Ортогональные модели электромеханических систем с жесткой связью электродвигательного устройства с рабочим органом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-83:001.5

© В.Л. Петров, 2002

В.Л. Петров

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СВЯЗЬЮ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЬНОГО

ЖЕСТКОИ

УСТРОЙСТ-

ВА

С РАБОЧИМ ОРГАНОМ

П

ри исследовании электромеханических систем (ЭМС) большинства горных машин их исходную модель представляют, как правило, в виде системы дифференциальных уравнений, формализованных в символьной форме или в виде структурных схем. При этом структура уравнений зависит от числа и вида элементов, входящих в ЭМС, а также типа связей между элементами. При определенных допущениях некоторыми связями пренебрегают, таким образом упрощаются дальнейшие исследования процессов в ЭМС. В данной работе рассматриваются некоторые аспекты формирования ортогональных моделей ЭМС с жесткой связью электродвигательного устройства с рабочим органом.

При моделировании ЭМС наибольшее распространение получили модели на основе жесткой связи электродвига-тельного устройства и рабочего органа (одномассовые ЭМС); модели с двумя сосредоточенными массами (двухмассовые ЭМС), связанные друг с другом упругой кинематической связью [9, 10].

Выбор той или иной модели осуществляется на основании предварительного анализа структуры и параметров ЭМС или на основе экспериментальных исследований переходных процессов в ЭМС. В общем случае исходя из основополагающих принципов математического моделирования на первом этапе исследователи выдвигают гипотезу о том или ином классе моделей (в нашем случае одномассовые), производят расчет параметров и осуществляют модельный (математический) эксперимент в режимах, близких к условиям нормальной работы реальной ЭМС. Сравнение результатов натурных исследований с результатами математического моделирования, проведенных в одинаковых условиях, позволяет сделать вывод об адекватности математической модели. Для обеспечения более высокого уровня соответствия математической модели реальной ЭМС в описание модели вводят дополнительные элементы, а также рассматривают физические явления, наблюдающиеся в реальной ЭМС, но не включенные в математическое описание ранее. Процесс обоснования модели ЭМС является достаточно сложным, так как включает построение большого количества моделей, подвергающихся экспертной проверке. Поэтому возникает необходимость в создании базовых моделей, параметры которых имели бы функциональную взаимосвязь с параметрами ЭМС. Исследуем возможность применения ортогональных моделей для указанных целей.

Для этого рассмотрим электромеханическую систему машины, в которой рабочий орган жестко связан с электро-двигательным устройством (одномас-совая ЭМС). Предпо-

ложим, что в качестве электродвига-тельного устройства используется привод, имеющий жесткую линейную механическую характеристику (машина постоянного тока с регулированием напряжения в цепи якоря, машина переменного тока с частотным управлением и т.д.). За исходную принимаем модель, связывающую изображения напряжения, подаваемого на якорь двигателя, момента нагрузки и угловой скорости для машины постоянного тока (МПТ), что описывается выражением [9, 10]

kd ^т ' (1 + Тя 'р)

р) =

1 + Тт • р • (1 + Т я • р)

(1)

- электромеханическая постоянная време-

ни; Т я - электромагнитная постоянная времени цепи

J • Rя

где Тт =---------—

Ья

Rz

якоря МПТ; J - момент инерции, приведенный к валу МПТ; С - конструктивная постоянная МПТ; Rя, Ь я - активное и индуктивное сопротивления цепи якоря МПТ; Rя

кт = —— - коэффициент передачи двигателя по моменту; с2

кт =------коэффициент передачи двигателя по току.

с

Выражение (1) получено с учетом естественной обратной связи по ЭДС двигателя.

Для построения ортогональной модели используем функции Лагерра, определяемые на всем интервале оси времени зависимостью [1, 4, 5, 6]:

к

Ьк =4іа • е~а'Т ^ у=0

Су

(-1)у •—^• (2ат)у

У!

(2)

где & - параметр функционала; Т - временной интервал. Операторная модель передаточной функции имеет вид:

Ж (р) =

42 •а р + а

р + а

„ р-а | р-а | | р-а

1 + ----+ Р2 •]-------I +••• + Рк

р + а

р + а

к|

(3)

где Ро, Р2---Рк - коэффициенты разложения передаточной

функции моделируемого объекта (ЭМС) или его импульсной переходной характеристики (ИПХ).

Коэффициенты разложения определяются исходя из выражения [1]

Рка = | Ька(?№

(4)

где w(т) - оригинал передаточной функции представляемой ортогональной моделью.

С

2

В выражении (4) коэффициенты разложения зависят от параметра функционала а . Осуществим подстановку (2) в (4) и произведем некоторые преобразования

“Г к

Рка =|^(т) • Г V2» • е~а'Т ^

0 [ У = 0

—у

(-1)у •—^•(2ат)у

У!

ёт =

У!

|е ат(-т)у •м>(т)Дт.

о

= 42й • ^

у=о

Применяя прямые преобразования Лапласа и теорему о дифференцирования изображения, определим коэффициенты разложения при помощи следующего выражения:

к

Рка =^-X

У=0

— У

—^• (2а)у Жу(а)

У!

(5)

ё]

где Жу (а) =-------Ж (р) .

ёру 1р=а

Таким образом, при известной передаточной функции ЭМС ее ортогональная модель (3) формируется с учетом коэффициентов разложения, значения которых определяются из выражения (5). В работах некоторых ученых и специалистов [1, 4, 5, 6] представлены алгоритмы, позволяющие найти взаимосвязь между параметрами модели и коэффициентами разложения ИПХ или передаточной функции. Некоторые из этих алгоритмов можно применить для представления ортогональной модели одномассовой электромеханической системы.

Разграничив в выражении (1) каналы управляющего воздействия от каналов возмущающего воздействия, приведем соответствующие передаточные функции к типовым формам

к ё

Н1( р) = Ни(р)и( р) - (р)Мс(р) = ^---------—--------г •и( р) -

1 + Тт • р • (1 + Тя-р)

кт ,(1 + Тя •р)

1 + Тт р• (1 + Тя 'р)

• Мс ( р)

Уравнения, описывающие взаимосвязь коэффициентов разложения ИПХ с параметрами ^^(р)и ^^(р) имеют

вид [1]

_ 2Ро3

кё =*1— •

а 2р0 + р12 + 2рор1 - р0 р2

_2 р(3 - р12 + р0 р2 - р0р1

а 2р0 + р12 + 2р0р1 - р0 р2

^_________р12 - р0р2____________

а2 2р<2 + р12 + 2р0р1 - р0 р2

т1 =

2 - р12 + р0 р2 - р1рз + р2

а р0р3 - р1р2 + р0р2 - р12 + р1рз - р2

т' = 1 р1рз + р1р2 + р0р2 - р12 - р2 - р0

т 1 —----•--------------------------------------,

а2 р0р3 - р1р2 + р0р2 - р12 + р1рз - р2

к = Г2 • р13 + р(3 р3 - 2р0р1р2 + р0 р2 - р12р0

V а р0рз - р1р2 + р0р2 - р12 + р1рз - р2

Т 1 2р0р1р2 - р(3 рз - р0р12 + р(3 р2 - р13 (0)

Т =-------3----2-----------------2-----------------2—. (8)

а р1 + р0 рз -2р0р1р2 + р0 р2 - р1 р0

Найдем выражение для определения коэффициентов разложения ИПХ ЭМС (передаточной функции ЭМС) при известных параметрах ЭМС. Для этого используем интегральное преобразование (4) с учетом (6) и (7), предварительно определив соответствующие выражения для ИПХ ЭМС. Произведем подобные преобразования для первых коэффициентов разложения ИПХ передаточных функций

(р)и (р):

где Ни( р) =

1 + Т т • р • (1 + Т я'р) 1 +ТХ •р + Т2 • р2

кт -(1 + Тя~р) _ кт ’(1 +Т •р)

1 + Тт • р ^ + Тя'р) 1 + ТГр + Т2 • р

(6)

(7)

2

к

к

а

а

р0а = |Ни(т)Ь0а (т)ё =|

4ка • Тя -нс ехр(--Т— )^іп(н^Т)•л/2а • ехр(-ат)

2 Тя Тт - 4Тя

ёт

• кё 4Тя е°8^)-Тт е°8(нст) + ТтТяНс 5111(н^) + 2ТтТяНса 5Іп^)

(Тта+ ТтТяа + 1)ЧТт - 4Тя )

ехр

( -1 ^(1 + 2аТял

+

кё4 2а

+-------~------2---

(Тта+ Т тТ яа +1)

Р0а =1 №оа(т)Л =}•

V Тт - 4Т, (Тт - 4Т, )Т,

т ^ я V-1 т ^ я •м т ехр| 2Т1 Т Гкт ■(ехр(-аТ^т/2а)

■йт =

= ТяЛакп

А1(а, кт ,Т я ,Тт >^о>1) 2 + _ 2Тт + 4аТяТт - 8ТтТам,'е - 16Тя - 8Т я

А (а,^ ,Тя ,Тт ,/)

(Тт - 4Тя )(4

я/ Г¥сТя2 + 4аТя + ^ + !)Тт

1

4Т - Т

я т .

Т Т 2

т

(10)

Ах(а, кт ,Тя Тт, ^с, 1) =

Тт + 2аТяТт - 4ТтТя ^ о - 8аТя - 4Тя I

+ 1 -16Т 0 + 8аТоТт + 8тТо |•^

2 2 '2

+ 8аТя - 2аТяТт + 4Тя + 4ТтТ я ^ о - Тт .

'

^0 •/

2

V J

2- Тя

А2(а,кт ,ТяТт,^) =

Т

± п

^- 4Тя + Тт + 4аТяТт - 16аТ 2 я +

V+ 4а2Тя2Тт - 16а2Тя3 - 16^ + 4Т2яТт^о,

Установленные зависимости (9),(10) позволяют определять динамические коэффициенты разложения ИПХ ЭМС, учитывающие изменение их значений во времени. Громоздкость выражений (9),( 10) и выражений для других порядков коэффициентов разложения ИПХ ЭМС, делает использование динамических коэффициентов для создания ортогональных моделей достаточно сложным. Поэтому на следующем этапе определим «статические» коэффициенты разложения ИПХ ЭМС. Для этого воспользуемся алгоритмом, ранее пинятым для получения зависимостей (9) и (10). Конечные результаты для первых двух коэффициентов разложения определим в пределе t ^ “ . В итоге получим выражения для определения первых двух «статических» коэффициентов разложения ИПХ ЭМС с моделями вида (6) и (7):

Р

. и

'ст 0а

кй4 2а

(Т та + ТтТяа +1)

Р

ст1а

— Т а — 3Т а Т

1т т я

).

(Т та + Т тТ яа +1)'

(11)

2 2 . г-*']-’ 2 З^т

(Тта + Т тТ яа + 1)

Р3 п = (12)

^ ст0а х 7

= ктл&а •Тя ''2' Т т + 2 Т та Т я - 4Т тТ I - 4Т я - 8а ТI )

(Тт - 4Тя )• (1 + 4аТя + 4а2Тя2 + 4^2Т2) Т„

ктТя42а •В1

(1 + 4аТ я + 4а2 Т 2Я + 4^2 Т я2)2 •(Тт - 4Т я )• ^

Р3 =

^ ст2а

где

___________2 • ктТяУ^аВ2_____________

(1 + 4аТ я + 4а2 Т 2Я + 4^с2 Т я2)3 Тт Тт - 4Т я )

я

я - ” о

81111№„Т

я

2

+

е

)

2

к

к

В2 = (32Тт - 128Тя)• Тя5а5 +(з2Тт -32(0ТтТя2м’2с -64Тя)х4Тя4 +(-448Тя2Т,Л2 + 64Тя + 1280ТяЧ2 -16^)х3Тя + (з2Тя + 384Тя3^2 - 8Тт + 640Тя Vт^с4Тя2*2 + (640^С4Тя5 - 8Тя + 288^^я4 + 2Тт - 192^С2Тя3 + 80Тт^Тя2)х

4)

-32^я3 - 64Тя^Тт^о +Тт + 4Тя2 Тт- 4Тя - 64^4Тя5 -16Тя Vт^о4 1

Используя установленные зависимости (11) и (12) и учитывая структуру ортогональной модели (13), можно осуществить синтез ортогональной модели рассматриваемой ЭМС (рисунок). При численной реализации представленная модель оптимизируется относительно параметра а . При этом ИПХ ЭМС максимально приближается к модели. Выбор критериев оптимизации осуществляется на основании работ[1, 4, 6].

Представляемая ортогональная модель ЭМС позволяет сформировать унифицированный ряд моделей для электромеханических систем, уровень сложности которых определяется точностью воспроизведения модели (уровнем адекватности).

В качестве параметров ортогональной модели наиболее рационально использовать «статические» коэффициенты разложения ИПХ.

Ортогональные модели ЭМС могут быть восстановлены на основе экспериментальных исследований путем специального анализа ИПХ ЭМС.

------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессонов АА., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов.- Л.: Энерго-атомиздат, 1989.

2. Дейч АМ. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Современные методы идентификации систем/Под ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир, 1983.

4. Петров В.Л. Оптимизация процедуры идентификации линейных динами-

ческих объектов. - М.: МГГУ, ГИАБ, №2, 2002, - с.21-25.

5. Петров В.Л. Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра. - М.: МГГУ, ГИАБ №1, 2002, - с. 19-21.

6. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. Под общей ред. Н.М. Александровского. - М.: Энергия, 1973.

7. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А.А. Красов-ского. - Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.

9. Михайлов О.П. Динамика электромеханического привода металлорежущих станков. - М.: Машиностроение, 1989.

10. Справочник по автоматизированному электроприводу/Под ред. В.А. Елисеева, А.В. Шинянского. - М.: Энерго-атомиздат, 1983.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

«НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА-2002» СЕМИНАР № 6

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», докторант кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет.