CC BY
36
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 13-27
= Математика =
УДК 517.5
Приближение гладких плоских кривых и его применение в задаче приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода
Ф. М. Мирпоччоев
Аннотация. В работе найдена точная оценка погрешности гладких кривых, параметрические уравнения которых являются непрерывными либо один раз дифференцируемыми функциями. Полученные результаты применяются в задаче приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций и классах кривых малой гладкости, задаваемых модулями непрерывности.
Ключевые слова: криволинейный интеграл первого рода, погрешность, верхняя грань, усложненная квадратурная формула, модуль непрерывности.
Введение
Общеизвестно, что при аппроксимации кривых более простыми функциями необходимо иметь их математическое описание. Кривые не всегда могут быть представлены явной функциональной зависимостью вида у = f (х), а потому более общим способом аналитического задания кривых является параметрическое представление их в виде функций
х = ф(в), у = 'ф(в), 0 ^ 8 ^ Ь (1)
некоторого параметра в в координатной системе хОу. В том случае, когда параметрические уравнения (1) кривых имеют сложный вид, естественно возникает задача гладкого приближения их более простыми кривыми с высокой точностью.
Для параметрически заданных кривых и поверхностей экстремальные задачи аппроксимационного характера менее изучены, чем для явно задаваемых функций. Отметим, что вопрос о приближении параметрически заданных кривых изучался в работах [1-9]. В частности, точные оценки отклонения кривых от параметрически заданных сплайнов первого порядка (ломаными) приведены в работах [1, 4, 5, 7], а для параметрических эрмитовых сплайнов в [2] и [6]. Эти задачи рассматриваются также в монографиях
[10] и [11], где приведены порядковые оценки погрешности приближения кривых различными сплайнами. Вопросы приближения и оптимальное кодирование гладких кривых в т-мерном пространстве Мт более полно изучены Н.П.Корнейчуком [8, 9].
Здесь мы решим экстремальную задачу приближения плоских кривых параметрическими интерполяционными ломаными для некоторых классов функций малой гладкости и дадим применение полученных результатов к вопросу приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода.
1. Приближение кривых интерполяционными ломаными
Всюду далее рассматриваются плоские кривые Г с параметрическими уравнениями (1), где в — длина дуги; хОу — прямоугольная система координат на плоскости. Как и в случае явно задаваемых функций, через М(х,у) := М(х(в),у(в)) будем обозначать точку кривой, соответствующей значению параметра в € [0, Ь], координаты которой (х(в),у(в)) зависят от выбора прямоугольной системы координат хОу. Обозначим через Нш := Нш[0, Ь] — множество функций ф(Ь) € С[0, Ь], удовлетворяющих условию
\ф(г') - ф(г")\ < ш(\г' - г"\), г',г" € [0,ь],
где ш(Ь) — заданный на отрезке [0,Ь] модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая полуаддитивная на [0, Ь] функция, ш(0) = 0. Через Ш(1)Нш := Ш(1)Нш[0, Ь] обозначим множество функций ф(Ь) € С(1)[0,Ь], производные которых ф(Ь) € Нш [0, Ь]. В соответствии с приведенными определениями классов Иш и Ш(1')НШ дадим определение классов кривых. Всюду далее через ТШ1’Ш2 := ТШ1,Ш2 [0, Ь] обозначим совокупность плоских гладких кривых {Г}, заданных параметрическими уравнениями (1), где х(в) € НШ1, у(в) € НШ2, ш1(Ь),ш2(Ь) — заданные на [0, Ь] модули непрерывности. Аналогичным образом через Ш(1,1)ТШ1’Ш2 := Ш(1,1)ТШ1,Ш2 [0, Ь] обозначим совокупность кривых {Г}, параметрические уравнения которых удовлетворяют условиям: х(в) € Ш(1)НШ1, у(в) € Ш(1)НШ2.
Для нахождения точной оценки погрешности квадратурной формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода в следующем пункте нам потребуются точные оценки погрешности аппроксимации кривых Г € ТШ1’Ш2 (или Г € Ш(1,1')ТШ1,Ш2) от вписанных в них ломаных Гм с вершинами в точках Мк = М(х(кН),у(кН)) € Г, к = 0, N; Н = Ь/М, где Ь — длина кривой Г. В качестве меры близости кривой Г от ломаной Г N будем рассматривать следующие расстояния между произвольными точками Р = Р(х(в),у(в)) € Г, д = Я(х(вТ),у(вТ)) € ГИ, в',в" € [0,Ь] :
1) расстояние Минковского
Р1(Р,д) = шах{\х(в') - х(в")\, \у(в) - у(в")\};
2) евклидово расстояние
P2(P,Q) = /(x(s') - x(s"))2 + (y(s') - y(s"))2;
3) хэммингово расстояние
P3(P,Q) = \x(s') - x(s")\ + \y(s') - y(s,,)\.
Если p(P, Q) — некоторое расстояние между точками P,Q € R2, то, следуя [8], расстояние между кривыми
Г : { x и G : { Х2 = f‘<s> (0 « s < L) (2)
\ yi = <P2(s) [ У2 = fo(s) V ' W
определяем как верхнюю грань
p(T,G)= sup {p(P(<pi(s),<p2(s)), Q($i(s),fo(s))) : P € T,Q € G}, (3)
O^t^L
где точки P = P(pi(s),p2(s)), Q = Q(^i(s),^2(s)) соответствуют одному и тому же значению параметра s. С геометрической точки зрения расстояние (3) не всегда точно характеризует внутреннюю структуру кривых, поскольку оно в общем зависит от способа параметризации, поэтому часто вводят в рассмотрении хаусдорфово расстояние [10], которое свободно от этого недостатка. Если, например, p^(P,Q) — евклидово расстояние между точками P,Q € R2, то под хаусдорфовым расстоянием между кривыми Г, G С R2 понимают величину
p2,H(r,G) = max{sup inf р2(P,Q), sup inf p2(P,Q)}.
p er QeG Qecp er
Аналогично вводятся хаусдорфовы расстояния pitH(Г, G) и р3,н(r,G) соответственно для расстоянии Минковского и Хэмминга. Очевидно, что для кривых Г и G, определенных параметрическими уравнениями в (2), при любом способе параметризации выполняется неравенство
рг,н(r,G) < Pi(r,G), i = 1, 2, 3.
Пусть An = {sk : 0 ^ si < s2 < ...sN ^ L} — произвольное разбиение отрезка [0, L] и для координатных функций кривых Г, G € ТШ1 ’ш2 выполнены
равенства ____
^i(sk) = Фi(sk), i = 1,2; k = 1, N. (4)
Условие (4) означает, что кривые Г, G € ТШ1 ’Ш2 пересекаются в N точках sk разбиения An отрезка [0, L]. Таким образом, если обозначить P(s) := = P(ф1 (s),p2(s)) € Г, Q(s) := Q^]_(s)^2(s)) € G — точки, определяемые одними и теми же значениями параметра s, то точки
P(sk) := P(<Pi(sk), ф2(sk)) и Q(sk) := Q^i(sk),ф2^к)), k = 1,N
совпадают. Очевидно, что в этом случае любое из перечисленных выше расстояний между кривыми зависит от разбиения An. Если р(Г^; An)
— какое-нибудь расстояние между заданными кривыми Г, С € Т”1 ’”2, для которых выполняются равенства (4), то требуется найти величину
р(Т”'”;Ам) = Ы8Щ){р(Г,0-,Ам) :Г,С €Т”'”}. Ам
Полагаем также Ам '• вк := вк = (2к — 1)Ь/(2Ы), к = 1,Ы. В принятых обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Каковы бы ни были модули непрерывности Шг{Ь) (г = 1, 2;
0 ^ ^ Ь), справедливы равенства
Щ рг(Тш1Ш2 ;АМ) = рг(Тш1Ш2 А) = АМ = 2 • р1,н(ТШ1 ’Ш2; Ам) = 2 • тах |Шг(^,ш2 (2Ь^)}’ М р2(ТШ1’” ;АМ) = р2(Тш1” А) = АN
=2 • ,2н (Т”'” А) = 2 • ,
М р3(ТШ1’ ” ;АМ) = р3(Тш1 ” А) = АN
= 2 • р3,н (Г»” ;Ам) = 2 • | 2^) + Ш2( ш)}'
Доказательство теоремы 1 получается буквальным повторением схемы рассуждений Н.П. Корнейчука [8], а потому мы его здесь не приводим. Зафиксируем разбиение отрезка [0, Ь]:
5м := {0 = во <81 < ... < вм = Ь}, Нк = вк — вк-1, к = 1,Ы (5)
и обозначим через 1(Г,5м) ломаную, совпадающую с кривой Г в точках Мк = М(х(вк),у(вк)), к = 0, К, линейную между точками интерполяции. В случае равномерного разбиения вк = кЬ/Ы, к = 0,Ы вместо 1(Г,5м) будем писать 1м(Г). Очевидно, что разбиением (5) кривую Г разобьем на N частей точками Мк = М(х(вк),у(вк)) и, соединив последовательно точки Мо, М1,Мм отрезками прямых, получим ломаную 1(Г, ), вписанную в Г.
Параметрические звенья ломаной, стягивающей дугу МкМк+1 (к = 0,Ы — 1), имеют вид
х(в) = Хк + Н-1(в — вк) • (хк+1 — Хк), (6)
у(в)= Ук + К1(в — вк) • (Ук+1 — Ук), (7)
где вк ^ в ^ вк+1, Нк = вк+1 — вк ,Хк = ,х(вк ),Ук = у(вк). Приэтом предполагается, что точки Р(х(в),у(в)) € МкМк+1 и Q(x(в),y(в)) € МкМк+1 соот-
ветствуют одному и тому же значению параметра в € [вк, вк+1].
Всюду далее множество всех плоских кривых, параметрические уравнения которых непрерывны или непрерывно дифференцируемы на [0,L], обозначим через Nl. Если р(Г,1(Г,8м)) — какое-нибудь расстояние между заданной кривой Г С Nl, а 1(Г; Sn) - вписанная в нее ломаная, то требуется найти величину
inf p(Nl, 1(Г; Sn)) = infвир{р(Г; 1(Г; Sn)):Г е Nl}. (8)
on 0N
В принятых обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть ui(t) (i = 1, 2) — выпуклые модули непрерывности. Тогда справедливы равенства
mf p^V1 "; 1(Г; Sn)) = pi(T“'т; In (Г)) = max | L ,
mf P2(T"; ЦГ; Sn)) = P'AT"1"; In(Г)) =
mf P3(T"1 ™;l(T;Sn)) = P3(T"';In(Г)) = u,(^.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в случае приближения ломаными оценку погрешности можно локализовать на частичном промежутке разбиения, что позволяет точно оценить ее для всех вышеназванных расстояний. Используя параметрическое представление (6) для значений в € [вк^+1], запишем
х(в) - х(в) = х(в) - х(вк) - (в - вк)Н-1 ■ (х(вк+1) - х(вк)) =
= (вк+1 - в) Ж-1 ■ [х(в) - х(вк)] + (в - вкЖ1 ■ [х(вк+1) - х(вк)\, откуда, оценивая по абсолютной величине, находим
|х(в) - х(в)\ ^ (вк+1 - в)Ж-1 Ш1 (в - вк) + (в - вк)Ж-1Ш1(вк+1 - в). (9)
Полагая в = вк + ЬЖк, 0 ^ Ь ^ 1 и учитывая выпуклость Ш1(Ь), из (9) имеем \х(в) - х(в)\ ^ Ш1[2(вк+1 - в)(в - вк)Ж-1} = Ш1[2Ь(1 - Ь)Нк} ^ Ш1(Нк/2). Точно также получаем
\у(в) - У(в)\ ^ Ш2[2(вк+1 - в)(в - вк)Ж-1} ^ Ш2(Жк/2).
Далее, для s е [вк, вк+1], к = 0,N — 1, положим
( Ш1 (в — вк), вк ^ в ^ вк + hk/2,
Xo(s) = < (10)
{ Ui(вк+1 — в), вк + hk/2 ^ в ^ вк+i;
( Ш2(в — вк), вк ^ в ^ вк + hk/2,
Уо(в) = {,.,. (11)
[ и2(вк+1 — в), вк + П^к/2 ^ в ^ вк+1■
Очевидно, что хо € Нш1, уо € ИШ2 и пусть Го € ТШ1 ’ш2 — гладкая плоская кривая, параметрические уравнения которой заданы равенствами (10) и (11). Для этой кривой имеем
Р1(Го,1(Го,5м)) = шах{||хо - Хо\\с[о ,ь], \\уо - уо\\с[о ,ь]} =
= тах{||хо||с[о ,ь], \Уо\с[о ,ь]} = тах |^ | ,
р2(Го, КГо, ^)) = ^\\хо - хо\\С[о, Ь] + \\уо - уо\\С[о, Ь] = ^ + ш2 ^ >
рз(Го,КГо,5м)) = ||хо - хо\с[о,ь] + \\уо - Уо\\с[о,ь] = ш1 у^ + ш2 у^ .
При этом очевидно, что для соответствующих расстояний рг(г = 1, 2, 3) величины (8) имеем
1111 рг(Го; 1(Го,5м)) = Мтах |у^ ,ш2^1к
max{2n^) ,и^2n) } = р1(Г„; n(To)),
inf l(T°,SN)) = ^ju?(N + N •
inf p3 (Г„; l(T„JN ))= ^ ( A) + ^ ,
чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Замечание. Отметим, что значение р2,н(^G), когда G — есть интерполяционная ломаная интерполирующей кривой Г в N точках Sk = kL/N, ранее было получено в работе В.Т. Мартинюка [1].
Теорема 3. Пусть ui(t) (i = 1, 2) — выпуклые на [0, L] модули непрерывности. Тогда имеют место равенства
1 fL/N
inf pi(W(1,1')TUl,U2; 1(Г,5м)) = -г max[ш\ (t) ,„2 (t)} dt,
$N 4 J„
- { ( i-L/N \ 2 ( i-L/N \ 2} 1/2
inf Р2№(1,1)ТШ1,Ш2; 1(Г, 8n )) = 4 ( J и1 (t) dt) +( J и2 (t) dt)
- f L/N - f L/N
inf p3(W(1,1)ТШ1,Ш2; l^^N)) = 7 / U1 (t) dt +- U2 (t) dt.
SN 4 J„ 4 J„
Доказательство. Если кривая Г е Ш(1,1)ТШ1'Ш2, то, с учетом равенств (6) и (7) и предложения 5.2.13 из монографии [12], для любого разбиения отрезка (1) [0, Ц : 0 = в0 < «1 < в2 < ... < вн = Нк = вк+1 — вк, к = 0,М — 1, запишем
.-2
2 hk
\x(s) - x(s)\ ^ (Sk+l - s)(s - Sk)h-2 • Wl(t)dt, (І2)
o
hk
\y(s) - y(s)\ ^ (sk+l - s)(s - Sk)h-2 • W2(t)dt. (ІЗ)
o
Пользуясь неравенствами (12) и (13), для вышеперечисленных расстояний 1) - 3) соответственно получаем оценки сверху:
hk hk
pl(r,l(r,§N)) ^ Т(s; hk,5n) ma^j J Wl(t)dt, J U2(t)dt\, (І4)
{/ hk \2 ( hk \2} 1/2
P2(r,l(r,SN)) ^ t(s; hk ,Sn ) <( J Ul(t)dt) +( J Ш2 (t)dtj > , (15)
hk hk
Рз(Г, l(r,§N)) ^ t(s; hk ,Sn ) | J Ul(t)dt + J W2(t)dt\, (І6)
где т(s, hk; 5n) = (sk+1 - s)(s - sk) • hk2, к = 0,N - І. Если учесть, что max{T(s, hk; 5n) : Sk ^ s ^ Sk+l} = Т((sk + Sk+l)/2; hk; 5n) = \,
то, положив \§n \ = max hk из неравенств (14)—(16), имеем: т) і fI&N1
pl(W (,)гШ1'Ш2; l(r,5N)) ^ 4 J max{wl (t),W2 (t)}dt, (17)
P2(W( 11 ГШ1,Ш2; l(r,§N)) < 1 {/j0|5N 1 w(t)dt\ + /j0I<N 1 W2(t)dt\ } ,
s (18)
p3(W(1,1)ГШ1’Ш2; l(r,SN)) < 4 j N Wl(t)dt + 0 N <*2(t)dty (19)
До сих пор мы на модули непрерывности Wi(t) (i = 1, 2) не накладывали никаких ограничений. В случае равномерного разбиения отрезка [0,L], когда \5n\ = L/N, повторив схему рассуждений работы В. Н. Малоземова
[13], легко доказать, что в неравенствах (17)—(19) для выпуклых модулей непрерывности имеет место знак равенства. Действительно, считая теперь,
что ш^г) — выпуклые модули непрерывности, зададим на отрезке [0,Ь/Ы] две функции фч(Ь) (г = 1, 2) :
фг(Ь) = <
2Ь
(20)
и для г € [Ь/Ы, 2Ь/Ы] положим фг(г) = ^ , и распространим функ-
ции фг(£) периодически с периодом 2Ь/Ы на всю ось. Для в € [0, Ь] определим экстремальную кривую Г* следующими параметрическими уравнениями:
х*(в) = ( ф1 (г)йг, Jо
У* (в) = I ф2 (№, ■)о
где функции фг(г) определены в (20). Легко проверить, что функции х*(в) € € Ж(1)ИШ1, у*(в) € Ж(1)ИШ2, а потому Г* € Ж(1>1)ТШ1’Ш2. Докажем, что для Г* в неравенствах (17)-(19) имеет место знак равенства. Так как х*(кЬ/Ы) = = у*(кЬ/Ы) =0, к = 0,Ы, то из равенств (6)-(7) вытекает, что х(в) = у (в) = 0 для в € [0,Ь], а потому, например, для расстояния р1 имеем:
р1(Г*,1м(Г*)) = шах{||х* — х\\а[0’Ц, \\у* — У\\с[о,ь]} =
= шах{||х*\\с[0’Ь], 1У*||с[о,ь]} = шах <| ^ ф1(г)М
т'
С[0’Ь]
Ф2(г)йг
С[0’Ь]
1 г ГЬ/(2М) / Ь \ ГЬ/(2М) / Ь \ ,)
2шах{ к ш'\ N — *)Л' I Ш2{ N — 21)л1 =
N
2 гЬ/м 4. о
шах{ш1(г), ш2(г)}йг,
откуда и следует точность неравенства (17). Аналогичным образом доказывается точность неравенств (18) и (19).
*
0
2. Точные оценки погрешности приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода параметрическими интерполяционными ломаными на некоторых классах
функций
Пусть для приближенного вычисления криволинейного интеграла
Г /(М)й$,
где Г — некоторая спрямляемая кривая, функция /(М) = /(х, у) определена и непрерывна вдоль кривой Г, применена квадратурная формула
N
/ / (М )ds = Т Лк/(Мк) + Я^/;Г). (21)
■)Г к=0
Здесь Мк € Г — произвольные точки-узлы, Ак — произвольные числовые коэффициенты, RN(/;Г) := RN(/;Г,Ак,Мк) — погрешность формулы (21) на функцию /(М). Согласно определению из монографии С.М.Никольского
N
[14], сумму Ак/(Мк), использующую линейные комбинации N + 1 зна-
к=0
чений подынтегральной функции, будем называть квадратурной суммой, а {Ак} и {Мк} — соответственно коэффициентами и узлами квадратурной формулы (21). Предположим, что на кривой Г установлено положительное направлении положение точки М(х, у) € Г может быть определено длиной дуги s = АР, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда, как хорошо известно, кривая Г параметрически выразится уравнениями
х = х^), у = у^), 0 ^ s ^ Ь,
а функция /(М) = /(х,у), заданная в точках кривой Г, сведется к сложной функции /(х^),у^)) от переменной s. Разобьем отрезок [0, Ь] на N частичных отрезков ^к-1, ’Ък] точками 0 = ,30 < Sl < ... < SN-1 < SN = Ь и вычислим значения функции /(х(,з),у(,в)) в точках разбиения ,вк. Поскольку в этом случае Мк = М(х^к), у^к), то квадратурная формула (21) приобретает вид:
гЬ N
/ /(х^),у^)^ = V Ак/(х^к),у^к)) + RN(/; Г). (22)
к=0
Если М — некоторый класс функций {/(х^),у^))}, интегрируемых на отрезке [0,Ь], то для каждой функции этого класса остаток формулы (22) имеет вполне определенное значение
гЬ N
RN (/;Г) = / (х^)^^)^-V Ак / (х^к ),у^к)).
^ к=0
При фиксированных векторах коэффициентов А = {Ак}м=0 и узлов Б = {вк ■ 0 = в0 < в1 < ... < вм-1 < вм = Ь} наилучшей оценкой остатка квадратурной формулы (22) на классе функций М является верхняя грань Ям(М;Г) = вир{\Ям(I;Г)| ■ I € М}. (23)
Очевидно, что верхняя грань (23) зависит от выбора кривой Г, от вектора коэффициентов А = {Ак }М= 0 и узлов Б = {в&}М= 0, то есть
Ям (М;Г) = Ям (М;Г; А, Б).
Далее, если Жь означает класс кривых ТШ1,Ш2 либо класс Ш(1,1)ТШ1,Ш2, то, кроме (23), еще требуется найти величину
Ям (М; Жь) ■= Ям (М; Жь; А, Б) = вир{Ям (М; Г; А, Б): Г € Жь}. (24)
В этой заметке величину (24) вычислим для усложненной квадратурной формулы прямоугольников. С этой целью сначала конкретизируем класс функций М.
Через Мр обозначим класс функций I(х(в),у(в)), 0 ^ в ^ Ь, заданных и определенных на множестве кривых ТШ1’Ш2 (или Ш(1<1')ТШ1,Ш2) и для любых двух точек Р(х(в'),у(в')),О(х(в"),у(в")) € Г, в', в" € [0, Ь], удовлетворяющих условию
II(х(в'),у(в')) - I(х(в''),у(в''))\ < р(Р,О),
где р(Р, О) — какое-нибудь расстояние между точками Р,О € М2.
Применим полученные в предыдущем пункте результаты к вопросу оценки погрешности приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на классах функций (г = 1, 2, 3) и классах кривых ТШ1,Ш2 и
Ш (1>1)ТШ1’Ш2 .
Вычислим верхнюю грань погрешности (24) на указанных классах функций и кривых для квадратурной формулы прямоугольников, имеющей вид
!о 1 (х(в),у(в))^ ^ 1(х( Ь) ,у{ Ь)) + Ям(1 ;Г).
^ (25)
Теорема 4. Для точной оценки погрешности квадратурной формулы прямоугольников (25) на классах функций ШР1 (г = 1, 2, 3) и кривых ТШ1,Ш2 справедливы равенства
гЬ/(2м)
Ям(МР1; ТШ1’Ш2) = 2^ т&х{ш1(1),ш2(1)}М, (26)
о
сЬ/(2м)
Гь/(2м) I-------------
Ям(Мр2; ТШ1’Ш2) = 2Ы I у/и2(*) + и%(г)М, (27)
гЬ/(2м)
Ям(Мрз; ТШ1’Ш2) = 2Ы (т(г)+ Ш2(г))М. (28)
о
Доказательство. Не умаляя общности, докажем равенство (26). Ради простоты вычислений, далее обозначим Н = Ь/И. Тогда формула (25) запишется в виде
гЬ м
I I (х(в),у(в))ёв = Н
к=
/0
f(x(kh - ^ ,y(kh - h ) ) + Rn(f;Г).
Отсюда для погрешности квадратурной формулы получаем
Rn(f; Г) = 0 f (x(s),y(s))ds - h E f (x (kh - ^ ,y(kh - h ) ) =
N г kh
E /
k=\ (k-'1)h
f (x(s),y(s)) - f(x(kh, - h^j ,y(kh - h
ds.
(29)
Оценивая правую часть равенства (29) для произвольной функции I € МР1 и кривой Г € ТШ1’Ш2, с учетом результата теоремы 2 в этом случае получаем
\Rn(f;Г)| <
«E L_1)h max { |x<s>- x((k - 2) h)\]y(s) - y((k - 2)h) \}
k=i-4k-1)h
N г kh
max
k=1 (k-1)h
{■* (|s - (k - 2)h|)■‘Ч\s - (k - 2)h|)}
n /,(k-i)h+h rkh \
f=1\J(k-i)h J(k-i)h+ h)
x max
M
s - (k - i)h - -
s - (k - l)h - h
ds =
N / rh/2 \ rL/(2N)
= 2 J max {w1(t),w2(t)} dtj =2N J max{w1(t),w2(t)}dt. (30)
Легко проверить, что для кривой Г1 € ТШ1 ’ш2, определенной параметрическими уравнениями
x = <Pi(s),
Г1 : { 0 < s < L,
y = Ms),
где
фг(в) = <
шг (кН — Н — в^ , (к — 1)Н ^ в ^ (к — 1)Н + Н/2,
шг (в — кН + , (к — 1)Н + Н/2 ^ в ^ кН, к = 1,К; г = 1,2;
и функция /0(х(в),у(в)) = ш&х[ф1(в), ф2(в)} € МР1, для которой
Н) -у (“—Н
/о(х (кН — -Н^ ,у(кН — =0, к = 1,Ы,
неравенство (30) обращается в равенство.
Таким образом, после простых вычислений мы имеем
Г Ь/(2И)
Ям(ШР1; ТШ1’Ш2) = \Ям(1о;Г!)\ = 2^ т&х{и1(г),Ш2(тМ.
Jо
Аналогичными соображениями получаем равенства (27) и (28), откуда и следует утверждение теоремы 4.
Замечание. Отметим, что формула (25) является наилучшей для класса функций с ограниченным градиентом в пространстве Ьр[0,Ь] (С.Б. Ва-карчук [15], случай р = ж; М.Ш. Шабозов и Ф.М. Мирпоччоев [16] — общий случай 1 ^ р < ж).
Рассмотрим теперь применение теоремы 3 к вопросу нахождения точной оценки погрешности следующей квадратурной формулы:
г Ь м
/ /(х(в),у(в))Св = Н^/ (х (кН) ,у (кН)) + Ям(/;Г), (31)
]о к=1
где по-прежнему Н = Ь/К. С этой целью погрешность формулы (31) представим в виде
м г кЬ
Ям(/;Г) = У [/(х(в),у(в)) — / (х (кН) ,у (кН))] Св. (32)
к=1 (к-1)Ь
Теорема 5. Для оценки погрешности формулы (31) на классах функций МР (г = 1, 2, 3) и кривых Ш(1<1')ТШ1,Ш2 справедливы равенства
Ь г Ь/И
Ям(ШР1; Ш(1,1^ТШ1 ,Ш2) = ^ шах{ш1(1),ш2(1)}М, (33)
4 .'о
2 , „г./ы ч 2} 1//2
Ям(Мр2; Ш(1,1)ТШ1’Ш2) = Ь | (0Ь/И Ш1 (г)сН^ + (^Ь/М Ш2(г)М^ |
т г-Ь/И
Ки(Шрз; W(1,1)гШ1,Ш2) = - + Ш2(г))сН, (35)
4 .)о
- [Ь/м,
4 Jo
где ш^) (г = 1, 2) — произвольные выпуклые на [0, -] модули непрерывности.
Доказательство. Поскольку схемы доказательств равенств (33)-(35) идентичны, то достаточно привести доказательство (33). В самом деле, если
кривая Г € W (1,1)ГШ1’Ш2, то для произвольной функции f € Мр1, оценивая
по абсолютной величине правую часть (32) и пользуясь неравенством (14), получаем
И гкН
\Ки (I ;Г)| шах{|х(в) - х(кк)\, \у(в) - у(кН)\}Св <
к=1(к-1)Ь.
И 1'кН ( 1 Ь/И }
шах{ш1(1),ш2(1)}М>Св =
^(к-1)Н I4 Jо )
ГЬ/М - Ь/И
10 4 Jо
Непосредственным вычислением легко убедиться, что для функции
гЬ/И т ГЬ/М
= (МН/4) шах{ш1(1),ш2(1)}М =— шах{ш1 (1),ш2^)}М. (2.16)
Уо 4 Jo
/1(х*(в),у*(в)) = шах^! ф1(г)Сг, J ф2^)М^
где функции фг(1) определены равенствами (20), а х*(в),у*(в) — параметрические уравнения кривой Г* € W(1,1)ТШ1,Ш2, определенные равенствами (1.20), в неравенстве (2.16) реализуется знак равенства. Следовательно,
т г-Ь/И
Ки(ШР1; W(l’l')TШl,Ш2) = ^ шах{ш1({),ш2(1)}м.
40
Повторив вышеприведенные соображения, убедимся в справедливости равенств (34) и (35), чем и завершаем доказательство теоремы 5.
Список литературы
1. Мартынюк В.Т. О приближении ломаными кривых, заданных параметрическими уравнениями // Укр. матем. журнал. 1976. Т.28. №1. С.87-92.
2. Мартынюк В.Т. Некоторые вопросы приближения линий и поверхностей // Теория приближения функций. М.: Наука, 1987. С.282-287.
3. Назаренко Н.А. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами // Укр. мат. журнал. 1979. Т.31. №2. С.201-205.
4. Вакарчук С.Б. О приближении гладких кривых ломаными // Геометрическая теория функций и топология. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. С.15—19.
5. Вакарчук С.Б. О приближении плоских параметрически заданных кривых ломаными // Моногенные функции и отображения. Киев: Ин-т математики АН УССР. 1982. С.107-113.
6. Вакарчук С.Б. О приближении кривых, заданных в параметрическом виде, при помощи сплайн-кривых // Укр. матем. журнал. 1983. Т.35. №3. С.352-355.
7. Вакарчук С.Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Изв. Математика. 1988. №2. С.14-19.
8. Корнейчук Н.П. Об оптимальном кодировании вектор-функций // Укр. матем. журнал. 1988. Т.40. №6. С.737-743.
9. Корнейчук Н.П. Приближение и оптимальное кодирование гладких плоских кривых // Укр. матем. журнал. 1989. Т.41. №4. С.492-499.
10. Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН. 1979. 372 с.
11. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
12. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 320 с.
13. Малоземов В.Н. Об отклонении ломаных // Вестник ЛГУ. Серия матем. и мех. 1966. №7. Вып.2. С.150-153.
14. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979, 256 с.
15. Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Укр. матем. журнал. 1986. Т.38. №5. С.643-645.
16. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Доклады АН РТ. 2010. Т.53. №6. С.415-419.
Мирпоччоев Фуркат Маруфджонович (furkat79@mail.ru), аспирант, кафедра информатики и вычислительной математики, Худжандский государственный университет им. ак. Б. Гафурова, Республика Таджикистан.
Approximation of smooth plane curves and their application in the problem of approximate calculation of curvilinear integrals
of first kind
F. M. Mirpochchoev
Abstract. In this paper was found an accurate error of smooth curves, which parametrical equations are continues either differentiated at once of functions. The achieved results can be applied in the problems of approximate of curvilinear integrals of first kind for the classes of functions and for the classes of smallsmoothness curves, given by modulus of continuity.
Keywords: curvilinear integral of first kind, error, upper boundary, sophisticated type of quadrature formula, modulus of continuity.
Мirpochchoev Furkat (furkat79@mail.ru), postgraduate student , department of informatics and computational mathematics, B. Gafurov State University of Khujand, Republic of Tajikistan, Khujand.
Поступила 11.01.2013
