Моделирование теплофизических свойств одноатомных классических жидкостей на основе осциллирующего потенциала взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОДНОАТОМНЫХ КЛАССИЧЕСКИХ

ЖИДКОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

НУЛЕВОЙ И БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛЫ

И.К.Локтионов, С.А.Руссиян, Г.А.Гусар

MODELING THERMOPHYSICAL PROPERTIES OF CLASSICAL MONATOMIC LIQUIDS BASED ON OSCILLATING INTERACTION POTENTIAL. ZERO LIMIT AND INFINITE LIMIT

LKLoktionov, S.A.Russiian, G.A.Gusar

Донецкий национальный технический университет, likk@telenet.dn.ua

Описание равновесных теплофизических свойств выполнено на основе статистического подхода с использованием конфигурационного интеграла и четырехпараметрического осциллирующего потенциала, моделирующего взаимодействие в простой жидкости. Нахождение значений параметров потенциала для адекватного воспроизведения результатов измерений сводится к определению одного варьируемого параметра. Рассмотрены два предельных случая, допускающих точное аналитическое решение задачи. В одном из них получены асимптотические выражения для потенциала взаимодействия и термодинамических величин, зависящие от этого параметра. В другом пределе показано, что исходная модель эквивалентна модели, в которой потенциал и термодинамические функции утрачивают вариабельность, характерную для первого случая. Проведено сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

Ключевые слова: осциллирующий потенциал взаимодействия, уравнение состояния, критическая точка, термодинамические функции

The description of equilibrium thermophysical properties is carried out on the basis of statistical approach using the configuration integral and four-parameter oscillating interaction potential, modeling interaction in a simple liquid. Finding the potential parameters' values for appropriate reproduction of measurement results reduces to determining one variable parameter. We consider two limiting cases providing an exact analytical solution of the problem. The first one gives asymptotic expressions for interaction potential and thermodynamic values depending on this parameter. The other limit shows that the original model is equivalent to the model in which the potential and thermodynamic functions lose their variability, which is typical for the first case. The comparison of theoretical and experimental data was conducted.

Keywords: oscillating interaction potential, equation of state, critical point, thermodynamic functions

Введение

В ряде недавних работ [1-4] в рамках статистического подхода были выполнены исследования равновесных теплофизических свойств классических однокомпонентных систем, в которых взаимодействие между частицами описывается парными осциллирующими потенциалами (ОСЦ-П).

В [1] с привлечением «простейших» двухпара-метрических ОСЦ-П получены в целом удовлетворительные результаты, соответствующие данным измерений. Однако погрешности некоторых величин ока-

зались весьма значительными, а температурная зависимость скорости звука на линии насыщения качественно неверно описывает экспериментальную картину. В связи с этим в статьях [2,3] была предпринята попытка устранить указанные недостатки с помощью четырехпараметрических ОСЦ-П, представляющих сумму «простейших» ОСЦ-П. Увеличение числа свободных параметров может привести к ситуации, когда улучшение согласия с экспериментом достигается путем чрезвычайно громоздких вычислений. Однако существование степенных асимптот линий уровня поверхности Zc = Р<УС/КТС открывает некоторые воз-

можности для описания свойств простои жидкости на основе обозримых и асимптотически точных выражений. Заметим, что при использовании четырехпара-метрических потенциалов совокупность опытных данных удается воспроизвести точнее, чем в случае с «простейшими» ОСЦ-П [2-4].

Постановка задачи и её решение

До сих пор оставался открытым вопрос о предсказательных возможностях потенциала, представленного в виде разности двух «простейших» ОСЦ-П. В настоящей работе в качестве потенциала V(r) межчастичного взаимодействия с положительными параметрами А, a, B,b рассматривается функция

V (r) = Va( r)- vb( r),

(1)

где УА(г) = (а/4ла2г)ехр(- аг/^2)8ш(аг/л/2") для получения УВ(г) параметры А и а в УА(г) следует

заменить на В и Ь соответственно. Далее будем предполагать, что Фурье-образ потенциала (1)

~(к)=А/(к4 + а4)-В/(к4 + Ь4), (2)

удовлетворяет условиям [5]

~(0) >0 и |dЗк~(к)>0, (3)

которые обеспечивают устойчивость потенциала. Из условий (3) вытекают неравенства е<84 и е<8, (е = В А, 8 = Ъ/а), определяющие область устойчивости, представленную на рис. 1.

0 1 2 j g 4

Рис.1. Фрагмент области устойчивости потенциала (1)

Задача описания свойств вещества на основе статистического подхода с привлечением потенциала (1) состоит в том, чтобы определить такие значения его параметров А, a, B, b, при которых сумма отклонений расчетных значений свойств от экспериментальных была бы минимальной.

Основным инструментом для расчета свойств системы N частиц, расположенных в объеме V и взаимодействующих попарно посредством центрального потенциала V(r) с Фурье-образом ~(k), как и в [1-3], служит выражение для свободной энергии F, полученное в гауссовом приближении метода перевала [6]

где обозначено: Fid = ИкВт(1п(п-^3)-1), ^ =к\42%щ)кВТ — тепловая длина волны де Бройля, к — постоянная Планка, Т — температура, Р = 1/кВТ, кВ — постоянная Больцмана, п=И/У — плотность числа частиц,

У0 =( А/а - В/Ъ)/4я>/2, ~0 = А а4 - в/ъ4 — значения потенциала и его Фурье-образа при г = 0 и к = 0 соответственно, I (п,Р) = ^ d 3к (2л)-31и(1+пр~(к)) —

□

интеграл, устанавливающий связь термодинамических величин с параметрами У (г).

Выполняя интегрирование по к с Фурье-образом (2) в правой части (4), имеем

I (x) = I (n,ß) = —т-Io( x), 3л V 2

(5)

где 1„( х) = р3( х) + g3( х)-(1+83), р х) = (( К х) + Q( х))/2)1/4, g(х) = ((х) - Q(х))/2)1/4, Q(х) = л/К2(х)- 4К2(х). Кх( х ) = 1 + 84 + xd, К 2( х) = 84(1 + xD ), w = А а4, Б = 1-е/84, d = 1-е.

Здесь и далее зависимость от п и р ради сокращения записей обозначена через х = nрw.

Заметим, что введенные после формулы (5) вспомогательные функции содержат безразмерные параметры е и 5. Поэтому определение оптимальных значений А, а, В,Ъ сводится к нахождению точки

(е0,80) в области устойчивости (рис.1), минимизирующей отклонения результатов расчета от данных измерений. Пользуясь обычной техникой термодинамики, из свободной энергии нетрудно найти уравнение состояния (УС)

P = Ä) = n + n2~o

С

чдУ)т- р ■ 2 -|рх), (6)

где С = а3/бя>/2, J(х) = 10(х)-п -д10(х)/дп.

Величина хс = пср^ — решение системы уравнений, определяющих критическую точку

¥ )с =1С (1+^+4 хс ^ 0,

= + СП~ ( Jl( Xc )+ XcJ 2( X° ») = 0,

(7)

F = Fld - N (V) - n~o)+Vß I(n,ß),

(4)

ЛС х)= 10( х^(Р~0)2, Ч х)= ПК х)/(Р~0)3, q=q( х)=Л+хО, 10(х), 10'(х) — производные по п, индекс с указывает на принадлежность к КТ), которая сводится к нелинейному уравнению

У^) + хс9с2^(хс) = 0, (8)

где qc = q( хс ) = >/1 + хсБ.

Входящие в (8) величины J1(хс) и J2(хс) являются функциями е и 5, поскольку при последовательном дифференцировании 10(х) по п соответствующие степени множителя рсу0 сокращаются. Поэтому корень хс уравнения (8) зависит только от е и 5.

3

Очевидно, что выполнить расчет в каждой точке области устойчивости и выбор среди них одной или нескольких точек, отвечающих условию минимума суммы погрешностей свойств, не представляется возможным. Однако авторам удалось исследовать термодинамику модельной системы в предельных случаях: 0 (е^ 0) и 5^да(е^да).

Уравнения связи между е и 5 в области устойчивости, определяемой верхней ее границей, зададим

в виде е = K054 при 5^ 0 и е = Кда5 при 5^ да, (К0, Кда е (0; 1)). Этот шаг позволяет построить аналитические формулы, по которым осуществляется расчет свойств и, следовательно, избежать трудностей, связанных с дискретным характером вычислений в отдельных точках интересующей области.

Интегралы J(xc), J\(xc), J2(xc) подвергнем

разложению по степеням 5 с учетом связи е = К054 (е = Кда5) и, сохраняя в нем неисчезающие при 5 ^ 0 (5 ^ да) члены, получим асимптотически точные выражения

J (xc ) =

4 + xc

14-1, Ji(xc ) = -15

3

4(1 + xc)14 ' U ^ 16(1 + xc)54;

(9)

J 2(xc ) =

64(1+Xc )94'

Следует обратить внимание на совпадение выражений для J(xc), Jl(xc), J2(xc) в обоих предельных случаях. На самом деле они различны, поскольку входящая в эти интегралы величина xc = п^^ является решением уравнений, получаемых из (8) в соответствующих пределах и представленных ниже вместе с положительными корнями

5(1- К К2 + Xc - 4 = 0,

xc = xc (K0 ) =

V1+80(1-Ko )-1 10(1- Ko ) :

5 — 0,

(10)

5• x2 + xc -4 = 0, xc = 45, 5 —да.

(11)

Возникающие отличия связаны с присутствующим в уравнении (8) параметром D = 1 - е/54, который в нулевом пределе равен Б0 =1 - K0, а в бесконечном — Dда=1, поскольку е/54 = Кда5/54 = Кда/53 ^ 0. Заметим, что случай бесконечного предела эквивалентен модели с «простейшим» ОСЦ-П, исследование которой выполнено в [1].

Покажем, что предельные переходы 5^ 0 и 5 ^ да приводят к доминированию первого слагаемого в потенциале (1). Так как все величины, входящие

в правую часть формулы a3 =-6ял/2q2nc/x2J1(xc), полученной из первого уравнения системы (7), конечны, то и параметр A = xca4/ncрc является конечным. Если 5^0 и е = К0-54^0, то и В = еА^0,

Ь =5а ^ 0. Тогда второе слагаемое в (1) обращается в нуль

limvB(r)= A K° lim

5—0 4nra 5—0

_2 ( 5ar ) . ( 5ar

5 exp| - VTJsmw2

Поэтому потенциал (1) при 5 — 0 равен

( ) ( r ) A(K0) ( a(K0)r) . (a(K0)r) (12) v(r) = v^(r,K0) = -—xexp| —iSin| v ^ |. (12)

_ W^VI-'l ,--oui I—

4rcra2(K0) l v2 j l v2 Действуя аналогично, можно показать, что при 5 —да и s= K^ô —да limvB(r) = 0, а потенциал (1)

5—да

совпадает с «простейшим» ОСЦ-П, который конструктивно подобен потенциалу (12) с параметрами А, а, независящими от Кда.

Сходная ситуация имеет место при 5 — 0 и 5 —да, когда V(r) = VA(r) + Vg(r). Однако в первом случае сохраняется VA(r), а во втором — VB(r). Но в обоих случаях, которые описаны в [2,3], параметры лидирующих частей V(r) регулируются варьируемым параметром К, соответствующим каждому пределу. В бесконечном пределе потенциал имеет вид v (r) = b(kl) exp( bk)r 1 sin(b(kl)r 1 (13)

VB(r)=W(KL)expl VT~J "Ч^Г/ (13)

/ 2 nV3

где b(KL) = 4(jg! (q - XcT) , B(Kl) = ^KL),

xc — корень уравнения 5KL (1+KL )x;? + KLxc - 4 = 0 [2].

На рис.2 представлены «предельные» потенциалы (12) при различных K0, «простейший» ОСЦ-П (потенциал (1) при 5—>да), а также потенциал (13) при KL = 0,94, рассчитанные для аргона.

50' 30

10 О -10

-30

-50

" Vf Г !.....КГ 1 - 23 Дж \

- Г*10~1вл,

2 м\

-

-

!

Рис.2. «Предельные» потенциалы: 1 — потенциал (13) при К = 0,94; потенциал (12): 2 — при 5 ^да («простейший» ОСЦ-П); 3 — при К0 = 0,2745; 4 — при К0 = 0,5; 5 — при К0 = 0,8; 6 — при К0 = 0,95

Фазовые диаграммы: теория и эксперимент

Расчет теплофизических свойств выполняется стандартными методами термодинамики с привлечением УС, получаемого подстановкой первого из выражений (9) в (6). Для определения плотности системы ю = п/п при температуре т = Т/Т и давлении П = Р/Рс- с целью построения температурных зависимостей свойств в надкритической области асимптотическое УС, содержащее параметр К0, удобно представить в безразмерной форме:

= 0.

тг/ \ 1 i xcd& п(ю, т) = i тго +—2—

q2ç -т

Cc J1(xc )

J (m, т) (14)

+

Очевидно, что все представленные ниже выражения для термодинамических функций, связанные с УС (14), зависят от К0:

— молярная изобарная теплоемкость х (дП/дх)2

Ср(т) = Cv (т) + ZR-

ю2

(ЗИ/Зю)т

(15)

где Cv (т) = -Т

Ж 2 Jv

= R

2

3 qc • ю т / ч ~ + . 2 т)

2 J1(xc V

=4- I q2(ra' т)+

Зю

зи

5т"

Z,

ю

=ZC

ю c

qc -ю

J1(Xc у

■/1(ю, т)

1+-

qc

А(ю, t) + [^^J Мю, т)

критическая сжимаемость Zc определяется из уравнения (14) при х = ю = П = 1, — скорость звука

ч9 2 , ч V/2

ЗИУ ю2 V

и(т) ¡R[MJ [оТту^ Зт + ZcR ^ Зю jt

(16)

где R = kBNA — универсальная газовая постоянная, — коэффициент Джоуля-Томсона

х,(т) =

Na

СР(т)п

т (зпат)ю ю (ЗИ/Зю)

-1

(17)

Задача нахождения оптимального значения К0 для наилучшего воспроизведения экспериментальной картины по совокупности свойств формулируется как задача поиска минимума функции

Ф(К0) = Е(^1р(хтр -(Кс)}) , (18)

здесь X, — величина /-го экспериментального или расчетного свойства системы.

Конкуренция слагаемых, входящих в (18), может привести к существованию минимума функции Ф(К0). Для расчета К0 использовались следующие экспериментальные значения для аргона в КТ Zc = 0,292, ис = 168,0м/с [7], (дП/дх)с = 6,0 [8], а так же экстремальные значения теплоемкости С]?ах = 2513 Дж/кг • К, скорости звука и™п = 259 м/с [7] и коэффициента Джоуля-Томсона ах = 4,26 -10-6К/Па [9] при давлении Р = 10МПа. Минимум Ф(К0) достигается в точке К0 = 0,2745 . Здесь важно отметить, что учет в (14) температуры Бойля

^(1 + хс )54

т Í1Г \ — Т

Ib(K°) = T Xc(1-Ко)

(19)

которая определяется из равенства нулю второго ви-риального коэффициента В(Т) = 0, получаемого при разложении УС по степеням плотности до квадратичных по п = псю членов, приводит к исчезновению минимума функции (18).

На рис.3-6 представлены результаты расчетов зависимостей СР(Т), иР(Т), аР(Т) при Р = 10МПа, и скорости звука на бинодали для трёх модельных систем — модель с потенциалом (1) при 8^ 0 и 8^-да, и модель с потенциалом (13), а также результаты,

полученные по УС Редлиха-Квонга и соответствующие им данные измерений для аргона.

Расчеты СР(Т), выполненные по формуле (15), показаны на рис.3. Видно, что при низких температурах и в окрестности максимума кривая 1, полученная в модели с потенциалом (12) наиболее точно аппроксимирует экспериментальную кривую 5 [7]. Однако точка максимума кривой 1 лежит несколько правее ТтХ01 = 174к) экспериментального значения Ттах = 172 К.

Следующей по точности оказывается кривая 2, построенная в бесконечном пределе той же модели. Более заметные расхождения с экспериментом имеет кривая 4, рассчитанная по УС Редлиха-Квонга.

/-у кЛмс Р'кг-К

3.0

2.0

1.0

ол

100 150 200 2?0 300

Рис.3. Зависимость CP(T) при P = 10МПа. Расчёт: 1 — потенциал (12) при K0 = 0,2745; 2 — «простейший» ОСЦ-П;

3 — потенциал (13) при KL = 0,94; 4 — УС Редлиха-Квонга [10]; 5 — эксперимент [7]

Теоретические кривые 1-3 зависимости uP(T) на рис.4, построенные по результатам расчетов в моделях с ОСЦ-П, качественно воспроизводят данные измерений. Погрешности в окрестности точки минимума uP(T) в модели с потенциалом (1) при 0 и 5^-да показаны в таблице. При увеличении температуры до 400 К погрешности уменьшаются до 5-7%. Кривая 4, построенная по УС Редлиха-Квонга, хорошо, а в окрестности минимума umin — превосходно описывает реальную ситуацию.

400

300

250

200

150

11, м/с

Т, К

100 200 300 400

Рис.4. Зависимость скорости звука ир(т) при Р = 10МПа. Расчёт: 1 — потенциал (12) при К0 = 0,2745; 2 — «простейший» ОСЦ-П; 3 — потенциал (13) при К1 = 0,94; 4 — УС Редлиха-Квонга [10]; 5 — эксперимент [7]

т

c

Из рис.5, где приведены зависимости коэффициента Джоуля-Томсона от температуры при P = 10МПа, рассчитанные по формуле (17), видно, что все теоретические кривые удовлетворительно воспроизводят данные измерений. Однако среди них выделяются две кривые, отвечающие обсуждаемой модели: кривая 1 — в окрестности максимума, а кривая 2 — при высоких температурах описывают эксперимент с минимальными погрешностями. Результаты, полученные с помощью УС Редлиха-Квонга (кривая 4), уступают по точности данным модели (1).

Рис.5. Зависимость коэффициента Джоуля-Томсона аР(г) при Р = 10МПа. Расчёт: 1 — потенциал (12) при К0 = 0,2745; 2 — «простейший» ОСЦ-П; 3 — потенциал (13)

при К1 = 0,94; 4 — УС Редлиха-Квонга [10]; 5 — эксперимент [9]

Приведенные на рис.6 теоретические зависимости u(T) на линии насыщения были получены по формуле (16) с учетом решений системы уравнений, определяющих условия равновесия фаз

ГП(ю,, т) = П(ю2, т),

IV и> У 2,л (20)

Цюь т)=||(ю2, т), где |(ю, т) = (дF/дN)ТУ — химический потенциал,

ю1, ю2 — плотности фаз.

Экспериментальная кривая 5 для аргона [6] имеет резкий минимум в КТ. Подобное поведение качественно демонстрирует только кривая 3, построенная по результатам расчетов в модели с потенциалом (13). Нижняя ветвь кривой 3 — скорость звука в

газовой фазе — описывает соответствующую часть кривой 5 с точностью около 5%. Расчет кривых 1 и 2, отвечающих модели с потенциалом (1) при 0 и 5 ^ да, приводит к возникновению точек самопересечения, которые можно интерпретировать как проявление эффекта Шнейдера, наблюдаемого, например, в шестифтористой сере, и состоящего в том, что в окрестности КТ при Г < Тс скорость звука в жидкой фазе меньше скорости звука в насыщенном паре [11]. УС Редлиха-Квонга (кривая 4) показывает качественное согласие с опытом только для верхней ветви (скорость в жидкой фазе) экспериментальной кривой

и(Т).

280

260

240

220

200

180

160

150

200 \ \

и, м/с

- 190 4 \ \ \ V

" - • . з \\

150 1 V \ \

170 5'' Г, к \ \ 5\ ^ \ 1

120 124 128 130

- - _ __ 4 \/

7 - __

- -— —— ----- - ~

- 1 2 | | Г, К,

120

125

130

135

140

145

150

Рис.6. Зависимость иР(г) на бинодали. Расчёт: 1 — потенциал (12) при К0 = 0,2745; 2 — «простейший» ОСЦ-П; 3 —

потенциал (13) при К = 0,94; 4 — УС Редлиха-Квонга [10]; 5 — эксперимент [7]

В таблице приведены относительные погрешности некоторых величин, рассчитанные для трех моделей с ОСЦ-П и УС Редлиха-Квонга в КТ и надкритической области. В последних трех столбцах содержатся погрешности экстремальных значений СР(Т), иР(Т), аР(Т), показанных на рис.3-5.

Заметим, что изменение набора свойств или использование результатов других экспериментов для аргона в формуле (16) может привести к корректировке значения К0 = 0,2745 и изменению величин погрешностей, представленных в таблице.

Относительные погрешности 5Х/Ьеог (%)

Модель 5гс 5ис 5(дП/дт)с 5ТВ 5СГХ 5и;г 5а ^ах

Потенциал (12), К0 = 0,2745 8,6 5,2 0,002 106,1 0,4 26,3 5,4

«Простейший» потенциал 6,2 2,9 1,9 71,2 9,0 24,7 6,0

Потенциал (13), Кь = 0,940 1,3 3,3 8,9 18,7 29,96 20,2 11,4

УС Редлиха-Квонга [10] 14,1 27,9 18,4 5,8 5,4 1,8 6,8

Заключение

В настоящей работе на основе гауссова приближения для свободной энергии Гельмгольца продемонстрированы предсказательные возможности потенциала взаимодействия с параметрами А, а, В, Ь, образованного разностью двух так называемых «простейших» ОСЦ-П. Задача выбора оптимальных значений А, а, В, Ь с целью наилучшего воспроизведения комплекса опытных теплофизических данных до конца проанализирована в случае асимптотически малых и больших 5 и е и сводится к нахождению только одного варьируемого параметра К0. В бесконечном пределе модель простой жидкости с упомянутым потенциалом эквивалентна модели с «простейшим» ОСЦ-П, результаты которой изложены в [1]. Представляет интерес случай нулевого предела, когда сохраняется вариабельность модели, связанная с выбором оптимального значения параметра К0 и сопоставление результатов с выводами, получаемыми в других моделях жидкого состояния и данными экспериментов.

К достоинствам рассмотренной модели следует отнести хорошее согласие данных измерений и расчёта, во-первых, для СР(Т), во-вторых, для коэффициента Джоуля-Томсона аР(Т) в надкритической области в интервале температур, включающем экстремальные значения этих величин. Однако модель заметно хуже описывает зависимость скорости звука при постоянном давлении в области низких температур и в окрестности минимума функции иР(Т). При воспроизведении скорости звука на линии насыщения (в обоих пределах 5^ 0 и 5^ да) обнаруживается качественный недостаток — наличие точки самопересечения на линии иР(Т) (рис.6), что противоречит данным эксперимента. Кроме того, расчетное значение температуры Бойля более чем вдвое превышает экспериментальное. Поэтому модель оказывается непригодной для описания второго вириального коэффициента.

Выражение для свободной энергии, составляющее основу для расчетов свойств и полученное в приближении парно-аддитивных сил, определяет границы применимости рассмотренных моделей простых жидкостей. Поэтому недоступными оказываются область высоких плотностей, где становятся существенными эффекты, связанные с многочастичными взаимодействиями, и область сверхвысоких температур, в которой происходят процессы диссоциации и ионизации частиц.

1. Локтионов И.К. Применение двухпараметрических осциллирующих потенциалов взаимодействия для описания теплофизических свойств простых жидкостей // ТВТ. 2012. Т.50. №6. С.760-768.

2. Локтионов И.К. Исследование равновесных теплофизи-ческих свойств простых жидкостей на основе четырехпа-раметрического осциллирующего потенциала взаимодействия // ТВТ. 2014. Т.52. №3. С.402-414.

3. Локтионов И.К. Прогнозирование равновесных термодинамических свойств простых жидкостей в модели с че-тырехпараметрическим осциллирующим потенциалом взаимодействия // ЖТФ. 2015. Т.85. Вып.3. С.1-10.

4. Локтионов И.К. Влияние параметров потенциала взаимодействия на координаты критической точки // Вестник НовГУ. 2013. Т.2. №73. С.28-33.

5. Киржниц Д.А., Непомнящий Ю.А. Когерентная кристаллизация квантовой жидкости // ЖЭТФ. 1970. Т.59. Вып.6(12). С.2203-2214.

6. Захаров А.Ю., Локтионов И.К. Классическая статистика однокомпонентных систем с модельными потенциалами // ТМФ. 1999. Т.119. №1. С.167.

7. Stewart R.B., Jacobsen R.T. Thermodynamical Properties of Argon from the TriplePoint to 1200 K with Pressures to 1000 MPa // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1989. V.18. №2. P.639.

8. Каганер М.Г. Максимумы термодинамических свойств и переход газа к жидкости в надкритической области // ЖФХ. 1958. Т.ХХХ11. №2. С.332-340.

9. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. И.К.Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.

10. Шпильрайн Э.Э., Кессельман П.М. Основы теории теп-лофизических свойств веществ. М.: Энергия, 1977. 248 с.

11. Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. М.: Высшая школа, 1974. 288 с.

References

1. Loktionov I.K. Primenenie dvukhparametricheskikh ostsilliruiushchikh potentsialov vzaimodeistviia dlia opisaniia teplofizicheskikh svoistv prostykh zhidkostei [Application of two-parameter oscillating interaction potentials for specifying the thermophysical properties of simple liquids]. Teplofizika vysokikh temperatur - High Temperature, 2012, v.50, no.6, pp.708-716.

2. Loktionov I.K. Issledovanie ravnovesnykh teplofizicheskikh svoistv prostykh zhidkostei na osnove chetyrekhparametricheskogo ostsilliruiushchego potentsiala vzaimodeistviia [Studying equilibrium thermophysical properties of simple liquids based on a four-parameter oscillating interaction potential]. Teplofizika vysokikh temperatur - High Temperature, 2014, vol. 52, no. 3, pp. 391-403.

3. Loktionov I.K. Prognozirovanie ravnovesnykh termodinamicheskikh svoistv prostykh zhidkostei v modeli s chetyrekhparametricheskim ostsilliruiushchim potentsialom vzaimodeistviia [Prediction of equilibrium thermodynamic properties of simple liquids in the model with four-parametric oscillating interaction potential]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki - Technical Physics, 2015, vol. 60, no. 3, pp. 317-326.

4. Loktionov I.K. Vliianie parametrov potentsiala vzaimodeistviia na koordinaty kriticheskoi tochki [The influence of the interaction potential parameters on the critical point coordinates]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2013, vol. 2, no. 73, pp. 28-33.

5. Kirzhnits D.A., Nepomniashchii Iu.A. Kogerentnaia kristallizatsiia kvantovoi zhidkosti [Coherent crystallization of quantum liquid]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki - Technical Physics, 1970, vol. 59, no. 6(12), pp. 2203-2214.

6. Zakharov A.Iu., Loktionov I.K. Klassicheskaia statistika odnokomponentnykh sistem s model'nymi potentsialami [Classical statistics of one-component systems with model potentials]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika - Theoretical and Mathematical Physics, 1999, v.119, no.1, pp.532-539.

7. Stewart R.B., Jacobsen R.T. Thermodynamical Properties of Argon from the TriplePoint to 1200 K with Pressures to 1000 MPa. Journal of Physical and Chemical Reference Data, 1989, vol. 18, no. 2, p. 639-798.

8. Kaganer M.G. Maksimumy termodinamicheskikh svoistv i perekhod gaza k zhidkosti v nadkriticheskoi oblasti [Maxima of thermodynamic properties and transformation of gas to liquid in the supercritical region]. Zhurnal fizicheskoi khimii - Russian Journal of Physical Chemistry A, 1958, vol. 32, no. 2, pp. 332-340.

9. Kikoin I.K., ed. Tablitsy fizicheskikh velichin. Spravochnik [Tables of physical quantities. Reference Book]. Moscow, "Atomizdat" Publ., 1976. 1008 p.

10. Shpil'rain E.E., Kessel'man P.M. Osnovy teorii teplofizicheskikh svoistv veshchestv [Fundamentals of the theory of thermal and physical properties of substances], Moscow, "Energiia" Publ., 1977. 248 p.

11. Nozdrev V.F., Fedorishchenko N.V. Molekuliarnaia akustika [Molecular acoustics]. Moscow, "Vysshaia shkola" Publ., 1974. 288 p.