Обоснование ортонормированных функций для классов спектральных моделей электромеханических систем, характеризующихся различной степенью колебательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2013

УДК 622.012:658/262 В.Л. Петров

ОБОСНОВАНИЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ КЛАССОВ СПЕКТРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХСЯ РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ

Представлены аспекты синтеза спектральных моделей электромеханических систем с разной степенью колебательности; проведен анализ разных ортонормированных функций в целях синтеза спектральных моделей электромеханических систем.

Ключевые слова: спектральные модели, электромеханические системы, ор-тонормированные функции, колебательность, импульсная переходная характеристика

При использовании метода разложения импульсной переходной характеристики(ИПХ) электромеханической системы(ЭМС) в базисе синтезированных преобразованных ортонормированных функций (СПООФ) можно записать для спектральной модели ИПХ[1—8, 11-14,19,20]

\ с) = 1 уд V), (1)

1 =0

где Ь^ ^) - спектральная модель ИПХ ЭМС; у- - 1-й коэффициент разложения ИПХ ЭМС; д■ ^) - 1-й компонент выбранной

системы ортонормированных функций.

Коэффициенты разложения ИПХ в базисах ортонормиро-ванных функций определяются в соответствии с формулой[1-3]

да

у. = { Ь[ (т) • Ь5 (т) • д. (т) ( т, (2)

0

где Ь§ ^) - ИПХ ЭМС; ^ (т) - весовая функция СПООФ.

Рассмотрим в качестве СПООФ следующие виды функ-ций[9-20]:

СПООФ Чебышёва-Лежандра

Ортогональные многочлены Р^ (х), весовая функция которых тождественно равна единице, определяют многочлены Чебышёва-Лежандра. Алгебраическая формула для расчета элементов системы Чебышёва-Лежандра имеет вид:

Рп(х^Ш^ ]Г 'х -^ -к(х + .)к 2 , (3)

П 2П к=о [г (к + 1)]2 [г(п - к +1)]2

где Д-) - гамма-функция Эйлера.

Эти многочлены обладают ортогональными свойствами на интервале х е [-1; 1].

Осуществляя ряд последовательных подстановок и проводя процедуру нормирования, получим СПООФ Чебышёва-

Лежандра РП (и ,4):

Рп(и,4) = (-1)^и(2п +1) [г(п + 1)]2 X

-и*(п+1) л _(1 - еи 4 )к

! [Г (к +1)]2 [Г(п - к +1)]2

где и - масштабный параметр.

Использование биноминальной формулы Ньютона позволяет получить иную формулу для СПООФ Чебышёва-Лежандра, более удобную для решения ряда прикладных задач:

хе ^ 2, ""Л -ГТ, (4)

Рп (и,4) = (-1)^и(2п +1) [г(п +1)) е^'^ х

х!

к=0

1 ! (-1) 1еи 4 ■1

(5)

[Г (к +1)]2 [Г (п - к +1)]2^ Г ( +1) Г(к -1 +1)

Тогда СПООФ Чебышёва-Лежандра (4), (5) обладают ортогональными свойствами на интервале значений аргумента 4 е [0; <х>[.

СПООФ Якоби

Весовая функция многочлена Якоби определяется следующим выражением:

Ь(х) = (1 - х)а (1 + х)Ь , где х е[-1,1], а >-1, Ь >-1. (6)

Алгебраическая формула для расчета элементов системы Якоби Jn (х ;а,Ь) имеет вид:

т , ,, Г(Ь + п +1) • Г(а + п +1) Jn (х ;а,Ь) =---х

<1

2п

(х - 1)п-к (1 + х)к

(7)

к=0 Г (к +1) Г(п - к + 1)Г(а + п - к + 1)Г(Ь + к +1) '

Осуществляя ряд последовательных подстановок и проводя процедуру нормирования с учетом аналогичных преобразований с весовой функцией (7), получим СПООФ Якоби

Jn (и, ^, а, Ь):

J (и/;а,Ь) =

п

2п+Ь

= (-1) 2 4и Г (а + п + 1)Г (п + 1)Г (а + Ь + п + 1)(а + Ь + 2п + 1)Г (а + п +1) х

[1 - е

а+Ь + 2п+1

2к+Ь_ 2

(8)

к=0 Г (к + 1)Г (п - к + 1)Г (а + п - к + 1)Г (Ь + к +1)

Приведем также иную формулу для СПООФ Якоби, использование которой значительно упрощает решение ряда прикладных задач, чем при использовании (8):

Jn (и,^; а,Ь) =

2п +Ь _

= (-1)~ 4иГ(а + п + 1)Г(п + 1)Г(а + Ь + п + 1)(а + Ь + 2п + 1)Г(а + п +1) х

1

<х-

Й Г (к + 1)Г (п - к + 1)Г (а + п - к + 1)Г (Ь + к +1)

[ ^ ] (-1У Г

хХ -

2к+ь ^ [ 2к + Ь , ^[/ 2

11 е

а +Ь+2п+1

]=0

Г(; + 1)Г

2к + Ь

-; +1

(9)

Тогда СПООФ Якоби 87), (9) обладают ортогональными свойствами на интервале значений аргумента 4 е [0; .

СПООФ Чебышёва-Лагерра

Весовая функция многочлена Чебышёва-Лагерра определяется следующим выражением:

Ь (х) = ха ■ е-х , где х е[0, ю[, а >-1. (10)

Алгебраическая формула для расчета элементов ортогональной системы Чебышёва-Лагерра имеет вид:

Ь (х,а) = ! (-1)1 Г(п + а +1) --. (11)

п( , ) 1=0 ) г(а +1 +1) Г(( + 1)Г(п -1 +1) ( )

Введем в функцию Чебышёва-Лагерра

- х

Фп (х, а) = е ~Ьп (х; а), (12)

Осуществив в (12) замену переменной 4 = с учетом (10),

(11) и процедуру нормировки, получим выражения для СПООФ Чебышёва-Лагерра:

„ Л/2Ь Г(п +1)

Фь (4,а,Ъ) = * , х

п -у/Г(а + п +1)

хе - ! (-1) 1 Г(п + а +1)_21__(13)

1=0 ' Г(а +1 +1) Г(( + 1)Г(п -1 +1)" ' '

Тогда СПООФ Чебышёва-Лагерра (13) обладают ортогональными свойствами на интервале значений 4 е [0; .

Синтез СПООФ Чебышёва-Эрмита

Рассмотрим многочлен, весовая функция которого определяется следующим выражением: 2

Ь (х) = е-х , где х е . (14)

Алгебраическая формула для расчета элементов ортогональной системы Чебышёва-Эрмита имеет вид:

(х) = !-(-1) Г(п +1)-(2х)п-2к, (15)

^ £0 Г(к + 1)Г(п - 2к + 1Г

п п

где — - операция выделения целой части числа —. 2 2

Далее определим класс ортогональных функций Чебышёва-Эрмита

Неп (х) = Ип (х) • е 2 . (16)

Введем в (16) новую переменную х = и • t , где и - масштабный параметр. После проведения процедуры нормировки установим формулу для СПООФ Чебышёва-Эрмита:

" ^ и )2

Не (и ,t) = . е 2 х

П у]2п Г(п + 1)ТЛ

х^-(_1)А Г(п +1)-(2^)п_2к . (17)

£0 Г( к + 1)Г( п _ 2к +1)' ' ' '

Тогда СПООФ Чебышёва-Эрмита (17) обладают ортогональными свойствами на интервале значений t е ]_да; .

Таким образом, произведен синтез модельно-проекционных и функциональных оболочек на основе классических ортогональных многочленов.

При использовании метода разложения ИПХ ЭМС в базисе СПООФ можно записать для спектральной модели ИПХ

¿5 ^) = 1 уд ^), (18)

1 =0

где ¿5 (t) - спектральная модель ИПХ ЭМС; у. - 1-й коэффициент разложения ИПХ ЭМС; д. ^) - 1-й компонент выбранной

системы ортонормированных функций.

Коэффициенты разложения ИПХ в базисах ортонормиро-ванных функций определяются в соответствии с формулой

у. =| Ь[ (т) • Ь5 (т) • д. (т) 6 т, (19)

0

где ¿5^) - ИПХ ЭМС; ^ (т) - весовая функция СПООФ. 166

Исследуем влияние некоторых определяющих свойств ЭМС на процедуру синтеза спектральной модели ИПХ ЭМС при использовании их операторных моделей. В качестве наиболее характерного для ЭМС рассматривается случай разомкнутой двухмассовой ЭМС, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

6 а. , ,

1 + 'К -Ф2 ) =

6 а

2'"МП ^2Г "'с х 6М

Х'кс )■

3 2' с1 '(Ф1 -Ф2 ) = -М (и-а ' к )'к = М , +Т 6

а 6 е 64

где 31,3 2 - моменты инерции первой и второй масс ЭМС; С1

- коэффициент жесткости связи между первой и второй массами ЭМС; с^, Ф1, Ш2 , Ф2 - координаты (угловая скорость и

угол поворота) первой и второй масс ЭМС; к , к ,T - кон-

с а е

структивные постоянные электродвигательного устройства; M6 - момент электродвигательного устройства; М^ - момент

сопротивления (на исполнительном органе); и - координата управления.

В основе операторных моделей относительно основных координат двухмассовой ЭМС лежит характеристическое уравнение четвертого порядка, от распределения корней которого зависят динамические свойства ЭМС. Очевидно, что это распределение зависит от значений физических параметров исследуемой ЭМС.

На рис. 1 приведены зависимости квадрата нормированной дисперсии (КНД) от значений масштабного параметра и при использовании для построения модели (18) СПООФ Чебышёва-

Лежандра (частота собственных колебаний ЭМС Ю0 = 30 с-1;

коэффициент отношения масс Е, = —= 0,5).

3 2

0 i 100 Рис. 1. Зависимости квадрата нормированной дисперсии спектральной модели ИПХ двухмассовой ЭМС от значений масштабного параметра u: модель с использованием СПООФ Чебышёва-Лежандра:

(Sq20ks02J(i,1) - 4-го порядка, Sq20ks02J(i,2) - 8-го порядка, Sq20ks02J(i,3) - 12-го порядка, Sq20ks02J(i,4) - 16-го порядка)

Характер зависимостей свидетельствует, что процесс построения модели ИПХ имеет высокие показатели сходимости при использовании СП00Ф Чебышёва-Лежандра 8, 12 и 16-го порядков. Зависимости имеют интервалы значений масштабного параметра, при которых значение КНЛ минимально. При использовании моделей на базе СП00Ф Чебышёва-Лежандра выше 12-го порядка значения КНЛ on < 0,05 достигается на значительном интервале изменения масштабного параметра.

Установлено влияние колебательности ИПХ ЭМС на процесс синтеза непараметрической модели. С этой целью определены зависимости КНЛ от масштабного параметра для фиксированных значений порядка модели и изменяющейся степени колебательности ЭМС. В качестве такого показателя использовано средневзвешенное значение степени колебательности системы, определяемое соотношением:

k I i = 1 Im( Pk) Pk

Re( pk)

k I i = 0 Pk

Рис. 2. Зависимости квадрата нормированной дисперсии спектральной модели двенадцатого порядка на базе СПООФ Чебышёва-Лежандра от значений масштабного параметра для случая двухмас-совой ЭМС и различных степеней колебательности: (8я20кБ02Л -

Цс = 3 , 8я20кБ02Л - Цс = 7 , 8я20кБ02Л - Цс = 12)

где Яе(р^), 1т(р ^) - соответственно действительная и мнимая части корней характеристического уравнения системы;

Р

к

= А Ие(р

к

1т( р

к

На рис. 2 приведены установленные зависимости КНД от масштабного параметра при различных значениях Цс = 3; 7; 12.

Для всех случаев использовалась модель на основе СПООФ двенадцатого порядка. Установлены минимальные значения

¡1 = 3 Ц = 7

КНД при различных Ц : а^ = 0,00578; а^ = 0,079;

с

тт

а|тС|п12 = 0,171. Характер зависимостей свидетельствует, что

увеличение колебательности в ЭМС приводит к необходимости повышения порядка используемых в модели СПООФ для обеспечения достаточной её точности.

Л м1 ь12

Рис. 3. Зависимости минимально достижимыгх значений квадрата нормированной дисперсии спектральной модели ИПХ двухмассо-вой ЭМС в различных базисах СПООФ от величины колебательности: (Ми(0Д) - СПООФ Чебышёва-Лежандра, Ми(1Д) - СПООФ Якоби (а=2, Ь=2), Ми(2,1) - СПООФ Чебышёва-Лагерра, Ми(3Д) - СПООФ Че-бышёва-Эрмита)

Для количественного анализа влияния колебательности ИПХ ЭМС на точность её спектральной модели, построенной на базе различных систем СПООФ, были установлены комплекс зависимостей минимально достижимых значений квадрата нормированной дисперсии спектральной модели ИПХ двух-массовой ЭМС. В исследуемой модели использовались СПО-ОФ четырнадцатого порядка (рис. 3).

Анализ зависимостей, представленных на рис. 3, позволяет сделать важный вывод о предпочтении того или иного базиса СПООФ при его использовании для построения спектральных моделей ИПХ ЭМС. Как следует из рис. 3, СПООФ Чебышё-ва-Эрмита обеспечивает более высокие показатели достоверности спектральной модели, что свидетельствует о предпочтительности указанных функций.

Следующими по эффективности с точки зрения точности спектральных моделей будут СПООФ Чебышёва-Якоби, а также их частный случай - СПООФ Чебышёва-Лежандра (СПООФ Якоби при значениях параметров а =0, b = 0).

Установленные зависимости отражают еще одно важное свойство СПООФ для класса задач построения спектральных моделей ИПХ ЭМС. Увеличение параметров СПООФ Якоби (а и b) позволяет в некоторой степени снизить значение КНЛ.

Зависимость для СПООФ Чебышёва-Лагерра позволяет отнести эти функции к классу СПООФ, точность спектральных моделей в базисе которых в большой степени зависит от колебательности системы. На основе сравнительных количественных оценок в работе сделан вывод о том, что использование СПООФ Чебышёва-Лагерра возможно только для слабоколебательных ЭМС. Этот вывод подтверждается в работах в более ранних исследованиях [3,2], но в отмеченных работах отсутствует обоснование этого утверждения на основе количественных оценок.

Выявленные зависимости составляют основу методики обоснования порядка непараметрической модели ИПХ ЭМС в базисах СПООФ, обладающей свойствами колебательности. Лля того чтобы определить порядок спектральной модели ИПХ ЭМС по информации о значении показателя колебательности, необходимо задаться значениями минимальной КНЛ,

например, а . = 0,05 . Лалее для систем с различными Ц n mm 'с

определяется порядок спектральной модели, при котором будет достигнуто минимальное значение КНЛ, удовлетворяющее

условию а < а . .

n n min

При обосновании той или иной системы СПООФ необходимо учитывать критерии, характеризующие структурную сложность будущей непараметрической модели.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления/ под ред. Н.Д. Егупова. - М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2. Александровский Н.М., Глазков В.И., Горинов В. В. и др. Аппаратура для статистического анализа динамических характеристик сложных объектов. - Идентификация и аппаратура для статистических исследований. - М.: Наука, 1970.

3. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатомиздат, 1989.

4. ГропÄ. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979.

5. Mäkilä P.M. Laguerre Series Approximation of Infinite Dimensional Systems. - Automatica. Vol. 26, No. 6, pp.985-995, 1990.

6. Lee P.A., Ong S.H., Srivastava H.M. Some Generating Functions for the Laguerre and Related Polynomials. - Applied Mathematics and Computation. Vol. 108, pp. 129-138, 2000.

7. Heuberger P.S.C., Hof V., Bosgra O.H. A Generalized Orthonormal Basis for Linear Dynamical Systems. - IEEE Transactions on Automatic Control. -Vol. 40, No. 3, 1995, pp. 451-465.

8. Douwe K. de Vries, Paul M.J. Van den Hof. - Frequency Domain Identification with Generalized Orthonormal Basis Functions. - IEEE Trans. Autom. Conrol. Vol 43, No 5, 1998, pp. 656-668.

9. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. - М.: Физматгиз, 1958.

10. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. - М.: ГРФМЛ «Наука», 1979.

11. Редкозубов С.А., Петров В.Л. Параметрическая идентификация линейных динамических систем на основе ортонормированных функций Чебышева-Эрмита. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.10 вып. 3, 2003 г., с.730-732.

12. Петров В.Л. Применение некоторых классов ортогональных функций для идентификации моделей электромеханических систем выемочных машин. — Обозрение прикладной и промышленной математики т.10 вып.3, 2003 г., с.720-721.

13. Петров В.Л. Математическое обеспечение для синтеза алгоритмов идентификации моделей динамических характеристик электромеханических систем горных машин с использованием данных экспериментальных исследований. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.12, вып.2, 2005, с.467-468.

14. Петров В.Л. Спектральные модели двухмассовых электромеханических систем в функциональном базисе Чебышева-Эрмита. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып.5, 2009, с.910-911.

15. Петров В.Л. Исследование влияния степени колебательности электромеханических систем на процедуру синтеза спектральных моделей импульсной переходной характеристики в базисе ортонормированных функций. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.11, вып. 3, 2004, с.577-578.

16. Петров В.Л. Математическое обеспечение для реализации алгоритмов параметрической идентификации линейных динамических систем с применением синтезированных ортонормированных функций Чебышёва-Лагерра. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.11, вып.4, 2004, с.894-896.

17. Редкозубое С.А., Петров В. Л. Конструирование и декомпозиция спектральных моделей линейных динамических систем в базисе ортонормированных функций Якоби. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.11, вып. 4, 2004, с.910-911.

18. Петров В.Л. Построение корреляционных моделей сигналов на основе ортонормированных функций Лежандра. - Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т.10, вып. 3. - С.718-720.

19. Петров В.Л. Применение некоторых классов ортогональных функций для идентификации моделей электромеханических систем выемочных машин. - Обозрение прикладной и промышленной математики. -2003. - Т.10, вып. 3. - С.720-721.

20. Обоснование класса модельно-проекционных функциональных оболочек для непараметрической идентификации моделей колебательных электромеханических систем. — Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 13, вып.5, 2006, с.329-331. н'.мз

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Петров Вадим Леонидович - профессор, доктор технических наук, [email protected],

Московский государственный горный университет.