Определение параметров регуляторов в управляемой электромеханической системе на основе спектральной модели в базисе функций Чебышева-Лежандра Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.П. Бурков, В.Л. Петров, 2012

В.П. Бурков, В.Л. Петров

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ В УПРАВЛЯЕМОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ОСНОВЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА-ЛЕЖАНДРА

Определены зависимости, которые определяют значения параметров регуляторов управляемой электромеханической системы от параметров спектральной модели.

Ключевые слова: электромеханическая система, электропривод, математическая модель, регулятор, функции Чебышева-Лежандра, преобразования Фурье.

Современные ЭМС горных машин представляют собой сложную многокомпонентную совокупность взаимодействующих подсистем и элементов различной природы. Динамические характеристики ЭМС большинства горных машин под воздействием внешних факторов приобретают свойства изменчивости, что в значительной степени определяется условиями эксплуатации оборудования, характером нагрузок в ЭМС, а также специфическими свойствами технологических процессов работы оборудования. В то же время исследователи и разработчики ЭМС и систем управления ими должны быть обеспечены достоверными данными о динамических характеристиках ЭМС.

Таким образом, научное обоснование нового математического и алгоритмического обеспечения для разработки нового класса математических моделей ЭМС горных машин является актуальной научной проблемой.

При использовании метода разложения ИПХ в базисе СПООФ Чебышёва-Лежандра коэффициенты разложения ИПХ определяются в соответствии со следующим выражением:

да

| ьв(т)р^ мат, (1)

0

где Ъ5 (т) — импульсная переходная характеристика идентифицируемой динамической системы.

При этом ИПХ идентифицируемой ЭМС может быть представлена следующим рядом [1, 2]:

да

Ь (т) = Ёх Рда (и, 4).. (2)

1=0

Учитывая, что [3—8] Рт (и, 4) = (-1)пМ2п +1) [Г (п+1)]2 X

_^_1. (3)

к-0{[Г(к +1)]2 ■ Г [(п- к +1)]2\

Можно получить общую формулу для ортогональной спектральной модели ИПХ:

ь, (т) - Ё х (-1 УуЦЛ) [г (+1) X

1-0

хе и'н)±\ (1 - еи')к 1_

к-о{[Г(к +1)]] ■[- к +1)]] и^

е 2

±%/-1 у^иЛ) [г ((+1)]2 X

1-0

хе иы ¿I (1 - еи)к I (4)

к-о\[Г(к +1 )]2 ■[- к +1 )]2 \ В тоже время, так как [3—8]

1

-и 4Iп+■

Рт ш)-(-1)пу1и(2и +1) [Г (п+1)2 ■е V 2

п \ 1 к (-1)°еи'° I

Х£ { Г (к+1) [Г п - к+1)]2 ' ¿0 г (¡+1)Г к - з+1)\

то Ь,(т) = ¿¿хо(-1)Уи(2О +1) [г(( +1)]2 X

1=0

- ) > хв " 2> £

£ (-1) 1виН

и

к=о [ [Г(к +1)]] [Г(] - к +1)]2 ¡= о 1!(к -£х ,(-1)Уи(2] +1) [Г(( + 1)]2 х

хв"*''1 £

. 1

£ И) ^^

к=о [[Г(к +1)]2 [ГЦ- к +1)]2 1=0 Л(к - ¡)- у

Для модели на основе первых трех функций Чебышёва-Лежандра можно записать следующее выражение:

-1 ^

К (Л, и) = Х о^йв 2 +х 1>/3и

( -1иЛ ^

> 2 - 2в2

+Х

( -1 иЛ ЛиЛ ^

! 2 - 6в 2 + 6в 2

Установим выражение для операторной модели в пространстве преобразования Лапласа:

^(р) = х„^ + х, , -Р ч + Р + и

р + 2 А р + 2 и

Р - 2 Л Р - 2 и

Р + Iи)( Р +13и)( Р + Т

Таким образом, изображение п-ой функции Чебышёва-Лежандра по Лапласу можно определить следующей формулой:

□

(и,:)

= М 2п + 1)

НГП Г Р - Щ1 и

¡=0

ПI . 21 + 1

П1Р+—и

или

(5)

Рда (и, 4)

= (-1)п24и(2п +1) ■

р, 1 2р - и + 2ип ^рГ 1 2р - и - 2ипл

Г|-

1 2р - и 1

2 и I

Подставляя в формулу для нахождения коэффициентов разложения ИПХ (1) выражение, определяющее СПООФ Че-бышёва-Лежандра (3), получим

Xпи = 1Ь,(т)Рт (и, 4)ёт = (-1) пГ(п + 1) Vи(2п +1) X

ХЁ

1

1 , (б) Ё Г {+№* + 1) , да Ь,(т)е"и(п+ 2-О)т

к=0 Г(к +1)2 Г(п - к +1)21=0 Г(О + 1)Г(к - О +1) 0

В соответствии с интегралом Лапласа запишем

ёт.

да -и (п+1 - О Т

IЬ5 (Т )е 2 &г = М(р)\

Р-и (п+\-О)

(7)

На следующем этапе преобразований с учетом (6) и (7) установим зависимость, связывающую компоненты спектральной характеристики ИПХ в базисе СПООФ Чебышёва-Лежандра с параметрами передаточной функции ЭМС

X пи =(-1гГ(п + 1/Ти(2П717 ¿___т_1_к_т)г х

к-0 Г(к +1 )Г(п - к +1)

(-1)1

к

% Г (¡+1)Г к -1+1)

Ш(р)!

р-и (п+2- о)

(8)

Из выражения (8) определим первые пять коэффициентов разложения ИПХ X пи :

х0и ■ -г!; х 1и = ■ х 2и ■

2< и 1- щ Ги

6 ■ и I-6 ■ Щ (2и)+Щ (и

х зи = ■

20 ■ 2и) - 30 ■ ЩГ|и) +12 ■ ЩГ|и) - ЩГи

Х4

=4U

210W|f-9 u] - 420wf-7 u 1 + 270w(| u] - 60 w(| u] + 3 Wfu

(9)

Объединяя установленные выражения (9) в систему и решая ее относительно значений передаточной функции в узлах

Ш Г2) , Ш Г^) , Ш Г ^) , Ш Г£) и Ш Г^) , получим:

Щи ^ ; ^ ^ = - 1 ^ - 3Х 0 ) Ш

W

21 4й' v21 6 4й '

5u±_ (X2 + 10X0 - ) 2 J_ 30 TU ;

7u (X 2 + 35X 0 - 2h/3Xi -V7X 3) 2 J _ 140 TU

W12H.J_ X 2 + 42X0 - X1 - 3^X3 +X 4) (1Q)

l 2 J_ 140 4U '

Предполагая, что объект управления описывается передаточной функцией к

w = ттттр, (11)

тогда пропорционально интегральный (ПИ) — регулятор можно описать передаточной функцией

Wp(p) = ßр (12)

pH

Для расчётов параметров регулятора составим систему уравнений

к0 ; к0 1 -3x0) _ (13)

1 + t u 4U 1 + т зц. 6 4й т 2 Т° 2

В итоге выполнения расчётов системы уравнения получаем значения:

6(x0)2 - 2v3 • x0x,

к о =

з4й - 3<J3J u • x-,

2V3 • x

T Г, —

0 3u • x0 - 3y/3ux1

Подставляя данные значенияв формулу передаточного коэффициента регулятора и получаем[9]:

р = Г0 = (зУихо - Зл/ЗУих,)(2^3х, + 6хо) р 2Тко 2(3их0 -З^Зих, )[6(х0)2 - 2л13х0х,]Т '

При помощи приведённых зависимостей можно произвести настройку на оптимум с применением ПИ-регулятора.

Аналогично можно определить параметры пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИЛ) — регулятора, иммеющего передаточную функцию

= в р - ^ " Р+1>. (15)

т р1 р

Тогда система аналитических уравнений имеет вид:

к 0,к 02 _ Х 0 .

^ f + ^ j + 1) ^

k01 k02 _ 1 ^ - 3Xo)_; (16)

+ 1)(T,2^ + 1) 6 ^ '

k01k02 1 (X2 + 10X0 - )

(^-у + +1) 30 ^ '

Решив систему уравнений и подставив полученные значения в формулу (14) получим зависимость для настройки на оптимум при помощи ПИЛ-регулятора для ЭМС определяемой СПООФ Чебышёва-Лежандра.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сегё Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.

2. Серов В.И. Об автоматизации угольного комбайна// Уголь. — 1985,

№4, с.37—41.

3. Петров В.Л. Моделирование электромеханических систем горных машин на основе представления оператора рядом ортогональных функций Лежандра — М.: Горный информационный аналитический бюллетень, №8, — МГГУ, 2002, с.9—12

4. Петров В. Л. Конструирование спектральных моделей линейных динамических систем в базисе ортонормированных функций Чебышёва-Лежандра — Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, вып. 1, 2004, с.133—135

5. Петров В.Л. Идентификация моделей электромеханических систем с использованием спектральных методов анализа в базисах непрерывных ор-тонормированных функций — М.: Мехатроника, автоматизация, управление. №10, 2003 г., с. 29—36.

6. Петров В.Л. Рекуррентная формула для преобразованных ортонормированных функций Чебышёва-Лежандра — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.12, вып.2, 2005, с.469—470.

7. Петров В.Л. Построение корреляционных моделей сигналов на основе ортонормированных функций Лежандра - М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. т.10 вып. 3, 2003 г., с.718—720.

8. Петров В.Л. Синтез адаптивного регулятора в электромеханической системе на основе параметров спектральной модели в базисе функций Че-бышева Лежандра — Обозрение прикладной и промышленной математики, т.16, вып.3, 2009, с.552—553

9. Башарин А.В., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами — 1982. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Бурков В.П. — аспирант, [email protected]

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Петров Вадим Леонидович — доктор технических наук, профессор, Московский государственный горный университет.