Использование многочленов Якоби в исследованиях электромеханических систем горных машин Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ГОРНЫХ МАШИН

ртогональные многочлены Якоби образуют ортогональную систему функций на сегменте [-1;1] с весом

р(х) = (1 -х)а(1 + х)В, х є [—1;1], а > -1, В > —1.

Каждый элемент системы функций Якоби определяется в соответствии с выражением [6]

Г„(х.аР) = Ьі£ £<—1)к С Г(а+" +1

п!2п к=

к=0

Г (а + п - к +

где Г (п) - гамма функция.

(1)

Преобразовав выражение (1), получим

Рп (х ;а, В) =

Г (а + п +1) • Г(Р+ п +1)

(1 - х )п—к • (1 + х )к

2п • п! к=0 Г (а + п - к +1) • Г (Р+ к +1) • (п - к )!к!

а В

Учитывая, что квадрат нормы многочлена (2) с весом р(х ) = (1 - х ) (1 + х у определяется выражением [6]

„(а,В) = 2а+В*‘•Г(а+ п +‘>•Г(В+ п +1 ,

п!(а + В + 2п +1) • Г (а + В + п +1)

представим ортонормированный многочлен Якоби в следующем виде:

1

(2)

(3)

Рп (х ;а, В) =

■\1„(а, В)

• Рп (х ;а, В) =

п!(а + В + 2п + 1)Г (а + В + п + 1)Г (а + п + 1)Г (В + п +1)

2 а+В +2 п+1

I-

(1 - х)п-к (1 + х )к

(4)

к=0 Г (а + п - к + 1)Г (В + к +1)( п - к )!к!

Для построения ортогональной модели электромеханических систем (ЭМС) на основе ортонормированных многочленов Якоби используем метод разложения оператора ЭМС (или аппроксимации импульсной переходной характеристики - ИПХ) рядом ортогональных функций.

При использовании алгоритмов аппроксимации ИПХ интервал ортогональности функционального многочлена должен соответствовать интервалу определения ИПХ - это делает необходимыми дополнительные преобразования.

Произведем модификацию многочленов Якоби в два этапа.

1. Реализуем подстановку для Рп (х; а, В ) в виде х = 1 - 2 • у , результатом которой будет новый функциональный многочлен, обладающий свойством ортогональности на сегменте [0;1].

2. Реализуем подстановку для Рп (1 - 2у,а, В) в виде результатом которой будет новый функциональный многочлен, обладающий свойством ортогональности на сегменте [0; да].

В результате преобразований получим выражение для модифицированного ортогонального функционала Якоби

Рп(и,/;а,В) = Г(а+ п +1)Г(В + п +1)Г(п +1)(-1)п х п

I-

(1 - еи )к

(5)

п!.епи‘ к=0Г(п - к + 1)Г(а + п - к + 1)Г(В + к + 1)Г(к +1)

В соответствии с формулой Ньютона для (і - еи ^ , получим еще одно выражение для модифицированного ортогонального функционала Якоби

1 к (-1) V • I • І

1 I „,( „е,——. (6)

Р (,В) = Г(а+ п +1)Г(В + п +1)(-1)Я I

пК ’ ’ пиі ^

е к “ 0 Г (п - к + 1)Г (а + п - к + 1)Г (р + к +1) ^ “ 0 Г (j + 1)Г (к - j +1)

Ортонормированный модифицированный функциональный многочлен Якоби определяется из выражения (6) после процедуры нормировки и имеет вид:

Рп(и,^а,Р) = (-1)п - д/и-Г(а + п + 1)Г(п + 1)Г(а + Р + п +1)(а + Ь + 2п + 1)Г(Р + п +1):

а+р+2п+1 2

•I-

1 - е

2-к+р 2

(7)

к=0Г(к + 1)Г(п - к + 1)Г(а + п - к + 1)Г(Р + к +1)

Исследуем некоторые разновидности функциональных многочленов Лежандра (7) при различных значениях а , Р 1. а = 0, Р = 0 .

2п+1 ~

- и •? • -

Рп(и,Па = 0,Р = 0) = (-1)п-Г(п +1)Уи -(2п +1) • е 2 I

1-

Г (к +1)2 Г (п - к +1)2 '

Полученное выражение (8) адекватно ортонормированным функциям Лежандра, исследованным в работе [4]. 2. а Ф 0, Р = 0 .

2п+а+1

________________ _____________ — и • t •-- '

Рп (и, ?;а, Р = 0) = ( - 1)п-Г (п + 1)Г (а + п + 1\/и-(а + 2п +1) -е 2 I

(8)

“о Г (к + \у Г ( п - к +1)- Г (а + п - к +1)

(9)

Первые три функции Якоби (9) при Р = 0 имеют вид:

а+1

----------------- ,--------- —и - t -

Р0( и,Р,а, Р = 0) = и-(а+1) - е 2 ,

и t а+3

Р[(и,?;а,Р = 0) = д/и-(а+ 3)- е 2 -[ -2-а + (а+1)-е^ ]

Р2(и,/;а,Р = 0) = и -(а + 5)

-иГ(а+5)

е2и?(-а2 - 3а -2) - (2а2 + 10а + 12)еи* - (-12 - 7а - а2)е 2

(10)

е

На рис. 1 (а, б, в) представлены временные зависимости первых трех функций Якоби при В = 0, и = 1 и различных значениях а . Эти зависимости позволяют сделать вывод о том, что увеличение параметра а с -1 до 1 изменяет характер функций на более сложный. Это позволяет осуществлять построение моделей более сложных видов ИПХ электромеханических систем. Определенный интерес для анализа ИПХ ЭМС представляют результаты преобразований Лапласа для выражения (9)

п-1

W■

Рп (и,і;а,В=0)

3. а = 0, В ^ 0.

30)( Р) = 4 и(а + 2п +1)

п

і=0

.а + 2і +1

(—2—и - Р)

.а + 2і +1 (---------------и + р)

(11)

п

і=0

2п+В+1

)]^

Рп(и,г\а = 0,Р) = (-1)п -Г(п + 1)Г(Р + п +1),/и -(Р + 2п +1) - е 2 I- „

к=0Г(к + 1)Г(п - к +1)2 -Г(Р + к +1)

Первые три функции Якоби при а = 0, Р Ф 0 имеют вид:

. (12)

------------------- и. і

и • (В +1) е 2

Рис. 1. Временные зависимости первых трех функций Якоби при

Р = 0, и = 1 и различных значениях а . а - [у0т1(аД)-а = -1;

у0т12(аД)-а = -0,5 ; у00(аД)- а = 0 ; у012(аД)- а = 0,5; у0т1(аД)-а = 0,5. б -[у1т1(аД)-а = -1; у1т05(аД)- а = -0,5 ; у10(аД)-а = 0 ; у105(аД) -а = 0,5;

у11(аД) - а = 0,5 ; в - [ у2т1(аД)-а = -1; у2т05(аД)- а = -0,5 ; у20(аД)- а = 0 ; у205(аД) - а = 0,5 ;

у21(аД) -а = 0,5

В+з

Р1( и, 1;а = 0, В) = - Г (В+1^ и •(В+ 3) е 2 •

МВ

3иіВ

1 - е 2 1 - е 2

■ + -

Г (В+1) Г (В + 2)

В+5

--------------------------- ------------------ - и •?-------

Р2( и,1;а = 0, В) = 2 Г (В+ 3)д/и ЧВ+ 5) •е 2

иіВ

3иіВ

5иіВ

1-е 2 1 - е 2 1 - е 2

4Г (В +1) Г (В+ 2) Г (В+ 3)

(13)

На рис. 2 (а, б, в) представлены временные зависимости первых трех функций Якоби при а = 0 , и = 1 и различных значениях В .

Для построения модели ЭМС на основе ортонормированных многочленов Лежандра используем метод разложения оператора ЭМС (или аппроксимации импульсной переходной характеристики - ИПХ) рядом ортогональных функций.

Ортогональная модель ЭМС во временной области имеет вид

(14)

кэмс (1) = ІPj ■ Р(иt;а,В) і=0

где кэмс (1)- импульсная переходная характеристика моделируемой системы; р- коэффициенты разложения ИПХ в ряд

многочленов Лежандра. Р^(и,1;а,Р) .

Учитывая выражения (7), общее выражение для аппроксимированной импульсной переходной характеристики ЭМС за-

Рис. 2. Г рафические зависимости первых трех функций Якоби от времени при а = 0 , и = 1 и различных значениях Р . а -

[ЮЬтОД- Р = -1;

ЮЬт12да- Р = -0,5 ;

10Ь0ф- Р = 0 ; 10Ь05ф-

Р = 0,5 ; ГОЬтЩ) -

Р = 0,5 . б - [ ИЬт1® -

Р = -1; ИЬт05® -

Р = -0,5 ; I1b0(t)- Р = 0 ;

1105(1)- Р = 0,5 ; 11Ь1ф-

Р = 0,5 ; в - [12Ьт1ф-

Р = -1; 12Ьт05(аД)-

Р = -0,5 ; 12Ь0ф- Р = 0 ;

12Ь05(Д)- Р = 0,5 ; 12Ь1ф-

Р = 0,5 .

кЭМС (1 ) = I

і=0

рі •(-1)г •у/и •Г(а + і +1)Г(і +1)Г(а + В+ і +1)(а + Ь + 2і +1)Г(В+ і +1):

2 • к+В

-иі

а+В+2і +1 2 ,

■I-

2

(15)

к^Г(к + 1)Г(г - к +1)Г(а + г - к +1)Г(Р+ к +1)

Коэффициенты разложения ИПХ ЭМС, используемые в качестве аппроксимирующих модифицированных ортонор-мированных многочленов Якоби, определяются в соответствии с выражением

Рі = |„эмс Т Рп(и, 1;а,В'^т =

0

(16)

0

„ЭМС (т)-(-1)І •д/и •Г(а + І + 1)Г(І +1)Г(а + В + І +1)(а + Ь + 2І +1)Г(В + І +1):

2 • к+В

х е

а+В+2 і+1 • 2 ,

'I

к=0

1-е( и1)

2

Г(к +1)Г(І - к +1)Г(а + І - к +1)Г(В + к +1)

dт.

Определим параметры ортогональной модели вида (16) для электромеханической системы. Импульсная переходная характеристика (изменение угловой скорости после подачи импульсного управляющего воздействия) определяется экспериментальными методами и представлена на рис. 3.

В качестве критерия соответствия ортогональной модели ИПХ исходной принимаем величину квадрата нормированной дисперсии

2

н(и ) = '

F (а)

|к2ЭМС (т)dт 0

где

F (и) = |

ЭМС (т) - Iрк Рк (и,1;а,В) к=0

(8)

dт - среднеквадратичное отклонение восстановленной ИПХ ЭМС от ее ис-

тинного значения; кэмс (т) - наблюдаемые значения ИПХ ЭМС.

Параметры ортогональной модели определяем при различных значениях а, Ви оптимальных величинах и

1. а = 0, В = 0 .

Расчетные зависимости нормированной дисперсии (8) при формировании ортогональных моделей на базе различного числа функций Якоби представлены на рис. 4. Анализ этих зависимостей показал:

•рост числа задействованных функций приводит к повышению качества модели (достаточный уровень квадрата нормированной дисперсии - 0,11 достигается при использовании первых четырех функций Якоби и значении параметра и=48,5;

“2 128 144 160

Рис. 4. Зависимости квадрата нормированной дисперсии ортогональной модели от параметра и при использовании различного числа функций Якоби (sig0(u) - первая функция, sig1(u) -первые две функции Якоби, sig2(u) - первые три функции Якоби, sig3(u) - первые четыре функции Якоби и параметрах а = 0, Р = 0).

х е

да

и • і

зо

2

sig3a1 (и) sig3a05 (и) sig3am05 (и)

16 24 32 40

96 104 112 120 128 136 144 152 160

Рис. 5. Зависимости квадрата нормированной дисперсии ортогональной модели от параметра и при использования первых трех функций

Якоби (sig3а1(u) -О=1, ( =0; sig3a05(u) —О =0,5, ( =0;

sig3am05(u) —О = -0,5, ( =0.)

•при использовании более двух функций Якоби зависимости приобретают несколько выраженных локальных минимумов, что должно учитываться при синтезе математических алгоритмов по поиску оптимальных моделей.

В таблице даны расчетные параметры ортогональных моделей ЭМС, построенных с определением значений параметра и при минимуме квадрата нормированной дисперсии.

Число используемых функций Якоби, п Значение минимума квадрата нормированной дисперсии и параметра функционала и Значения коэффициентов разложения ИПХ ЭМС

1. (0). 0,51; 43,5 Р0 = 88,34

2. (0,1) 0,24; 85 Р0 = 78,354 ; р1 = 76,48

3. (0,1,2) 0,165; 107 Р0 = 70,125 ; р = 79,84 ; р2 = 44,53

4. (0,1,2,3) 0,11; 48 Р0 = 88,14 ; р1 = 39,11; р2 = -49,3 ; р3 = -49,18

2. а Ф 0, р = 0.

Произведем расчет параметров ортогональной модели ЭМС при значениях а = +1; а = + —.

Расчетные зависимости нормированной дисперсии (8) при формировании ортогональных моделей и использовании первых трех функций Якоби представлены на рис. 5.

Полученные зависимости обладают значительной их схожестью с зависимостями, представленными на рис. 4 при одинаковых порядках ортогонального функционала. В тоже время, изменение параметра а не влияет на минимальное значение квадрата нормированной дисперсии и, следовательно, на качество ортогональной модели.

Выводы

1. Модифицированные ортогональные и ортонормированные функциональные многочлены Якоби обеспечивают формирование ортогональных моделей ЭМС на базе алгоритмов, использующих разложения импульсной переходной характеристики ЭМС (оператора ЭМС) в ряд.

2. Модифицированные ортонормированные функциональные многочлены Якоби носят наиболее общих характер из класса ортогональных функций.

3. Повышение порядка аппроксимирующего функционала приводит к расширению диапазона значений параметра и, при которых достигаются приемлемые с точки зрения качества модели величину квадрата нормированной дисперсии.

---------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Современные методы идентификации систем/ Под ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир,1983.

2. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №1, 2002, с.19-21.

3. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №2, 2002, с. 21-25.

4. Петров В.Л. Моделирование электромеханических систем горных машин на основе представления оператора рядом ортого-

нальных функций Лежандра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №8, 2002, с. 9-12.

5. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А.А. Красовского.- Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1970.

0.8

0.653

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ----------------------------------------------------------------------------------

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», докторант кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет.

ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ ГОРНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ