — произвольное топологическое пространство, х е X, подпространство X\{х} С -расширяемо, А —максимальная подалгебра кольца С(X). Тогда множества СР(X)\С(X\{х}) и (СР(X) \ С(X)) и А будут максимальными подалгебрами полукольца СР (X).

Для конечных дискретных пространств X получаем полное описание максимальных подалгебр полуколец СР (X):

Предложение 5. Для всякого конечного дискретного пространства X максимальные подалгебры полукольца СР(X) исчерпываются подалгебрами СР(X) \ С(X\{х}) и (СР(X) \ С(X)) и А по всем точкам х е X и всевозможным максимальным подалгебрам кольца С(X).

Доказательство. Пусть X — п-элементное дискретное пространство. В силу предложения 4 подалгебры вида СР(X) \ С(X \ {х}) и (СР(X) \ С(X)) и А являются максимальными подалгебрами полукольца СР (X).

Обратно, возьмем произвольную максимальную подалгебру М в СР(X). Если подалгебра М не содержит С(X \ {х}) для некоторой точки х е X, то М П С(X \ {х}) = 0 и М С СР(X) \ С(X \ {х}), т. е. М = СР(X) \ С(X \ {х}). Поэтому можно считать, что М содержит п подалгебр С(X \ {х}) для всех х е X. Но тогда М содержит и всевозможные пересечения подалгебр С(X \ {х}),х е X. Значит, подалгебра СР (X) \ С (X) содержится в М, и А = М П С (X) будет максимальной подалгеброй кольца С(X).

Известно также, что всякое Тх-пространство X определяется решеткой всех идеалов полукольца СР(X) [4, Теорема 40.8].

В связи с этим возникают следущие проблемы:

Задача 1. Доказать (или опровергнуть), что произвольное Т-пространство X определяется решеткой всех конгруэнций на полукольце СР (X).

Задача 2. Любое ли ^-пространство X определяется решеткой всех подалгебр с единицей полукольца СР (X)?

Список литературы

1. Вечтомов Е. М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства // Математические заметки. 1997. Т. 62. №5. С. 687-693.

2. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О полукольцах частичных функций // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып. 19. С. 3-11.

3. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Элементы функциональной алгебры : монография : в 2 т. / под ред. Е. М. Вечтомова. Киров: ООО «Издательство „Радуга-ПРЕСС"», 2016. Т. 1. 384 с.

4. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Элементы функциональной алгебры : монография : в 2 т. / под ред. Е. М. Вечтомова. Киров: ООО «Издательство „Радуга-ПРЕСС"», 2016. Т. 2. 316 с.

5. Гретцер Г. Теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

7. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N. Y.: Springer-Verlang, 1976. 300 p.

ВятГУ Поступила 12.03.2017

Summary

Vechtomov E. M., Lubyagina E. N. Definability of Ti-spaces by the lattice of subalgebras of semirings of continuous partial real-valued functions on them

The article refers to the general theory of semirings of continuous functions. We consider subalgebras of semirings CP(X) of continuous partial functions on topological spaces X with values in the topological field R of real numbers. We study the minimal and maximal subalgebras of the R-algebra CP(X). We prove a definability theorem of an arbitrary Ti-space X by the lattice A(X) of all subalgebras of the semiring CP(X). Keywords: semiring, field of real numbers, partial real-valued function, subalgebra.

References

1. Vechtomov E. M. Lattice of subalgebras of the ring of continuous functions and Hewitt spaces, Mat. Zametki, vol. 62, issue. 5, 1997, pp. 687-693.

2. Vechtomov E. M., Lubyagina E. N. On semirings of partial functions, Vestnik of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Computer science, 2014, issue. 19, pp. 3-11.

3. Vechtomov E. M., Lubyagina E. N., Sidorov V. V., Chuprakov D. V. Elements of functional algebra: a monograph: in 2 volumes, vol. 1 / ed. E. M. Vechtomov, Kirov: Publishing House «Raduga-Press», 2016, 384 p.

4. Vechtomov E. M., Lubyagina E. N., Sidorov V. V., Chuprakov D. V. Elements of functional algebra: a monograph: in 2 vol, vol. 2 / ed. E. M. Vechtomov, Kirov: Publishing House «Raduga-Press», 2016, 316 p.

5. Grettser G. The theory of lattices, Moscow: Mir, 1982, 456 p.

6. Engelking R. General topology, Moscow: Mir, 1986, 752 p.

7. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions, N. Y.: Sprin-ger-Verlang, 1976, 300 p.

Для цитирования: Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Определяе-мость T-пространств решеткой подалгебр полуколец непрерывных частичных действительнозначных функций на них // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1 (22). C. 21-28.

For citation: Vechtomov E. M., Lubyagina E. N. Defiinability of Tp spaces by the lattice of subalgebras of semirings of continuous partial real-valued functions on them, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №1 (22), pp. 21-28.