CC BY
12
УДК 536.7
ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОЧЛЕННОГО ЧЕТЫРЁХПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ К РАСЧЁТУ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОСТОЙ ЖИДКОСТИ В НАДКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
И.К.Локтионов
APPLICATION OF A SINGLE FOUR-PARAMETER POTENTIAL OF INTERACTION TO CALCULATION OF THERMODYNAMIC PROPERTIES OF SIMPLE LIQUID IN THE SUPERCRITICAL REGION
LKLoktionov
Донецкий национальный технический университет, likk@telenet.dn.ua
Получено уравнение состояния простой жидкости с четырёхпараметрическим одночленным осциллирующим потенциалом взаимодействия. Найдены оптимальные значения этих параметров, с учётом которых выполнены расчёты термодинамических свойств в надкритической области. Проведено сопоставление теоретических результатов для различных модельных систем с экспериментальными данными.
Ключевые слова: осциллирующий потенциал взаимодействия, уравнение состояния, критическая точка, термодинамические функции
The authors obtained the equation of state of simple fluid with a four-parameter one-term oscillating interaction potential. Optimum values of these parameters are found. The thermodynamic properties in the supercritical region are calculated. The authors also carried out the comparison of theoretical results for various model systems with experimental data. Keywords: oscillating interaction potential, equation of state, critical point, thermodynamic functions
Введение
Построение микроскопической теории жидкого состояния, в рамках которой осуществляется расчет свойств вещества, может быть основано на одном из следующих подходов:
— численное моделирование с использованием методов молекулярной динамики или Монте-Карло [1];
— метод интегральных уравнений, устанавливающий связь свойств жидкости с парной корреляционной функцией [2];
— асимптотическая оценка или вычисление конфигурационного интеграла системы, моделирующей свойства, исследуемого объекта [3].
Для применения каждого из подходов требуется задание потенциала v(r) взаимодействия частиц, возможность использования которого определяется в том числе и качеством воспроизведения совокупности экспериментальных данных. Однако с точки зрения представления результатов расчетов более привлекательными являются методы второй и третьей группы, поскольку позволяют получить аналитические зависимости термодинамических характеристик от параметров состояния.
Моделью простой жидкости, описание свойств которой является целью настоящей работы, служит система N одинаковых частиц массы m0, размещенных в объеме V и взаимодействующих посредством парного центрального потенциала v(r) с фурье-образом v ^). Для таких систем в статье [4] найдена свободная энергия Гельмгольца
1 пУ ~ V
F = -р1п г = ^ + —~ + у I (п,р), (1)
I (и,р) = |[1и(1+пр ))-пр (2л)3,
□
где р = 1/ ^Т — обратная температура, ^ — постоянная Больцмана, п = N/V — плотность числа частиц, ~0 = ~(0) — значение фурье-образа при k = 0, = ШвТ 1п(п -X3), X = кД/2лт^вТ — тепловая длина волны де Бройля, к — постоянная Планка.
В работах [5,6] с помощью выражения (1) выполнены расч1ты свойств систем «простейшим» осциллирующим потенциалом и потенциалом Юка-вы:
у(г ) = (А/ 4лг) ехр(-аг аг), (2)
у(г ) = (А/ 4лг )ехр(-аг). (3)
с положительными параметрами А, а.
Потенциал (2) хорошо воспроизводит зависимость изобарной тепло!мкости СР (Т) в надкритической области, однако теоретическое значение температуры Бойля Тв имеет погрешность более 70%, а теоретическая кривая скорости звука и(Т) на бино-дали не соответствует эксперименту даже качественно. Потенциал (3) демонстрирует противоположную картину: наблюдается качественно верное описание и(Т) на бинодали, погрешность для Тв не превышает 6%, но зависимость СР (Т) при относительно низких
температурах в надкритической области не согласуется с данными измерений.
Успех адекватного описания свойств зависит от количества подгоночных параметров потенциала взаимодействия, а их увеличение, как известно, расширяет предсказательные возможности теории. Поэтому здесь предпринимается попытка исследования термодинамики простой жидкости на основе приближения (1) с потенциальной функцией A
v(r ) = ехР(" а • r )sin(br +фо), (4)
содержащей четыре параметра A > 0, а > 0, b > 0, ф0 > 0, которая при ф0 = 0 и а = b преобразуется к потенциалу (2), а при ф0 = я/ 2 и b = 0 — к потенциалу (3).
Потенциал (4) является устойчивым, т.е. не приводит к коллапсу системы, если его фурье-образ удовлетворяет условию [7]
)= ^-т2+$
(к/a) + 2 p(kja) + q
■> 0,
(5)
где w=^/а2, ¿4=sin^b, L = 25-cos% + p-sinqjo, p = 1-52,
q = (i + 52)2, 5= b/а .
Неравенство (5) выполняется для любых k в точках (ф0,5) области устойчивости потенциала G = {(ф0, 5) :0 <ф0 <л;0 < 5 < ctg^0 /2)}, изображенной на рис.1 вместе с кривыми 2 и 3, о которых ниже будут даны разъяснения.
Рис.1. Область G устойчивости потенциала (4). Линии: 1 — 5 = ^д(ф0/2) , 2 — линия точек возврата кривых скорости звука на бинодали; 3 — линия минимумов функции Ф(5)
Если далее окажется возможным представить все термодинамические величины в виде функций от ф0 и 5 , то сокращение до двух числа оптимальных параметров потенциала, позволяющих описывать эксперимент с наименьшими погрешностями, можно рассматривать как обнадеживающий результат первого этапа решения задачи.
Расчет теплофизических свойств и выбор оптимальных параметров потенциала
Необходимое для расчетов свойств выражение для свободной энергии после вычисления интеграла I(п,р) с учетом фурье-образа (5) принимает вид
F = Fld +—~о - С-((2p - VftK - V2(l-382))-
-f (N,w, Фс, 5),
(6)
где обозначено С = а3/бл/2л, Д1 = VР\ + , р = р + п$м>Ь\/2, д\ = q + nPwL2, последнее слагаемое в (б) зависит только от числа частиц и параметров потенциала.
Применяя к выражению (б) стандартный математический аппарат термодинамики, найдем уравнение состояния, изобарную теплоемкость, скорость звука и коэффициент Джоуля-Томсона при постоянном давлении:
— уравнение состояния
8F
п п2~0 С
р=\дУ Т"р-^ (7)
здесь J (х) = л/2(\-352)+Л( х)/4 Д\(х), у\( х) = (2 ^л/qГ )х х(2р\- бр) + q1 + 3q, для обозначения зависимости величин от произведения пр^ с целью сокращения записей введена переменная х = п$м>.
— молярная изобарная теплоемкость
Ср(Т ) = Cv (T )-T
8 2F ^
(8P 8T )V (8P/8V)T'
(8)
где Су (Т) = -Т | — молярная теплоемкость при
постоянном объеме;
— скорость звука
uP(T ) =
V
(
T
__8P
4ы Cv(TK8T Jv
8P_ 8V
\V2
— коэффициент Джоуля-Томсона V (T (8p8T)V
ap(T )=-
-1
(9)
(10)
"СР(Т>М у п (дР/дп)Т
где М — молярная масса вещества.
Заметим, что термодинамические функции (7)-(Ш) зависят от трех параметров а, ф0 и 5 . Одним из признаков всех реальных жидкостей является критическое состояние, возникающее в определенной точке (Р,пс,ТС) термодинамической поверхности, в которой выполняются условия
'дР1 ^щ«, - Сд (х)
8n 82 P 8n2
8n
= с,
ßv - С
8 2J (x)
8n2
(11)
= с,
индекс «с» указывает на принадлежность величин к критической точке (КТ).
Для нахождения соотношений между параметрами потенциала взаимодействия и измеряемыми на эксперименте координатами критической точки (Р,пс,ТС) систему (П) можно привести к нелинейному уравнению
¿2 -^(Хс) = (q + ХсЬ2^2(Хс), (\2)
T
c
c У
c
в котором величины J1(xc ) = (Рс^) 1(Ш (х)/дп) ,
J2( хс ) = (Рс^)-2(д2 J (х)1 дп2 )с содержат безразмерную неизвестную хс = пс$см> и параметры ф0 и 5 . При вычислении производных от J(х) по п в КТ соответствующие множители (Рс^)-1, (Рс^)-2 сокращаются. Это означает, что в уравнение (12) не входят индивидуальные критические характеристики вещества. Следовательно, решения хс, зависящие только от ф0 и 5 , могут быть использованы в расчетах для любой простой жидкости. Подставляя решение хс = хс(ф0,5) уравнения (12), полученное одним из
численных методов для заданной точки (ф0,5)eG в первое уравнение (возможен вариант использования второго уравнения) системы (11), получим соотношение, связывающее параметр а с критической плотностью пс
q+xcL,
(13)
пс Чх^1( хс )
Каждую из функций (7)-(10) с помощью равенства (13) и замены х = хсю/т для проведения расчетов удобно представить как функцию приведенных переменных ю= п/пс, т = Т/Тс с параметрами ф0 и 5 . Например, уравнение состояния (7) после таких преобразований принимает вид
Т-Г/ ч 1 С хсю2 т
П(ш, т) =1т
УЬ 4 <">
здесь Zc =
PcPc
=1+
xcL2 ( q + xcL2
2q ( q XcJi ( Xc )
J (xc) — крити-
,1с Клс )
ческая сжимаемость.
Величиной, характеризующей качество приближения расчетов к аппроксимируемым опытным результатам, служит функция, равная сумме отклонений теоретических значений термодинамических свойств х*кеог (ф0,5) от соответствующих экспериментальных данных Х.ехр
Ф(ф0, S)=2-
Xexp _ g)
i=1
X exp
(15)
Оптимальные значения параметров ф0 и 5 потенциала (4) могут быть найдены из необходимых условий экстремума функции (15) в области устойчивости G
дФ/дфо = 0, дФ/д5 = 0, (16)
которой отвечает система нелинейных уравнений относительно неизвестных ф0 и 5 . Заметим, что вид нелинейной системы и ее решение зависят от функции (15), конструируемой с использованием различных термодинамических свойств.
Функция Ф(ф0,5), составленная с учетом свойств (7)-(10) в КТ и экстремальных значений функций (8)-(10), при Т > Тс и Р > Рс достигает ми-
нимума в области устойчивости G выше линии 2 точек возврата кривых скорости звука и(Т) на бинодали (рис.1). В этой части области G кривые и(Т) самопересекаются, т.е. имеют узловые точки, что можно интерпретировать как эффект Шнейдера. В простых жидкостях эффект Шнейдера не наблюдается, но обнаруживается в индивидуальных веществах и смесях, например, в шестифтористой сере SF6 [8]. Поэтому при построении модели простой жидкости, способной адекватно описывать возможно большее число экспериментальных фактов, оптимальные значения параметров ф0 и 5 следует искать в области ниже линии 2, где кривые скорости звука на бинодали не имеют самопересечений.
Анализ результатов численных расчетов, выполненных в связи с этим обстоятельством, указывает на необходимость включения в выражение (15) дополнительного слагаемого, отвечающего температуре Бойля
Tb =
3Tc(q+xcL2)
8V2 • Ji( Xc )l
4q
2Л
(17)
upmin
a!pPax
определяемой из равенства нулю второго вириально-го коэффициента B(T) = 0 .
В этом случае для функции Ф(ф0,8), построенной с учетом экспериментальных значений для аргона в КТ Zc = 0,292, uc = 168м/с, TB = 412,8K [9], (dn/(9r)c = 6,0 [10] и экстремальных значений теплоемкости СГХ = 2513Дж/кг • К, скорости звука = 259 м/с и коэффициента Джоуля-Томсона = 4,26 -10_б К/Па [9] при P =10МПа система (16) не имеет решений. Однако для такой функции удается определить точки (ф0,8)eG, в которых (ЗФ/98)фо = 0, а функция одной переменной Ф(8) = Ф(ф0 = const, 8) в этих точках имеет возрастающие при увеличении ф0 минимумы. Эти точки образуют линию минимумов 3 (рис.1). Теперь ясно, что оптимальные значения ф0 и 8 — это координаты точки линии 3, близкой к линии 2 в актуальной, ниже линии 2, части области G.
Для рассматриваемой функции Ф(ф0,8) установлены следующие значения ф0 «я/9, 8«0,8, которым соответствует решение xc «1,890 уравнения (12). Отметим, что уравнение (12) в частных случаях потенциалов (2) и (3) имеет точные решения: xc = 1,6 при ф0 = 0, 8 = 1 и xc = 2,0 при ф0 =я/2, 8 = 0. Значения параметров а, А потенциала (4) для построения потенциальной кривой вычисляются по схеме, применимой и для потенциалов (2), (3): а определяется из равенства (13), A = a2xc/ncPc, b =8a. На рис.2 представлены потенциальные функции (2)-(4), найденные с использованием параметров, рассчитанных по критической плотности и температуре для аргона.
3
a
2
40
20
-20
V(r)10~23,Дж \
1 \ 2 \l Г.....1(Г10М
2 I \у 8
\ /
100 150 200 250 Т, К 300
Рис.3. Изобарная теплоемкость CP(T) аргона при P = 10МПа:
1 — потенциал (4); 2 — потенциал (2); 3 — потенциал (3); 4 — эксперимент по данным [9]
На рис.4 приведены зависимости коэффициента Джоуля—Томпсона аР (Т), рассчитанные для аргона в системах с потенциалами (2)-(4). Отметим, что кривая \ соответствующая обобщенному потенциалу (4), имеет хорошее согласие с экспериментом (кривая 4) и занимает промежуточное положение относительно кривых 2 и 3 для двухпараметрических потенциалов (2) и (3). Термин «обобщенный» здесь следует понимать в том смысле, что потенциал (4) при указанных выше значениях ф0 и 5 преобразуется к потенциалам (2) и (3) и приводит к соответствующим термодинамическим следствиям.
ап,10~5 К/Па
Рис.2. Потенциалы взаимодействия: 1 — потенциал (4) с параметрами % ~ тг/9 , б « 0,8; 2 — потенциал (2); 3 — потенциал (3) ф 3
Расчет приведенных ниже температурных зависимостей свойств при постоянном давлении Р = ШМПа проведен по формулам (8)-(Ш) с учетом
решений ю= п/пс уравнения
П(ю, т)- Р/Рс = 0 (\8)
при ф0 «л/9 и 5и0,8 в диапазоне температур от \20 до 300 К.
На рис.3 показаны результаты расчета изобарной теплоемкости для аргона, полученные для систем с потенциалами (2)-(4) и данные измерений при Р = Ю МПа . Видно, что кривая 2, полученная в модели с «простейшим» осциллирующим потенциалом (2) хорошо описывает реальную картину. Модель с потенциалом (3) дает наихудший результат, поскольку в ближайшей окрестности максимума С™* погрешности расчетов чрезвычайно велики, а при низких температурах наблюдается ярко выраженное качественно неверное поведение кривой 3. Обращает на себя внимание кривая \ которая в окрестности С™* удовлетворительно описывает эксперимент, но при уменьшении температуры отклонения расчетной зависимости СР (Т) от эксперимента приобретают качественный характер.
100
150
200
250 Т, К 300
Рис.4. Температурная зависимость коэффициента Джоуля— Томпсона аргона при Р = 10 МПа : 1 — потенциал (4); 2 — потенциал (2); 3 — потенциал (3); 4 — эксперимент по данным [11]
Общий результат для всех теоретических кривых зависимости скорости звука иР(Т) в надкритической области, изображенных на рис.5, в качественном отношении представляется удовлетворительным, хотя точность описания экспериментальных данных явно недостаточна.
350
300
250
200
150
100 150 200 250 Т. К 300
Рис.5. Температурная зависимость скорости звука в аргоне при P = 10 МПа : 1 — потенциал (4); 2 — потенциал (2); 3 — потенциал (3); 4 — эксперимент по данным [9]
Зависимость скорости звука u(T) на бинодали построена по формуле (9). Для этого использовались
значения плотностей юь ю2 жидкой и газовой фаз при температуре т = Т/Тс, которые являются решениями системы уравнений, определяющей условия равновесия фаз
ГП(юь т) = П(ю2, т),
1КЮ1, т) = Кю2, т),
где ц(ю, т) = (дР/ дЫ )Т — химический потенциал.
(19)
300
260
220
180 160
и, м/с " - - 3 А
точка самопересечен ия
- /
4 2 — 1 1 1 —р
120
125
130
140
Т К 150
Рис.6. Скорость звука в аргоне на линии сосуществующих фаз: 1 — потенциал (4); 2 — потенциал (2); 3 — потенциал (3); 4 — эксперимент по данным [9]
Из рис.6, где сопоставляются теоретические зависимости 1-3 скорости звука и(Т) в аргоне на линии сосуществующих фаз с экспериментальной кривой 4, видно, что кривая 2 имеет точку самопересечения. Как уже отмечалось, в простых жидкостях эффект Шнейдера не наблюдается (кривая 4). Заметим далее, что нижняя ветвь кривой 3, соответствующая и(Т) в газовой фазе, имеет минимум при Т <Тс. Однако из данных измерений следует, что и(Т) в газовой фазе монотонно убывает до минимального значения в КТ (нижняя ветвь кривой 4). Кривая 1, построенная по результатам расчетов модели с обобщенным потенциалом (4) с параметрами ф0 «я/9 и 5«0,8, демонстрирует качественно правильное поведение скорости звука на обеих ветвях бинодали. Верхняя ветвь кривой 1, описывающая и(Т) в жидкой фазе, заметно уступает по точности соответствующей ветви кривой 3.
Результаты расчета относительных погрешностей некоторых термодинамических характеристик систем, моделирующих свойства простой жидкости с различными потенциалами взаимодействия, представлены в следующей таблице
Относительные погрешности 5Х,
^еог
(%)
Модель 52с 5ис 5(дП/дт)с 5Тв 5СГХ 5ир}т 5а™ах
Потенциал (2) 6,2 2,9 1,9 71,2 9,0 24,7 6,0
Потенциал (3) 8,2 12,7 41,1 5,2 82,8 12,4 20,5
Потенциал (4) 9,2 1,4 15,5 37,9 23,5 20,5 11,0
Заключение
Предложенная модель простой жидкости на основе четырехпараметрического одночленного осциллирующего потенциала взаимодействия обобщает исследованные ранее модели с двухпараметрически-ми потенциалами, недостаточная гибкость которых не допускает корректировки результатов, получаемых в рамках использованной вычислительной процедуры.
Преимущество четырехпараметрического потенциала состоит в том, что вариацией параметров удаётся найти такие их значения, при которых обобщённая модель демонстрирует качественно верную зависимость скорости звука на бинодали, в отличие от модели с «простейшим» осциллирующим потенциалом, и существенно лучше воспроизводит поведение изобарной теплоемкости в надкритической области, чем модель с потенциалом Юкавы.
Таким образом, наличие свободных параметров позволяет сгладить или полностью устранить некоторые недостатки двухпараметрических моделей, что достигается, однако, ценой привлечения сложных уравнений, для решения которых применяются численные методы.
Причины недостаточно точных оценок свойств вещества связаны с приближённым характером, используемых в расчетах выражений для свободной энергии и потенциала взаимодействия, а также с возможным влиянием многочастичных сил, которое не было учтено.
Ясно, что поправки, вносимые обобщенной моделью в термодинамику двухпараметрических моделей, не могут решить всех проблем, однако позволяют считать эту модель более пригодной для описания совокупности равновесных свойств простой жидкости.
Автор выражает благодарность А.Ю.Захарову за внимание к работе и полезные советы.
Лагарьков А.Н., Сергеев В.М. Метод молекулярной динамики в статистической физике // УФН. 1978. Т.125. Вып. 3. С.409-448.
Коваленко Н.П., Фишер И.З. Метод интегральных уравнений в статистической теории жидкостей // УФН. 1972. Т.108. Вып. 3. С.209-239.
Зубарев Д.Н. Вычисление конфигурационных интегралов для системы частиц с кулоновским взаимодействием // ДАН СССР. 1954. Т.35. №4. С.757-760. Захаров А.Ю., Локтионов И.К. Классическая статистика однокомпонентных систем с модельными потенциалами // ТМФ. 1999. Т.119. №1. С.167-176.
Локтионов И.К. Термодинамические свойства одноком-понентных систем с парными двухпараметрическими потенциалами взаимодействия // ТВТ. 2011. Т.49. №4. С.529-536.
Локтионов И.К. Применение двухпараметрических осциллирующих потенциалов взаимодействия для описания теплофизических свойств простых жидкостей // ТВТ. 2012. Т.50. №6. С.760-768.
Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / Под ред. Р.А.Минлоса/ Пер. с англ. М.: Мир, 1971. С.367.
Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. М.: Высшая школа, 1974. 288 с.
1.
2
3.
4
5.
6
7.
8
9. Stewart R.B., Jacobsen R.T. Thermodynamical Properties of Argon from the Triple Point to 1200 K with Pressures to 1000 MPa // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1989. V.18. №2. P.639.
10. Каганер М.Г. Максимумы термодинамических свойств и переход газа к жидкости в надкритической области // ЖФХ. 1958. Т.ХХХ11. №2. С.332.
11. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. И.К.Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.
References
1. Lagar'kov A.N., Sergeev V.M. Metod molekuliarnoi di-namiki v statisticheskoi fizike [Molecular dynamics method in statistical physics]. Uspekhi fizicheskikh nauk - Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences), 1978, v.21, p.566-568.
2. Kovalenko N.P., Fisher I.Z. Metod integral'nykh uravnenii v statisticheskoi teorii zhidkostei [Method of integral equations in statistical theory of liquids]. Uspekhi fizicheskikh nauk -Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences), 1972, v.15, p.592-607.
3. Zubarev D.N. Vychislenie konfiguratsionnykh integralov dlia sistemy chastits s kulonovskim vzaimodeistviem [Calculation of configuration integrals for a system of particles with the Coulomb interaction]. Doklady Akademii nauk SSSR, 1954, vol. 95, no. 4, pp. 757-760.
4. Zakharov A.Iu., Loktionov I.K. Klassicheskaia statistika odnokomponentnykh sistem s model'nymi potentsialami [Classical statistics of one-component systems with model potentials]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika -Theoretical and Mathematical Physics, 1999, v.119, no.1, p.532-539.
5. Loktionov I.K. Termodinamicheskie svoistva odnokomponentnykh sistem s parnymi dvukhparametricheskimi potentsialami vzaimodeistviia [Thermodynamic properties of one-component systems with pair two-parameter interaction potentials]. Teplofizika vysokikh temperatur - High Temperature, 2011, vol. 49, no. 4, pp. 512-519.
6. Loktionov I.K. Primenenie dvukhparametricheskikh ostsil-liruiushchikh potentsialov vzaimodeistviia dlia opisaniia te-plofizicheskikh svoistv prostykh zhidkostei [Application of two-parameter oscillating interaction potentials for specifying the thermophysical properties of simple liquids]. Teplofizika vysokikh temperatur - High Temperature, 2012, v.50, no.6, p.708-716.
7. Ruelle D. Statistical Mechanics. Rigorous Results. New York, Amsterdam, W.A.Benjamin, Inc., 1969. (Russ. ed.: Riuel' D.; Minlos R.A., ed. Statisticheskaia mekhanika. Strogie rezul'taty. Moscow, "Mir" Publ., 1971. 367 p.).
8. Nozdrev V.F., Fedorishchenko N.V. Molekuliarnaia akustika [Molecular acoustics]. Moscow, "Vysshaia shkola" Publ., 1974. 288 p.
9. Stewart R.B., Jacobsen R.T. Thermodynamical Properties of Argon from the TriplePoint to 1200 K with Pressures to 1000 MPa. Journal of Physical and Chemical Reference Data, 1989, vol. 18, no. 2, p. 639-798.
10. Kaganer M.G. Maksimumy termodinamicheskikh svoistv i perekhod gaza k zhidkosti v nadkriticheskoi oblasti [Maxima of thermodynamic properties and transformation of gas to liquid in the supercritical region]. Zhurnal fizicheskoi khimii - Russian Journal of Physical Chemistry A, 1958, vol. 32, no. 2, pp. 332-340.
11. Kikoin I.K., ed. Tablitsy fizicheskikh velichin. Spravochnik [Tables of physical quantities. Reference Book]. Moscow, "Atomizdat" Publ., 1976. 1008 p.
