Количественная оценка процедуры идентификации параметров электромеханической системы с применением ортонормированных функций Лежандра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решения для других параметров модели (12) имеют вид (14), но отличаются тем, что значения коэффициентов А, В, С, F определяются на основании индивидуальных соотношений.

В соотношениях, связывающих параметры двухмассовой ЭМС с параметрами ортогональной модели, можно сократить число уравнений в системе (12) за счет вывода верхних трех строк (число выводимых строк зависит от порядка числителя (12)).

Выводы

Представляемая ортогональная модель ЭМС позволяет сформировать унифицированный ряд моделей для двухмассовых электромеханических систем, уровень сложности которых определяется точностью воспроизведения модели (уровнем адекватности).

Ортогональные модели двухмассовой ЭМС могут быть восстановлены на основе экспериментальных исследований путем анализа ИПХ ЭМС.

1. Бессонов А.А., Загашвилли Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатом-издат, 1989.

2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Современные методы идентификации систем. /Под ред. П. Эйкхоффа. - М.:Мир,1983.

4. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №2,2002, с.21-25.

5. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №1,2002, с.19-21.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

6. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. - М.: Энерги», 1973.

7. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского. - Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.

9. Михайлов О.П. Динамика электромеханического привода металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1989.

10. Справочник по автоматизированному электроприводу. /Под ред. В.А.Елисеева, А.В. Шинянского. -М.:Энергоатомиздат,1983.

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ПРОЦЕДУРЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА

Ортогональная модель электромеханической системы во временной функций Лежандра представляется в виде [5, 6]

т т I ________ _и.( п

Кмс(1) = Х]/“(и,1,п) = Хф • | (_ 1)^м(2" +1 • е 2 • (п!)2 • е~и ( п X

]=0 ]=0 I к=0

Использование алгоритмов

идентификации, основанных на аппроксимации переходной импульсной характеристики (ИПХ) рядом ортогональных функций Лежандра подразумевает выполнение следующих основных операций [1, 2, 3]:

• определение коэффициентов разложения ИПХ;

• формирование модели ЭМС;

• определение параметров ЭМС на основе зависимостей между параметрами ЭМС и коэффициентами разложения ИПХ.

области при использовании ортонормированных

(1 _ еи-1 )к (к !)2 •[(п _ к )!р

(1)

где Ьэмс (1) - импульсная переходная характеристика моделируемой системы; ф] - коэффициенты разложения ИПХ в ряд

ортонормированных функциональных многочленов Лежандра Р]Ш (и, 1, п) .

Коэффициенты разложения ИПХ определяются следующим выражением:

ф]и = |Мт) • Р]ОТdт,

(2)

где hg (г) - ИПХ идентифицируемого объекта; Р^ (и, ^, п) - аппроксимирующий функционал (в нашем случае Лежанд-

ра).

Учитывая выражение для ортонормированного функционального многочлена Лежандра [1,9,5,6]

и-!^1+п) п I (1 _ еи1)к I

Рпот (и, 1, п) = (_1)^и(2п +1)-(п!)2- е 2 X

к=о[(к!)2 •[(п - к)!]2 получим выражение для определения коэффициентов разложения через ИПХ.

(3)

,1

(1_ еи-т )к

_________ ^ _и.х.(—+ п) п I

Фпи =(_1)^и(2п +1)-(п!)М Мт) •е 2 Xі---------^(4)

0 кТо1 (к!)2 •[(п _к)!]2 1

где и - параметр функционала.

Анализируя выражение (4) можно сделать вывод о том, что для определения любого коэффициента разложения ИПХ идентифицируемого объекта необходимо определять сумму интегральных зависимостей от импульсной переходной характеристики.

Приведем выражения для первых трех коэффициентов разложения ИПХ:

от и-т от ( и1 3-и-1 А

Фои =Ги|Ид(т)• е 2 dт;

( и-1

Ф2и =УІ5 •« I Мт)

0

(5)

3-и-1

Ф1и =^13и I Ь(т) '

е

2 _ 2 •

е

2

dт;

(6)

2 _ 6 • е 2 + 6 •

5-и-1 А 2 dт.

(7)

\ /

Рассмотрим в качестве примера определение коэффициентов разложения ИПХ цепи возбудителя системы электропривода генератор-двигатель [5,6]. Передаточная функция генератора при регулировании э.д.с. за счет изменения режимов возбуждения представляется в виде инерционного звена первого порядка и имеет вид

ОО

е

е

К

(р) = -

1 + тв •р

к

Ь5в (1) = -ТГ-е

а

Осуществляя обратные преобразования Лапласа, получим временное выражение для ИПХ

'. Последовательно проинтегрируем выражения (5)-(7) с учетом полученной зависимости для ИПХ, ог-

раничивая предварительно верхний предел интегрирования:

Фои =4~и I Ьдв (т)-е 2 (ІТ =4й | Тв

( и -1

Ф1и = >/3и I И5в (т)-

3 - и -1 А

2 _ 2 - е 2

ІТ =

2 ІТ =

13и ? К--Т

о в

24иКг 2 + иТ в

\ 1 _ ехр

1 - (2 + иТв) Т

-*• а

(8)

( и 1

3 -и -1 А

2 _2-е 2

ІТ = -

л/3м -2К

(2 + 3иТв) - (2 + иТв)

х<|2-ехр

1(2 + 3иТв) Т

-*• а

(2 + иТ в )_ ехр

1 (2 + иТв)

Т

-*• а

'(2 + 3иТ в )_ 2 + иТ в

(9)

( и-1

Ф2и =< 5и | Ь5в (т)'

0

3 - и-1

5 - и -1 А

-2Кг

2 _6-е 2 + 6-

-1ехР

к

іт = л/3и I —— - е

0 Тв

( и-1

'в У

3 и 1

5 и 1А

2 _6-е 2 + 6-

ІТ =

(2 + 5иТ в) - (2 + 3иТ в) - (2 + иТ в)

1(2 + 5иТв)

Т

- 24 _ 48иТв _ 18и Т в )+ ехр

1(2 + 3иТв) Т

- (24 + 72иТв + 30и Т в )+ ехр

1(2 + иТв)

Т

а

(_

_ 4 _ 16иТв _ 15и2Т 2в)+ 4 _ 8иТв + 3и2Т 2в

Определим установившиеся значения коэффициентов разложения, вычислив пределы выражений (8)-(10) при ^ ^ ж lim[^0„ ^)] =

24иК- Ііт [ф (1 )]=^37“ -К- )(~(2 + иТ-));

. (2 + 3и - Тв) - (2 + мгв)

1Іт [Ф2и )] =

45й - 2Кг - (4 _ 8мТв + 3и2Т2в)

(11)

(10)

^----------- (2 + 5иГв) • (2 + 3иТв ).(2 + иТв)

Рассмотрим в качестве примера определение коэффициентов разложения ИПХ исходной модели возбудителя

К,

при значениях Кг = 2, Тв = 1,2 с и и = 1. Графические зависимости для первых трех коэффициен-

1 + Тв - р

тов разложения ИПХ от времени представлены на рис. 1.

1

Т

Г

и

и

е

е

е

е

• X

2

2

е

е

е

е

Рис. 1. Зависимости первых трех коэффициентов разложения ИПХ от К

К Рис. 2. Зависимость зависимости ИПХ для W6 ( р) =

.

времени для модели Wb ( p) =------г---- при значениях парамет- 1 + "Te * p

І + Te - p 7/4

к. = 2, Te = 1,2 с и ее ортогональной модели hmod (t) от

ров к. = 2, Te = 1,2 си u = І. Используется базовая модель

л - тт /1Ч времени. Расчет производился при u = 1,0.

на основе ортонормированных функций Лежандра (1). ^ ^ ^ 5

Используем значения коэффициентов разложения р ^ , вычисленные по формуле (11), для формирования ИПХ ортого-

нальной модели

Г -t

hmod (t ) = p0 - e 2 + p1 - V3 -

З-1Л

2 -2-í

Г t

+ p2

-S-

З t

2 - б - e 2 + б - <

(12)

На рис. 2 представлены графические зависимости HŒX для W в ( p) = -

к

кг = 2, Te = 1,2 с и ее ортогональной

1 + Тв • р

модели ИтоА (^) от времени. Рис. 2 позволяет сделать вывод о высоком сходстве ИПХ ортогональной модели и ИПХ исходной модели. Фактической идентичности обеих моделей можно добиться за счет выбора оптимального значения и , а также критерия оптимизации.

2

2

e

e

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. М. «Энергия», 1973.

2. Бессонов А.А., Загашвилли Ю.В., Маркелов А.С. Методы

и средства идентификации динамических объектов.-

Л.Энергоатомиздат, 1989.

3. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

4. Современные методы идентификации систем/Под ред. П. Эйкхоффа. - М.:Мир,1983.

5. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: МГГУ, ГИАБ №2,2002, с.21-25.

6. Петров В.Л. Математическое обеспечение для иденти-

фикации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: МГГУ, ГИАБ №1,2002, с.19-21.

7. Справочник по теории автоматического управле-

ния/Под ред. А.А. Красовского.- Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории иденти-

фикации. - М.: Наука, 1984.

9. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены.

- М.:Наука,1970.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», докторант кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет.