Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926

О. А. Мудракова

(Военный университет радиационной, химической и биологической защиты)

ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Построена экспоненциальная характеристика обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка. Показано, каким наименее жестким ограничениям экспоненциальной оценки должно быть подчинено входное воздействие, чтобы решение имело экспоненциальный рост с некоторым заданным (втом числе, отрицательным ) показателем.

Во многих практических задачах механики, теории автоматического регулирования, биологии, теории связи необходимо рассмотрение экспоненциально возрастающих процессов, поэтому естественно возникает вопрос об оценке порядка экспоненциального роста решений.

М.А. Рутман в 1956 г. впервые ввел понятие, характеризующее зависимость минимального показателя роста решений уравнения от показателя экспоненциального роста правой части [1]. Это понятие получило название экспоненциальной характеристики уравнения [2, 3].

Пусть f (£) — вещественная или комплексная непрерывная функция экспоненциального типа, заданная на полуоси 0 < I < ж. Это функция, для которой существуют А, 0 < А < ж, и а Е Я такие, что ^ (*)| < АеаЬ.

Показателем экспоненциального роста этой функции называется вещественное число

а = ЙЛ(Г11п ^(*)|).

Множество функций, показатель которых не превосходит а, обозначим

Еа = {f (¿): Йл^-11п ^(*)| < а}.

Это линейное пространство (ненормируемое).

Рассмотрим множество функций из Еа, удовлетворяющих условию

Ит ^(ф-аЬ < ж.

Это множество обозначим Ва. Легко видеть, что Ва — банахово пространство с нормой

Ba = sup |/(i)|e

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

ад = у(п) + Р1(Ф(п-1) +... + рп®у, о 6 ь <

с непрерывными коэффициентами, ограниченными на полуоси:

р (ь)| < М, 3 = 1,п. (1)

Известно [4], что в этом случае все решения уравнения

ад = о (2)

имеют конечные показатели экспоненциального роста*. Более того, для уравнения

ад = / (*), (з)

правая часть которого экспоненциального типа, все решения также являются функциями экспоненциального типа.

Пусть у1 (Ь), у2(Ь),...,уп(Ь) — базис уравнения (2), аь «2,...,а„ — соответствующие показатели экспоненциального роста. Число а0 — наибольшее из чисел а^, 3 = 1,п, — называется старшим (ляпунов-ским) показателем оператора Ь(у) и уравнения (2) [5].

Рассмотрим неоднородное уравнение (3). Для упрощения предположим, что оно имеет нулевые начальные условия, т.е. рассматривается начальная задача

ад = f м, (4)

у(0) = у'(0) = ... = у(п-1) (0) = 0.

Легко видеть, что если f (Ь) пробегает Еа, то соответствующая совокупность решений у(Ь) задачи (4) покрывается пространством Е^ при достаточно большом в. Обозначим к(а) точную нижнюю грань тех в, при которых пространство Е@ содержит все решения начальной задачи (4).

Неубывающую функцию к (а) назовем экспоненциальной характеристикой этой задачи.

"Предполагается, что для этого уравнения и для соответствующего неоднородного уравнения имеет место теорема существования и единственности.

В настоящей работе определяется вид экспоненциальной характеристики к(а) уравнения (3) с ограниченными коэффициентами (1) и нулевыми начальными условиями, т.е. начальной задачи (4).

В работе [6] рассмотрен случай, когда коэффициенты Р, (£) уравнения (3) являются периодическими функциями:

р (* + ш) = Р, (*), з = 1~П.

Показано, что если а0 — старший ляпуновский показатель уравнения (2), то

к(а) = тах(а, а0),

т.е. экспоненциальная характеристика имеет так называемый канонический вид.

В работе [6] также приведен пример (уравнение первого порядка), показывающий, что при отказе от периодичности экспоненциальная характеристика может иметь более сложную форму.

Настоящую работу можно рассматривать как продолжение работы [6]. Основным результатом является следующая

Теорема. Для задачи (4) при условиях (1) существуют а0, ¡30, 70, —то < а0 6 во 6 То < такие, что к (а) = во при а 6 а0 и к(а) = а при а > 70 (к(а) в промежутке (а0,70) является неубывающей функцией).

Доказательству основного результата предпошлем следующие замечания.

1. Решение задачи (4) задается интегральным оператором

г

у(*) = / К (М)/(5) о

где

K(t, s) = ci(s)yi(t) + C2(s)y2(t) + ... + c„(s)y„(t) =

У1(s) y2(s) yn(s)

1 У1 (s) у2(s) . . У»

W (s) (n-2) / \ y( )(s) y2n-()(s) . . yiT2)(s)

y1(t) У2(t) . yn(t)

(6)

— функция Коши, y1(t), y2(t),..., yn(t) — базис однородного уравне-

ния (2), W(s) =

,(k-1)

(s)

— соответствующий вронскиан. Отсюда

n

1

получим

= С1(*)У1(*) + с'2(*)^) +... + С„(*Ы*). (7)

2. Далее будет использоваться следующая

Лемма. Пусть <(€), 0 6 ^ < ж, — п раз непрерывно дифференцируемая функция. Если при всех t выполняется неравенство

| | 6 С (|<^)| + |<^)| + ... + | <(п-1)(^ | ), (8)

то <(га-1)(^ (следовательно, и <(га)^)) — функции экс-

поненциального типа.

Доказательство леммы. Введем вектор-функцию с координатами ., <(п-1) инормой

||<Ю|| = |<^)| ++... + | <(п-1) (t) | .

Имеем

= «(t), ф),

= |<(t(| + + ... + | <(п-1 )(t) | + | < (п)ф | 6 6 (С + 1) (|<(t)| + |<+ ... + | <(п-1)(^ | ) +

+С |<ф| 6 Б , Б = С + 1.

Пусть <0 — положительное число, не меньше, чем ||<^0)||. Тогда

+ Н) - <^0) = <(to) + а(Н), ||а(Л)Н ^ 0 при Н ^ 0. Н

Поэтому при Н > 0 получим

||<(^ + Н)|| 6 <0 + Б<оН + ||а(Н)|| Н.

Существует 5 > 0 такое, что при Н < 5 имеем ||а(Н)|| 6 В<0. Следовательно,

||<(^ + Н)|| = ||<ф|| 6 <0(1 + 2БН) 6 = <0в2Д(Ь-Ьо) (9)

при t0 6 t 6 t0 + 5.

В частности, при Н = 5 имеем

+ б)\\ 6 ^oe2Dä. (10)

Заменим теперь Ъ0 на Ъ0 + 5 и повторим рассуждение. Получим

||<(ъ)|| 6 <1е2Д(^°Л

где < > 0, < > + 5)||.

В силу неравенства (10) можно положить <1 = <0е2Ш. Тогда

||<(Ъ)|| 6 <об2Д5е2В(^°-5) = )

при Ъ0 6 ъ 6 Ъ0 + 5 + 5'.

Итак, неравенство вида (9) остается справедливым в расширяющейся серии промежутков [Ъ0, Ъ0 + 5], [Ъ0,Ъ0 + 5 + 5'], [Ъ0,Ъ0 + 5 + 5' + +5"],.... Отсюда следует, что оно верно при всех Ъ > Ъ0. В самом деле, пусть [Ъ0, Ъ0 + А] — "максимальный" промежуток, на котором справедливо неравенство (9) (такой существует, поскольку неравенство (9) нестрогое и входящие в него функции непрерывны). Выбирая Ъ0 + А в качестве начальной точки и повторяя рассуждение, приходим к выводу, что неравенство (9) справедливо в промежутке более широком, чем

М0 + А].

Лемма доказана.

Следствие 1. Всякое решение у (Ъ) однородного уравнения £(у) = 0 с ограниченными коэффициентами, а также его производные у'(Ъ), у'' (Ъ), ..., у(п)(Ъ) — функции экспоненциального типа, так как для всякого такого решения выполняется неравенство (8).

Следствие 2. В формулах (6) и (7) для К(Ъ, в) и дК(Ъ, в)/дв все коэффициенты с- (в) и с- (в) — функции экспоненциального типа, так как

W(в) = W(0)ехр ^"У,

0

(^(в))-1 = (^(0))-1 ехр

0

и |р(в)| 6 М.

Следствие 3. Для К(Ъ, в) и всех частных производных д-К (Ъ, в)/дЪ-, 3 = 1,п, выполняется

д-К (Ъ, в)

д tj

6 DeA(t-s), j = 0,n (11)

(Д А достаточно велики). Это следует из того, что при фиксированном в имеем

0 при п > 1,

L (K) = 0, K (s,s)=In

при n =1.

с

Далее применим лемму (следствие 1), выбрав в качестве начальной точки t0 = s0.

3. Определим число y0 как показатель экспоненциального роста K(t, s) по обеим переменным. Рассмотрим точную нижнюю грань y0 тех y , при которых

|K(t,s)| <

sup ---г— < ОО.

Тогда для любого г > 0 имеем

|K(t,s)| 6 Ae(Y0 +e)(i-s), (12)

и существуют Mn ^ ж, tn, sn, tn — sn ^ ж, такие, что

|K(t„,s„)| = Mne(Y-)(tn-sn) V^ > 0.

В соответствии с работой [5] т0 — генеральный показатель уравнения (2).

Определим далее число во как показатель экспоненциального роста по t функции двух переменных K(t, s). Тогда для любого г > 0

|K(t,s)| 6 B£)Se(e°+e)(i-s)

и при некотором s0

||K(t„,S0)k 6 M„e(eo-)(tn-So), (13)

Mn ^ ж, tn ^ ж.

В работе [5] доказано, что показатель по t функции Коши равен старшему ляпуновскому показателю уравнения (2).

Старший и генеральный показатели связаны соотношением во 6 То. Доказательство теоремы. Покажем, что

а) к(а) 6 max (т0, а) при всех а,

б) к(а) > а при всех а,

в) к(а) > во при всех а,

г) существует а0 > —ж такое, что к(а) 6 во при а 6 а0. Докажем пункт а). Пусть f (t) Е Ea, |f (t)| 6 C£e(a+e)i. Учитывая

неравенство (12), имеем

|y(t)l =

K(t, s)f (s)ds

6 AC / e(Y0+£)(i-s)e(a+£)sds =

AC (e(a+£)t _ e(7o= i ^e(a+£)t пРи a > Yo,

a _ Yo У I C"e(70+£)i при a < 7o.

{ъ

t

t

Отсюда сразу следует, что y(t) е Emax(70,a) (в случае, когда а = y0, затруднений не возникает), т.е. к(а) 6 max (y0 , а) при всех а. Докажем пункт б). Поскольку

д K (s,s) dn-2K (s,s) n дn-1 K (s,s)

= = ■■■ = dtn-2 = 0 dtn-i =!,

то

1 t 1 V ' ; (n - 1)! J (n - 1) ! dtn

s

Учитывая неравенство (11), получим

K(t,s) -

(t - s)

n-1

(n - 1)!

6 DeA(t-s)(t s)n, Д > 0. (14) n!

Зададим теперь произвольно 8 > 0 и tm ^то и рассмотрим последовательность правых частей

{

f (t) eat при tm - 8 6 t 6 tm m 0 при tG [tm - 8, tm] ■

Очевидно, /т(¿) С Ва, ||/(£)||ва = 1 (разрывность /т(¿) несущественна).

Для соответствующей последовательности решений имеем

Ут (¿т) = J К(¿т^/т^)^ = J К(¿т,«^^«.

0 Ът-5

Используя неравенство (14), получим

8n

y (t ) — ea(tm-0m5) —

Ут \ьт J ° i

n!

8n+1

6 Deaím e(A-a)0m5--0 6 в в' 6 1

^ De e г . \ . , 0 ^ вт, вт ^ 1,

(n +1) !

откуда следует

|Ут )| > ^ Л-«*™* - De(A-a)0m*^ > 1 ^ " ! V V ^ 2 n!'

еаЪт п! \ п) 2 п

если 8 достаточно мало.

Пусть теперь к(а) < а при некотором а. Выберем аь к(а) < а\ < < а. Имеют место включения

Вк(а) С Еп(а) С Ва1.

Если /(¿) пробегает Ба, то включается в Ек(а), следовательно, и в Ба1. Таким образом, оператор (5) действует следующим образом:

Ва —Ба1.

Этот оператор замкнут и, следовательно, по теореме Банаха, ограничен:

iMlBa ^ C

Ва

С другой стороны, имеем

|уш )| > 1 ^g(a-ai)im ^

g«1t

2 n!

и, следовательно, ||ут(¿)||ва1 ^ ж, втовремякак ||/т(*)||ва = 1. Из пунктов а), б) следует, что к(а) = а при а > 70. Докажем пункт в). План доказательства — тот же, что и для пункта б).

Пусть во, ¿т ^ ж, Мт ^ ж (см. неравенство (13)). Используем равенство

К(¿т, «) = К(¿т, «о) + / д' а) ^

и положим

fm (t) =

!

eat при S0 6 t 6 «О + ^m;

0 при te [so; So + ^m ]. Последовательность такова, что 0 6 6 1, ^ 0, ав осталь-

ном произвольна. Имеем

ym(tm) = J K (tm ,So)fm(s)ds+ J 0 0

So+^m s0+äm

= K (tm;So^ eas ds + J

so so

откуда

so

dK(tm ; fr)

d s

' dK(tm; fr)

d s

dfr

dfr

fm(s)ds =

|ym(tm)| > Mme(ß0-£)im¿mea(s°+M - ^eaäm max

ÖK (tm; fr)

d s

здесь

!

0 при а > О, при а < 0;

m

s

m

m

s

e

г* _ г г

максимум берется в треугольной области {во 6 ^ 6 в; в0 6 в 6 6 в0 + }, площадь которой равна /2.

Оценим данный максимум. Для этого напомним, что частная производная дК/дв в соответствии с формулой (7) оценивается следующим образом:

дK(tm, а)

д s

6 B£e(ß0+£)tm ebs;

в0 — старший показатель однородного уравнения; Ь — число, ограничивающее порядок роста С-(в). Поэтому

max

дK(tm, а)

д s

6 B£e(ß0+£)t™ebs,

где

s =

!

So + -m при b > 0, s0 при b < 0.

Таким образом, имеем

/ - \ -2

|ym(tm)| > Mme(ß0-£)tm-mea(s°+M - ߣ—eaäm+(ß°+£)tm+bs =

2

= Mme(ßo-£)tmea(®0 ) - 1B -m »aäm+2£^+bä

2 £Mm

.

Положим -m =

,-2£ tm

0 < -m < 1, -m Д 0. Тогда

|ym(tm)| > Mme(ß0-3£)tm

_ в

t(s0+-m) _ B£ ca<sm —bs 2Mm

При т величина в квадратных скобках стремится к еа®0. По-

этому

.

е(во-3е}4т

Пусть теперь к(а) < в0 при некотором а. Выберем г так, чтобы в0 — 3г = «1 > к(а). Имеют место включения

Вк(а) С Ек(а) С Bai,

следовательно,

Ba ^ В«1, IMki 6 C

Ba '

e

Однако это невозможно, так как /(¿)||ва = 1, ||Ут(£)||ва1 ^ Пункт в) доказан.

Докажем пункт г). В соответствии с пунктом 2 имеем

|К(*,в)| 6 В£е(в0 +£)Ъеав,

где а — число, ограничивающее порядок роста с^(в); полагаем а > 0. Поэтому для / (¿) получим

|y(t)| =

t

J K(t,s)f (s)ds 0

t

6 BeCe Í e(eo+e)tgase(a+£)sds =

'e^ e

0

= BeCee(e0+e)t e 1

a + a + £

Если, например, a0 = -2a, a 6 a0, то

|y(t)| 6 BeCee(eo +e)t^L 6 Dee(eo+e)t, a — £

y(t) G Ep0, что и требовалось доказать.

Сопоставляя оценки экспоненциальной характеристики к(а), полученные в пунктах а)-г): к(а) 6 max (y0, а) при всех а, к(а) > а при всех а, к(а) = а при а > y0, к(а) > во при всех а, существует ао > — то такое, что к(а) 6 в0 при а 6 ао, — приходим к формулировке теоремы.

В заключение отметим, что для уравнения (3) с периодическими коэффициентами генеральный и старший показатели однородного уравнения совпадают, откуда сразу следует основной результат работы [6]; канонический вид экспоненциальной характеристики этого уравнения следующий:

к(а) = max (а, ао),

где ао = во = То — старший ляпуновский показатель. Из этого следует, что при а > ао показатель экспоненциального роста к(а) решений y(t) начальной задачи (4) зависит от показателя роста правых частей f (t), а при а 6 ао показатель роста к(а) решений y(t) не зависит от показателя роста правых частей, т.е. в случае ао > 0 при очень быстро убывающих правых частях f (t), стремящихся к нулю, решения y(t) растут очень быстро. Этот случай можно назвать сильной неустойчивостью.

Пример. Рассмотрим неоднородное уравнение Перрона [5]

dy

— = (sin ln t + cos ln t) y + f (t);

dt

здесь во = 1, То = л/2, «о = -2. Таким образом, к(а) = 1 при а 6 -2; к(а) = а при а > а/2; к(а) — неубывающая функция в промежутке (-2; л/2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рутман М. А. Об устойчивости некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Докл. АН СССР. - 1956. -Т. 108. - № 5.- С. 770.

2. Орлик Л. К. Об экспоненциальной характеристике линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве // Укр. матем. журнал. - 1989. - Т. 41. - № 9. - С. 1288-1289.

3. Орлик Л. К. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром, зависящим от четырех переменных // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 10. - С. 1819-1821.

4. Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. - М.-Л.: ОИТИ, 1935. -386 с.

5. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970. - 534 с.

6. Орлик Л. К., Рутман М. А. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Сер. Математика. - 1982. - № 6. - С. 80-81.

7. Рутман М. А. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функции. - М.: Физматгиз, 1961. - 294 с.

Статья поступила в редакцию 29.06.2004

Ольга Александровна Мудракова окончила в 1975 г. Ростовский государственный университет. Старший преподаватель Военной академии радиационной, химической и биологической защиты. Автор 9 научных работ в области дифференциальных уравнений.

O.A. Mudrakova graduated from the Rostov State University in 1975. Senior teacher of the Military Academy for Radiation Chemical and Biological Protection. Author of 9 publications in the field of differential equations.