Исследование идентификатора в электромеханической системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАТОРА В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Ор

, ртогональная модель | двухмассовых электромеханических систем горных

машин

При разработке систем управления двухмассовыми электромеханическими системами существует возможность учета особенностей распределения различных видов энергии в ЭМС и, следовательно, обеспечения рациональных режимов работы. Разработка эффективных методик расчета систем управления двухмассовыми электромеханическими системами как правило сопряжена со значительными трудностями, обусловленными особенностями и характеристиками электродвигательных устройств, момента сопротивления и другими факторами. Поэтому определенный интерес представляют формы математических моделей с независимыми параметрами - модели, выраженные через ортогональные базисы. Рассмотрим возможность представления модели двухмассовой ЭМС разложением ее передаточной функции (ИПХ) рядом ортогональных функций Лагерра. За исходную примем модель, описываемую системой дифференциальных уравнений [10]

где Jl, J2, - моменты инерции первой и второй массы ЭМС; сі - коэффициент жесткости связи между первой и второй массой ЭМС; w1, ф1, W2, ф2- координаты (угловая скорость и угол поворота) первой и второй массы ЭМС; кс - конструктивная постоянная электродвигательного устройства; Lя, Rя - индуктивное и активное сопротивление якорной цепи электродвигательного устройства; Ма-момент двигателя; Мс - момент сопротивления (на исполнительном органе); и - напряжение, подаваемое на якорь двигателя.

-1 ' —¡Г + С1 '(‘Рі _ р2 )- М— dt

J г ' _ Сі (рі _ р2 )-Мс

dt

ґ , \ , 1 Lя ЙМ—

(и _¡1'к;с)'к;с -М — +—-------—

кя кя —

В рассматриваемой модели, также как и в случае одномассовой ЭМС, предполагается наличие электродвигательного устройства с достаточно жесткой механической характеристикой [4, 5].

Переход к операторному представлению математической модели осуществляется операцией разделения одновременно каналов управляющего и возмущающего воздействий:

™2(Р) = ^ы(Р)и(Р) + wf(Р)Мс(Р' кс С М(Р)

-1-2Lяp4 + -1-2Кяр3 +^Ф яс1 + к2^2 + с1-2L я )р2 + (1Кяс1 + с1-2Кя )р + ксс1

__________________—^яр3 + -1Кяр2 + (кс + с^я )р + с1Кя |' Мс (р)

с1-2К я )р + кс с1

(1)

Для построения ортогональной модели используем ортогональные функции Лагерра, определяемые на всем интервале оси времени зависимостью [1, 4, 5, 6]

к X 1-0

с]

(_1)1 •—^ • (2ат)1 1!

(2)

где а - параметр функционала; Т - временной интервал.

Операторная модель передаточной функции принимает вид

( , \2 / \к\

р - а

Ж (р) -

л/2 • а

р + а

р + а

р + а )

+ Рк

р + а

(3)

где Р0, Р1, Р2.. .Рк - коэффициенты разложения передаточной функции моделируемого объекта (ЭМС) или его импульсной

переходной характеристики (ИПХ).

Коэффициенты разложения определяются выражением [1, 5]:

Рка - |¡(г^ка(г)—г ,

(4)

где 'w(т) - оригинал передаточной функции представляемой ортогональной моделью. Осуществим подстановку (2) в (4) и произведем некоторые преобразования:

к

Рка -{¡(г) ••№ • е_аг X

1 - 0

0

с1 (-1)1 —к- • (2аг)1 1 к \йт -4іа • X с , 1 -к • (2а)1

1! 1 1-0 1!

|е аг(-г)1 • ¡(г—г

0

Осуществляя прямые преобразования Лапласа и применяя теорему о дифференцировании изображения, определим коэффициенты разложения:

О

к CJ

Рка-л/а -X -к • (2а)1 •Ж^ (а)

1 '

1 - 0[ ]'

(5)

Й1 I

где Ж1 (а) -------Ж (р) .

Йр1 'р-а

Таким образом, при известной передаточной функции ЭМС ее ортогональная модель (3) может быть определена значениями коэффициентов разложения в соответствии с выражением (5) [4, 5].

Для сокращения числа параметров модели определим ¡и (р) операторной модели (1) в следующей форме і \ к

¡и( р) = т ^ т----2^т 3^т 4 , (6)

1 + Т1р + Т2 • р + Т3 р + Т р

где Т^Т2,Тз,Т4 - параметры, определяемые из соотношений (1) и (6) путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях р.

Произведем замену в выражении (6) р на а и в ведем обозначения:

А0 - 1 + + Т2 • а + Т3а + Т4а

(7)

ЙА

А, = —°- = 71 + 2Т2а + 3Т3а2 + 4Г4а3, А2 = —^ = 2Т2 + 6Т3а + 12Т4а2, А3 = —2 = 6Т3 + 24Т4а ,

1т 1 2 3 4,2т 23 4 7 3 т 3 4 7

аа аа аа

А„ = ааО = 24Т4. аа

Отметим, что а4А4 + к1а3 А3 + к2а2 А2 + к3аА1 + к4А0 = .О , где к1 = -4, к2 = 12, кз = -24, к4 = 24, D = 24.

На следующем этапе составим систему уравнений:

W\а) • А0 + W (а) • А1 = 0 W "(а) • А0 + 2 ^'(а) • А1 + W (а) • А0 = 0

W "(а) • А0 + 3 •W"(а) • А1 + 3 •W'(а) • А2 + W (а) • А3 = 0 • (8)

W (4)(а) • А0 + 4 • W "(а) • А1 + 6 ^"(а) • А2 + 4 •W'(а) • А3 + W (а) • А0 = 0 а4 • А4 - 4 •а3 • А3 +12 •а2 • А2 -24 •а • А1 + 24 • А0 = 24 Решение системы уравнений (8) получено с помощью символьных процедур в среде МАТНСАБ и имеет вид:

24 •Ж (4) „ _24 •Ж Ж 3

А0 ----------(7Т;А1 -------------йл~

F(а,W (г)) F(а,Ж (г))

,2

48 •Ж Ж 2 _24Ж Ж

F(а,Ж (1))

3

Ао -

3

_ 144 •Ж Ж +144 •Ж Ж 2Ж _24 •Ж Ж _

F(а,Ж (1)) ’

576Ж'4 _ 684Ж"жЖ '2 + 192Ж'”ж 2Ж ' + 144Ж "V 2 _ 24Ж (4)Ж 3

3

А3 -

А4 -

(9), где

F(а,Ж (1))

F(a,W (1)) -24Ж (4) + (_12а2Ж + 4а3Ж + 24аЖ _Ж (4)а4)Ж3 ++(_24а3Ж Ж + 6Ж а4 + 24Ж а2 +

(4)

(4а

„2

,4

+ 8W а^ W ++(-36а W W + 24W а3 )W + 24W а4.

На основании выражения (5) получим равенства, связывающие производные передаточных функций с коэффициентами разложения ИПХ [1]

2

2

2

3

W (а) = -= Р0; W (а) =-------------------------------= (- /30 + А), W "(а) =

V2а

W (а) =

W (5)(а) =

W (6)(а) =

4а3 42а -15

4а5 42а 45

4а6л/2а 315

2а>/ 2а

(- 30 + 3А - 333 + А3 ^(4)(а) =

2а2 42а

2а4 42а

(30- 2 А + 32)

(30 - 431 + 632 - 433 + 34 )

(10)

3 - 531 +1032 -1033 + 534 - 35 )

(30 - 631 +15 32 - 2033 + 25 34 - 635 + 36 ) г(А) - 731 + 2132 - 3533 + 3534 -2135 + 736 - 37)

W (7)(а) - 7------

8а л/2а

Для определения выражений (9) и дальнейшего нахождения взаимосвязи между параметрами модели (6) и (3), представленные зависимости (10) избыточны, однако они необходимы для построения ортогональной модели по возмущающему воздействию.

Учитывая полученное решение (9) и установленные соотношения (10), из выражения (7) получим окончательные зависимости, определяющие параметры модели (6) через параметры модели (3).

|(- 34 - 32 + 233 3 + (¿АА - 43132 + 312 + 32 )3<3 + (231 - 332 )30312 + 314 |

Т 4 =■

Т3 =■

+ (831 - 132 + 433 - 34)3<3 +(7312 + 23133 - 83132 + 32)30 +(431 - 3 32 )3031 + 31

|(- 2 34 + 532 - 333 )303 +(43133 - 103132 + 3312 + 232 )30 +(531 - 632 )3032 + 2314 1(- 2)

а~

Т2 =

Т=

к = ■

8304 + (831 - 732 + 433 - 34)303 + V 312 + 23133 - 83132 + 32 )30 + (431 - 332 )30312 + 314

334 + 232 + 333 3 +(63133 - 6А32 - 2312 + 332 )30 + (3А - 932 )3032 + 3314 1(- 2) .

8304 +(831 - 732 + 433 - 34 )303 +(7312 + 23133 - 83132 + 32/30 +(431 - 3 32 )30312 + 314,

4304 +(- 2 34 - 932 + 433 )303 + (4АА, - 14АА + 9312 + 232 )30 +(731 - 632 )3032 + 231 1(т 2).

(11)

4 +(831 - 732 + 433 - 34 3 +(7312 + 23133 - 83132 +32)3(5 +(431 - 3 32 )3032 + 314

+

8 • 42 • 30

л/° 830 + (831 - 732 + 433 - 34)303 + (7312 + 23133 - 83132 + 32 )30 + (431 - 332 )30312 + 314

Далее определяем аналогичные соотношения для ортогональной модели по возмущающему воздействию (р) модели

(1). Представим (р) как:

(р)=

£• (1 + Т;> + Т^р2 + Т3'р3) 1 + Т 1 р + Т 2 • р2 + Т 3 р3 + Т 4р4

(12)

где Т 1, Т 2, Т 3, Т 4, Т 1, Т 2, Т 3- параметры, определяемые из соотношений (1) и (12), путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях р.

Для определения взаимосвязи между коэффициентами разложения ИПХ и параметрами модели (12) используем представленную выше методику с использованием выражений (10).

Нижеприведенная система матричных уравнений для модели (12) аналогична системе уравнений (8).

1

3

3

Ж(а) 0 0 0

Ж °(а) Ж (а) 0 0

Ж (")(а) 2Ж' (а) Ж (а) 0

Ж ("')(а) 3Ж"(а) 3Ж (а) Ж (а)

0

0

0

0

0

0

0

0

Ж (4)(а) 4Ж "(а) 6Ж"(а) 4Ж'(а) Ж (а) 0

Ж (5)(а) 5Ж 4 (а) 10Ж 3(а) 10Ж"(а) 5Ж'(а) Ж (а)

0

0

Ж (6)(а) 6Ж 5(а) 15Ж 4(а) 20Ж '"(а) 15Ж "(а) 6Ж'(а) Ж (а) 0

Ж (7)(а) 7Ж 6(а) 21Ж 5(а) 35Ж 4(а) 35Ж 3(а) 21Ж"(а) 7Ж'(а) Ж (а)

24

- 24а 12а

2

где В0 = 1 + Т 1а + Т 2 -а2 + Т 3а3,В,- =

- 4а 3

3

В0

В1

А0

А1 В2

А2 В3

А3

В4

• А4 =

А5 В5

А6 В6

А7

В7

В8

D

(13)

dаI

,А0 = 1 + Т1а+ Т2 -а2 + Т3а3 + Т4а4, А, = , D=24.

dа

Для модели (12) В4 = В5 = В6 = В7 = 0 и А5 = А6 = А7 = 0 .

Решение системы (13) осуществлялось с помощью символьных процедур в среде МАТНСАЭ. Окончательное решение для параметра Т 4 имеет вид

Т 4 =-

3

I

1=0

- + 04 1а + АТ 404 + ВТ 404 + СТ 4

3

I

1 =0

(14)

а4 - (—А4 + А4 1(-1)1 А + ^ 404 + ^Т 4 А4 + °Т 4 )

где

АТ 4 =

— 02 + А7 — А6 — А5 )А1 — А3 + (305 — 202 — 201)03 — А01А + (206 — А5 )А2

ВТ 4 = А3 + (—206 + 302 — 205)03 + (—202 А7 + (06 + А7 — 205 )А0 + 30601 + А1А7)А3 + ( А6 — А7)А1 +

+ (20502 — А6 А2 — 20506 — А2 А7 + А5 )01 + ( А2 07 + 05 — 0602 + 20506)А0 — 205 02 + А2 07 — А602 + А502 ,

СТ 4 = (06 — А7)012 + (—20506 + 20502 — А6 А2 + (306 + А7)А3 + А5 — А2А7)А1 + (—0602 + 20506 + А2 А7 +

+ А6А3 + А3 А7 — 205 А3 + 053)00 + 205 А2 — 205 А2 — А2А6 + А3 + (302 — 206 — 205 )А3 — 2020307 + А2А7>

^ 4 = — А2 + (206 + А5 + 203)02 + (07 + А6 — А5)01 + (305 — 201)А3 + (07 + А6 — А5 )А0 — А3 ,

^Т 4 = (302 + 205 — 2А6)А3 + (—А7 — А6 — 205 )А2 + (А6 + А7)А12 — А3 + ((306 — А7)А1 + (А7 — 205 — А6)А0 — 20702)А3 +

+ ( —205 Аб — 052 ) А + А0 ( —205 06 + 052) + ((—07 — 06 ) А0 + (—07 + 205 + 06 ) А — 2 052) 00,

От 4 = —А3 + (А7 + А5 — А6)А3 + ((А7 — 205 — А6)А2 + (205А6 — 205 + (—207 — 206)А1)А2 +

+ ( А5 А6 — А7А5 + А6 — А5 )А1 + (—А5 А6 — А7А5 — А5 + А6)А0)А3 + (—А5 + (А7 + А5 — А6 )А2 +

+ (А6 + А7)А0 + (—А7 + 205 + А6)А1)А3 + (( А5 — А7 А5 + А6 + А5А6)А0 + ( А5 + А7 А5 — А6 + А5А6)А1)А2 + + (А6 + А7 )А2 + (—А6 + А5 А6 + А7А5 )А2 + А5 (А0 + А1) + а2 (—А6 — А5 — А506 + А7 А5 )-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

а

Решения для других параметров модели (12) имеют вид (14), но отличаются тем, что значения коэффициентов А, В, С, F определяются на основании индивидуальных соотношений.

В соотношениях, связывающих параметры двухмассовой ЭМС с параметрами ортогональной модели, можно сократить число уравнений в системе (12) за счет вывода верхних трех строк (число выводимых строк зависит от порядка числителя (12)).

Выводы

Представляемая ортогональная модель ЭМС позволяет сформировать унифицированный ряд моделей для двухмассовых электромеханических систем, уровень сложности которых определяется точностью воспроизведения модели (уровнем адекватности).

Ортогональные модели двухмассовой ЭМС могут быть восстановлены на основе экспериментальных исследований путем анализа ИПХ ЭМС.

1. Бессонов А.А., Загашвилли Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатом-издат, 1989.

2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Современные методы идентификации систем. /Под ред. П. Эйкхоффа. - М.:Мир,1983.

4. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №2,2002, с.21-25.

5. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: Изд-во МГГУ, ГИАБ №1,2002, с.19-21.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

6. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. - М.: Энерги», 1973.

7. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского. - Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.

9. Михайлов О.П. Динамика электромеханического привода металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1989.

10. Справочник по автоматизированному электроприводу. /Под ред. В.А.Елисеева, А.В. Шинянского. -М.:Энергоатомиздат,1983.