Математическое обеспечение для идентификации электромеханической системы горных машин на основе представления оператора рядом функций Лагерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ГОРНЫХ МАШИН НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА РЯДОМ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА

П

ри разработке систем управления электроприводами горных машин и оборудования довольно часто приходится сталкиваться с задачей обоснования математических моделей и определения их параметров. Математические модели электромеханических систем горных машин обычно основываются на дифференциальных уравнениях, описывающих закономерности изменения основных координат исследуемой системы. В процессе эксплуатации электромеханических систем горных машин и оборудования под воздействием неконтролируемых внешних факторов параметры математических моделей могут изменяться, что приводит к необходимости перенастройки системы управления с целью обеспечения расчетного качества регулирования. Поэтому задача определения параметров математической модели электромеханической системы является актуальной. Решение поставленной задачи возможно посредством проведения процедуры идентификации изменяемой части системы в условиях нормального функционирования.

В настоящее время в связи с интенсивным развитием и использованием средств вычислительной техники и цифровых средств в системах управления объектами различного класса существует множество методов и алгоритмов идентификации динамических систем.

Наибольшее распространение в практике общей теории идентификации нашли статистические методы, основанные на использовании специальных тестовых сигналов, анализе корреляционных и взаимокорреляционных функций входного и выходного сигналов; методы сглаживания информационных сигналов; методы оценивания вектора состояния и методы анализа переходной и импульсной переходной характеристик. Суть большинства методов сводится к получению модели, которая качественно и количественно описывает статические и динамические свойства идентифицируемого объекта или системы. Под моделью понимают, как правило, вид и параметры его передаточной функции объекта (его оператора).

Наиболее эффективным и математически корректным методом решения задачи идентификации применительно к электромеханическим системам горных машин, оборудованных электроприводом, является способ предварительной аппроксимации импульсной переходной характеристики ортогональными функциями с последующим определением Рис. 1. Зависимости первых трех функций Лагерра от времени при

а = 1

коэффициентов этого разложения. Применение ортогональных функционалов при идентификации рассматривалось в работах отечественных и зарубежных ученых [1-7]. В этих же работах рассматриваются различные виды ортонормированных функций Уолша, Эрмита, Лежандра, Лагерра и т.д. В общем случае возможно осуществление ортогонализа-ции практически любой системы функций посредством использования алгоритма ортогонализации Грамма-Шмидта.

Рассмотрим возможность идентификации параметров математической модели для электромеханических систем горных машин и оборудования аппроксимацией импульсной переходной характеристики объекта идентификации (ИПХ) рядом ортогональных функций Лагерра, определяемых выражением

Lka(т) = 42^ • е(-ат) £(-1)) • Ц- • (2-а-т)і , (1)

і

і=0

где а - параметр функционала; т - временной интервал; І - порядок функции Лагерра.

При этом импульсная переходная характеристика идентифицируемого объекта представляется как

ТО

Мт) = £/ -Lіа(т) , (2)

і=0

где /З/а - коэффициенты разложения ИПХ.

На основании (1) первые три функции Лагерра будут представлены следующими выражениями:

Lkо(т) = 42а • е~ат , (3)

Lkl(т) = V2•а • е~ат • (1 -2-а-т), (4)

Lkl(т) = д/2•а • е • (1 -4•а^т^2•а •т ). (5)

Для а = 1 графические зависимости первых трех функций Лагерра от времени приведены на рис. 1.

Как видно из (3)-(5), эти функции обладают свойством взаимной ортогональности, то есть

0; к ф і І і';к = І

(6)

и их вес равен единице.

Кроме вышеуказанного свойства, функции Лагерра обладают значительным преимуществом перед остальными ввиду возможности применения к ним преобразований Лапласа. Это существенно упрощает нахождение взаимосвязи между значениями коэффициентов разложения и параметрами оператора модели.

Действительно, учитывая (2) и ограничивая предельное значение порядка функции целым числом к, можно записать k-1

Мт) = £Да ■ Ца(тУ (7)

1=0

Используя интеграл свертки, получим выражение для выходной координаты (при нулевых начальных условиях)

х k-1 х

Y(t) = |и5(т) ■ X(t-т^т = £ |Ца(т) ■ X^-т^т .

0 1=0 0

Переходя к изображениям Лапласа и учитывая свойства ортогональности, будем иметь [1] k-1

Y(Р) = £ Аа ■ LIа (Р) ■ X(р) = Yo (р) ■ ^а +

1=0

k-1

+ £ Да ■ ^0(р) ■) Р“ I > (8)

г=1

р-а р + а

где Yo(р) = ■ X(р).

р + а

Анализируя выражение (8), можно сделать вывод, что формирователь функционала Лагерра реализуется путем последовательного соединения звена с передаточной функци-

л/2 ■а

ей ------- и цепочкой звеньев с передаточными функциями

р + а

р - а

-------. Передаточная функция формирователя имеет, тар + а

ким образом, вид [1]:

Щ( р) =

л/2 •а р + а

• [З0а + З1а

р-а р + а

+ З2а

р - а р + а

А,,^1 ,■ ■ ■,Ая и параметр функционала а .

Зависимость для определения коэффициентов разложения ИПХ можно получить из (2)

Рка = |Ма) • Цка(т^т •

(10)

Подставляя в (10) общее выражение для функции Лагерра (1), получим

к

сі

Рка =42а • £ -к- • (2 •а)} • | е( ат) • (-т)} • к5 (т^т .

і=0 і!

0

(11)

Для реализации процедуры идентификации наряду с импульсной переходной характеристикой определенный интерес представляет переходная характеристика, которая, согласно определению, выражается через ИПХ при нулевых начальных условиях как:

к(т) = | к5 (т^т.

(12)

Проинтегрировав выражения (3)-(5) в соответствии с (12), получим выражения для первых трех функционалов Лагерра, наиболее удобных для моделирования переходной характеристики

/ _ Г2 -а-0

L0а = -1_ •е >

V а

L0а = -----------е • (1 - 2 •а •0)

Ца = - — е ат •(1 -2а •02), V а

Для вывода общего выражения для любого порядка функции для разложения ПХ проинтегрируем выражение (1) и получим

0

сі

+... +

Ька = |л/2•а •е ат £(-1)у • —^• (2•ат^Ыт =

і=0

+ Рка

р -а

к л/2 •а

р - а

к

, £ Рпа і ,

р + а I р + а

Г п=0

р + а

Структурная схема формирователя передаточной функции представлена на рис. 2.

Выражение представляет собой операторное изображение модели идентифицируемого объекта или части системы. Ее параметрами являются коэффициенты разложения

—і

(9)

л/2 •а • е ат £(-1)] •—^ • (2 ат) ^т^ е ат(т) .

і=0

і!

Учитывая, что интеграл под знаком суммы может быть представлен в виде

| хп • е“^г = £

к=0

п!

(п - к)! ак+1

хп-к /

х (-1)к • е°х

0

ЭО

2

0

п

Рис. 2. Структурная схема формирователя передаточной функции Лагерра

получим следующее выражение для Lkа

Цка =42а • £(-2 а)і • —k^ х і=0

і!

т-п • і!

і

п=0(і - пЖ-а)^1

• (-1)п • е"

= -] - •£ (-2 •а)і • -і •£ ^- п ^(-1)п • е-ат •

і=0

п=0(і - п)!(-а)

Переходная характеристика представляется как

т п

к(т) = |£ рі

0 і=0

а • Ціа^ = £ Р і а ' Ціа^.

(14)

і=0

Выражение (14) позволяет определить функциональную зависимость между коэффициентами разложения импульсной переходной характеристики и переходной характери-

(13)

стики идентифицируемого объекта. Функционал Ljа также

удовлетворяет основному условию ортогональности, но при этом его формирование требует дополнительных вычислительных ресурсов. Основным преимуществом (13), (14) является возможность разработки на их базе рекурентных алгоритмов и, следовательно, проведение идентификации в реальном масштабе времени и в условиях нормального функционирования объектов.

0

X

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л.: Энергоатомиздат,1989.

2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974.

4. Современные методы идентификации систем/ Под. ред. П. Эйкхоффа. - М.: Мир,1983.

5. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-

ского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

6. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. -М.: Наука, 1984.

7. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», Московский государственный горный университет