CC BY
23
получим следующее выражение для Lka
£ка =>/2 'а ' У(-2 а)1 '_^ х
7=0
1!
-” • 1!
1
у.
П=0( 1 - «)К-а)й+1
• (-1)” • е"
= -] - •^ (-2 •а)1 • С1 ± в- ” ^(-1)” • еа •
1=0
п=0( 1 - ”Ж-а)
Переходная характеристика представляется как
Т ”
А(т) = |У Р}
о 1=0
а • 1^1 а^ = У @1а • 1^1ас1Т.
(14)
1=0
Выражение (14) позволяет определить функциональную зависимость между коэффициентами разложения импульсной переходной характеристики и переходной характери-
(13)
стики идентифицируемого объекта. Функционал Lja также
удовлетворяет основному условию ортогональности, но при этом его формирование требует дополнительных вычислительных ресурсов. Основным преимуществом (13), (14) является возможность разработки на их базе рекурентных алгоритмов и, следовательно, проведение идентификации в реальном масштабе времени и в условиях нормального функционирования объектов.
в
X
0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатомиздат,1989.
2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.
3. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974.
4. Современные методы идентификации систем/ Под. ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир,1983.
5. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-
ского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
6. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. -М.: Наука, 1984.
7. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.
ри разложении импульсной переходной характеристики (ИПХ) в ряд ортогональных функций Лагерра конечным результатом (результатом процедуры идентификации) является определение численных значений коэффициентов разложения, которые формируют количественную оценку оператора идентифицируемого объекта. При выборе и расчете алгоритмов управления необходимо знать не только количественное описание передаточной функции, но и ее структуру, а также численные значения ее параметров (коэффициенты усиления, постоянные времени).
Производная передаточной функции связана с ИПХ с помощью преобразований Лапласа интегральным уравнением
© В.Л. Петров, 2002
УДК 62-83:001.5
В.Л. Петров
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ВЕНТИЛЯТОРНОЙ УСТАНОВКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТО
| е-аТ • (-Т)1 • Н5(т)Ст = W(’а), 0
где
,,,) =
<“| 1р]
J-я производная передаточной
р=а
функции идентифицируемого объекта при замене оператора р на а ; hg(т) - импульсная переходная характеристика.
Ряд ортогональных функций Лагерра описывается зависимостью
к с]
Ьы<т1 = 42а • е (а) £ <-1|] —к- • <2-ат|], <1|
]=0
]!
где а - параметр функционала; т - временной интервал; j - порядок функции Лагерра.
В соответствии с теоремой о дифференцировании изображения получим выражение для определения коэффициентов разложения ИПХ [1, 3]
рка =л/2а •ХС- •(2 а)1
и1!
Заменив ^ на а в полученном выражении (2) после дифференцирования передаточной функции определим зависимости первых трех коэффициентов разложения Р
< р)
йр]
(2)
Роа =л/2а Ж (а)
Аа = ^2
• ( X •
[ж (а) + ^(р) •2 а
dp р=а
(3)
(4)
Р2а =^ •
Ж (а) +
(р)
dp
р=а
dp2
р=а
(5)
Анализируя выражения (3)-(5), можно сделать вывод о том, что для определения к коэффициентов разложения ИПХ необходимо иметь значения к производных передаточной функции при р=а , и, наоборот, для определения к производных передаточной функции необходимо к значений коэффициентов разложения ИПХ, т.е.
Ж (а) = ~г= •Роа, (6)
л/2ч
dW (р)
dp
1
р=а
d 2Ж ( р)
dp2
d 3Ж ( р)
2 а • V 2 а 1
р=а
2-а2 • л/2-а
(-Р0а + Р1а X (7)
- (Р0а - 2 - Р1а + Р2а X (8)
dp
р=а
4 • а3 • V2 • а
•(-р0а + 3- р1а - р2а + рз). (9)
В ряде работ [1, 3], посвященных изучению взаимосвязи коэффициентов разложения ИПХ с передаточной функцией и учитывающих условия (6)-(9), предлагаются методики для определения параметров передаточной функции по численным значениям коэффициентов разложения.
Рассмотрим уравнения взаимосвязи для передаточных функций объекта, определяющего процессы в электромеханической системе электропривода вентиляторной установки. Таким объектом является вентиляционная сеть с передаточными функциями [3]:
• по управляющему воздействию
Ж1( р) =
А6( р) = к1 • (Т1 • р + Г)
ДН(р) (^^ р +1) • (Тз • р +1)
• по возмущающему воздействию ДQ(р) _ к 1 • (Т 1 • р +1)
Ж2( р) = -
ч2
АЯ(р) (Г 2 •р + 1)2
где А<2( р) - операторное изображение изменения производительности; ЛЯ (р) - операторное изображение изменения давления; АR(р) - операторное изображение изменения аэродинамического сопротивления;
71,72,7з,7 1,7 2, к1, к1 - постоянные времени и коэффициенты передачи передаточных функций.
Введем следующие обозначения для передаточной функции Ш1(р):
т1 = 71;т2 = 72 + 73;т3 = 72 •Тз-
Тогда на основании (2) составим систему уравнений
NN пп. Вид передаточной функции идентифицируемого объекта
1 Ж1( р) = 5^(1 + 4 р) ^ (1 + 2 р).(1 + 8р)
2. Ж1( р) = 5('1(1+51р) (1 + 5 р)
1
. Р° • (і + г 2 а + Г3 а2) = к! • (г
л/2 а
-Ро + Р1 (1 + г2 а + г3 а2) +
а +
1)
Окончательное выражение для параметров передаточной функции с учетом принятых обозначений запишется как:
2 т3
Т1 = г1, Т2 = — • [ г2 + 7 г2 - 4 г 3 1 Т3 = Г3 = '
2 а • л/2 а 1
г2 + •/г2 - 4 г3
(14)
л/ 2 •
• р° • (г2 +г3 а) = к1 Г1
а
Р° - 2 • р1 + р2 • 1 , _ „ , _ „2 '
2 •а242 - Р° + р1
1 + Г2 а + Г3 а 1+
а
• л/ 2 •
• (г2 + 2 • а • Г3) +-----------Г° 3 = 0
2 р° г3
а
а
3 •(- р° + 3 • р1 - 3 • р2 + р3 ' 1
4 3 К V
4 а • л/2 а
Р° - 2 • Р1 + р2 \
+ 3------------- -----1------ (2 г3 • а + г2 ' +
+ Г2 а + Г3 а 1+
При расчете параметров передаточной функции необходимо учитывать уравнение взаимосвязи коэффициентов разложения ИПХ, определяющих соответствие уравнений (10)-( 13) идентифицируемой передаточной функции
Р2 + Р1 • Р4 - Р0 • Р3 = 2 • р3 • Р1 • Р2 + р0 • Р2 • Р4 - (15)
Для нахождения зависимостей для передаточной функции по возмущающему воздействию примем следующие коэффициенты:
, .2 2 , ,2 ^0 = 1 + 2• 7 2 -а + 7 2 •а ; ^ = 2• 7 2 + 2• 7 2 •а =
дА°
1
дА д2А,
+ 6 •
2 • а2 • л/2 •
- р° + р1
= —° ; А2 = 2 •Т2 =—^ = 0
да да да
0
(16)
а
С учетом (16) составим систему уравнений, последовательно дифференцируя равенство, представленное в системе первым
2 • а • л/ 2 •
• г3 = ° ,
а
к1 =•
^2 3 • р0р1 - 4 • А°2р2 + Р° р12 + 2 • Р° р1 р2 - Р13 + 9 • Р°2р1 • Р2 - Р°2Р3 а 9 • Р° Р1 Р2 - 2Р1 Р2 + 3Р° Р1 + 4Р12 - 4 • Р° Р2 - Р° Р3 + 9 • р12р2 - Р1 Р3 + Р2
Решение системы уравнений относительно неизвестных параметров передаточной функции имеет вид [1]
Т1 = — ■
3р°2р1 - 2р0р2 - Р° Р12 + 2Р° Р1 Р2 - Р13 + 9А°2р1 • Р2 - А°2р3 а 2Р° Р1 Р2 + 3р0р1 - 4р0р2 - А°3р3 + р12р° - р13 + р2 + 9А°2р1 р2
Г1
1 ^Р°^РГ Р2 -Р°^3 -Р(Г3А° РА+22А°2А2 А34Р12 -9Р°Р1Р2 -4Р1Р2 + Р22 + Р°Р3 + 9Р12Р2 -Р1 Р3
р13 + р0 • р3 - Р° р1 •
(10)
-12 Р Рр2 + 3р° р1 + 4р12 - 4- Р° р2 - Р° р3 + 9р12р2 - р1 р3 + р2
; (18)
(19)
(20)
Г2 = —•
г3 =-
к1 =
Р° • Р2 + Р22 - Р12 + Р12 - Р1 • Р3_______________________
а - р12 + Р° • р3 - Р1 • Р2 + Р° • Р2 + Р1 • Р3 - Р22
; (11)
- р21 + р1 ^р3 + Р1 • Р2 + Р2 ^0 - р1 ^р3
а2 - р12 + Р° • р3 - Р1 • Р2 + Р° • Р2 + Р1 • Р3 - Р22
; (12)
2 р31 + р20 А - р1 • р2 • р° + р2 •р20 - р12 ^Р°
Ж2 (р) • А° = к 1 • (Т 1 • р +1);
ж2 (р) • А° + А1 •Ж2(р) - к '1 •Т1 = 0;
Ж22 (р) • А° + 2 • А1 • Ж2 (р) + А2 • Ж2 (р) = 0;
(р) • А° + 3 • ж2' (р) • А1 + 3 • А2 • Ж2 (р) = 0;
2• А° -2• А1 • а + А2 •а = 2.
(17)
2
Iа -Р12 + Р° • Р3 -РгР2 + Р° • Р2 + Рг Р3 -Р22
Последнее равенство системы получено посредством объединения всех выражений (16) и последующей группировки.
2
+
+
а
Решая систему уравнений (17) относительно А0, А1, А2, к1,Т1 и учитывая зависимости для производных передаточной функции от коэффициентов разложения ИПХ (6)-(9), получим аналогичные зависимости для параметров передаточной функцией W2(p)
В качестве примера рассмотрим определение параметров передаточных функций W1(p) и W2(p)
Значения исходных параметров:
1. передаточной функции W1(p) -к = 5, Т1 = 4с, Т2 = 2с, Тз = 8с;
2. передаточной функции W2(p) -к = 5, Т1 = 1с, Т2 = 5с.
Идентификация проводилась при значениях а = 0,25 и а = 0,5 . Результаты определения параметров и оценка их погрешности сведены в таблицу.
На основе анализа результатов идентификации, приведенных в таблице, анализе, приведенных в работе зависимостей, можно сделать следующие выводы:
• погрешность восстановления значений параметров идентифицируемых передаточных функции практически не превышает 6%, что подтверждает высокий уровень устойчивости алгоритмов и зависимостей для идентификации;
• коэффициенты разложения ИПХ принимают различные значения для а = 0,25 и а = 0,5 ; погрешность восстановления параметров изменяется также, но незначительно. Следовательно, необходимы исследования по определению оптимального параметра а ;
• наряду с достаточно точным восстановлением параметров идентифицируемого оператора возможны изменения динамических характеристик модели после представления рядом функций Лагерра, которые должны также исследоваться.
1. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энерго-атомиздат,1989.
2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.
3. Петров В.Л. Разработка системы автоматического управления электроприводом вентиляторной установки при подземном сжигании угля. Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М.: МГИ, 1992 г.
-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974.
5. Современные методы идентификации систем/ Под. ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир, 1983.
6. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», Московский государственный горный университет
а Значения коэффициентов разложения ИПХ Модуль относительной погрешности при определении параметров
А А Р2 Рз Р 4 * ST1 * ST2 * ST3 * SK
0,25 1,5677 -0,00063 0,1722 0,00498 0,00638 0,0578 0,0292 0,0357 0.00686
0,5 1,4962 -0,4004 0,2383 -0,1461 0,08322 0,0625 0,0287 0,04343 0,00503
0,25 0,87355 -0,7170 0,1485 -0,0205 -0,0083 0,0306 0,0070 0,0007 0.00362
0,5 0,61306 -0,7283 0,5123 -0,3046 0,1689 0,0148 0,0022 0,0022 0,00294
