Научная статья на тему 'Приближение кривых ломаными'

Приближение кривых ломаными Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
313
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫЕ КРИВЫЕ / МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ / ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ / PARAMETRIC CURVES / MODULUS OF CONTINUITY / EXTREME PROBLEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шабозов М. Ш., Шабозова А. А.

В работе найдены точные значения оценки погрешности приближения параметрически заданных кривых вписанными в них ломаными в m-мерном пространстве R m для классов функций, задаваемых модулями непрерывности. Полученные результаты являются своеобразным обобщением известных результатов В. Н. Малоземова о приближении непрерывных функций ломаными. Также решена задача отыскания верхних граней отклонений параметрически заданных кривых на рассматриваемых классах функций в предположении, что указанные кривые пересекаются в N (N > 2) точках разбиения отрезка [0,L]. В случае т = 2 из полученных результатов, в частности, вытекают ранее известные о приближении плоских кривых ломаными в евклидовых, хаусдорфовых и хэмминговых метриках.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Approximating curves by broken lines

In this paper, we found an exact estimate of the approximation error of parametric curves by inscribed broken lines in m-dimensional space R m for classes of functions given by their modulus of continuity. The obtained results are specific generalizations of well-known V. N. Malozemov’s results on the approximation of continuous functions by broken lines. We also solve the problem of evaluating an upper bound deviation given by parametric curves in the functional classes under the assumption that the curves are equidistant at IN (IN > 2) points of the segment [0, L]. For the case m = 2, the above results agree with well-known facts on the approximation of curves by broken lines in Euclidean, Hausdorff and Hamming metrics.

Текст научной работы на тему «Приближение кривых ломаными»

УДК 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2

ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ ЛОМАНЫМИ

М. Ш. Шабозов1, А. А. Шабозова2

1. Институт математики АН Республики Таджикистан, д-р физ.-мат. наук, профессор, shabozov@mail.ru

2. Таджикский национальный университет, аспирант, adolat@mail.ru

1. В работе рассматривается вопрос о точной оценке погрешности приближения гладких кривых Г, заданных параметрическими уравнениями

Х1 = ¥>1 (t), Х2 = (t),..., xm = y>m(t), 0 < t < L, (1)

в пространстве Rm вписанными в них ломаными, в случаях, когда функции ^¿(t), i = 1,m, являются непрерывными и дифференцируемыми на отрезке [0, L]. Для параметрически заданных кривых экстремальные задачи аппроксимационного характера исследованы значительно меньше, чем для явно задаваемых функций. Некоторые вопросы, связанные с приближением параметрически заданных кривых вписанными в них ломаными и сплайн-кривыми, рассматривались в работах [1-9] и монографиях [10], [11].

Обозначим через Н- [0, L] множество функций f (t) £ C[0, L] для любых двух точек t',t'' £ [0, L], удовлетворяющих условию

|f (t') - f (t'')| < w(|t' - t"|),

где w(t) — заданный на отрезке [0, L] модуль непрерывности, т. е. непрерывная, неубывающая и полуаддитивная на [0, L] функция, в нуле равная нулю. Аналогичным образом через W(1)Н- [0, L] обозначим класс функций f (t) £ C(1)[0, L], у которых f'(t) £ Н- [0, L].

Известно [12, с. 276-279], что интерполяционные ломаные в ряде случаев представляют собой наилучший аппарат приближения. Точные оценки приближения функций f £ Н- [а, b] и f £ W(1)Н- [а, b] интерполяционными ломаными были найдены еще в 1966 г. В. Н. Малоземовым [13]. Для классов функций двух переменных, задаваемых модулями непрерывности в прямоугольных областях, точные оценки погрешности одновременного приближения функций и их частных производных билинейными сплайнами и их соответствующими производными найдены в работах [1417]. Отметим также работу [18], где решена более общая задача отыскания верхних граней наилучших приближений классов Н- [а, b] и W(1)Н- [а, b] интерполяционными ломаными.

2. Всюду далее через Н"-1'"' '-m = Н-1' ''-m [0, L] обозначим класс кривых Г, определенных параметрическими уравнениями (1), и таких, у которых ^¿(t) £ Н-i [0, L], а через W(1) Н-1'-"'-т := W(1) Н-1'-"'-т[0, L] —класс гладких параметрически заданных кривых (1), у которых (fi(t) £ W^HUi[0, L], В случае LVi(t) = uj{t),i = 1, то, соответствующие классы функций обозначим через Н^ и W(1) Н^.

© М. Ш. Шабозов, А. А. Шабозова, 2013

Рассмотрим вопрос о точной оценке величины погрешности, возникающей при приближении кривых, принадлежащих классу ИШ1'"', вписанными в них ломанными. Если р(Р, Q) —некоторое расстояние между точками Р, Q £Кт, то расстояние между кривыми

Г : Xi = i = 1, то, и G : г/i = ipi(t), i = 1, то, 0 ^ t ^ L, (2)

определим следующим образом:

р(Г, G) = sup {p (P(t), Q(t)) : P(t) G Г, Q(t) G G} , (3)

где P (t) := P (^i(t), ••• ,^m(t)), Q(t) := Q(^i(t), ••• , ^m(t)) соответствуют одному и тому же значению параметра t (0 ^ t ^ L). С геометрической точки зрения расстояние (3) не всегда точно характеризует внутреннюю структуру кривых, поскольку оно в общем зависит от способа параметризации и не всегда полностью отражает степень геометрической близости кривых. Поэтому вводят в рассмотрение хаусдорфово расстояние [10], которое свободно от этого недостатка. Если

Г m 1 V2

pi(P(t),Q(t)) = |]T |^(t) - ф^)|2| (4)

— евклидово расстояние между точками P, Q G Rm, то под хаусдорфовым расстоянием между двумя замкнутыми множествами A cRm и B cRm понимают величину (см., напр. [10, с. 20-21])

pH1(A, B) =ma^ sup inf p1(P, Q), sup inf p1(P, Q) > . (5)

[p eAQ^B P eBQ^a J

Из определений (4) и (5) следует, что для кривых Г и G, определенных равенствами (2), при любом способе параметризации выполняется неравенство

pH,i(r,G) < pi (Г, G).

В некоторых вопросах приближения кривых, наряду с евклидовым и хаусдорфовым расстоянием, рассматривают также расстояние Минковского, определяемое для кривых Г, G GRm равенством

p2(r,G)= max sup (t) - ^(t)| : ^ G Г, фг G G} , (6)

и хеммингово расстояние

pa(r,G)= sup JV (t) - (t)|, <pi G Г, фг G g\. (7)

li=1 )

Для введенных расстояний (6) и (7), аналогично (5), вводим следующие расстояния Хаусдорфа:

ph,2(a,b) =ma^ sup inf p2(P, Q), sup inf p2(P, Q) > , (8)

[P EAQ£B P EBQ^A J

ря,з(Л B) =ma^ sup inf рз(Р, Q), sup inf рз(Р, QU . (9)

ip £AQeB p j

Пусть Д^ : 0 ^ ti < ¿2 < • • • < ¿n ^ L — произвольные разбиения [0, L], и для координатных функций кривых Г, G £ H''' выполнены равенства

= Фг^к), г = 1,т, к= 1, N. (10)

Если Р(¿) = Р(у>1 (¿), • • • £ Г, = (¿), • • • £ с — точки, опреде-

ляемые одними и теми же значениями параметра то точки

P(tfc) = Р (^i(tfc), • • • , ¥>m(tfc)), Q(ifc) = Q (V>i(ifc), • • • , V-m(ifc)), k=l,N,

совпадают. Очевидно, что в этом случае любое из перечисленных выше расстояний между кривыми зависит от разбиения Д^. Если р(Г, G; Д^) —какое-нибудь расстояние между заданными кривыми Г, G £ HШ1'''' , для которых выполняются равенства (10), то требуется найти величину

inf р (ЯШ1' • • • ; Д№) = inf sup {р(Г, G; Д№) : Г, G £ ЯШ1' ''' } .

Полагаем также Д^ : гк := Ц = (2к - 1)Ь/{2К), к = 1, N. Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Каковы бы ни были модули непрерывности (г = 1,т, 0 ^ Ь ^

Ь), справедливы равенства

inf pi (ЯШ1' • • • ; Д„) = pi (ЯШ1' • • • ; Д№) An

i=1

( rrwi .••• .Wm . л А

N)

inf Р2 (ЯШ1> • • = Р2 (ЯШ1

An

Г» / TTU1-I . Л

IN

2рн,1 (ЯШ1- • • • ; Д

р2 (ЯШ1' • • ^N )

2рн,2 (HW1, • • • ; Д

р3 (ЯШ1' • • ^N )

2рн,з (ЯШ1- • • • ; Д

ч 1/2

2

inf рз (Я• •

An

Доказательство. Не умаляя общности, докажем, например, первое равенство теоремы. В самом деле, если для координатных функций кривых Г, О £ ЯШ1' ''' выполняются равенства (10), то, пользуясь совпадением точек и <5(4/г = 1, Ж,

для любых двух точек Р (¿) £ Г и £ О запишем

Р1 (Р(¿), ) < Р1 (Р(¿), ); д^) + Р1 №(*), ); ДдО =

ч 1/2

т

1/2

т

1/2

]Т Ы*) - ^)]П +1 ]Т №(*) - ^)]П < 21 ]Т - ¿к |) I .

-1 .-1 .-1 (11)

Оценка (11) точна для кривых Го, Со € Я-1'''''-т, координатные функции которых определяются равенствами

== \t-tkl), г = 1 ,то, 0 < t < Ь, (12)

а потому из (11) следует, что

1п1 р1 (Я-1'• • •'-т;Д*) = 1п1 р1(Го,Со; Д*) = А« Д«

1/2

= 21111 Бир ^ ]ТЧ2(|* - ¿к. (13)

В работе [7] доказано, что стоящая в правой части (13) величина имеет минимальное значение при узлах Ьь := ¿к = (2к — 1)Ь/(2М), к = 1, М, равное

Г т } 1/2

Д1 Р! (Я-1' • • '"т = Р! (Я-1' • • ;Д ^ = 2^ У Ш?(Ь/(2^)) !

Дп1 Р1 (Я-1-• • ;Д*) = Р1 (Я-1' • • ;Д*) = 2| <=1 Ч2(Ь/(2Ж))| . (14)

В случае хаусдорфового расстояния оценка (14) вдвое меньше. Действительно, если для кривых Г и С из Н-1'• • • '-т соотношения (10) выполняются при ¿к = ¿к, то для любой точки Р(¿к) := Р (^(¿к), • • • , Ут(¿к)) будем иметь — ¿к| ^ Ь/(2Ж), а так как Р (¿к) принадлежит также кривой С С Я-1' • • • '-т, мы имеем

1п1 {р1 (Р(¿), Q(í); Д*) : Q(t) € С} < р1 (Р(¿), Р(¿к); Д*) <

{т 1/2 Г т 1/2

£ — ^к)]Н Ч2(Ь/(2Ж))1 . (15)

Аналогичным образом получим

1п1 {р1 (Р(¿), Q(t); Д*) : Р(¿) € Г} < р1 Q(ífc); Д*) <

{т 1/2 Г т 1/2

— фг(¿к)]Ч , (15')

причем знак равенства в неравенствах (15) и (15') будет иметь место для тех же

,ет,

1/2

кривых Го, Со € И-1'• • • '-т с координатными функциями (12), а это означает, что

Дп1 рн'1 {Й-1' • • '-т; Д*) = рН'1 {Й-1' • • '-т ;Д*) = ^.2(Ь/(2^))

и=1 )

Этим же методом доказываются два других равенства в утверждении теоремы 1.1, чем и завершаем доказательство.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т1Р1 (Я£;Длг) =/>1 (Я^; Ддг) = 2р#д (Д^; Ддг) = 2^/ти; (Ь/(2М)),

А«

1п1 р2 (Ят; Д*) = р2 (ят; ДN) = 2рН'2 (ят; ДN) = 2^ (Ь/(2Ж)),

А«

М Р3 (Я" ;Д*) = Р3 (Я" ;Д= 2№,з (Я" ;Д= 2тош (Ь/(2Ж)).

Теорема 2. Пусть Г^ _ вписанная в кривой Г ломаная с вершинами в точках Р£ := Р ((р1 (кк), ■ ■ ■ ,1рт{кЪ,)), к = О, Ж, к = Ь/Ы. В предположении, что (г = 1, то; 0 ^ Ь ^ Ь) — выпуклые модули непрерывности, справедливы равенства

( т Л 1/2

впр{ Р1(Г, ):Г е Я"1- • • '"-} = | ш? (Ь/(2Ж ))1 , (16)

вир {р2(Г, Г^):Г е Я"1^ • } = тах ш, (Ь/(2Ж)), (17)

т

впр{ рз(Г, Г№) :Г е Я"1- • • '"т} = ^ ш, (Ь/(2Ж)). (18)

¿=1

Доказательство. Заметим, что в случае приближения ломаными оценку погрешности можно локализовать на частичном промежутке разбиения, что позволяет точно оценить ее для всех вышеназванных расстояний. Не умаляя общности, докажем соотношение (18) для хеммингова расстояния рз(Г, Г^), поскольку доказательства равенств (16) и (17) основаны на практически аналогичных соображениях. С этой целью зафиксируем разбиение отрезка [0, кк, к = О, Ж, к = Ь/Ы. Пусть

Гдг — ломанная с вершинами в точках Р£ = Р (с,р\{кк), • • • , срт(кк)), к = О, N. Параметрические уравнения звена ломаной Г^, стягивающей дугу Рй+1, имеют вид

= ^Рг{Ьк) + - 1к)Ы2 ■ [<£>(^+1) - ¡Р^к)] , г = 1, то, (19)

где ^ ^ ^ ^й+ъ к = О, N — 1. Используя равенство (19), запишем

^¿(¿) - ^¿(¿) = (¿й+1 - • [^¿(¿) - )] + (г - • (¿) - «(¿й+1)] ,

откуда, оценивая по абсолютной величине полученное равенство, находим

- С*)| < (¿й+1 - ¿^Ш,^ - ^) + ^ - ^^Ш,^ - ¿). (20)

Полагая £ = + т/1, 0 ^ г ^ 1, и учитывая выпуклость = 1,то), из (20)

получаем

(¿й+1 - - ¿й) + - • Ш, (¿й+1 - ¿) =

= (1 - т)ш,(т^) + тШ,((1 - т)Ь) <

< ш,[2т(1 - т)й] < ш,(й/2) = ш (Ь/(2Ж)). (21)

Из неравенств (20) и (21) сразу следует, что

т т

рз(Г,Г№)=£ - «Ус[с,ь] ^ш, (Ь/(2Ж)). (22)

,=1 ,= 1

Построим теперь экстремальную кривую Г0 е Я"1' • • • , для которой неравенство (22) обращается в равенство. Для Ь (Е 1] (А; = 0, Ж — 1) и г = 1, то параметриче-

ские уравнения кривой Г0 определим равенствами

Гш,(* - ¿й), ¿й < * < ¿й + Ь/(2Ж) «0(*) = {

- ¿), ¿й + Ь/(2Ж) < * < ¿й+1.

Очевидно, что € а значит Г° € НШ1'"' 'Шт. Далее, так как = 0, к = О, N,

из (19) следует, что с0 (¿) = 0, а потому мы имеем

рз(Г0, rN) = Е Н^0 - [0.L] = £ = (23)

i=1 i=1

i=1 V 2 / i=1 Таким образом, в соответствии с равенством (23) запишем

m

sup {рз(Г, rN) : Г £ ЯШ1' • • • } = рз(Г°, rN) = £ (L/(2N)),

i=i

откуда и следует равенство (18). Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 вытекает Следствие 2. Справедливы равенства

SUP {pi(r, Гдг) : Г (Е = \fmu! (L/(2N)),

sup {р2(Г, ГN) : Г £ Ят} = ш (L/(2N)), sup {р1(Г, ГN) :Г £ Ят} = тш (L/(2N)).

3. В этом пункте докажем одно утверждение об аппроксимации кривых Г £

вписанными в них ломаными. Теорема 3. Пусть LUi(t)(i = 1, то) — выпуклые модули непрерывности на отрезке [0, L]. Тогда для любого натурального N ^ 2 справедливы равенства

2 ^ 1/2

supipur, Глг):Г = 1 , (24)

sup |/Э2(Г,Гдг) : Г £ = — ^max / cji(t)dt, (25)

. 1 m г- L/N

8ир|рз1Г,ГлГ):Ге^ЯШ1--.^|= ]Г / Wi(t)dt, (26)

i=i

где Tn _ ломаная, вписанная в кривой Г £ W(1)ЯШ1' • • • , с вершинами в точках = Р (ipi{kh), • • • , ipm{kh)), k = 0, N, h = L/N. Если же u)i(t), г = 1, то — произвольные модули непрерывности, то

{2Ч 1/2

p^l^^m^j \ , (27)

с 4 Д /* L/N

sup i p2(r, Гдг) : Г £ W^H"1'-= max / U}i{t)dt, (28)

I J 4 1<i<m 1°

л о т с

8иР |/эз(Г, Гдг) : Г (Е " 'Шт | = У0 (29)

где 2/3 < О" < 1.

Доказательство. Пользуясь равенством (19), легко доказать, что для произвольной кривой координатные функции которой «(¿) е И^(^Я1*^ (г = 1,ш), выполняется неравенство (см. [13, 12], с. 234)

к

2

\¥>г(1) - фг(£)\ ~ ^(Ь - Ьк)Н 2 / «(т)йт, г = 1, ш,

0

где = к!г, к = О, Ж, к = Ь/М. Учитывая, что для £ е [¿й, ],

получим:

1 г ь/^

11« - Фг\\с[0,Ь] ^ 4 у ^(т)с1т.

Из последнего неравенства для расстояния р (Г, Г^) (.?' = 1, 2, 3) сразу получаем неулучшаемые для класса Ш(1)Я"1- • • • при выпуклых модулях непрерывности ш,(¿) оценки

1/2 Г 2 ^ 1/2

1

Р2(Г,Гдг) = тах 11« - фг\\с\о,ь] < 7 шах / «(т)йт, (31)

4 ^о

т 1 т

/9з(Г,Гдг) = -«||С[0,Ь] < Т^З / ^(т)(1т. (32)

0

Пользуясь неравенствами (30)-(32), легко доказать равенства (24)-(26). Не умаляя общности, докажем, например, равенство (24). В самом деле, из (30) для произвольной кривой Г е Ш(^Я"1' • • '"т получаем

(2Л 1/2

Следуя работе [13], зададим на отрезке [0, Ь/Ж] функции

ЛИ =

0 < t < ¿/(2ЛГ),

1 Л ь

(33)

^ -2Ш< ( 24 - лг ' ' Ь/(2ДГ) ^ * ^ * = !> т>

для £ е [Ь/Ж, 2Ь/2Ж] положим У, (^) = /, (2/Ж - ¿) и распространим функции /, (¿) периодически с периодом 2/Ж на всю ось. Введем теперь экстремальную кривую Г* со следующими параметрическими уравнениями:

Г* : «*(£) = [ Мт)с1т, г = Т~т, 0 < t < Ь.

0

Нетрудно проверить, что г = 1,т, а это означает, что Г* (Е

"' •Шт. Кроме того, учитывая, что (р*(кН) =0, к = 0, Ж, Н = Ь/Ы, имеем

Р1(Г*,Г^) = |£ - [0,Ь]

Г т 1 V2

гЬ/(2№)

Е

/¿(т М

1/2

Е

1/2

г* 2

/¿(т )йг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Е

с[0,Ь] J рЬ/Ы

0

1/2

¿(т к

1/2

откуда и следует точность неравенства (30) и, тем самым, доказано соотношение (24). Равенства (25) и (26) доказываются по аналогичной схеме.

Приступая к доказательству второй части теоремы 3, без умаления общности, докажем, например, равенство (27) для евклидова расстояния. Оценка сверху для величины Р1(Г, Г^) следует из неравенства (30). Для получения оценки снизу указанного

2 _

расстояния полагаем = —/¿(£), г = 1, то, где /¿(¿) определены равенствами (33),

и распространим /¿(¿) периодически с периодом 2/Ж на всю ось. Легко проверить, что кривая Г**, параметрические уравнения которой определены равенствами

¥>,**(*) = / /Л*, * = 1,™, 0 < * < Ь,

0

принадлежит классу ш (1)я• • . Непосредственное вычисление приводит к следующему неравенству:

( т ^ 1/2

вир •

{р1 (Г,Г№): Г е ш(1)яШ1' • • • > Р1(Г*, Г№) = Ы

11с [0,Ь]

2 1 3 ' 4

Е

1

1/2

(34)

0

Требуемое равенство (27) вытекает из сопоставления неравенств (30) и (34). Аналогичным образом доказываются два других равенства в соотношениях (28) и (29). Теорема 3 полностью доказана.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда, если ш(£) — произвольный модуль непрерывности, то

а г

8Ир{р1(Г, Г дг) : Г € Я^} — /

4 ,]0

а г ь/^ вир {Р2(Г,Г„) : Г € Н»} = ^ Уо

а г ь/^ 8ир{р3(Г,Глг) :ГеЯ:} = ут /

4 .)0

(35)

(36)

(37) 75

0

0

где (2/3) ^ О" ^ 1. Если же ш(£) —выпуклый модуль непрерывности, то в соотношениях (35)-(37) О" = 1.

Авторы благодарят рецензента за ценные замечания.

Литература

1. Мартынюк В. Т. О приближении ломаными кривых, заданных параметрическими уравнениями // Укр. матем. журнал, 1976. Т. 28, №1. С. 87-92.

2. Мартынюк В. Т. Некоторые вопросы приближения линий и поверхностей // Теория приближения функций. М.: Наука, 1987. С. 282-287.

3. Назаренко Н. А. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами // Геометрическая теория функций и топология. Киев: ИМ АН УССР, 1981. С. 55-62.

4. Вакарчук С. Б. О приближении гладких кривых ломаными // Геометрическая теория функций и топология. Киев: ИМ АН УССР, 1981. С. 15-19.

5. Вакарчук С. Б. О приближении плоских параметрических заданных кривых ломаными // Моногенные функции и отображения. Киев: ИМ АН УССР, 1982. С. 107-113.

6. Вакарчук С. Б. О приближении кривых, заданных в параметрическим виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. матем. журнал, 1983. Т. 35, №3. С. 352-355.

7. Вакарчук С. Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Известия ВУЗов, Математика, 1988. №2. С. 14-19.

8. Корнейчук Н. П. Об оптимальном кодировании вектор-функций // Укр. матем. журнал, 1988. Т. 40, №6. С. 737-743.

9. Корнейчук Н. П. Приближение и оптимальное кодирование гладких плоских кривых // Укр. матем. журнал, 1989. Т. 41, №4. С. 492-499.

10. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН, 1979. 372 с.

11. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

12. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984, 320 с.

13. Малоземов В.Н. Об отклонении ломаных // Вестн. ЛГУ. Серия матем. и мех., 1966. №7. Вып. 2. С. 150-153.

14. Шабозов М. Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами // Укр. матем. журнал, 1994. Т. 46, №11. С. 1554-1560.

15. Шабозов М. Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1996. 59, №1. С. 142-152.

16. Вакарчук С. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990. Т. 47, №5. С. 26-30.

17. Вакарчук С. Б., Мыскин К. Ю. Некоторые вопросы одновременной аппроксимации функций двух переменных и их производных интерполяционными билинейными сплайнами // Укр. матем. журнал, 2005. Т. 57, №2. С. 147-157.

18. Вершик А. М., Малоземов В. Н., Певный А. Б. Наилучшая кусочно-полиномиальная аппроксимация // Сиб. матем. журнал, 1975. Т. XVI, №5. С. 925-938.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.