Применение ортогональных функций Каутца для разработки моделей электромеханических систем горных машин Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ КАУТЦА ДЛЯ РАЗРАБОТКИ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ГОРНЫХ МАШИН

В работе [4, 5, 7], обосновывающих применение ортогональных моделей электромеханических систем горных машин, в качестве базовых систем функций рассматриваются функции Лежандра и Лагерра. Дополнительные исследования показывают, что эти функции эффективны в том случае, если переходная характеристика объекта имеет два - три периода колебаний. Для моделирования систем, импульсные пе-необходимы другие функции, например, ортого-

реходные характеристики которых имеют значительное число колебаний, нальные функции Каутца [8, 9, 1].

Операторные функции Каутца определяются из выражения [1]:

(р) = У2 •(а+д» > Т+“■ -р,

а + ак — р 10 а + аг + р

где а, ак - параметры функции Каутца; к- порядковый номер функции.

Представим первые три функции Каутца во временной области, определенные из соотношения (1)

Fo(a1, t) = д/2(аТа0) • е

.—(а+а0 )і

^ (а, і) = у] 2(а +а1) •

F2(а, і) = ^2а + а2) •

2(а + а0)

ап — а

—(а + ао )• і

(а1 +а0 + 2а)

—(а + а )• і

(1)

(2)

(3)

2(а +а0 )^(а1 +а0 + 2аК—(а+ао )• і • е

(а —ао )-(а2—ао)

2 • (а + а1) • (а1 + а0 + 2а) (а —а0 )-(а2—аі)

(а

2а) • (а1 + а2 + 2а)

(а0 — а2) • (а1 — а2)

е

(4)

Из полученных выражений (2)-(4), следует, что для определения Fo(щ■, t) необходимо знать значения двух параметров а и ад , для определения Fl(аi, t) - три параметра а, ад и Щ, F2(щ■ ,t) - четыре параметра а, ад ,Щ и а2 ■ Исследуем возможность использования представленных ортогональных функций Каутца для моделирования электромеханических систем (ЭМС) горных машин.

Используя опыт и методику построения подобного рода моделей [4, 5, 6] на основе ортогональных и ортонормированных функций Лагерра и Лежандра, представим модель в следующем виде:

к

Кмс (1) = (а а , t, к) (5)

/=0

где И3эмс (1)- импульсная переходная характеристика моделируемой системы; р ■ - коэффициенты разложения ИПХ в ряд

ортонормированных многочленов Каутца Fj ( а, щ, 1, к ) .

Коэффициенты разложения ИПХ определяются следующим выражением:

ТО

Р/Г = |к5ЭМС (т) • р/ (а, Щ, 1,кУт, (6)

0

где ЬэМС (т) — ИПХ идентифицируемой ЭМС; F/ (а, щ, 1, к) - аппроксимирующий функционал (в нашем случае Каут-

ца).

Приведем выражения для первых двух коэффициентов разложения ИПХ:

ТО

^0 / =72(а+а0) | Кэмс (т:>•е _(а+а0 ^;

^1 / = -\/2(а + а1)|!^зэмс (т) •

2 (а + ар ) е-(а+а0 )• і (а1 + а0 + 2а) ^ е_(а+а1) і

а0 — а1

а0 — а1

dт;

(7)

(8)

е

+

Рассмотрим электромеханическую систему машины, рабочий орган которой жестко связан с электродвигательным устройством (одномассовая ЭМС). Предположим, что в качестве электродвигательного устройства используется привод, имеющий достаточно жесткую линейную механическую характеристику (машина постоянного тока с регулированием напряжения в цепи якоря, машина переменного тока с частотным управлением и т.д.). При этом операторное уравнение, связывающее изображения напряжения, подаваемого на якорь двигателя, момента нагрузки и угловой скорости для машины постоянного тока (МПТ), имеет вид

М!]_(р) =------------—-------------и(р)-кт (1 + ^я Р)-------------Мс(р), (9)

^ 1 + Тт ■ р ■ (1 + Гя-р) 1 + Тт ' Р ■ (1 + Тя -р) С И

J ^ т Lя

где Тт = — -------электромеханическая постоянная времени; Т я =----------электромагнитная постоянная времени цепи якоря

с2 Rя

-‘я

С Rя

МПТ; J - момент инерции, приведенный к валу МПТ; С - конструктивная постоянная МПТ; Rя , Ья - активное и индук-

R 1

тивное сопротивления цепи якоря МПТ; кт = —2г - коэффициент передачи двигателя по возмущению; к^ =------коэффици-

с с

ент передачи двигателя по управлению.

Разделив в выражении (9) каналы управляющего воздействия и возмущающего воздействия, приведем соответствующие передаточные функции к типовым:

Щ(р) = ™и (р)и(р) -^ г (р)МС(р) =--------------—---------и(р)---кт (1 +Тя р)---------Мс(р)

Г 1 + Т т ■ р ■ (1 + Тя-р) 1 + Тт ■ р ■ (1 + Тя-р) СКЮ

где wu (p) =

kd

kd

w

f( p) =

1 + Tm'p*(1 + Тя'Р) 1 + Tj *p + rf* p2

km '(1 +Тя'р) _ km '(1 +T *p)

1 + Tm *p *(1 + Тя * p) i ' .2 2

m ^ \ яг; 1 + T1* p + t 2* p

(10)

(11)

Примем следующие числовые параметры электропривода Тя = 0,05 с, с = 0,1656, Тт = 1,85 с, кт = 123,0 (Нмс ) 1, ка = 6,25 (8с)-1.

Применяя обратные преобразования Лапласа к выражениям (10), (11), подставляя полученные таким образом ИПХ ЭМС в выражение (6) и учитывая (7),(8) можно произвести расчет значений коэффициентов разложения ИПХ (параметров ортогональной модели ЭМС). При расчете параметров модели необходимо ограничиться значениями верхнего предела интегрирования в выражении (6) и выбрать оптимальные значения параметров функционалов Каутца. В качестве критерия оптимизации целесообразно использовать квадратичный критерий, минимизирующий квадрат нормированной дисперсии ИПХ модели [6]. Сложность определения параметров ортогональной модели заключается в необходимости поиска нескольких оптимизированных параметров а, «0 и «1. Поэтому для получения наиболее эффективных моделей предварительно осуществим анализ зависимости квадрата нормированной дисперсии ИПХ от параметра а при фиксированных пренебрежимо малых значениях «0 и «1. Графическая зависимость квадрата нормированной дисперсии от параметра а представлена на рис. 1.

Из рис. 1 следует, что при оптимизации даже одного параметра функционала Каутца ортогональные модель ЭМС фактически соответствует(погрешность не превышает 1-2%) исходной. Приемлемый уровень нормированной дисперсии ИПХ сохраняется на протяжении значительного диапазона значений параметра а . Это дает возможность его приближенного нахождения на предварительном этапе, минуя продолжительные вычислительные процедуры. Отметим, что середина интервала минимальных значений квадрата нормированной

1

дисперсии ИПХ соответствует значению а и---------. Оператор-

Тт

ное выражение для передаточной функции ортогональной модели на основе первых двух функций Каутца имеет вид:

trace 1 trace 2

Рис. 1. Графические зависимости квадрата нормированной дисперсии ортогональной модели ЭМС ((10)4гасе 1 и (11)4гасе 2) от параметра функционала Каутца а

Рис. 2 а, б. Трехмерные графические зависимости квадрата нормированной дисперсии восстановленной ИПХ от параметров функций Каутца___(1 5),(16)_Ри-

сунки (а) и (б) развернуты вокруг вертикальной оси относительно

д/2-(a + a2) ( a + a0 -p

Wm (p) = ^—_— -I P0 f + 9if-----0---

(12)

a + a0 + p l a + a-^ + p

где a =0,54 для передаточных функций (10), (11); (p0^ =3,26, (p1^ =0,135 - для передаточной функции (10); (p0^ =64,8,

(pA^ =-0,823 - для передаточной функции (11); |a 0, a 1} ^ 0 .

Рассмотрим функции Каутца с комплексно-сопряженными полюсами [Ross]

I--------- (p - a + |p„\I

Wn,„+1( p) = J 2( a + an ) W

где

(p + an f + fin ]

pn| = -J(a + an j2 + рП ; Pn n+l = -an ± jPn - параметры комплексно-сопряженного полюса.

(12)

Предположим, что в качестве базовой будет использоваться модель с одним комплексно сопряженным корнем. Тогда представим аппроксимирующие функции Каутца (12) запишутся следующим образом:

Wi(p) = yl2(a + ai) ■

W2 (p) = V2(a + ai) -

p - a +

-J(a + ai)2

+ Pi

(p + aif + pi2

p - a - л/ ^a

д/(a + ai)2

+ Pi2

(р + «)2 + $ -(р +р^

При а = 0 зависимости для первых двух функций Каутца во временной области имеют вид:

С7 ^ й------ /- С05( ^)-А-«-^ •/) + д/ «I2 + А2-вшС А •/)

) = у2 •«1 -ехр(-«1 •/)-------------------------------------5-;

Pi

(i3)

(i4)

(i5)

п ^ к— <■ ^ С05(А■')-А-«г^п(Рі■')-7а2 + Р2 -^п(А)

^^2(^) = V2-«1-ехр(-«і ■/)----------------------- ----- ----------------- . (16)

Рі

Определим параметры ортогональной модели (11) при условиях присутствия значительных колебания координат. Для определения оптимальных параметров модели типа (5) с использованием (15) и (16) воспользуемся ранее упомянутым критерием минимизации квадрата нормированной дисперсии восстановленной ИПХ ЭМС.

На рис. 2 а, б представлены трехмерные зависимости квадрата нормированной дисперсии от параметров модели (15) и (16) а1 и Р1. Характер установленных зависимостей свидетельствует о наличии глобального минимума квадрата нормированной дисперсии и, следовательно, области удовлетворительной сходимости ряда функций Каутца при аппроксимации ИПХ систем при наличии колебаний выходных координат. Итоговые параметры модели:

а = 0, «1 = 0,55, Р1 = 3,2 , ^>0/ = 232,25, ^ ^ =-153,7, при этом величина а'2 = 0.0016. Значение квадрата нормированной дисперсии настолько мало, что модель ИПХ совпадает с исходной.

Выводы

1. Применение ортогональных функций Каутца для аппроксимации ИПХ ЭМС дает наиболее точный результат по сравнению с другими методами.

2. Использование ортогональных функций Каутца для моделирования электромеханических систем горных машин наиболее предпочтительно в случаях, когда выходные координаты ЭМС подвержены колебаниям, в том числе и неустойчивых ЭМС.

3. Практическое использование методов моделирования ЭМС на основе ортогональных функций Каутца ограничивается наличием многомерной оптимизации.

----------------------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. - М.: Энергия, 1973.

2. Бессонов А.А., Загашвилли Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатом-издат, 1989.

3. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

4. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: Изд-во МГГУ,

ГИАБ №1, 2002, с. 19-21.

5. Петров В.Л. Моделирование электромеханических систем горных машин на основе представления оператора рядом ортогональных функций Лежандра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №8, 2002, с.

9-12.

6. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №2,

2002, с. 21-25.

7. Петров В.Л. Количественная оценка процедуры идентификации параметров электромеханической системы с применением ортонормированных функций Лежандра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ,

№7, 2002, с. 42-44.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.

9. Kautz W. U. Transient synthesis in the time domain/ Transact. on Circuit Theory, IRE, V. Ct-1, 1954

ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ ГОРНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ '