Оптимизация процедуры идентификации линейных динамических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

П

ри определении передаточной функции идентифицируемого объекта аппроксимацией импульсной переходной характеристики рядом Лагерра особое значение имеет выбор

параметра функционала а в представляемой модели

объекта (выражение (1))

( , л2 А

р - а

& (р) =

л/2 •а р + а

Р0 + А • ^ + Р2

р+а

р + а

+ ••• +

+ Рк

\к

Р - а |

(1)

р + а )

где Ро, P2...Pk - коэффициенты разложения ИПХ.

В ряде работ при выборе оптимального значения а = аопт обосновывается применение интегральных

критериев точности восстановления ИПХ, описываемых выражением:

F (а) = |

к8(х) рка '^ка(т)

к=0

(ІТ

(2)

_2 = Р (а)

н(а) = ~-------------

(3)

| к 28(т) <Лт

где F (а) - среднеквадратичное отклонение

восстановленной ИПХ от ее истинного значения; hg(z) -наблюдаемые значения ИПХ идентифицируемого объекта;

нормированная дисперсия при аппроксимации

н (а)

ИПХ.

Доказано [1], что для минимизации функций (2) и (3)

Рис. 2. Зависимость Р) (а, Ґ) от времени и параметра а (горизонтальная ось 0-80 - направление изменения времени с масштабом t^ = І • 0,2 с. ; ось глубины 0-40 - направление

изменения параметра X с масштабом а j = ] • 0,1; вертикальная ось 0-1.5- направление изменения ИПХ

необходимо, чтобы (к+1)-й коэффициент разложения ИПХ приобретал нулевое значение, т.е. Рk+1 (а) = 0. Принимая во внимание это условие и учитывая взаимосвязь коэффициентов разложения при идентификации различными

значениями а, можно установить зависимости позволяющие

известным коэффициентам разложения при произвольном а.

Численное решение этой задачи сводится к решению нелинейного уравнения вида

Сг • хг + Сг-1 • хг-1 +-+ С1 • х + Со = 0 ,

а

где х = — ; а - значения параметра функции Лагерра, при а

которых определены коэффициенты разложения Рk(а) ; а -оптимальное значение параметра функции Лагерра аопт ;

Сг - коэффициенты уравнения, представляющие собой линейную комбинацию коэффициентов Рk (а) .

Предлагаемая методика расчета [1] оптимальной величины параметра функции Лагерра достаточно трудоемка и практически неприменима при идентификации объектов с неизвестной структурой и в условиях нормального функционирования объектов. Поэтому наиболее приемлемыми в подобных условиях будут являться численные методы, основанные на минимизации функционалов (2)-(3) в области значений а.

Исследуем зависимости нормированной дисперсии (3) при проведении идентификации объектов, имеющих передаточные функции

г,(р)= *■ ^ •р + 1) -

и-2( р) =

(Т2 • р + 1) • (Т3 • р +1) к 1 • (Т 1 • р +1)

ч2

Примем следующие значения

(Т 2 • р +1)2 исходных параметров: ^ = 5, Т1 = 4 с, Т2 = 2 с,

Т3 = 8 о, kl = 5 , Т1 = 1 о, T2 = 5 о.

После применения преобразований Лапласа к выражениям для Щ (р) и Щ (р) определяются

зависимости для ИПХ объектов

t

- Т3

к51¥ 1(?1) =

к

(Т2 - Т3) • Т2 • Тз

(Тх • Т2 - Т2 • Т3)• е Т3 +

2

+ (Т2 • Тз - T; • Тз)• е T2]

(4)

k і

h5W 2 (t) = —2“'

T 2

t -1 •T1- + ті T2

t

~T2

(5)

На рис. 1 представленої зависимости ИПХ объектов с передаточными функциями Щ(р) и &'2(р).

Коэффициенты разложения ИПХ определяются в соответствии с известным выражением (6):

pk(а) = jh5 (т) • Ьа(т) dT >

(б)

где Lkа(т) - ряд функции Лагерра, ограниченный числом членов ряда, (при к = 0 - £оа (г) = V2а • е аг, при к = 1 -ЬаГ) = V2а • (1 - 2аг)е_аг , при к = 2 -

L2а(т) = 4іа ^(l - 4ат + 2а2т2 )• е ат .

Ограничивая порядок аппроксимируемого функционала к = 2, получим общее выражение для восстановленной ИПХ

2 2 1 h5 v(0 = XPk(а) • Lkа(t) = X jh5(T) • ^аС7) dT

k=0

k=0

*^а^ ).

(7)

Следует отметить, что коэффициент разложения ИПХ (6) определяется интегральной зависимостью под знаком суммы выражения (7). На рис. 2 представлена трехмерная зависимость первого (нулевого) коэффициента разложения ИПХ от времени интегрирования и параметра а.

Аналогичные зависимости могут быть получены и для других коэффициентов разложения. Общим для них является свойство насыщения, характерное для операций интегрирования функций асимптотически стремящихся к нулю. Учитывая вид зависимостей, представленных на рис. 1 и рис. 2., установим пределы интегрирования в выражениях (6) и (7) = 25 о и получим выражения для

коэффициентов разложения, зависящие только от а. Зависимости коэффициентов разложения ИПХ от параметра а для объекта с передаточной функцией Щ (р) приведены на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости первых трех коэффициентов разложения ИІП

а)

0 2.з з 7.з 10 12.з із 17.з 20 22.з 2з

t

^ trace 1 • • trace 2

Определим квадрат нормированных дисперсий в соответствии с выражением (3) при идентификации объектов с передаточными функциями Щ (р) и Щ (р) , (рис. 4).

ТО

j[h5W 1(т) - h51 v (т)]2 dT

2 _ 0

01 н(а) = —

j h 25W 1(T)dT

0

TO

j[h5W2(т) -h52 v(t)]2dT

20 O2 н(а) =

j h 25W 2(T)dT

0

Зависимости, представленные на рис. 4, в определенной степени идеализированы, на что указывают близкие к нулю минимальные значения нормированной дисперсии. Это обусловливается отсутствием измерительных погрешностей наблюдаемых ИПХ, полученных теоретическим путем. С другой стороны, наличие явно выраженных минимумов

е

ТО

величин нормированной дисперсии свидетельствует о возможности определения оптимальных значений параметра а = аопт. Анализируя зависимости на рис. 4, можно сделать вывод о том, что, задаваясь приемлемой для идентификации

широкий коридор для параметров а (0,075-0,4) (в зависимости от вида ИПХ), в котором идентификация динамического объекта может быть проведена достаточно успешно.

величиной г н(а) = 0,1-0,2, можно установить достаточно

Таблица 1

РЕЗУЛЬТАТЫ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ С НЕИЗВЕСТНОЙ СТРУКТУРОЙ С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА ФУНКЦИОНАЛА ЛАГЕРРА

Порядок функции Значения а опт Значения коэффициентов разложения ИПХ а2н

Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7 Р8 Р9

0 1,822 0,179 - - - - - - - - - 0,5608

1 1,2244 -1,961 3,5484 - - - - - - - - 0,2939

2 0,725 -1,762 1,588 0,9172 - - - - - - - 0,1872

3 0,4721 -1,285 1,7653 -1,2402 1,2758 - - - - - - 0,1375

4 0,7437 -1,794 1,538 0,1164 -0,918 0,893 - - - - - 0,0751

5 0,5352 -1,428 1,793 -0,954 -0,392 0,7745 1,1625 - - - - 0,0484

6 0,402 -1,109 1,664 -1,4823 0,5139 0,5167 -0,6510 1,4344 - - - 0,0338

7 0,5225 -1,4 1,792 -1,0151 -0,3213 0,7888 -0,066 0,4063 1,1836 - 0,0264

8 0,4221 -1,157 1,698 -1,4300 -0,3749 0,6123 -0,5902 -0,1077 0,2685 1,3891 - 0,0238

9 0,5183 -1,392 1,7912 -1,0325 -0,3001 0,7917 -0,086 -0,4048 0,1165 0,1716 1,1899 0,0225

к5(t), L4а

а)

0 3 6 9 12 ^ с

к5(t), ^ба L8а

0 3 6 9 12 t, с

____________________________________________________________________________________I

В рассматриваемых выше случаях идентификации линейного динамического объекта предполагается априорное знание структуры передаточной функции линейного динамического объекта. В то же время часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда изменение динамических характеристик идентифицируемого объекта сопровождается и изменением его передаточной функции или случаями, когда она не была определена заранее. В таких случаях рационально использовать интегральные критерии оценки качества восстановления ИПХ (2),(3), а сама восстановленная ИПХ описывается моделью с передаточной функцией (1).

В качестве примера рассмотрим вариант аппроксимации ИПХ функционалами Лагерра и определения оптимальной а системы с априорно не известной структурой, определенной экспериментальным путем и характеризующей процесс запуска центробежного вентилятора с частотно-регули-руемым электроприводом. ИПХ получена дифференцированием переходного процесса изменения давления на выходе (входе) вентилятора [3].

Значения коэффициентов разложения ИПХ определялись в соответствии с выражением (6) с применением алгоритмов интегрирования таблично заданных функций. Значения аопт определялись на

основании критерия МШ(ст н(а)).

Результаты аппроксимации ИПХ системы с неопределенной передаточной функцией представлены в таблице.

На рис. 5 представлены временные зависимости экспериментально полученной ИПХ системы с неизвестной структурой и зависимости

аппроксимирующих ИПХ функционалов Лагерра при различных порядках функционалов (рис. 5(а) - 2 и 4 порядок функционала, рис. 5(б) - 6 и 8 порядок функционала).

’ис. 4. Расчетные зависимости нормированной дисперсии от [араметра а при идентификации динамических объектов с

ередаточными функциями &1(р)и ^^(р) ^гасе1- ГГ н(а), ^асе2- Г2 н(а))

На рис. 6 представлены зависимости оптимального

значения аопт и квадрата нормированной дисперсии от порядка аппроксимирующего функционала

экспериментальной ИПХ.

Анализируя зависимости, представленные на рис. 5 и рис. 6, можно утверждать, что значения аопт определяются и в случаях неизвестной структуры передаточной функции идентифицируемого объекта при аппроксимации ИПХ объекта функционалами Лагерра, при этом аопт зависят от порядка функционала. Допустимая погрешность идентификации (оцениваемая значением квадрата нормированной дисперсии, равным 0,15) достигается при использовании второго и третьего порядка функционалов. Дальнейшее увеличение порядка функционала не приводит к значительному снижению

г 2н(а). Кроме того, можно установить предельное значение гпред2н(а), удовлетворяющее условию

Рис. 6. Зависимости оптимального значения аопг и квадрата нормированной дисперсии от порядка аппроксимирующего функционала Лагерра ИПХ экспериментальной ИПХ (ряд 1 -2

Г н(а), ряд 2 - ^опт).

1іт Г(а) ] гпред н(а),

где] - порядок функционала.

2

Величина гпред н(а) обусловливается наличием:

• погрешностей измерений;

• - дополнительных математических преобразований с целью установления экспериментальной ИПХ (в нашем случае в значительной степени влияет операция дифференцирования).

Выводы

• Оптимизация процедуры идентификации позволяет

произвести реконструкцию импульсной переходной

характеристики с достаточной степенью точности при известной и неизвестной заранее структурах передаточной функции идентифицируемого объекта.

• Для оценки точности восстановления ИПХ наиболее эффективными являются интегральные критерии оценки качества.

• При восстановлении ИПХ следует ограничиваться рациональным порядком функционала, достаточного для достижения необходимой точности восстановления.

• При проведении процедуры идентификации посредством аппроксимацией ИПХ рядом ортогональных функций Лагерра достаточно задаться параметром функционала а, входящим в диапазон значений, близких к аопт. Этот диапазон для большинства линейных объектов весьма значителен.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. -Л.: Энергоатомиздат, 1989.

2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Петров В.Л. Разработка системы

автоматического управления

электроприводом вентиляторной

установки при подземном сжигании угля. Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М.: МГИ, 1992.

4. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л.

Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974.

5. Современные методы

идентификации систем/ Под. ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир.1983.

6. Справочник по теории

автоматического управления/Под ред. А. А. Красовского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

7. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad:

математический практикум для

экономистов и инженеров: Учебное

пособие.

1999.

М.: Финансы и статистика,

Рис. 5. Временные зависимости экспериментально полученной ИПХ системы с неизвестной структурой и зависимости аппроксимирующих ИПХ функционалов Лагерра при различных порядках функционалов

(а) - 2 и 4 порядок функционала, (б) - 6 и 8 порядок функционала)

■«НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА-2001» СЕМИНАР № 18

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», Московский государственный горный университет