Исследование идентификатора в электромеханической системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.Л. Петров, 2002

УДК 62-83:001.5

В.Л. Петров

ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАТОРА В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

При эксплуатации электромеханических систем, параметры которых изменяются под воздействием различных факторов, становится актуальной задача синтеза эффективных средств, позволяющих осуществлять оценку изменяемых параметров.

Использование алгоритмов идентификации, основанных на аппроксимации переходной импульсной характеристики (ИПХ) рядом ортогональных функций Лагерра [1, 3], позволяет сформулировать следующие основные функции наблюдателя:

• определение коэффициентов разложения импульсной переходной характеристики;

• формирование (восстановление) модели электромеханической системы;

• определение параметров электромеханической системы на основе зависимостей между параметрами электромеханической системы и коэффициентами разложения импульсной переходной характеристики.

В функции работающего наблюдателя не входит определение самой ИПХ, и решение этой задачи передается специальному устройству - формирователю ИПХ (ФИПХ).

Коэффициенты разложения ИПХ определяются следующим выражением:

ра = | к5(г) •

0

где кд (г) - ИПХ идентифицируемого объекта; у га (г) - аппроксимирующий функционал (в нашем случае Лагерра).

Учитывая выражение для определения ряда функций Лагерра [1], получим выражение для определения коэффициентов разложения через ИПХ.

_____ г С 1 ”

Ра X-!- • (2а) 11кд (г) • е-аг • (-г) 1 • dг (1)

1=0 1 0

где а - параметр функционала.

Анализируя выражение (1) можно сделать вывод о том, что для определения любого коэффициента разложения ИПХ идентифицируемого объекта необходимо определять сумму интегральных зависимостей от импульсной переходной характеристики.

Приведем выражения для первых трех коэффициентов разложения ИПХ:

Р0а = V2-а |hg(т) - е аг - dт;

(2)

Р1а = V2-а|Ид(г)• е аг-(і-2-а-г^г; (3)

Р2а =42^ | Ид (г) • е-аг 0

•г2

х (і-4-а-г + 2-а2 -г2)Сг; (4)

В качестве примера рассмотрим определение коэффициентов разложения ИПХ цепи возбудителя системы электропривода генератор-двигатель. Передаточная функция генератора при регулировании ЭДС посредством изменения режимов возбуждения представляется в виде инерционного звена первого порядка и имеет вид

Кг

^ (Р) = '

1 + Тв - Р

Осуществляя обратные преобразования Лапласа, получим временное выражение для ИПХ

К 1 т кд (0 = у- • ^ ^ в

Последовательно проинтегрируем выражения (2)-(4) с учетом полученной зависимости для ИПХ, ограничивая предварительно верхний предел интегрирования:

Р0а(ґ) = ^2-а|Идв(г)-е аг -сіт = V2-а-е^ Тв е аг -Сг =

1 - ехр

-(1 + а-Тв )- —

(5)

Р1а(1) = 42^ | ~~-е

л/ 2 - а - Кг

(1 + а-Тв )2

іехР

; а'г (1 - 2-а -г)Сг =

-(1 + а-Тв )-4т

'ХУ;

(6)

- Тв -1 + 2 - а - Ї + 2 - а -Ї-Тв )- аТв +1 }

е аг (1 -4-а-г + 2-а2-г2ІСг =

1-а2 -г2)сг

л/2 -а -Кг

(1 + а- Тв )3

■ (1 + а -Тв )- —

х (2 - а - Тв -1 - а2 - Тв2 + 4 - а - ґ + 4 - а2 -ґ-Тв - (7)

^ 2 ,2 ^ 3 /ті ,2 ^ 4 т-» 2 ,2\

- 2-а * ґ - 4 -а * Т - 2-а ■ Т ) +

+1 - 2 -а -Тв + а2 - Тв2|

СО

X

Г

в

X

Г

х

в

0

Установившиеся значения коэффициентов разложения определим вычислив пределы полученных выражений (5) -(7) при t —— то :

Ит [Аа^)]= 12* К ;

г—<» 1 + а •!„

Ч5р1а (t) =

л/Ю

(і + а T )3

iexp

T

x (5aTe - 4a4Te3t + 1а1Tе2 + a3Te3

lim [ріа (t)] =

t——то

л/Ю ■ Kr -(і - а Te ) (і + а T )2 ;

11a3Te 2t + 1a5Te 3t1 - 8а1Tвt + 1а3Tеt1 + 4a4Te 2t2) +

lim [pia (t)] =

t——то

4їа ■ Kr-(l-1 -а Te + а1 ■Te2) (і + а T )3

Полученные выражения для установившихся значений коэффициентов разложения соответствуют выражениям взаимосвязи этих коэффициентов с передаточной функцией идентифицируемого объекта и ее производными при замене оператора Лапласа «р»на а [1].

Для нахождения выражений для передаточных функции формирователей коэффициентов разложений применим преобразования Лапласа для выражений (5)-(7) и разделим

Кг

их последовательно на Wв (р) = -

1 + Te 'p

W (p) = У°(і + Tb-p) Роа( p) p (і + oTb +Tep)]:

WP1o( p) =

42а ■(і + Te •p)■(і-aTe + Tep)

p■(і+°7; + tbp)2

(8)

(9)

л/ЇО ■ (1 + Tep)(1 + a2T1 е - 2aTe + 2 ■ Tep(1 - Те а) + Т1 е ■ p)

1и

+aTe + Т bp

(іо)

Для оценки быстродействия при определении коэффициентов разложения определенный интерес представляют импульсные переходные характеристики формирователей коэффициентов разложения, которые определяются в нашем случае следующими выражениями:

720

k5Pa (t) = ^------ТГ ■

иоа 1 + а ■Te

1 + aTeexp| -(l + а ■Т'в)■ —

(іі)

kSpla (t) =

< (- 3 ■ a ■Te-

(і + a Te )2

О s-,1 З71 1

lexp

-(і + a Te)■ -Ta

xj (11)

)-a■ Te + 1 }

Рис. 1. Временные зависимости импульсных переходных характеристик в соответствии с (11)-(13) и kge(t) при фиксированных значениях параметров а = 1, Те = 1,1, Кг = 1 (trace 1 - (11), trace 1 - (11), trace З - (13), trace 4 - kge(t))

+ і -1

a ■ T в + a ■ Te

На рис. 1 представлены временные зависимости импульсных переходных характеристик формирователей коэффициентов разложения и кдв (/) при фиксированных значениях параметров а = 1, Тв = 1.2, Кг = 2.

На основании зависимостей, представленных на рис. 1, можно сделать заключение о том, что формирователи коэффициентов способны определить значение коэффициентов разложения (с принятой погрешностью) фактически раньше времени окончания переходного процесса в идентифицируемом объекте. Необходимо заметить, что быстродействие формирователя определяется значением параметра а , а при обосновании его значения необходимо использовать критерии качества восстановления ИПХ.

На рис. 2 представлены временные зависимости для коэффициентов разложения ИПХ, построенные на основании (5)-(7) для тех же значений параметров, что и для зависимостей, представленных на рис. 1.

Как видно из представленных зависимостей, наиболее быстро установившегося значения достигает значение первого коэффициента разложения ИПХ. Второй и третий коэффициенты разложения достигают установившихся значений намного позже.

Выводы

1. Динамические характеристики идентификатора, принцип работы которого основан на аппроксимации ИПХ рядом ортогональных функций Лагерра, позволяют определять коэффициенты разложения ИПХ с более высоким быстродействием, чем быстродействие элементов ЭМС.

X

}

2

2. Быстродействие идентификатора зависит от выбора параметра а, выбор которого должен

Рис. 2. Временные зависимости коэффициентов разложения ИПХ в соответствии с (5)-(7 и h*(t) при фиксированных значениях параметров а = 1, Тв = 1,2, Кг = 2 (trace 1 - (5), trace 2 - (6), trace 3 -(7), trace 4 - h*(t)

быть обоснован исходя из критериев качества восстановления модели.

3. В зависимостях (5)-(7), определяющих динамику формирования коэффициентов разложения, учитываются параметры оператора идентифицируемого объекта, что подразумевает знание структуры оператора до идентификации. Для нахождения независимых от априорной информации решений, необходимо исследовать возможность синтеза фильтров, в структуру которых не входят параметры идентифицируемого оператора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Л. Энергоатомиздат,1989.

2. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1974.

3. Петров В.Л. Разработка системы автоматического управления электроприводом вентиляторной установки при подземном сжигании угля. Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М. МГИ, 1992.

4. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974.

5. Современные методы идентификации систем/ Под. ред. П. Эйкхоффа. -М.:Мир.1983.

6. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Кра-совского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

Петров Вадим Леонидович — доцент, кандидат технических наук, кафедра «Электрификация горных предприятий», Московский государственный горный университет