CC BY
23
© В.Л. Петров, 2003
УЛК 62-83:001.5
В.Л. Петров
МЕТОЛИКА ОПРЕЛЕЛЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗИ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕЛАТОЧНОЙ ФУНШИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С КОМПОНЕНТАМИ СПЕКТРА ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОЛНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ В БАЗИСАХ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНЛАРА
Ортонормированные функции Лежандра определяются на основании ортогональных многочленов Лежандра после проведения последовательной подстановки с целью изменения интервала ортогональности и последующей нормировки [2]. Окончательное выражение для орто-нормированных функций Лежандра имеет вид:
Pn(u,t) = (-1)nГ(п + 1)Vu(2n +1) e-
[1 - e(ut) ]k
\2 '
u t ___
При n = 0, P0(u,t) = -v/Üe 2 ; n = 1, P1 (u, t) = л/эй
k 0 Г(к +1)2 Г(п - k +1)2
f u t 3 u t Л
(1)
- 2 e
n = 2, P2(u,t) = V5'u
3 u t
- 6 e
+ 6 e
V У
где и - масштабный коэффициент.
В пространстве преобразований Лапласа функции Лежандра определяются следующим образом
П Г21+1
П| -^т"и - р
WPn(p,u) = LJ(-1)Vu(2n +1) (n!)2 e-"tnE
k=0
uk
(1 - eut)
(k!)2 [(n - k)!]2
Vu(2ñ+I)
ni 2i +1
ПІ-^u + p
i=0 V 2
Осуществив преобразования части выражения (1) в соответствии формулой Ньютона, получим:
1
__________ _ 2n+1 n
Pn(u,t) = (-1)nГ(п + 1)Vu(2n +1) e-“^E
Ek!(-1)'eu"
\2^/_ 1. , 1\2 E
п.................... ' ' ко Г(к +1)2 Г(п - к +1)2“0 і! (к - і)!
Компоненты спектральной характеристики в базисах ортонормированных функций могут быть вычислены в
соответствии с выражением
X n
_ I------- n
= j hs (T)Pn (u, T)dT = (-1)n Г(п + 1)Vu(2n +1) E
1
k=0 r(k +1)2 Г(п - k + 1)2j=0 j!(k - j)! 0
k (-1)jk! ^ -u(n+ j) T
E .(,, j(T)e 2 j dx, (2)
где И5 (т) - наблюдаемая импульсная переходная характеристика электромеханической системы (ЭМС). В соответствии с интегралом Лапласа запишем
j h 8 (Х)
-u (n +---------j) x
dx = W(P)|p=u
ip=u (n+2-j)
(3)
С учетом (2) и (3) на следующем этапе преобразований установим зависимость, связывающую компоненты спектральной характеристики ИПХ в базисе ортонормированных функций Лежандра с параметрами передаточной функции ЭМС
Xu = (-1)nГ(n + 1)2Ju(2n +1)E----1------,(-1)\,^(P)l ,1 , • (4)
~ y > y 'k=¿ r(k +1) Г (n - k +1)2 j=0 j!(k - j)! yFJb-u (n+|-j) v '
Из выражения (4) определим первые пять коэффициентов разложения ИПХ Xnu :
X0u = -fu • w (2); X1u = -SU • [2 • w (3u) - W (2)];
X2u = V5U • [6 • w (I u) - 6 • w (2 u)+w (2)];
X3U = -f7u • ^20-w(2u)-30-w(2u)+12-w(2u)-w(u)];
2
0
Х411 = -1й-[210-Ш(9и)-420-Ш(|и) + 270-Ш(-2«)-60-Ш(|и) + 3-Ш(-2)^] . (5)
На примере электромеханической системы, состоящей из электродвигательного устройства постоянного тока и жестко связанного с ним исполнительного органа, определим взаимосвязь между компонентами спектральной характеристики ИПХ в базисах функций Лежандра и параметрами передаточной функции. Передаточная функция такой ЭМС имеет вид
w1(p) =------------^----------и(р)-------кт - (1 + Тя - р)----Мс(р), (6)
^ 1 + Тт-р-(1 + Тя -р) ^ 1 + Тт-р-(1 + Тя -р)
Т я Т Ья
где Тт =-----2-----электромеханическая постоянная времени; 1я =----------электромагнитная постоянная времени
с Я,
т Я Ь
цепи якоря МПТ; ^ -момент инерции, приведенный к валу МПТ;с -конструктивная постоянная МПТ; я’ я -
к = ^ к = -1
кт _ 2 ка _
активное и индуктивное сопротивления цепи якоря МПТ; с , с - коэффициенты передачи двигателя.
Выделив в выражении (6) каналы управляющего и возмущающего воздействий, приведем соответствующие передаточные функции к типовым формам
Wl(p) = Wu(p)u(p) - wf (р)Мс(р) (7)
ка = ка ^ч= кт(1 + Тяр) = кт(1 + Тр)
где Wu(p) =-------------------------ЁЁ7 , Wf(p) = ■ , , 2
1 + Ттр(1 + Тя р) 1 + Т1р + Т2р 1 + Ттр(1 + Тяр) 1 + + ^
Компоненты уравнений (5) для передаточной функции (7) могут быть определены следующими выражениями
I ^1 = 4-------^----------Г; Ши( 3и'1 = 4--------^Ши I5и') = 4 к-
V2у 4 + 2т1ир + т2и2 ’ иV 2 ) 4 + 6т1ир + 9т2и2 ’ иV 2 ) 4 + 10т1ир + 25т2и2
ШиI^1 = 4-^WfI“] = ; Wf(3и1 = 2 kf(2 + 3Ти)
I 9 ’ ‘М 9’^ 9 ’
V 2 ) 4 + 14т1ир + 49т2и V2) 4 + 2т1ир + т2и V 2 ) 4 + 6т1ир + 9т2и
(5и 1 0 kf (2 + 5Ти) Г7и 1 0 kf(2 + 7Ти)
Wf I 1 = 2-------------------------^- ; Wf I 1 = 2-------------------------------------------------^- (8)
V 2 ) 4 + 10т1ир + 25т2и V 2 ) 4 + 14т1ир + 49т2и
Выражение (4) позволяет получить систему уравнений, решения которой относительно параметров передаточной функции (7) имеют вид:
= 16 (-У15Х2 -У^ х 0 +х 2X1 + 2л/3х 0Х 2 +У15х2)
1 и (5л/3х0Х2 + 15X1X2 + 15л/15х12 + ЗЗл/^Х0 - 8л/15х2)^
= _4 ^ + ^1 х0-х2х1 -^Узх0х2 ) _
т2 = и2 (- 5л/3х0х2 - (х2 + 1^л/15ха2 -33л/5х1х0 + &Л5х2);
, = 8х0 ^15х12 -^>/5х1 х0-х2х1 + ^0х2 + 2л/15х0)
к, =
>/й (5л/3х0х2 + 15х1 х2 + 15л/15х2 + 3^л/5х1х0 -8^/15х2)^
4к35хзх2 - 105х12 - 1^л/15х2х1 + 15У21х1 хз + 4^У7х0хз + 35(У^хрх2 -У3х0х1 -х2)]
35и^ ;
1 (6^л/1?х1и2т2 + 9^л/3?х3и2т2 + 2^л/15х1 + 8л/35х3 -805х2и2т2 + 140х2)
14и (3л/15х1 - 2л/3?х3 - 5х2) ;
т1 =
, = 1 (-9л/Зи2т2х1 + 9х0и2т2 - ^л/3х1т1и - 18х0т1и - 60х0 - ^>/Зх1)
кт =-8 Тй
т = _1, (-4Хо - 2Хот1и - Хот2и2 + ^Уйкт) (9)
2 и2кт
Зависимости (9) позволяют определить значения параметров ЭМС с передаточной функцией (7) на основе спектральных характеристик ИПХ в базисах функций Лежандра.
Использование спектральных моделей на основе функций Лежандра имеет некоторые преимущества, обусловленные следующими фактами:
• минимальная погрешность вычисления параметров оператора ЭМС с помощью уравнений взаимосвязи достигается при одном и том же значении масштабного коэффициента;
• алгоритмы вычисления параметров менее чувствительны к перемене структуры передаточной функции идентифицируемого ЭМС.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н, Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение ,1986.
2. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, М. 1979.
3. Бессонов А.А., Загашвилли Ю.В, Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989.
4. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1974.
5. Современные методы идентификации систем.// Под ред. П. Эйкхоффа. - М.:Мир,1983.
6. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. // Под общей ред. Н.М. Александровского. М., «Энергия», 1973.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Петров Вадим Леонидович - докторант кафедры высшей математики, кандидат технических наук, Московский государственный горный университет.
© А.А. Коржев, 2003
УАК 622.61-67
А.А. Коржев
АЛГОРИТМ ОПРЕАЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ТЯГИ И ТИПА АОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ЭЛЕКТРОПРИВОАА РУАНИЧНОГО ЭЛЕКТРОВОЗА
Одним из направлений совершенствования привода существующих рудничных электровозов является использование дополнительных тяговых устройств на основе линейных электродвигателей (ЛД) [1, 2].
Достоинством привода от ЛД является независимость силы тяги от условий сцепления колес электровоза с рельсами и преодолеваемых уклонов пути - сила тяги реализуется только за счет электромагнитного взаимодейст-
вия индуктора и вторичного элемента. Однако использование ЛД в качестве основного привода при малых скоростях движения не целесообразно, в виду низких энергетических показателей, больших габаритах, невозможности использовании существующего оборудования, проблем с охлаждением при длительном режиме работы. Таким образом, представляется разумным использование комбинированных систем привода с работой ЛД на
участках с большим уклоном пути, при ухудшении условий сцепления, при пуске и т.д. Одной из проблем препятствующей внедрению подобных систем является отсутствие в настоящее время методик определения рациональных параметров дополнительного тягового устройства. Эффективность того или иного способа повышения тяговых свойств определяется, прежде всего, экономическими показателями [3]. Таким образом, только путем технико-экономического сравнения различных вариантов привода от ЛД с различной силой тяги, можно определить наиболее рациональный вариант для условий конкретного горного предприятия. Для коэффициента экономической эффективности капиталовложений можно записать
где AC - снижение стоимости эксплуатационных затрат за счет
