Применение нелинейного программирования для восстановления состояния линейной системы с неопределенными собственными значениями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ÏDÈÎ ÂlÂlÈA Í ÂËÈÍ ÂÉÍ ÎÂÎ ÏDÎ ÂDÀÎ Î ÈDÎ ÁÁÍ Èß

ÄËß ÂÎ ÑÑÓÁÍ Î ÂËÂl Èß Ñ ÑÓI ßÍ Èß ËÈÍ ÂÉÍ Î É ÑÈÑÔÂÎ Û Ñ ÍÂÎÏ DÂÂÂËÂl ÍÛÎ È Ñ ÁÑÔÂÂÍ ÍÚ ÎÈ

ÇÍÀxÂÍÈßÎÈ

В Ë. Ëâéàîâ (I ÄÑÓ)

.^fumine';!

Êî ëè^ârnâî ï óáëèêàöèé, ï î ffiyù âííûö ïöî áëâi â âî ramí î âëâí èy èëè î öâí èâàí èy m ñôî yí èy, î ñôàâôñy çí à^èôâëüí û i â oâ^ èâ âîo óœâ í âñêî ëüêèö äâñyôêî â ëâo.  êëàû-ñè^âñêèö öàáî ôàô, îñíîâíûâ öâçóëшàôû êî ôîöûö èçëî œâ^, íàïöèiâö, â [l], öäfmi àôöè-âàëñy ëèíâéíûé (ñ ïîmîyHûiè èëè èçââñôíûiè â êàœäûé iuMó âöâiâíè êîyôôèöè-âí oài è) î áúâêô óï öàâëâí èy, ó êî oî öî aî íâ âûâ ï âöâi âHûâ ñîñôîyí èy âôîäyo â ââêoî ö í à-áë^ äâí èé, à ââêoî ö èçi âöâí èé è èçââñôí ûé ââêoî ö óï öàâëâí èy âêë^ о àääèóèâí ûâ ààóññî âñêèâ èñêàœâí èy.  ïî ñëâäí ââ âöâi y äâëà^ óñy ï î ïûoêè i àêñèi àëüí î öàñ0 èöèóü î áëàñóü âîçiîœnâî ïöèiâí âí èy i âoî äî â âî шюш î âëâí èy m ffiî yí èy.  öàáî oàô [2], [3], [4], [5], [б], [7], [S], [9], [lO] öäfmi àóöèâàâóñy çàäà^à âî ññóáí î âëâí èy m ffiî yí èy äëy í â-ëèíâéíîaî îáúâêóà óïöàâëâíèy. Ïöè yoî i öàñ0èöâííûé íàáë^ äàóáëü iî œâo m ffiî yóü èç íâñêîëüêèö íàáë^äàóáëâé [2], ê^^ûâ îöâíèâà^ô ââêôîö ñîñóîyíèy ïî ^éñóyi , à oàêœâ î öâí èâà^ ó í âèçââñóíûâ è çàâèûyù èâ îô âöâi âí è ï àöài âóöû î áúâêóà. Êöî iâ ôî aî, öàñ-0èöâííûé íàáë^äàóáëü i îœâô èñïîëüçîâàôü ëèíâàöèçàöè^ [3] èëè, íàîáîöîô, i îœâô áûôü yâöèñóè^âñêèi, ïöèiâíèiûi äàœâ â óáo ñëó^àyö, êîàäà íâëèíâéíîâ îïèñàíèâ îáú-âêôà í â yâëyâôñy äèôôâöâí öèöóâi ûi [4], i îœâô îöâí èâàôü í âè^âM ûé ââêôîö ïîffiî-yííûö [5] èëè ï âöâi âííûö çàâèñyù èô ^ âöâi âí è ï àöài âôöî â [б]. Âîçiîœíà ôàêœâ ëè-í âàöèçàöèy îáíî âëy^ ùèô öàçí î ñóáé öàñ0 èöâííîàî í âëèí âénàî í àâë^ äàôâëy [7]. Eáñ-ñi àôöèâàâôñy ï öèi âí âí èâ i èí èi àêm î aî ïîäôîäà äëy ñëó^ày áî ëü0 èô î0 èáî ê èçi âöâ-í èé, êîôîöûâ i î aóó áûôü ñâyçàí û ñ âí âçàï íûiè î óêàçài è [S], à ôàêœâ î áâñï â^â èâ öî -áéñóí î ñóé í âëèí âénàî í àáë^ äàóáëy ï öè î äöàí è^-âHûô âíâ0íèô âîçi óú âí èyô [9].

Âëy âî nrnm î âëâí èy m rnî yí èy ôàêî aî í âëèí âénàî î áúâêóà óï öàâëâí èy, êàê àâèà-öèîííûé ÄCÄ, ä&aöu áûëî ^Më^âH èñïîëüçîâàôü öàñ0èöâííûé ëèíâéíûé [lO] è í âëèí âéíûé [ll] í àâë^ äàóáëè. Qàêœâ áûë öàçöàáî ôàí i âôî ä öàçi âù âí èy â çàäàí íûô äè-àï àçî í àô ïîë^mâ í àâë^ äàôâëy äëy ëèí âéí î aî î áúâêóà ñ íâîï öâäâëâí íûiè m áñóââí í û -i è çí à-^âl èyi è [l2]. Ôâë^ äàí í î é öàáî ôû yâëyâôñy öàçöàáî óêà i âôî äà î ï ôèi àëüí î aî âî пñôàíîâëâíèy m ffiî yíèy ëèíâéíîé ñèñóáiû ñ íâîïöâäâëâííûiè máñœâííûiè çíà^â-í èyi è ñ ïîi îù^ öâ0 âí èy çàaà^è êâàäöàóé^í î aî ^î äöài i èöî âàí èy â ñëó^àâ, êî àaà èû-ï î ëüçî âàíèâ îáû^íîàî öàñ0 èöâííîâî í àáë^ äàôâëy í ââî çi î œ! î .

ÁíññDáí îâëalèa mñDíyí èy ëèí aé í î é iièiio;ii û ñ í âî ï öâäâëâí í ûiè ñí áfViáaí í ûiè

çíà■—âíèyiè

Ï óñóü â í âáî ëü0 îé î êöâñôí î rnè âû áöàí í î é ö^ ^âé ôî ^êè (âû áöàí í î aî óñóaí î âèâ-0 âaî ñy öâœèi à) í âëèí âéíûé î áúâêô óï öàâëâí èy ï öèáëèœâí íî îïèûûâàâôñy ñ ïîi îù^ ëèíâéíîé i î äâëè ñ íâîï öâäâëâí ^iè m áñóââí íûiè çí à^â èyi è

x = Ä x + B u, (l)

èëè â äèñêöâôíûâ i îi â^û âöâi âíè t0,...,tN

1/2008_МГВЕСТНИК

x(tk+i)=[I + At A(tk)] x(tk)+ At B u(tk) . (2)

ÇMffi x n-iâöíûé íîöièöîâàííûé ââêô^ m rnî yíèy â î ôêëîíâíèyö, à u ra-iâöíûé í î öi èöî âàí í ûé ââêoî ö óï öàâëâí èy â î ôêëî í âí èyô î о çí à-^â èé, m î ôââôñôâó^ ù èô âû-áöàí íîió óñôàí î âèâ0 âi óñy öâœèi ó, tk+i=tk+At, k=0,...N-1, At 0 àa äèñêöâôí î ñóé.

Ï óñóü i àóöèöà î áúâêóà óï öàâëâí èi ââô í âî ï öâäâëâí í ûâ m áñó-

ââííûâ çí à-^â èy [13, 14]

Ä = TÄT-1 = [1 v,2 v,...,n v]

k1 0 0

00

w

w

w

= IVv'w = XVH =

liH + 2^[Re{i}Re{H}-Im{..}Im{h}] , (3)

aââ iv, 2v,..., nv - ñîáñóââííûâ ââêóîöû iàóöèöû A , IR - Hîœâûœî èíäâêñîâ âfiàô

ââù âñóââí íûô m áñôââí íûô çí à^â èé i àôöèöû A , è Ic - iíî œâûœî èí ââêm â âûâô â, êîi ïëâêmûô máñœâííûô çí à^-âí èé, êàœâîi ó èç êîóîöûô mîœâôñœóâô êîi ïëâêmîâ

finöyffiäin â,

Re{H}=[Re{ihki}] , k = 1,...,n, l = 1,...,n, i e Ic, (4)

Im{H}=[Im{hki}] , k = 1,...,n, l = 1,...,n, i eIc. (5)

Âââââi äîïîëí èôàërn ûé ââù âñóââí ^é n-i âöí ûé ââêôî ö

iT

q

..., ki ,...,Re {i },Im {i}...

(6 )

è äîïîëí èóáëüí î â ââêôî öíîâ óöàâí âíèâ m ffâî yí èy

q=0 (7)

êî ôîöîâ â äèñêöâôí ûâ Hiâ^û âöâi âí è áóäâô èi âôü âèâ

q (tk+1 )=q (tk ), k = 0,..., n -1. (s)

Î àóöèöà î áúâêôà óï öàâëâí èy A = A (q), ^è^âi ëèíâéíày iî äâëü â êàœâûé iî-iaíó âöâiâíè ëèíâéíà î óäâëüíî ïî êîîöäèíàôài m ffâî yíèy è óïöàâëâíèy, è î óäâëüíî ïî ââùârnââHûi máñóââííûi çí à^âí èyi è ïî ââùâûœânûi è i í èi ûi -^frayi êîi-ï ëâêmûô ûî áñóââí íûô çí à-^âl èé î áúâêóà óï öàâëâí èy.

Âëy ï öèáëèœâí í î aî î äí î âöâi âí í î aî î öâí èâàí èy â êàœâûé i î i âí ó âöâi âí è (í à êàœâî i 0 àaâ) ââêôî öà ûî ffâî yí èy è íâîï öâäâëâí íûô m áñóââí íûô çí à^â èé î áúâêôà óï -öàâëâí èy iîœH èmîëuçî âàôü öàñ0 èöâí íûé ôèëüôö Êàëi àíà [1], [15]. Âââââi öàñ0 èöâííûé ââêôî ö m ffâî yí èy, öàçi âöí î ñóü êî ôî öî aî qn=2n,

q x = [xT, qT ] T. (9)

C aâà öàñ0 èöâí Hâ è ПШ ó í âëèí âéíîâ îï èñàí èâ ûèftôâi û áóäâô èi âôü âèâ

qx = q A (qx) qx + qB u, (10) èëè â äèñêöâôíûâ Hiâ^û âöâi âí è

q x (tk+i )=| I + At q Ä [q x (tk )J| q x (tk )+At q B u (tk ), k = 0,..., N -1, (11)

q A (q x )= q A (q ) =

AA(q) о о о

B "

, q B =

о

. (12 )

Ä yón ñëó^àâ ââêôîö èçi âöâí èé ñ àääèóèâíûi è ààóпñî âûêèi è ñëó^àéíûi è èûêàœâ-í èyi è [1], [15] èi Mó âèâ

z (tk)= qH qx (tk)+ v(tk ), k = 0,...,N, (13)

aââ i àôöèöà èçi âöâí èé qH öàçiâöíî ñóé lxqn èi ââô í óëââû â rnî ëáöû, ûî î óââôñóâó^ ù èâ êîiïîíâí ôài ââêôî öà q, ê^^ûâ íâ èçi âöy^ óñy. Çââffi [1]

E { v (tk )}= о, k = 0,..., N, (14 )

E | v (tk ) v T (t-)| = V (tk ) ô-, k = 0,..., N, j = 0,..., N, (15) E { x (t о )}= x (t о ), (16)

E j [x (t о ) -x (t о )] [x (t о )-x (t о )] T1 = X (t о ), (17 )

J/2008_МГВЕС ТНИК

E { u(tk)}= u (t,), к = 0,...,N, (lS)

E {u(t, ) -u(t, )] [u (tj )-u (tj )] Г }= U(tk , к = 0,...,N, j = 0,..., N, (l9 )

Ei [x(to) -x(to)] [u(tk)-u(tk)] J =О, к = 0,...,N, (20)

Ei [x(to) -x(to)] vr (tk)J = О, к = 0,...,N, (2l)

E j [u(tk) -u(tk)] vr (tj)[ = О, к = 0,...,N, j = 0,...,N, (22) E { q(t o)}= q(to ), (23)

E j [q (t o )- q (t o )] [q (t o )- q (t o )]Ч = Q (t o ), (24)

E j [q (to )-q (to )] [u (t, )- u (t, )]'J = О, к = 0,..., N, (25)

E j [q (to )-q (to )] vr (t, )J = О, к = 0,..., N. (2б )

Cî aäà, äëy öàñ0 èöâí íîaî ââêôî öà m rnî yí èy 'x E {' x (t o )}= ' x (t o ), (27 )

E j [ ' x (to )- ' x (to )] [u (t, )-u (t, )] Г | = О, к = 0,..., N, (29)

E i [ ' x (to )- ' x (to )] vr (t, )J = О, к = 0,..., N. (30)

ÇMffi

^(to ) =

x (to )

q (to )

, ' x (t o )=

X (t o ) О " О Q (t o )]

. (3l)

Обаа1 а1 еу бап0 еба111 а! 1 ааё^ ааоаёу (бап0 еба111 а1 о еёиоба Ёаё1 а1 а) 11 ®11 Нёбной п П11йф баёё1аабё5аоёё [1], [15], 61 апой п П11йф ёё1аабё5абёе 1а ёаж-

а! 1 0 ааа обаа! а1 еу (11) 1611пё6аёй11 1аёёо^0аё а11 поабе! б11 е 1ба1ёе ч 5 байз е-

ба111а1 ааё61 ба п! по! у1 еу е ааё61 ба 1 жеааа! йо $1 а^а1 ее о1 бааёа1 еу и .

ч X (ч ) = ч X (к )+ч Я (к ) [г (к ) -ч Н ч X (к )] , к = 0,..., N, (32 )

^ (к+1 )={ I+ М ч А [ч X (/ к )]} ч X (/ к )+А/ ч В и (к), к = 0,..., N -1, (33)

ааа 1а^-аёшау а1бе1б1ау 1ба1ёа байзебаНШ ааё61ба п! по! у1еу 4 x (^ ) $ааа!а. I аобеба ё1уббёбёа161а байзебаНШ оёёи6ба ^К, ё161бау е1 аао бар абИпой дпх1, 11 баааёуа6пу [1] 1а ёажа! 1 0 ааа (а бааёш11 аба! а1 е).

чЯ(Гк)= чР(Гк) чНт V-1 (Гк) , к = 0,...,N, (34)

чР(к)=[чX-1 (к)+чНт V-1 (к ) чН]-1 =

чX{к ) -чX(к )чНт [ч Н ч X (к у Н + V (к )]]-1' Н4 X (к ) , к =0,...,N, (35)

чх(к+1 )=ч [ч X (к), и (Г к )] ч Р (к ) ч ^ [ч X (к ),и (к )] +

4 Ju [Ч X (^к), и (к)] и (к ) ч / [ч X (^ ), и (^ )] , к = 0,..., N -1. (36)

фапй дпхдп 1 а6бёба ^ (1^) 5ааа1 а, а дпх(дп+т) 1 а6бёба-уёi аеа1 qJ е^ао

ч X (к), и (/ к )

ч J ч J X и

] "ч X-

и

x (I к ) и ( к )

J {[(I + Аtч А ) ч X + Аt ч Ви

{[(I

{[(I+ А tч А )

'X + А t чВи

•ч X}

• -}}

? x (к X и (к )

J/2008_мг^ ТНИК

(i + At q Ä ) q x + At q B u

д q x7

(i + At q Ä ) q x + At q B u

д u7

д (At q Ä q x )

I + —-?--

д q x7

к = 0,...,N -1. (37)

Ïî ûêî ëüêó

Äx = Ä (q ) x =

'x (tk X u (tk )

At q B

qx (t, ),u (t, )

X £, 'H + 2X (Re {, }Re {H}- Im {£, }Im {H})

isIR isIc

X . Hxï+ X (2Re { H } x Re {,}- 2Im { H } x Im {£,. })=

x=

..., 'Hx,...,2Re {H} x, -2Im {H} x,...

q , (3S)

д (At q Ä q x )

д f At Ä (q) О" x л

v О О _q] z

Л (

At

Ä(q) x О

д q x

q^T

д [x7,q7]

д [x7,q7]

At

д [ Ä (q ) x ] д [ Ä (q ) x

д*7 дя7

О О

At

Ä(q) ...,'' Hx,...,2Re {H} x, -2Im {H} x,...

. (39)

№аа1аа6аёш1,

^ [ д x (гк ) П (tk )]=I +

А[Я(1к)] Н X(1к ),...,2Яе {н}(к ), -21т {н}(к ),...' 0 0

А t

к = 0,...,N (40)

ч ^ [ч x (tk X п (tk)]

= Аt д В = Аt

, к = 0,...,N. (41)

Апёе бап0 еба11 ау йёй6а1 а уаёуа6пу 1 ааё^ ааа11ё [1] еёе 11 ё11 поф а! пп6а1 ааёеаа-а11ё [15], 61 1ба1ё6 баn0ёба11iаi ааё61ба тпо^у^у 11ж11 1а1151а^11 ilбаааëё6й п 11-11йф е1а^й еопу ер аба1 её е бап0 ебаШа! беёшба Ёаё1 а1а. А 1 б! 6еа111 пёо-^аа аёу 61 а!, ^61ай 1а ёажа!1 0ааа, ааб1аа аёу ёажа1а! к=1,...Д, lбаааабё6аëщi

11 баааëё6й 1 ба1 ёо ааёо! Я (к-1) ^^ао^аеП о^апой [13], [14], ^о!

^тп <к. <кп

/ е /о

Яе{к, < Яе{к, }< Яе {к, ^

1т {к,} т1п < 1т {к, }< 1т {к,

, е /

с е 11 у611 о ^ааа^-а 1 ба1 еаа1 еу ааёо! ба

1 а! 1 баааёа11йо т ап6аа11йо $1 а-41 её 11 жао ай ой паааа1 а ё ^ааа^а 1 аёе1 аё11а! 1 б! аба1 1 еб! аа1 еу [1], [17]

Я (tk-1):

тш {я (tk-l)- Я (tk-l)]т О-1 (t0) [Я (к-1)- Я (к-1)] -[г (Ч )-Н )] Т V-1 (к ) [г (к )-Н x(k )]

х(tk)={ + Аt А[я(^-1)]]} ^^(tk-1 )+А В п(tk-1 > д™ < д. 0к-1 )< д,тах , / = 1,...,п | , (42)

ё! о! бау ба0 аа6пу 1 ао! а! 1 пё! ёй5уй аа! а! 1 опёа еёе 1а61а11 1 бу11 а! 11 епёа [17].

I бе у611 11ж11 n^ё6а6й, ^61 ааё61б Я(t0) ^ааа!, Я(tк)= Я(tk-1), k=1,.,N, а

1 аобеба О (t 0 ) 11 баааёуа6пу 6а1 , 1 апё! ёйё! 1 ёаа11 а! ё®1 й е51 а1 уойпу ё! 1 11-

1а16й ааё61ба Я (tk-1), к=1,...Д.

£1 ау 1ба1 ёе 1а11 баааёа11йо п! ап6аа11йо а^-а1 её, 11ж11 6а1 абй аёу 1ба1 е-аа1 еу ааёо! ба п! по! у1 еу ей! 1 ёйр аа6й п! 16аа6п6а6^ йеа обаа1 а1 еу 1 ааё^ аа6аёу

X (tk )= X(tk)+ Я (tk ) [г (к ) -Н X (к )] , к = 0,..., N, (43 )

1/2008_вдр^ ТНИК

x(tk)={I + At Ä[q(tk-1 )]} x(tk-1 )+At B ÏÏ(tk-1 ), к = 1,...,N, (44)

àaâ í à^-àëm ày àï öèî öí ày î öâí êà ââêóî öà m rnî yí èy x (t0 ) çàäàí à, i àôöèöà èçi âöâí èé H èi ááó öàçi âöí î ñóü lxn, ï î ûêî ëüêó ââêóî ö èçi âöâí èé ñ àääèôèâíûi è àáóññî âûêèi è ñëó-■^eí ûi è èñêàœâí èyi è [1] èi ááó âèä

z(tk)= H x(tk)+ v(tk), к = 0,...,N. (45)

I àóöèöà êî yô ô èöèâí óîâ ô èë^îà R, êî óî öày èi ááó öàçi âöí î ñóü nxl, î ï öâäâëyâóñy [1] í à êàœäî i 0 àaâ ï î ûëâ ï î ëó^àí èy î öâí êè íâîï öâäâëâí íûô m áñóéáí íûô çí à-^âï èé.

R (tk )= P (tk ) H7 V-1 (tk ) , к = 0,..., N, (4б ) P(tk) = [X-l(tk)+ H7 V(tk) H]-1 =

X(tk) -X(tk) H7 [H X(tk) H7 + V(tk)]-1 H X(tk) , к = 0,...,N, (47)

ÇMffi nxn i àóöèöà X(t0) çàäàí à.

Dâçôëûoàôû i î äâëè 0î âàí èy

Eâçaâë ï î ûâyù âí äâi î í ñóí^éé ï öèi âí âí èy öàçöàáî óàí í î aî i âóî äà î öâí èâàí èy öàñ0èöâííîàî ââêóîöà mñóîyíèy ñ ïîiîùu^ íâëèíâéíîaî ïöîäöàiièöîâàíèy íà ï6éiâ-öâ äâóôâàëüí î aî äâóôêî í ôóöí î aî aàçî ôóöáèí í î aî äâèààóâëy, êî àaà âíâ0íèâ óñëî âèy âû-ñîóà è ûê^î ñóü ïî ëâóà öäa^ ^ë^ (ALT=0, MN=0). Ïöè yra i ïâöâôî äíûâ ^^ámía ûî-î ôââóñôâó^ ó ñôóï âí ió èçi âí âí è^ óï öàâëy^ ù âaî âî çäâéñôâèy óa^ î ôêëî í âí èy öû-^ààà óïöàâëâíèy äâèààôáëâi PLA î ó 6So äî 15o è îáöàóíî äî 6So, óî áñóü ñáöî ñó è öàçaî-íó â çàiêí óóî é ñéñóái â. Ï yóü ï âöâi âûûô ñîñóîyíèy ëèíâéíîé iî äâëè m î œâóñœó^ ó: ^ám óá âöàùâíèy ââíôéëyóîöà äâèààôáëy (NF), ^àrnî óá âöàùâíèy êîiïöâпñîöà äâèâàôáëy (NC), äáâëâíè^ ó^H œâíèy çà ê^^â^^ i (PTC), äáâëâíè^ ó^H œâíèy çà ôóöáèíîé (PTT), è óái ï âöàôóöâ óî öi î œâí èy çà óóMéí î é (TTT). xâóûöâ ï áöái âí í ûô óï öàâëâí èy m î ôââóñôâó^ ó: öàñôî äó óîïëèâà â îniîâiîi êî í c6öä (WF), ï ëî ù àäè êöèôé^âñêî aî ñá^-á-í èy öâàêôéâí î aî mïëà (AJ), óáeó Hâ^îœ âôîäíûô í àï öàâëy^ ùèô àïï àöàóî â ââí óèëy-óîöà (CIVV), è óaíó Hâ^îœ âûôîäíûô íàïöàâëy^ùèô àïïàöàóîâ êîiïöâññîöà (RCVV). Càêèi î áöàçî i , n=5, m=4. Èm î ëti^a^ óñy í î öi èöî âàí í ûâ çí à-^âï èy âûâô ï áöái âí í ûô, At=0.025c, jV=600. Êóñî^íî-ëèí áéí ày i îäâëü ñ í âîï öáäâëâí íûiè ñîáñôââí íûi è çí à-^âï è-yiè è ñ éí ôáöï î ëyöèâé i àóöè^íûô ï àöài áó® â ñóàôé^âñêî é ôàöàêôáöèñôéêè èm î ëüçóâó

äëy âûâô öàáî ^èô óî -^âê îäíó è óó œâ i àóöèöó Ä, ï öáäáëû èçi áí áí èy m áñóéáí íûô çíà-^áí èé êî ó^é óóî -H y^ óñy ^àna èöy^ óñy) äëy âûâô âûáöàí í ûô öàáî ^èô óî ^-âê.

Îà öèñ.1 ïöáäñóáâëâíû ïâöâôî äíûâ ^^áñm äâóô íâîïöáäâëâííûô ââùâñôââííûô

m áñóaáí ^ô çí à-^â èé i àóöèöû êóñî -H î ^éí âéíîé iî äâëè "" l (-) è к 2 (-) ï öè

ñáöî ñá è öàçâîíá â çáiêíóóîé ñéñóáiá (ïöè ñôóïâí^-àóî i èçiâíâíèè PLA î ó 6So äî 15o è î áöàóí î äî 6So).

Eèn.1

Âèai î, ^ôî i âî ï ôâaâëâi i î a m ânôââi i î â çi à^âi èâ k2 nèëui î èçi âi yâôny â ï âôâ-oîaiîi ïôîoânnâ ( k™n= - 1.8540, kT*= - 0.0100), à k1

Z min max

èçi âi yâôny i âçi à^-èôâëûi î ( = - 5.0067, = - 1.8637). I ôi âôèi , ^-ôî î nôàëuiûâ i âî ï ôâaâëâi iûâ nîânôââi iûâ çi à^-âi èy êônî^-i î -ëèi âéi î é i îaâëè ï ôè yôîi ïî^-ôè iâ èç-iâiy^ ôny.

Çàêë^-âièâ

Eàçôàâî ôài iâôîa î oâi èâài èy ôàn0 èôâiiîàî ââêôî ôà nî nôî yi èy, âêë^ ùâàî â nâ-ây i âî ï ôâaâëâi i û â nîânôââiiûâ çi à^-âi èy i iîàîi âôiîé êônî^-iî-ëèiâéiîé i îaâëè, à ôàêœâ iâôîa î oâi èâài èy iâîï ôâaâëâi iûo nî ânôââi iûo çi à^-âi èé ià îniîââ i âëèi âéiî-àî ïôîâôàiièôîâàièy, êîôîôûé ïîçâî ëyâô ô^-èôûâàôû îàôàiè^-âièy. Yôè iâôî aû ïîçâî ëy-^ô ïîâûnèôu ôî^-iînôu i iîàîi âôiîé êônî^-iî-ëèiâéiîé i îaâëè i âëèi âéi î aî îâùâêôà ôï-ôàâëâi èy, ï ôè^-âi i âôîa ià îniîââ i âëèi âéi î aî ïôî àôài i èôî âài èy iîœiî ènï î ëuçî âàôu è ôî àaà, êî àaà ôàn0 èôâi i ày nènôâi à i â yâëyâôny ïîëiî nôu^ âî nnôài àâëèâàâi î é.

E&çôëuôàôû aài i î é ôàâî ôû i î àôô âûôu ï ôèi âi âi û ï ôè ôàçôàâî ôêâ nî âôâi âi i ûo nènôâi àâôî i àôè^-ânêî àî ôï ôàâëâi èy ààçî ôôôâèi i û i è ââèààôâëyi è, ëâôàôâëui û i è àï -ï àôàôài è, à ôàêœâ aôôàèi è i âëèi âéi ûiè î âùâêôài è, êî ôî ôûâ i î àôô âûôu ï ôèâëèœâi -i î î ï ènài û i i î àî i âôi û i è ëèi âéi û i è i î aâëyi è n i âî ï ôâaâëâi i û i è nî ânôââi i û i è çià^-âièyiè.

Nïèfiîê ëèôâôàôôôû

1. Âôàémi À., Ôî & -0è. Ïôèêëàaiày ôâîôèy îïôèiàëuiîàî ôï ôàâëâi èy. - I .: î èô, 1972. - 544 n.

2. Glielmo L., Setola R., Vasca F. An Interlaced Extended Kalman Filter. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 8. - P. 1546-1549.

3. Boutaeb M., Aubry D. A Strong Tracking Extended Kalman Observer for Nonlinear Systems. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 8. - P. 1550-1556.

4. Saab S.S. A Heuristic Kalman Filter for a Class of Nonlinear Systems. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2004. - Vol. 49, N 12. - P. 2261-2265.

5. Chien-Shu Hsieh. General Two-Stage Extended Kalman Filters. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2003. - Vol. 48, N 2. - P. 289-293.

6. Qu Z. Robust Control of Nonlinear Systems by Estimating Time-Variant

_1/2008_mrCG T™K

Uncertainties. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, N 1. - P. 115121.

7. Daejong Noh, Jo N.H., Seo J.H. Nonlinear Observer Design by Dynamic Observer Error Linearization. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2004. - Vol. 49, N 10. - P. 1746-1753.

8. Jaulin L., Walter E. Guaranteed Robust Nonlinear Minimax Estimation. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, N 11. - P. 1857-1864.

9. Zidong Wang, Unbehauen H. Robust ^/H, State Estimation for Systems with Error Variance Constraints: the Continuous-Time Case. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 5. - P. 1061-1065.

10. Ëâéâîâ BË. Î ï oèi àëui ày ôèëuôôàôèy è îai àôôœâi èâ î oêàçî â â ëèi âéi î é nèn-ôâi â n iâîï ôâaâëâi iûiè m anoââi iûiè çi à^-âi èyi è. // Âîïôînû ï ôèêëàai î é i àoâi àoè-êè è âû^-ènëèOâëuiîé iâoàièêè: Naîôièê iàô^-iûô oôôaîâ 1 5. - I .: IÂNQ 2002. - C. 142-150.

11. Ëâéâî â BË. Î ôâi èâài èâ m noî yi èy i âëèi âéi î é aèi ài è^-ânêî é nènoâi û. // Âî-ïôînû ï ôèêëàai î é i àoâi àoèêè è âû^-ènëèOâëui î é i âoài èêè : Naî ôièê i àô^-i ûo oôôaî â i 7. - I .: I ÂNQ 2004. - C. 191-227.

12. Ëâéâîâ BË. I îaàëui îâ âînnoài î âëâi èâ nînOîyi èy ëèi âéi î é nènoâi û n iâîï ôâaâëâi iûiè nî anoââi iûiè çi à^-âi èyi è. // Âîïôînû ï ôèêëàai î é i àoâi àôèêè è âû^-ènëè-oâëui î é i âoài èêè: Naî ôi èê i àô^-iûô oôôaî â i 4. - I .: I ÂNQ 2001. - C. 175-188.

13. Ëâéâîâ BË. Èaâioèôèêàôèy ëèiâéiîé iîaâëè aèiàiè^-ânêîé nènoâiû ià îniî-ââ aèààî i àëèçàôèè. // Âîïôînû ï ôèêëàai îé i àoâi àoèêè è âû^-ènëèôâëûi î é i âoài èêè: Naî ôièê iàô-iûô ôôôaîâ i 3. - I .: I ÂNQ 2000. - C. 95-104.

14. Leibov R. Aircraft Turbofan Engine Linear Model with Uncertain Eigenvalues. // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, N 8. - P. 1367-1369.

15. Êâàêâôi ààê Ô, Nèâài B Ëèi âéiûâ î ï oèi àëuiûâ nènoâi û ôï ôàâëâi èy. - I .: I èô, 1977. - 652 n.

16. Çôoîâèoêèé N.È., Àâaâââà Ë.È. Ëèiâéiîâ è âûïôêëîâ ï ôî âôài i èôî âài èâ. -I.: Î àôêà, 1964. - 348 n.

17. Ôèiiâëuâëàô A. Ïôèêëàaiî â iâëèiâéiîâ ïôîâôàiièôîâàièâ. - I.: Ièô, 1975. - 534 n.