Моделирование электромеханических систем горных машин на основе представления оператора рядом ортогональных функций Лежандра Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УЛК 62-83:001.5

В.Л. Петров

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ГОРНЫХ МАШИН НА ОСНОВЕ ПРЕЛСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА РЯЛОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНЛРА

|о сравнению с другими известными моделями электромеханических систем горных машин (ЭМС) ортогональные модели электромеханических систем (ЭМС) горных машин обладают рядом преимуществ, обусловленных их естественными свойствами: независимостью параметров модели; алгоритмической простотой формирования при экспериментальных исследованиях; хорошей совместимостью с другими видами

моделей ЭМС и др.

В работах [5,6,7] представлены некоторые модели ЭМС горных машин с использованием ортогональных функций Лагерра. В этих работах решены задачи определения взаимосвязи параметров ЭМС с параметрами ортогональной модели, определены критерии оптимизации модели и предложены методы формирования ортогональной модели ЭМС на основе экспериментальных исследований. Рассмотрим решение аналогичных задач при представлении оператора ЭМС ортогональными функциями Лежандра.

Стандартизованные многочлены Лежандра определяются следующим уравнением [9]

Пі

1

Рп (х) =-

п!-2п сСхп

Осуществив дифференцирование, найдем несколько первых многочленов:

Ро( х) = 1,

Рі( х) = х,

1 2

р2 (х ) = 2 • (3х 2 -1),

Рз (х) = 1 • (5х 3 - 3х),

Р4(х) = 8• (35х4 -ЗОх2 + 3),

(1)

(2)

Представленные многочлены являются ортогональными с весом равным 1 на сегменте [-1,1]. На рис.1 представлены графические зависимости первых пяти многочленов Лежандра на сегменте ортогональности. Для определения ортонормированного многочлена Лежандра вычислим норму многочлена (1). Из формулы

(1) следует, что старший коэффициент многочлена Рп (х) равен 2п(2п -1) ••• (п +1) (2п)!

п!-2к

(п!)2 • 2п '

Норма многочлена определяется путем решения следующего интеграла [10]

|рп||2 = | Рп(.х С

-1

(2п)!

(п!)2 • 2п -1

[хпРп(х)Сх = (2”)2 [хп[(х2 -1)п](п)сіх

V / і \ ^ л 2п «I

(п!)322п -1

(-1)п(2п)! Г/ ,

(п!)222п -1

I (х 2 -1)

-1) пСх =

(-1)п (2п)!

(п!)222п ,-1

I (х -1)п • (х +1)п Сх > =

(-1)п (2п)! (п!)222п

(-1)п (2п)! (п!)222п

(х +1)’

(х -1)

п+1

!(-1)п

(п!) (2п)!

п +1 21

п + _

-1 -1

11 (х + 1)п-1(х -1)п+1

сх

2-сх^=(-ц;(2.")!.(-у- <п!)2 2

2 *2 п+1

2

1

(п!)222п

(2п)! 2п +1 2п +1

п

Р0(х) Р1(х) Р2(х) 0

Р3(х) Р4(х)

\ ч • \ * \ /к І /• ( /• 1<Г / /*

* \ х • Ч X • /*ч / Ч X # /• / /. * / • / / • / /;

\ 1*’ / ' .* / • '■ / /

Рис. 1. Графические зависимости первых пяти многочленов Лежандра на сегменте их ортогональности

Рис. 2. Графические зависимости Рох (и, г, п) Р4<ю (и,г,п) от времени при значениях и = 1

Учитывая результаты вычислений (3) и алгоритм нормировки многочлена [9], запишем выражение для ор-тонормированного многочлена Лежандра

Рп ( X ) = Л Ру-1 • Рп (X )•

(4)

Для построения ортогональной модели ЭМС на основе ортонормированных многочленов Лежандра используем метод разложения оператора ЭМС (или аппроксимации импульсной переходной характеристики - ИПХ) рядом ортогональных функций.

В работах [5,6,7] установлены зависимости, позволяющие определять параметры ортогональной модели исходя из значений параметров оператора (и обратно), при представлении модели рядом ортогональных функций Лагерра. Нахождение аналогичных зависимостей при представлении оператора многочленами Лежандра типа (1) невозможно в связи с их ортогональностью на сегменте [- У] (функции Лагерра ортогональны на интервале [0; да]). Многочлены Лежандра (1) могут быть использованы при выполнении одного из двух способов:

1. Преобразование оператора (ИПХ) ЭМС;

2. Модифицирование многочлена Лежандра с целью расширения интервала ортогональности.

С практической точки зрения второй путь предпочтительнее, так как алгоритмы преобразования ИПХ (получение изображений ИПХ в некотором пространстве Ц, определенном на сегменте [-1;1]), трудно реализуются на практике. Для получения практических результатов, необходим и обратный переход из области изображений пространства Ц в область оригиналов (реальных параметров и координат).

Произведем модификацию многочленов Лежандра. Эта опрерация осуществляется в три этапа.

1. Реализуем подстановку для Рп (х) в виде х = 2 • у +1, которая приведет к ортогональности нового многочлена на сегменте [0;1] и выполнению условия

} Рт (2у - 1)Рп (2у - 1)йУ =

о

2

при т = п; 2п +1

0 при т Ф п•

2. Реализуем подстановку для Рп (2у -1) в виде у = Є , которая приведет к ортогональности функционального многочлена на сегменте [0; да] и выполнению условия

2

|є~игРт (2є“- 1)Рп(2є“- 1)ёг = | 2п +1

при т = п;

10

при т Ф п•

3. Произведем процедуру нормировки, по завершении которой получаем выражения для модифицированного функционального многочлена Лежандра

и

—•г

Рпх(Г) = л/и(2п +1) • е 2 рп(2е-^ -1). (5)

Аналитическая зависимость для определения многочленов Лежандра, устанавливается из (1), (5) посредст-

вом биноминального представления

(х2-1)"

ёхп

ч Г(п +1)3 •е~и• • п п Рп ( и, Г, п ) = ----------------------------------------------------------------------------------------------;-^

(1 + еи • ) *

п!

к=о1Г(к +1) ^Г(п -к +1)

(1 + еи • )к

к=01 (к !)2 •[(п - к)!]'

(6)

где Г(п) - гамма-функция, которая при целых числах п обладает свойством Г(п +1) = пГ(п +1) = п!.

В соответствии с методикой и выражением (5) полученное аналитическое выражение (6) приведем к нормированному виду

и

—г

Рп»(и,Г,п) = у1 и(2п +1) • е 2 •(- 1)п •(п!)2 •е-иГп £

(1 - еиГ )к к=о1 (к!)2 •[(п - к)!]2

(7)

= (- 1)"Ти(2п+Т) • („)*" > ± { <2 -[* „

к.о[ (к !)2 •[( п - к)!] )

Представим аналитические зависимости для первых пяти модифицированных функционалов Лежандра, рассчитанных по формуле (7):

Ро<»(и,Г,п) = -\/M•e 2, для п = 0;

Р1<ю(и,Г,п) = V3 •и

Р2»(и, Г,п) = •>/5 •и •

3• иЛ Л

2 -2 •е 2

3^ и4

для п = 1;

5иЛ Л

е

2 -6•е 2 + 6^е 2

Р3» (и, Г, п) = V 7 • и

V /

и^Г 3-иЛ 5 •и^Г

е 2 -12 •е 2 + 30• е 2 -20• е 2

для п = 2;

7^иЛ Л

Р4» (и, Г, п) = л/м •

3^ и^

5^ и^

7 и Г

для п = 3;

3е 2 -60• е 2 + 270• е 2 -420•е 2 + 210е 2

для п = 4.

(8)

Графические зависимости Р0ш (и, Г, п) - Р4ш (и, Г, п) от времени представлены на рис. 2 при значениях М = 1.

Из графических зависимостей следует, что увеличение порядка функционального многочлена приводит к усилению колебаний, что имеет важное значение для моделирование ЭМС с низким демпфирующими свойствами.

На следующем этапе определим вид зависимостей (8) и (7) в пространстве преобразований Лапласа

( Л ( Л

Р0~ (Р) = ^ , Ры (р) = у/3й •

р +— и 2

1

2

1 3

р+—и р+—и к 2 2 .

, р2» (Р) = Sй•

1

6 6 - + -

1 3 5

р+—и р+—и р+—и

V 2 2 2

Р3» (р) = J^й•

1

12 30

- + -

20

13 5 7

р +— и р + — и р +— и р +— и

2 2 2 2 /

, Р4»( р) = л/9й•

1

20 90

- + -

140 210

- + -

1 3 5 7 9

р +— и р +— и р + — и р +— и р +— и

22222

Гр4» (р,и) = 11 (- 1)пд/и(2п +1) • (п!)2 • е-и Г• п £

к=0

(1 - еи * )к

(к !)2 •[(п - к)!]'

= у/и(2п +1) •

п-1

П

г=0

2 •/ +1

2

-и - р

П!2^ и+р

;=0

(9)

и •!

е

Представленное выражение (9) для изображения в пространстве преобразований Лапласа для модифицированных ортонормированных функциональных многочленов Лежандра приобретает большое значение при синтезе ортогональных моделей ЭМС.

Ортогональная модель ЭМС во временной области имеет вид:

и

—• г

Кмс(г) = ХУуРуда(и,г,п) = ХР] '|(- 1)пл/и(2п +1) • є 2 -(п!)2 •є и'1'п ^ ]=0 ]=0 | к=0

(1 - єиг )к

(10)

_(к!)2 •[(п - к)!]2

где Иэмс (г) - импульсная переходная характеристика моделируемой системы; Р] - коэффициенты разложения ИПХ в ряд ортонормированных функциональных многочленов Лежандра Р]да (и,г,п) .

Применяя преобразования Лапласа к ИПХ моделируемой системы Ьэмс (г) , получим ее передаточную функцию. На основании выражения (9), получим зависимость для оператора моделируемой ЭМС

^ А ^ А

№ ЭМС (p, и) = Р0-

Ги

1

р + — и 2

■ + Р1

л/3м"

1

2

1 3

р +— и р +—и

22

+ р2

1

6

- + -

6

<+Рпу/и(2п +1) ■і-~°

(11)

Для обоснования окончательного вида ортогональной модели ЭМС на основе выражения (11) необходимо:

1. Установить порядок функционала п в выражении (11).

2. Определить оптимальное значение и исходя из заранее установленного критерия оптимизации. Некоторые варианты критериев оптимизации рассмотрены в [2, 5, 6, 7].

т

т

п

+

1. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. М. «Энергия», 1973.

2. Бессонов А.А., Загашвпллп Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов.-Л.: Энергоатомиздат, 1989.

3. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

4. Современные методы идентификации систем/Под ред. П. Эйкхоффа. - М.:Мир,1983.

5. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин

-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №1,2002, с.19-21.

6. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №2, 2002, с. 21-25.

7. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А.А. Красовского.- Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.

9. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука,1970.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Петров Вадим Леонидович— доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», докторант кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет.

Файл:

Каталог:

Шаблон:

1т

Заголовок:

Содержание:

Автор:

Ключевые слова:

Заметки:

Дата создания:

Число сохранений:

Дата сохранения:

Сохранил:

Полное время правки: 18 мин.

Дата печати: 28.11.2008 19:01:00

При последней печати страниц: 4

слов: 1 247 (прибл.)

знаков: 7 112 (прибл.)

ПЕТРОВ

G:\№ работе в универе\2002\Папки 2002\giab8_02 C:\Users\Таня\AppData\Roaming\Microsoft\Шаблоны\Normal•do Рубрика «Электрификация горных предприятий»

Alexandre Katalov

01.07.2002 14:27:00 12

01.07.2002 14:4б:00 Alexandre Katalov