Синтез коррелятора на базе ортнормированных функций Лежандра для определения параметров электромеханических систем очистных машин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нагрузки в электромеханических системах горных (ЭМС) машин режущего типа обусловлены процессом резания пород, кинематическими и динамическими характеристиками (ЭМС) и имеют явно выраженный случайный характер [2, 3]. Исследование процессов формирования нагрузок в ЭМС горных машин, построение математических моделей учитывающих динамические свойства ЭМС и идентификация параметров математической модели является актуальной задачей, решение которой позволяет:

• определять оптимальные параметры элементов ЭМС;

• осуществлять синтез систем и алгоритмов управления ЭМС в различных режимах работы;

• разрабатывать методы и средства снижения неравномерности нагрузок в ЭМС в рабочих режимах работы механизма и др.

Исследования ЭМС горных машин осложняются рядом специфических условий, характеризующихся тяжелыми условиями эксплуатации; ограниченной мощностью системы электроснабжения и режимом работы электропривода, определяемым как повторно-кратковременный с частыми пусками; наличием упругих элементов. Вышеприведенные аргументы, позволяют заключить, что математические модели ЭМС горных машин режущего типа должны учитывать конструкционные свойства и технологические особенности эксплуатации последних. Наиболее эффективными с этой точки зрения становятся модели, построенные на основе обработки данных экспериментальных исследований в условиях нормальной эксплуатации реальных машин.

Экспериментальные исследования динамических характеристик ЭМС горных машин в реальных усл овиях подразумевают измерения координат в различных режимах работы машины, технологических условиях. Более рациональной координатой с точки зрения метрологической фиксации является активная мощность, потребляемая электроприводом машины. В ряде работ [5] доказано, что активная мощность, потребляемая электроприводом очистного комбайна, является стационарной случайной величиной, обладающая эрготическим свойством. Результаты обработки экспериментальных исследований, как правило, выражаются через автокорреляционные или взаимокорреля-ционные функции измеряемых координат ЭМС. Однако, корреляционные функции не всегда удобны для математического описания модели, поэтому представим методику, которая дает возможность идентификации оператора (передаточной функции) электромеханической системы горной машины режущего типа - очистного комбайна.

Используем уравнение Винера-Хопфа, связывающее корреляционные функции координат электромеханической системы с его импульсной переходной характеристикой

ГО

RpU(т) = |Rpp(т -вМв^в , (1)

О

где RpU (т) - взаимокорреляционная функция управляющего воздействия и потребляемой ЭМС очистного комбайна мощности; Rpp(т-в) - автокорреляционная функция потребляемой ЭМС очистного комбайна мощности; ^(в)- импульсная переходная характеристика ЭМС очистного комбайна.

Задача определения параметров математической модели ЭМС очистного комбайна сводится к решению интегрального уравнения (1) относительно импульсной переходной характеристики ^(в) .

Представим корреляционную функцию потребляемой мощности Rpp (т) в виде разложения в ряд ортогональных функций

ГО

Rpp(т) =^скР 'фк (т) (2)

к=0 ГО

где срр = |Rpp(т) •фк (т^т - коэффициенты разложения корреляционной функции Rрр(т) ; фк (г) - определенные О

функции из ортогонального базиса.

Автокорреляционную функцию определяем по формуле

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

СИНТЕЗ КОРРЕЛЯТОРА НА БАЗЕ ОРТНОРМИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОЧИСТНЫХ МАШИН

1

Rpp(т) = — • |Р(!) • Р(! + т^ .

т

О

В качестве ортогональных функций используем модифицированные функции Лежандра, определяемые выражением

и-Г-^+я) П [ (1 — е111 )к ^

(3)

(и,1,я) = (— 1)Пд/и(2я +1) -(я!)2 • е 2 I

к=о1 (к!)2 •[(я — к)!]2

(4)

где и - масштабный временной параметр; я - порядковый номер функции.

Представим аналитические зависимости для первых четырех модифицированных функционалов Лежандра, рассчитанных на основании (4):

и!

г

Фо(и,1) = 4й • е 2, Ф1 (и,1) = V3 • и •

и-1

3и!' А

2 — 2 • е

Ф2 (и,1) = л/5 • и •

Зи!

5•u•f А

2 — 6 • е 2 + 6 • е 2

фз( и,1) = л/7 • и •

3•u•t

5 и!

е

2 —12

е

2 + 30 • е 2 — 20 • е 2

V У

Для дальнейших исследований определим зависимости (5) и (4) в пространстве преобразований Лапласа

( \ \

4й

Фо( p)=—и-, Ф2 (p) = ^ •

p + — и 2

1

6 6

- + -

1 3 5

p+ —и p+ —и p+ —и

V 2 2 2

Ф1(p) = ^3и •

1

2

13

p+—и p+ —и

2 2 у

Ф3( p) = 4тй •

Л

1

12 30

- + -

20

13 5 7

p+ —и p+ —и p+—и p+ —и V 2 2 2 2 у

я(p,и) = L |(— 1)^и(2я +1) •(я!)^ е и'я I

к=0

(1 — еи< )к (к!)2 •[(я — к)!]2

■ = ^1 и(2я +1) • -г-°

2

(5)

(6)

(7)

Выражение (7), отражающее преобразования Лапласа для модифицированных ортонормированных функциональных многочленов Лежандра, имеет большое значение при синтезе ортогональных моделей ЭМС.

Выражение для коэффициентов разложения С^ с учетом (3) определим следующим образом

го 1 Т 1 Т го

= |Т ’ 1 Р(t) • Р(t + т^ • Фк (т)dт = — • |p(t) • |p(t — т)Фк (т)dтdt

(8)

0 0 0 0

На основании выражений (7) и (8) осуществим синтез структуры устройства, позволяющего вычислять значения коэффициентов разложения корреляционной функции. Основу такого устройства составляют ортогональные фильтры, обеспечи-

ГО

вающие вычисление ^ р(! — т)Фк (т^т , блоков перемножения координат и интегрирования (рис. 1).

0

Предлагаемый алгоритм позволяет определять значения коэффициентов разложения и для взаимокорреляционной функции.

На следующем этапе представим интегральное уравнение (1) в другой форме, учитывая возможное ортогональное представление ИПХ и корреляционных функций

я0

I

г=0

IсРи •Фг(т) = |Rpp(т — в) Iс^Фк(вув = Л с]Ф] (т — в)Iск'Фк(в)dв = Iс*} Iс£Р|Фк(т — в)Ф} (в)dв. (9)

к=0 о У=0 к=0 у=0 к=0 о

я я1

2

е

е

и!

оо

оо

со

Рис. 1. Структурная схема устройства для определения коэффициентов разложения автокорреляционной функции в ряд ортонормиро-ванных функций Лежандра.

Выражение (9) позволяет установить связь между значениями коэффициентов разложения корреляционных

функций Сри , С^ и коэффициентами разложения импульсной переходной характеристики С ^ . В некоторых

случаях рационально использовать выражение (9) в пространстве преобразований Лапласа.

С помощью выражений (9) и (10), задаваясь числом членов (коэффициентов) разложения, формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложения ИПХ ЭМС. При решении системы уравнений может возникнуть ситуация, связанная с недостаточной ее обусловленностью, что приводит к необходимости применения специальных алгоритмов регуляризации для ее решения.

Выводы

1. Использование ортогональных разложений корреляционных функций позволяет обосновать параметры математической модели электромеханической системы горных машин режущего типа.

2. Из класса ортогональных функций наиболее полно отвечают задаче идентификации модели ЭМС функции из

(10)

і=0

у=0 к=0

2

пространства L є [0;да) : модифицированные Лежандра, Лагерра и т.д.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

4. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: МГГУ, ГИ-АБ №1, 2002, с. 19-21.

2. Докукин А.В., Красников Ю.Д., Хургин З.Я. Аналитические основы динамики выемочных машин. - М.: Наука, 1966.

3. Докукин А.В., Красников Ю.Д., Хургин З.Я. Статистическая динамика горных машин. - М. Машиностроение,1978.

5. Бабокин Г.И. Развитие теории, методы и средства управления и защиты ЭМС горных машин с преобразователями частоты. Дис.на соск. уч. ст. докт.техн.наук. - М.:МГГУ, 1996.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», докторант кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет.