CC BY
18
т. е. вторая из двух характеристик системы (16), проходящих через точку (х,у) € К2.
Решение задачи (16), (15) будем строить методом последовательных приближений, приняв за начальное приближение
г° (у), в° (у), р° (у), д° (у) = г° (у), г° (у).
Пусть построено приближение г(х,у), в(х,у), р(х,у), Я(х,у), г(х,у). Определим функ-
п+1 п+1 п+1 п+1 п+1
ции г (х,у), в (х,у), Р (х,у), 4 (х,у), г (х,у) как решение задачи Коши для линейной системы
'П" ""у" ^
( п+1 пп+1 пп п п
Гх + в Гу = Р' (х,у,г,в,Р,4)
п+1 пп+1
п п п п
0+1 I О п+1 о , п I О
вх + Г ву = Р" (х,у,Г,в,р,
п+1 пп+1 п п п.
Рх + в Ру = РР(х, у, в,Р, 4)
п+1 пп+1 п п
4х + г 4у = (х, у,Р, 4)
п+1 пп+1 пп п
Хх + Г гу = ¥х(х, у, г,Р, 4)
(19)
с начальными условиями
п+ \0,у)= Г°(у), п+\0,у) = в°(у), пр\0,у)= р°(у), п+1(0,у) = д°(у), п+\о,у) = г0(у). Интегрируя систему (19) вдоль соответствующих характеристик получим:
п+1 / п п п п п ° п
Г (х, у) = Рг(х,у,Г,в,р,д)(г,д3(г; х,у))йт + г (да(0; х,у)) о
х
п+1 п п п п п п
в (х,у)= Р'в(х, у, г, в,р, 1)(т,дг(т; х,у))йт + в (дг(0; х,у))
п+1
п п п, , п
Р (х,у) = у Рр(х,у,в,р,д)(т,д."(т; х,у))йт + р (да(0; х,у)) о
п+1
(20)
4 (х,у) = у Р1 (х,у,р,Я)(т,дг(т; х,у))йт + 4 (дг(0; х,у)) о
п+1 п п п п п
г (х, у) = (х, у, г,р, 4)(т, дг(т; х,у))йт + г (дг(0; х,у)) о
С1 - решение задачи (11), (15) существует, если существуют непрерывные функции г, в, р, д, г, гу, ву, ру, ду, гу, т. к. согласно (11) гх, вх, рх, дх, гх выражаются через г, в, р, д, г, гу, ву, ру, 4у, гу. Доказательство существования непрерывных функций г, в, р, 4, г, гу, ву, ру, {у, гу сводится к доказательству равномерной сходимости последовательностей
гп , вп , Рп , 4п , гп , гпу п п п п
играет равномерная ограниченность этих последовательностей.
впу , Рпу , 4пу , гпу . При этом решающую роль
х
х
х
х
2072
Пусть функции А, , г0, в0, р0, д° С1 - ограничены. Введем обозначения:
а0 = шах < вир \г (у)\, вир в (у)\
ш=г>5 уеК уеК
а1 (х) = шах< вир
[ уеК
а2 (х) = вир л/—]
уЛ
4]
, вир
уеК
4]
(21)
а3(х) =вир
уеК
Лемма 1. Пусть
\р0\< 1, \ц0\< 1, \г0\< 1, ао + 4 I а1 (х) йх + 4 У (1 + |х| )а2 (х) йх < 1, 2аз < 1. (22)
Тогда для V (х, у) € [0, +гс>) х К, п = 0,1, 2,... справедливы неравенства:
То То '°
г (х,у) < 1, в (х,у) < 1, р (х,у)
< 1+ х,
ц(х,у)
< 1+ х,
г (х,у) < 1 + 2х + х2 (23)
Доказательство. Докажем лемму 1 методом индукции по п. Из соотношений (22)
П+1
П+1
П+1
П+1
и начальных значений г (0,у)= г (у), в (0,у) = в (у), р (0,у)= р (у), ц (0,у)= ц (у),
+ (0,у) = г0(у) следует, что для п = 0 неравенства (23) верны. Предположим, что неравенства (23) выполнены для некоторого номера п, и докажем их для номера п + 1. Из (20) имеем
п+1 / ТТ ТТ ТТ тт тт о ТТ
г (х,у) < Fг(х,у,г,в,р,д) (т,дэ(т; х,у))йт + г (д3(0; х,у))
<
< а0 + 4 ^ а1(т)йт + 4 I (1 + т)а2(т)йт < 1;
п+1 / ТТ ТТ ТТ тт ТТ 0 ТТ
в (х,у) < FЗ(х,у,г,в,р,0) (т,дг(т; х,у))йт + в (дг(0; х,у))
<
< а0 + 4 ^ а1(т)йт + 4 I (1 + т)а2(т)йт < 1;
п+1
р (х,у)
<
Fp(x,y,в,p,q) ((т,д3(т; х,у))йт + р°(дз(0; х,у))
< 1 + 2а3 J йт < 1 + х; 0
X
у
X
X
X
2073
n+1
q (x,y)
<
Fq(x,y,p,q) (т,дг(r; x,y))dr + qQ(gr(0; x,y))
< 1 + 2a3 J dr < 1 + x; 0
П+1 I n n n n о n
z (x,y) < Fz(x, y, r,p,q) ((r,gr(r; x,y))dr + r (gr(0; x,y))
<
X
< 1 + J 2(1+ r)dr = 1 + 2x + x2.
□
Лемма 2. При выполнении условий (22) семейства |r| , |s|, , , |n|
'равномерно ограничены на компакте
G (x, y) = {(x,y)\x е [0,ж] ,y e [y - x + x,y + x - x]} (24)
для V (x~ y) e [0, +rc>) x IR.
<fl <fi Tl Tl <fi
Доказательство. Функции r(x,y), s(x,y), p(x,y), q(x,y), z(x,y) определены на компакте G (x, y), поскольку характеристики, выходящие из любой точки (x,y) е G (x, y),
.__n n
лежат в компакте G (x,y) в силу того, что r < 1, s < 1.
Равномерная ограниченность следует из неравенств (23). □
Потребуем, чтобы начальные данные r0, s0 были разделены постоянной, т. е. пусть существует 5=const>0 такое, что
inf r°(y) - sup s°(y) > 5 > 0.
y&R
Лемма 3. Пусть существует e e (0,5], такое, что
a1(x)dx + / (1 + \x\)a2(x)dx <
5e
Тогда для n = 0,1, 2,...
nn
inf r(x,y) - sup s(x,y) > e> 0. Сx,y)GR2 (x,y)€R2
Доказательство. Из (18) с учетом (21) и оценок (23), (26), имеем
n+1(x,y) > inf r°(y) - (4 a1(x)dx + 4 / (1 + \x\)a2(x)dx) > inf r°(y) -y&R J J y&R
5e
(25)
(26) (27)
n+ 1(x,y) < sup s°(y) - (4 a1(x)dx + 4 (1 + \x\)a2(x)dx) < sup s°(y) + y€R J J y&R
5e
Тогда, учитывая условие (25), получим
inf :+ l(x,y) - sup n+ l(x,y) > inf r°(y) - 8-—e - sup s°(y) - 8-—e
(x,y)&R2 (x,y)eR2 y&R 2 y&R 2
= inf r°(y) - sup s°(y) - (5 - e) > 5 - 5 + e = еП
y£R y&R
X
X
X
2074
В [4, с. 88], доказано, что производные точного решения слабо-нелинейной системы квазилинейных уравнений гиперболического типа остаются ограниченными при любом значении y, если ограниченным остается само решение. В работе [2] это утверждение распространено на метод последовательных приближений для системы пяти уравнений с двумя различными характеристиками. Аналогичное утверждение имеет место для последовательностей |ry(x, y)^ ,
[sy(x,y)} , [py(x,y^ , {(¡y(x,y^ , [zy(x,y^ .
Лемма 4. Последовательности производных |Гу(х,у)| , |ву(х,у)| , |ру(х,у)| ,
|4у(х,у)|, |2у(х,у)| равномерно ограничены на компакте С(х,у), определённом условием (24), У(х,у) € [0, +аэ) х К, т. е. существует функция Р(х) € С°(К), такая 'что
п п п п п
Гу(х,у) < Р(х), ву(х,у) < Р(х), ру(х,у) < Р(х), 4у(х,у) < Р(х), гу(х,у) < Р(х) для У(х, у) € С(х, у), п = 0,1, 2,...
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим gr(x,yo) = gr(x, 0,y); gs(x,yo) = gs(x, 0,y). Функция y = gr(x,yo) есть решение задачи Коши
Щу1= r(x, gr )
dx
gr (0,yo)= yo
(28)
т. е. кривая, заданная уравнением у = дг(х,у°), есть одна из характеристик, проходящих через
точку (0; у°)-
Функция y = gs(x,y0) есть решение задачи Коши
ns(x,gnr )
gs(0,yo ) = yo
(29)
т. е. кривая, заданная уравнением у = д3(х,у°), есть вторая характеристика, проходящая через
точку (0; у°)-
Пусть
S (x, yo) = nr 1(x,gs(x,yo )); S (x,yo ) = 1(x,gr (x,yo ));
n+1 n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n
p (x, yo) = p (x, g.s(x, yo)); q (x,yo)= q (x,gr(x,yo)); z (x,yo)= z (x,gr(x,yo)).
(30)
2075
Формулы (18) принимают вид:
п+1 / п п п п п п П
г (х,у0)= Fr (т,дэ(т; у0),г,в,р,д)(т,д3(т; уа))йт + г у)
п+1
п п п Т , п
в (х,у0) = у ^(т,дг(т; у0),г,в,р,ц)(т,дг(т; у0))йт + в у) 0
п+1
п п Т , п
Р (х,у0) = у Fp(т,gs(т; у0),в,р,0)(т,д3(т; у0))йт + р у) 0
п+1
ц (х,у0) = у ^(т,дг(т; у0),р,ц)(т,дг(т,у0))йт + циу) 0
п+1
п п п, , п
г (ху) = ! Fz(т,дг(т; у0),г,р,ц)(т,дг(т,у0))йт + г у) 0
п+1 п+1 п+1 п+1 п+1
Отсюда следует, что г (х,у0); в (х,у0); р (х,у0); Ц (х,у0); г (х,у0) есть решение задачи Коши для системы уравнений
( д п+1 г
п , п п п Т п ,
дх г = F (х,дэ(х; у0),т,в,р,ц)(х,д3(х; у0))
д п+1 п , . п п п Т / п , . .
дх в = F (х,дг(х; у0),г, в,р,ц)(х, дг(х; уа))
д п+1 п . п , ч п п Т , п , ,,
дх р = ™(х,д3(х; у0),в,р,ц)(х,д3(х; у0))
д п+1 п , . п п п Т / п , ..
дх ц = Р*(х,дг(х; у0),г, в,р, ч)(х,дг(х; у0))
д п+1 „^ п, , п п Т / п, . .
дх г = F (х,дг(х; у0),г,р,ц)(х, дг(х; у0))
(31)
с начальными данными
п+1 „ п+1 п+1
г (0у) = г у); в (0у) = в у); р (0у)= р0у);
п+1 П п+1
ц (0у)= ц у); г (0у) = г У).
X
X
X
X
X
2076
Дифференцируя по у° равенства (30) получим
г д п±1. . д п+1. .
— г (х,у°) = — г (х, у)
ду°
ду
д п+1, . д п+1, .
— в (х,у°) = — в (х, у) ду° ду
д п+1 д п+1
— р (х,у°) = — р (х,у) ду° ду
д п+1 д п+1
т— 4 (х,у°) = 4 (х,у) ду° ду
д п+1, . д п+1, .
— г (х,у°) = — г (х, у) ду° ду
дп
—д3 (х,у°),
у=9в(х,уа) ду° дп
—дг (х,у°),
у=9г(х,уо) ду°
дп
—д" (х,у°),
у=9в(х,уа) ду° дп
—дг (х,у°),
у=9г(х,уо) ду°
дп
—дг (х,у°),
у=9г(х,уо) ду°
откуда
д п+1
ду Г (х,у)= д
д п+1, , д п+1. . д п+1. . ду° г (х,у°) д п+1 . ду° в (х,у°) д п+1 ду°р (х,у°)
—-ду в (х,у) = Л^1—-,ду р (х,у) = Л~п-,
дуд" (х,у°)
дудг (х,у°)
дуд" (х,у°)
д п+1, , д п+1 . д п+1 4 (х,у°) д +1 г (х,у°)
д п+1(х у) = ЁШ_ д п+1(х у) = ЁШ_
ду 4 (х,у)= ,ду г (х,у)= дп
—дг (х,у°) ду
—дг (х,у°) ду
Дифференцируя по у0 формулы (28), (29), получим уравнения
(33)
1х(ду-° I (х,у°))=дуг(х,у)
д ду
д
9 дг (х,у°],
у=9т(х,уо) ду°
1х(ду-д(х,у° ]) = дуГ(х,у
д ду
д
у=9в(х,у0) ду°
или
и начальные условия
д д д - ду~°дГ (х,у° )) = дуГ(х,у)
д_ ду
у=9г (х,уо)
д д д дх ч ау°д (х,у° ]) = ду'в(х,у)
д_ ду
у=9в (х,уо)
(д п \ ( д п \
Пусть и(х,у) € С1 - произвольная функция. Введем обозначение
(34)
(35)
/ й \ ди п ди ( й \ ди п ди
[-ти] =~ + г—, (—и) ^ —+ •
у йх ^
дх ду
(йх^) 5
дх ду
2077
п+1 пп+1 , п п п п п+1 пп+1 ( А п+1\
Вычитая из равенства вт + г ву = гь (х,у,г, в,р,ц) равенство вт + в ву =( ¡X в I , полуде, п п п п ( , п+1)
Fs(x,y,г,в,Р,q) - (А в ^
п+1
пп гв
Преобразуем это равенство:
п+1 ву =
п п п Т ( А п+1\
F3(х,у,г,в,р,,ц) - ¡X в )
пп гв
Т Т ПГ / п п п п. /а п+1\
F я(х, у, г, в,р, ц) - рг(х,У,?,%рТ) рг(х,у,г,в,р,ц) - [ш в ),
п п
гв
+
п п
гв
Т Т (п+1 пп+1\ / А „ „ , п п п п ,_,„ , п п п п г + _ А-
F3(х,у,г,в,р,ц) - Fг(х, у, г, в, р, ц) + V +ь 'у I иX
п п
гв
п п
гв
Т п ( А п+А ( а п+1\
, п п п п г , п п п п ш г _ А в
F3(х,у,г,в,р, ц) - F (х,у,г,в,р,ц) + )г \<ь )
> I > I I > I > I
п п
гв
п п
гв
п п п П. . , „,„•-
F3(х,у,г,в,р,ц) - Fr(х, у, г, в,р, ц) + \ ¡X
пппп (А. (П+1 _П+М п+1 п+1
( ' ° )) г г - в
п п
гв
+1 +1 гв
п п
гв
пп п п пп п п ) п+1 п+1
Fs (х,у,г,в,р,ц) - Fr (х,у,г,в,р,ц) + ( й 1п(П+1 п+ 1Л г - в
\йх ,
п п
гв
| п п
г г — в
Так как функции Fг (х,у,г,в,р,ц) , Fя (х,у,г,в,р,ц) , Fp (х,у,в,р,ц), Fq (х,у,р,ц), В72 }х,у,г,р,вВ) непрерывно дифференцируемы по г, в, р, ц, г, х, у, а семейство
Г «Л (пЛ (ПЛ Спл ГпЛ
\г \ равномерно ограничено, то существует константа С, такая что
I < С,
дF и
д/
< С, ш = г,в,р,ц,г, / = г,в,р,ц, г,х,у.
Используя оценки (23), (27), (36), получим
пп п п пп п п
F3(х,у,г,в,р,ц) - Fr(х, у, г, в,р, ц)
п п
гв
2С
откуда
2С 2
е е
й +1 +1 [йхы( г - в )
<
д +1 2С 2
ду е е
+1 +1
г -в
п п
г в
(
2
< -,
е
й +1 +1 йхы( г - в V,
Пусть X +, X - такие множества, что
й +1 +1 + й +1 +1
\йх г - в > 0 для х € Х+, у~х 1п( г - в < 0 для х € X
Тогда при х € X + имеем
2С 2 й +1 +1 д +1 2С 2 й +1 +1
" - Лйх 1п( г - в V г < ду в < - + -е{йх 4 г - в V г •
е е йх
(36)
(37)
(38)
г
г
е
2078
Отсюда
_2С_ /й 1п
£ V йх
/п+1 п+1. 2 ( Г — в ) £
д п+1 2С ( й , < я" в < — + —1п ду £ йх
'п+1 п+1. 2 ( Г — в ) £
С учетом (39) из (34), получим неравенства
д_ дх
д п+1
ду°
д 'г (х
2С й ,у°))— [йг1п
,у°)) <Т+(
,п+1 п+1. 2 ( Г — в ) £
с) ( д п+1 \ 2С ( й 1 г.п+1 п+1. 2
^ М — д г (х,у°)) < — + ( йх 1п ( г — в ) £
дх ду° £
Преобразовав эти неравенства, получим
9 + 1
у= 9 Г (х,уо)
+1
у= 9 Г (х,уо)
( й л ( п+1 п+1. 2 д п+1
(,йх \( г — в)£~ д г(х,у°)
( й , ( п+1 п+1, 2 д п+1
(,йх \( г — в) 1 ~ д г(х,у°)
дуо д
дуо
2С
>--,
+1 £ у= 9 г(х,уо)
2С
< —.
+1 £ у= 9 г(х,уо)
Проинтегрировав полученные неравенства, имеем
(39)
Г+1 — пР) " I [ 2П I д п+1 Л Г+1 — п+Ч 1 I
{-Т—Т) ехр [ — I Тйт< ду° д г(х,у°) ^-г—т) ехр \ I
Повторив предыдущие рассуждения для х € X-, получим неравенства
( г° — в° V1 \ 1 2С 1 д п+1 Л ( Г° — в° \1 \ }
+У «рГ тйт< д ^< |/
— йт
— йт
п+1
Оценки производных дуо д а(х,у°) получаются аналогично. Поэтому, учитывая (23) и
пп
имеем оценки для дг(х,у°) и да(х,у°), (п = 1, 2, 3,...):
1 д п
< Т— дг (х,у°) < У(х),
ф(х) ду °
1 д п
< т—дз(х,у°) < ф(х),
ф(х) дуо
(27), (40)
где ф(х)=у£е £ х, ф(х) > 1.
Дифференцируя формулы (31) по параметру у0, получим
( II I о п ' ^ (</(</ (</(</ I о
д п+А дРг дг дда дРг дв дда дРг др дда дРг д4 дда дРг дда
- Г =----\-----\-----\-----\---
ду° ) дп дда ду° дп дда 8у° др дда 8у° дп дда 8у° дда 8у°
д п+1 °
ду! г (0,у°) = гу(у°).
пп
пп
д / д п+1\ = дРа дг ддг дРа дв ддг дРа др ддг дРа д4 ддг дРа ддг дх\ду° в ) = дп ддг ду° + дп ддг ду° + др ддг 8у° + дп ддг 8у° + ддг 8у°
д п+1
ду°
^ в (0,у°) = в°у(у°).
2079
г
Г
г
г
г
f n n n n n n
did n+ Л = dFp ds dgs dFp dp dgs dFp dq dgs
dx\dyo P ) = ^ dgS dyo+ dis dyo+ dfs ^Vo ' dgs dyo
+
д n+1 0
I dy0 P (0,y0)= Ру(y0)'
д ( д n+Л dx\dyo q J
dFq dp dgr + dFq dq Шг + dFq r^r dp dgr dy0 dq dgr dy0 dgr dy0
d n+1 0
i Wo q (0,y0)=qy(y0).
(41)
(n n n n n n d g
d n+1\ = dFz dr dgr dFz dp dgr dFz dq dgr dFz dyr dyo J = dn dgr dyo + dp ogr dyo + dn dgr dyo + dgr dyo
d n+1 0
I dy0 Z (0,yo) = zy(yo)-
Обозначим V0 = max I sup |r0(y)| , sup |sy(y)| , sup |p0(y)| , sup | qy(y) |, sup Zy(y)| > , и рассмот-
[y&R y&R y&R y&R y&R )
рим ассоциированную с задачей (41) мажорантную задачу
dX V = 4^2(x)V+!4(x), V (0) = Vo.
(42)
Задача Коши (42) рассматривается для линейного уравнения относительно функции V (х) и поэтому имеет решение на всей прямой.
00000
Так как у > 1, то начальное приближение г, в, р, ц, г удовлетворяет неравенствам
d0 dy
< ф(x)V(x), Предположим, что
d0 dy
д n д r
ду
д n
ду q
< ф(x)V(x),
< ф(x)V(x),
< ф(x)V(x),
d0 — P dy
< ф(x)V(x),
d0 — q
dy
n
ду
n
ду
< ф(x)V(x),
< ф(x)V (x),
n д p
< ф(x)V(x), < ф(x)V(x),
d0 dy
< ф(x)V(x).
(43)
Учитывая оценки (36), (40), (43), по формулам (18), (41) получим оценки:
d n+1
dyo
x /
0 0
n n n n n n n n n
| 0| I I dFr dr dgs dFr ds dgs dFr dp dgs dFr dq dgs dFr dgs\ < \ry + I I dis dyo + Жdyo + ~dn dis dyo + dt dis dyo + ds dyo) X
x(r,gs(r; yo))dr < Vo + J(4Сф2(т)V (т) + Сф (r))dr = V (x)
x / /
п v
d n+1
dyo
x / n n n n n n n n n
,m I , dFs dr dgr dFs ds dgr dFs dp dgr dFs dq dgr dFs dgr
< | s0 | + I j____I_____I_____I____+___| N/
< y n n n n n n n n x
dr dgr dyo dn dgr dyo dP dgr dyo dn dgr dyo dgr dyo
)
x(r, gr(r; yo))dr < Vo + J(4Сф2(т)V (r) + Сф (r))dr = V (x)
2080
д п+1
я~ р ду°
< КI +
х /
п \
п п п п п п п
дРр дв дда + дРр др дда + дРр д4 дда + дРр дда \ ^ дп8 дда ду° др дда ду° д4 дда ду° дда ду°)
х
х(т,па(т; у°))йт < ^ + 1 (3Сф2(т)У (т)\Сф (т))йт <
о
х
< V° +1(4Сф2(т)У (т) + Сф (т))йт = V (х),
д п+1
ду° 4
х ( /
о 4
х / п п п п п
°| , , дР 1 др ддг дР1 д4 ддг дР1 ддг < 1%1 + I I п ~~ \ п ~~ \ I х
др ддг ду° д4 дЬ ду° ддг ду°
)
х (т, дг(т; у°))йт < V. ^(2Сф2(т)У (т) \ Сф (т))йт <
о
х
< V) \ у (4Сф2(т)У (т) \ Сф (т))йт = V (х),
д п+1
ду°
< I гу | \
х / п п п п п п п
дР* дг ддг дрддг д^дд^ дд^
х /
п \
дг ддг ду° др ддг ду° дп ддг ду° ддг ду°
)
х
х (т, дг(т; у°))йт < ^ ^(3Сф2(т)У (т) \ Сф (т))йт <
о
х
< ^ \ у (4Сф2(т)У (т) \ Сф (т))йт = V (х). о
Из формул (33), пользуясь оценками (40), (44), получаем
д п+1. .
ду Г (х,у)
д п+1
ду р (х,у)
д п+1
ду 4 (х,у)
< ф(х^(х),
< ф(х)V(х),
< ф(х^(х),
д п+1. .
ду в (х,у)
< ф(х^(х),
д п+1. .
ду г (х,у)
< ф(х^(х).
(44)
(45)
□
Обозначим Р(х) = ф(х^(х). Тогда из (45) следует утверждение леммы 4.
Таким образом, доказана равномерная ограниченность приближенных решений и их производных, т. е. равномерная ограниченность итерационной последовательности. Дальнейшее доказательство теоремы существования и единственности для задачи Коши (11), (15) проводится по стандартной схеме, использующей теорему Арцела [4].
Сформулируем достаточные условия, обеспечивающие существование С3 -гладкого решения задачи Коши (1) на всей плоскости К2.
Пусть С1, С2 - произвольные положительные постоянные, £,5 - постоянные, связанные условиями 0 <£<5, < 1. Функции г°(у), в°(у) заданы формулами (15).
Теорема 2. При выполнении условий:
1) функция А € С^К4), начальные условия г° € С3 , р° € С2 ;
2081
2) функция г° (у) С3 - ограничена, функция р° (у) С2 - ограничена;
3) |А|< 2С1, ± < С2, ||£|< С1 п (х), где и = х,у; 0 < С1 < ±; С2 > 0;
+X
4) ^ / п (х) йх < —; N = тах { С1, 2> С1С2} , 0 <£ <5, — < 1, п (х) - произвольная
— X
положительная функция;
5) |г° | , |в° | < 1 — —, | г° |, |г° |, |р° | < 1;
6) Ыг0 (у) — виру^в° (у) > 5 > 0.
на плоскости К2 существует единственное С3 - гладкое решение задачи Коши (6).
Доказательство. Пусть выполняются условия 1)-6). Докажем, что эти условия обеспечивают выполнение условий (30), (33), (34).
Используя условие 3), получаем оценки коэффициентов системы (23):
Ах
2А
< 1С1С2П (х)
Ау
2А
< 1С1С2П (х) ,
< С1.
Обозначим N = тах{С1, 2С1С2} . Отсюда, согласно формулам (29), имеем оценки
«1 (х) < тах | С1,1С1С2} п (х) = Мп (х) ,а2 < Сь (46)
Тогда неравенства (46) и условия 5) обеспечивают выполнение второго неравенства (30):
+х +х
5 — £, 5 — £ 1
а° \4 J а1 (х) йх < а° \ N ^ п (х) йх <1 — 5 — £ \
Условие 4) обеспечивает выполнение третьего неравенства (30). Условие 6) обеспечивает выполнимость неравенства (35) . Неравенство (34) с учетом сделанных обозначений и оценок (46) есть условие 5).
Таким образом, условия 1)-6) обеспечивают выполнение неравенств (30), (33), (34), которые в свою очередь обеспечивают существование единственного С1 -решение задачи (11), (15) в полуплоскости х > 0.
Решение в полуплоскости х < 0 строится аналогично. С1 -гладкость решения обеспечивается одинаковыми начальными данными.
В работе [3] доказано, что С1 -решение задачи (24), (25) соответствует С3 -решение задачи (6). □
Доказательство теоремы 1. Из теоремы 2 следует существование функции г = г (х,у), являющейся С3 — гладким решением уравнения (1) на плоскости К2. Эта функция задает в трехмерном евклидовом пространстве С3 — регулярную поверхность. Вы-
2
/ \ ххххУУ хХУ т-г
числим гауссову кривизну этой поверхности К (х,у) =-^. Легко получим, что
1 \ гх2 \ гу2
К (х,у) = / (х,у), т. к. функция г = г (х,у) есть решение уравнения (1) при всех (х,у) € К2. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бакельман И.Я., Вернер Л.А., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973.
2082
2. Братков Ю.Н. О существовании классического решения гиперболического уравнения Монжа-Ампера в целом // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 2.
3. Туницкий Д.В. Системы в римановых инвариантах и уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа // Деп.ВИНИТИ 16.07.87, № 5122-В87.
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложений к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877).
Поступила в редакцию 3 октября 2016 г.
Фомичева Юлия Геннадьевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: fomichevajulia@mail.ru
Рудиченко Анастасия Андреевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистр, кафедра функционального анализа, e-mail: nastya2801@mail.ru
UDC 514.7
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084
APPLICATION METHOD OF RIEMANN INVARIANTS TO SOLVE THE PROBLEM OF SURFACE RECONSTRUCTION ON THE SET OF NEGATIVE
GAUSSIAN CURVATURE
© Yu. G. Fomicheva, A. A. Rudichenko
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: fomichevajulia@mail.ru
This paper addresses the question of recoverability in the three-dimensional Euclidean space with C3 -regular surface explicitly specified by the equation z = z(x,y) on the entire plane of R2 on its specified negative Gaussian curvature. The solution to this problem is reduced to the proof of existence and uniqueness of the R2 of the classical solving differential equations of Monge-Ampere equations of hyperbolic type. Formulated the conditions for the existence of such a decision as a whole.
Key words: restoration of surfaces; Gaussian curvature; a hyperbolic Monge-Ampere equation; the Cauchy problem; Riman invariants
REFERENCES
1. Bakel'man I.YA., Verner L.A., Kantor B.E. Vvedenie v differencial'nuyu geometriyu «v celom». M.: Nauka, 1973.
2. Bratkov YU.N. O sushchestvovanii klassicheskogo resheniya giperbolicheskogo uravneniya Monzha-Ampera v celom // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2000. T. 6. № 2.
2083
3. Tunickij D.V. Sistemy v rimanovyh invariantah i uravneniya Monzha-Ampera giperbolicheskogo tipa // Dep.VINITI 16.07.87, № 5122-V87.
4. Rozhdestvenskij B.L., YAnenko N.N. Sistemy kvazilinejnyh uravnenij i ih prilozhenij k gazovoj dinamike. M.: Nauka, 1978.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-00877).
Received 3 October 2016
Fomicheva Yuliya Gennadievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: fomichevajulia@mail.ru
Rudichenko Anastasiya Andreevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Master program student of the Functional Analysis Department, e-mail: nastya2801@mail.ru
Информация для цитирования:
Фомичева Ю.Г., Рудиченко А.А. Применение метода римановых инвариантов к решению задачи о восстановлении поверхности по заданной отрицательной гауссовой кривизне // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2068-2084. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084
Fomicheva Yu.G., Rudichenko A.A. Primenenie metoda rimanovyh invariantov k resheniyu zadachi o vosstanovlenii poverhnosti po zadannoj otritsatel'noj gaussovoj krivizne [Application method of Riemann invariants to solve the problem of surface reconstruction on the set of negative gaussian curvature]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2068-2084. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084 (In Russian)
2084
УДК 004.9
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2085-2092
ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ ДИСТАНЦИОННОЙ ТЕРАПИИ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТОНИИ
© Р. А. Хохлов , О. Ю. Лавлинская 2) , Т. В. Курченкова 2) , А. В. Губкин 2)
Воронежская областная клиническая больница 394082, Российская Федерация, г. Воронеж, Московский проспект, 151 E-mail: khokhlovroman@gmail.com 2) Воронежский институт высоких технологий 394043, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Ленина, 73А E-mail: lavlin2010@yandex.ru
В статье рассматривается способ организации удаленной терапии на основе телекоммуникационных сетевых технологий. Авторами представлен вариант решения задач диагностики и лечения больных с артериальной гипертонией на основе телекоммуникационных информационных технологий, реализованных в виде медицинской информационной системы терапии хронических заболеваний (МИС СТЕРХ). Ключевые слова: организация удаленной терапии; телемедицина; телекоммуникационные технологии
1. Введение
Одной из самых перспективных сфер применения телекоммуникаций является медицина. Согласно определению Американской Телемедицинской Ассоциации (American Telemedicine Association), "телемедицина подразумевает использование телекоммуникаций для связи медицинских специалистов с клиниками, больницами, врачами, оказывающими первичную помощь, пациентами, находящимися на расстоянии, с целью диагностики, лечения, консультации и непрерывного обучения"[1].
Решения в области телемедицины открывают колоссальные возможности в диагностике и лечении пациентов. Большое количество западных и отечественных компании осуществляют разработку информационных систем и приложений в области телемедицины [2]. Так, использование системы дистанционного мониторинга Philips eICU [3] на 26% снижает уровень смертности в условиях реанимации и на 20% сокращает период пребывания в отделении интенсивной терапии.
Для Российской Федерации применение телемедицинских технологий очень актуально. Россия обладает огромной территорией, при этом население рассредоточено крайне неравномерно, крупные мегаполисы и малонаселенная сельская местность, в которой проживает 60 процентов всего населения страны. Сельских жителей от крупных клиник с современным оборудованием и квалифицированным медицинским персоналом отделяют сотни километров. Поэтому телемедицина выступает важнейшим условием оказания качественной врачебной помощи в удаленных регионах, а в ряде случаев становится единственным шансом людей на получение консультаций опытных специалистов. В то же время использование телемедицины в мегаполисах востребовано, особенно в плане организации терапии, контроле состояния пациентов.
Дополнительным аргументом для активного внедрения методов дистанционного контроля за терапией различных хронических заболеваний, что особенно хорошо продемонстрировано
2085
на примере лечения артериальной гипертонии (АГ), является снижения количества посещений в медицинские организации, а также улучшение контроля заболевания и его исходов [11].
Несмотря на широкий арсенал современных методов терапии, лечение АГ по сей день остается нелегкой задачей. По данным Российского регистра 2014 г., только у 44% больных лечение было эффективным, т. е. они достигали целевых значений артериального давления (АД). Причина неадекватного контроля АД не столько в недостаточной эффективности препаратов, сколько в низкой приверженности больных лечению. По оценкам экспертов ВОЗ, при лечении АГ терапевтическая комплаентность составляет 40% [12-13].
В данной статье представлен вариант решения задач диагностики и лечения больных с артериальной гипертонией на основе телекоммуникационных информационных технологий, реализованных в виде медицинской информационной системы терапии хронических заболеваний (МИС СТЕРХ) [4].
2. Описание медицинской информационной системы МИС СТЕРХ
Медицинская информационная система [6; 14-15] предназначена для мониторинга состояния пациента, нуждающегося в постоянном контроле артериального давления и частоты сердечных сокращений. Контроль осуществляется с помощью отправки смс-напоминаний о необходимости измерения давления и приеме препаратов. МИС обеспечивает возможность регистрации врача и пациента. Главная роль в системе отводится врачу, который лично регистрирует пациента в системе и вводит данные, необходимые для организации мониторинга гипертонической картины здоровья пациента. Врач выбирает режим контроля состояния пациента в соответствии с данными анамнеза и осмотра, жалобами пациента. МИС обеспечивает возможность выбора трех режимов контроля состояния и терапии пациента.
1. Режим контроля только АД. Режим включает график отправки смс-напоминаний, прием сообщений от пациента о параметрах АД. Значения сохраняются в базе данных МИС и доступны для просмотра врачу в виде графика и данных в формате .хт1 за определенный период времени. На рис. 1 представлен соответствующий график АД при наблюдении за пациентом в течение нескольких недель на этапе первичной диагностики АГ.
Рис. 1. График параметров АД, полученный в течение месяца наблюдения
2. Режим контроля АД и напоминания о приеме препаратов. Режим включает все возможности первого варианта и обеспечивает отправку смснапоминаний о приеме препаратов в соответствии с лекарственной терапией, назначенной врачом во время осмотра. Данные обо
2086
всех препаратах хранятся в базе данных. Ввод данных осуществляется врачом во время осмотра пациента.
3. Режим дистанционного управления терапией АГ. Режим включает все возможности второго режима и, кроме этого, обеспечивает изменение терапии, в случае, если, в течение определенного периода (28, 52, 56) дней не происходит достижение целевых параметров АД. Порог достижения целевых параметров АД устанавливается врачом на этапе выбора параметров терапии. Смена терапии предусматривает изменение списка препаратов, назначенных врачом, режима приема препаратов, дозировки назначенных препаратов. Предусматривается оповещение пациента о смене режима терапии, причине смены режима терапии и дальнейшие инструкции для пациента (титрация терапии или визит к врачу). В основе режима терапии АГ лежит модель мониторинга данных об АД и частоте сердечных сокращений, которые пациент отправляет каждый раз в ответ на смс-напоминание от МИС СТЕРХ.
Модель контроля АГ базируется на получении данных за определенный период наблюдения, на котором врачом выбирается контрольный период расчета средних значений АД. На рис. 2 представлен подход к определению контрольных отметок, где определены следующие параметры:
(контрольный период расчета средних значений) Рис. 2. Модель расчета контрольных значений параметров АД
• V очный (первый, контрольный и т. д.) визит пациента к врачу и внесение о нем данных в МИС.
• следующий, после визита к врачу, день, когда пациент начинает принимать назначенные препарат(ы) и получать напоминания об измерении АД и приеме препаратов.
• К контрольная отметка, которая определяет окончание контроля АД в режиме терапии. При наступлении контрольной отметки МИС производит все, запланированные врачом в режиме терапии АД, действия.
• [К^К] контрольный период для расчета установленных значений. В этот период существует возможность организации более интенсивного мониторинга состояния пациента. По окончании контрольного периода все данные за период обрабатываются по методу расчета средних арифметических значений и сравниваются с заданными врачом целевыми параметрами АД.
• N количество дней, выбранных для анализа значений АД.
• ЛБРС = [ЛБРзаЛ, АВРш, С К] ,
где ЛБРС — множество целевых значений, которое состоит из: ЛВРза4 — систолическое давление,
ЛБР^ — диастолическое давление, СИ — частота сердечных сокращений.
• ЛБРГК-М = т^ Т=1 ЛБРг , где Т — количество измерений за период анализа.
2087
Далее, расчетное значение сравнивается с целевым показателем. Результат сравнение является принятием решения для продолжения терапии, в случае, если целевые значения не достигнуты. Если АБРК-М > АВРС , то продолжение терапии (титрация).
На рис. 3 представлен алгоритм смены режима терапии, как результат анализа контрольных значений АД.
Рис. 3. Алгоритм использования режима терапии АД в МИС СТЕРХ
В случае, если показатели АД пациента превышают допустимые значения (САД>200, ДАД>120, ЧСС>100), врач получает сообщение о превышении порога безопасного давления для конкретного пациента. Также предусмотрена возможность отправить уведомление доверенному лицу, если данные доверенного лица зарегистрированы в системе. Сообщения о превышении допустимых порогов безопасного давления позволяют врачу контролировать состояние пациента и принимать решение об изменении терапии или госпитализации мгновенно, в сообщении врачу указывается номер телефона и имя, отчество пациента, что дает возможность лечащему врачу или любому доверенному лицу позвонить пациенту и оказать поддержку.
2088
