CC BY
12
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №3-4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.А.Шабозова
ПРИЛОЖЕНИЕ АППРОКСИМАЦИИ КРИВЫХ К ПРИБЛИЖЕННОМУ ВЫЧИСЛЕНИЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 09.11.2016 г.)
В работе используются результаты аппроксимации кривых ломаными для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, вычисляется оценка погрешности аналога классической квадратурной формулы прямоугольников для приближенного вычисления криволинейных интегралов.
Ключевые слова: кривая, оценка погрешности, квадратурная формула прямоугольника, криволинейный интеграл.
1. Пусть для приближенного вычисле
\f (M )
где Г - некоторая спрямляемая кривая функция вдоль кривой Г, применена
-------рода
> А. ГЛ
квадратурная формула
f (M)dt = JAJ (M) + Rn (f; Г).
Здесь Mk e Г - пр(
£
произв
определена и непрерывна
(1)
произвольные числовые коэффициенты,
извольные тс
Яп (/, Г) := Ям(f; Г, Лъ,Мк) - погрешность формулы (1) на функцию ((М). Следуя монографии [1], сумму Лkf (Мк), использующую линейные комбинации N + 1 значений подынтегральной
I=0
функции, будем называть квадратурной суммой, а векторы Л = {Л1 и М = {М|} -соответственно коэффициентами и узлами квадратурной формулы (1). Предположим, что на кривой
Г установлено положительное направление и положение точки М^^^.-.^^еГ может быть
определено длиной дуги / — АР, отсчитываемой от начальной точки А. В этом случае, как известно, кривая Г параметрически выразится уравнениями
X = щ (Г), / = 1, т, 0 < Г < L, (2)
Адрес для корреспонденции: Шабозова Адолат Аъзамовна. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: shabozova91@mail.ru
а функция {(м) — /(х1,х2,...хт), заданная в точках кривой Г, сведётся к сложной функции f{(pl{t),(p2{t),...,(pm{t)) от переменной I. Разобьём отрезок [0,Л] на N частичных отрезков
[¿к 1, 1к](к = 1, Ы) точками
0 = /(1 </,<••.</, ,</, = /.
и вычислим значения f{(pí{t),(p2{t),...,(pm{tУ) в точках разбиения.
Поскольку в этом случае Мк = М((р] (1к ), (р2(1к ),. ..,(рш(1к )), то квадратурная формула (1)
приобретает вид:
I
= С* X <р2 <рт))+(/;г).
/(•=1
(3)
Если ЭД? - некоторый класс функций {/((р] (/ ), (р-,(/ ), • • •, (рш(/))}, интегрируемых на отрезке [0, Л]. то для каждой функции этого класса остаток формулы (3) имеет вполне определённое числовое
значение
К (/; Г) = •, ■
_.КГ°раХ коэффиЦиентов А = {Ак }кЫ=0 и Узло формулы (3) на классах функций М яв-----
Ям (М, Г) = sup{\RN (/; Г)|:.
При фиксированных векторах коэффициентов А = {Ак }=0 и узлов Т = {к }к=0 наилучшей оценкой остатка квадратурной формулы (3) на классах функций М является верхняя грань
;Г ) |: / е М}. (4)
Очевидно, что верхняя грань (4) зависит от выбора кривой Г, от вектора коэффициентов А = {Ак }Ы=0 и узлов 5 = }Ы=о, то есть \У )
>С> \\
Ям (М, Г ) = Ям (М; Г; А, Т).
ту/ •
Пусть Nь - некоторый класс кривых {Г} , длина каждой из которых равна L. Тогда, кроме величины (2), требуется най
Г(Ш, ) = sup{RN (М, Г): Г е Ж^. (5)
Здесь вычислим величину (5) для некоторых конкретных квадратурных формул, пользуясь известными точными оценками приближения классов кривых интерполяционными ломаными из нашей работы [2]. С этой целью конкретизируем класс функций М и кривых NL.
Обозначим через Нб[а,Ь] множество функций ще С [а, Ь] для любых двух точек г', г" е [а, Ь] , удовлетворяющих условию
\щ(Г) -щ(Г ')\<с(\Г - ¿"|),
где б (г) - заданный на отрезке [а, Ь] модуль непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая и полуаддитивная на [а,Ь] функция, в нуле равная нулю. Аналогичным образом через W(1)Нб[а,Ь] обозначим класс функций ще С(1)[а, Ь], у которых
Ще Нб[а, Ь].
Л.
Через ическими
Н®1,с2,...,ст := н®1,са2,...,ст [0, L] обозначим класс кривых Г, определённых параметрическ уравнениями (2), и таких, у которых е Нб [0, L], а через Ж(1)Нсб'.'бпг := Ж(1)Нос ''бСт [0, L] - к.
класс
гладких параметрически заданных кривых (2), у которых Щ еW(1)Нб [0, Ь]. В случае
С0^) = С02{1) = ...= С0т^) = С0{1), 0<г<1 со W(1)н бт . /
Пусть Ад,: 0 = </,<...<! ,: , <tN= про
вписанная в кривую Г ломаная
ответствующие классы о
Параметрические уравнения звена
= 1, т; I , < г < I
В [2] для точной оценки величины погрешност :ающей при приближении кривых,
принадлежащих классам Н 1 т и
W V Н , п Полученные в [2] результаты обеспечивают для класса Мр -функций {((\(0,
Яб,т
и
[0, Ь]. Пусть Г N -
Г, , стягиваюшей дугу t = /'./'. , , имеют вид:
(6)
погрешности
определённ
(5) ДJ
на мн
чены неулучшаемые оценки. т возможность точно оценить величину (0<t<L), заданных и
из классов Н
Ж (1)Н б1'.'бт и для любых
двух точек
, г" е [0, Ь] удовлетворяющих условию
|яний!
(р) - / т<Р(р, Q),
где р( Р, Q) одно из следующ
V 4
п V Р
1) р(Р, Q) = 1йЦщ (О -Щг (ОГ} , 1 < Р <
2) Р2(Р,0 = та**<-1щ(О-Щ,(О I.
Вычислим верхнюю грань погрешности (5) для квадратурной формулы прямоугольников, имеющую вид:
и
^¿/(«(^•■■.М^КсЛй
к=1
2 п
2Ж
Имеет место следующая
Теорема 1. Для точной оценки погрешности формулы
коэффициентов А0 = | А0 : =
, N
к=1
гр0
и узлов 1 := =
М (/ = 1,2) и кривых Нсправедливы равенства
(7)
фиксированными векторами
(2к -1) L
>4
классах
RN(М,Н^ ; А0,Т0) = 2N
L/(2 N )
-? на кла<
5'
(8)
о?(/)[ Л, 1 <р <4 Д^,И"1....."";А»,Г^^ах ( (9)
Доказательство. Докажем, например, равенства (8). Ради простоты вычислений и изложений, далее введём обозначение h = L / N. Тогда формула (7) запишется в
Отсюда для щ^эЦпноста^^^ратурной^^^^,
ютва (11
RN (/; Г).
(10) получаем
И И Л
(рх(кИ--),..., (рт(кИ--)\ =
(10)
(к к "
Л.
(11)
Оценивая правую часть равенства (11) для произвольной функции ( е М и кривой Г с И"1'", сразу получаем
\яп(/;Г; А0,Т0)| <
N кк
<
Ё | -ф\(кк-к2)|р + ••• + (?)(кк-<
к=1(к-
(к-1) к
N I* I 1 1
<1 | рсР(\г-(I--)Н\) + ...+с>р(\г-(I--)Н\)Л-
(I-1) h
N 2 т
kh
| (ЕС ((I -.)* - № + I {/2бб (г - (I - -
1=! | (И)* \ ,=1 ^ "
1 У ,=1
(I-т)h '
1 - ^ЩЛ
N 0.
1-Р */2
:ЕЫ|2бб, й +\Г£сб?(г)
1=1 [ h/2 I г=1 J 0 I г=1
« */2 ( т Л 1/Р Ь/(2N)
бР (г)[ йг = 2Л
I=1 о I , =1
откуда сразу следует, что
Г т ] 1/р
2Е|]Еб,Р (г)[ ¿г = 2N | |£б,р (г)| ¿г,
Л*
^б?(г)| йг.
Яы(М ; Нб,...,бт; Л0
0, Г0) < 2N
(12)
Легко проверить, что для кривой Г 0
где
1 , т , определённой параметрическим
,,, л
I *
I с, (I* - * - г), (I -1)* < ^ < (I -1)*+*/2, |сг(г-1* + *), (I-1)* + */2<I*, , = Г^т; I = 1,
ми уравнениями
щ0(г
и функция
. V , ^_ _
о((10(г ),■••,Щ°т(г)) = РШС (II* - * - г \), , = 1, т; (I-1)* < 5 < (I-1)* + */2,
I =
:> /Ч ^ 2
/7 п /7 выполняются соотношения (щ, (кИ - —),..., (рт (кИ - —)) = О,
I = 1, N, неравенство что
в равенство. В самом деле, простые вычисления показывают,
2 _ , . ------------во (12) обращается в
т
.....= ¡/о .,№))<*
N кЬ
(к-1)к+к
(к-1)к
Ё^ \ Ё (кк~ - т + | Ё (г - кк +^
(к -1)к+ 2
L/(2N) Г „ Ч 1/Р
1 ,
0 I ¿=1
М ¿=1
а потому
(ШР1, И ; А«, т0) >
2N | Ё (г)| ^,
„(Л; Г°; Ao, т0)= ? ^
ж I {£<(')| л.
Требуемое равенство (8) получаем из сопоставления оценки сверху (12) и оц завершаем доказательство теоремы 1.
(13
Из доказанной теоремы при сол (?) = ... = со Следствие 1. В условиях теоремы 1 спр>
^ (МЦИ ".....^
^ (м^2; И ; А«,
чРА:
классах функций Мр и кривых И
Теорема 2. Для оценки погрег
(14)
ки снизу (14), чем и
< р < 4,
| ю(г)Ж.
ины (5) для квадратурной формулы
(15)
еорема 2. Для оценки погрешности квадратурной формулы (15) с фиксированными векторами коэффициентов А :={Ак, А^* = L / N^1« и узлов Т :={гк, г* = ^ / N}£=« на классах
функций М , / = 1,2
И®l'■■■'®»! Иft>^'■■■'"'я справедливы оценки
RN(м (1)И"1'■■■'"'я;А*,т*) <
<
Ь
ЬШ /с,(г)й
У
,=1 V 0
1/р
, 1 < р <
(16)
RN(М ;Ж(1)Нб1,...,бт;Л*, Т*) < Ь/тахб(г)й
/1 1с,с1-м
4 1<, <т
(г )йг,
(17)
где б (г)(, = 1, т) - произвольные выпуклые на [0, Ь] модули непрерывности.
Доказательство. Из результатов работы [2] следует, что для произвольной
определённой на кривой ГеЖ(1)Нб''",сст и ломаной Г,
Рк = ¡'¡((р^кИ),..(рт(кК)\к = 0, Л'',И = Ь / Л' выполняются неравенс
(ует, что для произвольной f е Мр, Г, вписанной в Г с вершинами неравенства
р(Г, Г N) < (гк+! - г )(г - г! )*
ства
где г, = I*, I = 0, N * = Ь / N.
(18) (19)
Но так как т^ (гk+1 -г)(г-гк)Л"2 =-, то из (18) и (19) сл
"■(РР^ЛР
ледует, что
р(г,г.,.-,
ценивая по абсолютной величине погрешность квадратурной формулы (15)
] [Д^1
эльной f е М
, 1 < р < да,
, ГN ) <- I тахб, (г)йг.
4 • 1<,<т
предст
например, для произволь
(Фи
любой ГеЖ(1) Н 6
имеем:
^Cf,Г) / тахЩ(г)-щ(I*)йг
• - * <т
I=1(k-1)*
И
N kh Г i L/N i
- £ í 11 Í max®, (r)dr f dt =
k=i(A)h l4 0
L/N l L/N
(Nh / 4) í max®, (t)dt = - í max®, (t)dt, "x 4 í
16). Teopei
откуда и вытекает (15). Аналогично, с учётом (20) получаем оценку (16). Теорема 2 доказана.
Следствие 2. В условиях теоремы 2
' 4 ОТ
Rn (M, W(1) H ®,m; A*, T *) -
В завершении работы отметим, что вопросы вычисления криволинейных интегралов ранее рассмотрены в работах [3-5].
Rn (OT^W'H "; A*, T *) -- y®«)dt.
вычисления криволинейных интеграл
Поступило 16.11.2016 г.
оЗ
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М., Квадратурные формулы.
- М.: Наук а, 1988, 256 с.
2. Шабозов М.Ш., Шабозова А.А. Приближение кривых ломаными. - Вестн. С.-Петерб. ун-та, сер 1, 2013, вып.2, с.68-76.
3. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М.
Оптимизш ия приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, , 415-419.
4. Шабозов М.Ш., О наилучших квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов на некоторых классах функций и кривых. - Матем.заметки, 2014, т. 96, вып.4, с.637-640.
5. Шабозов М.Ш., Тухлиев К., Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых, задаваемых модулями
прерывности . - Вестн. С.-Петерб. ун-та, 2015, сер 1, вып.4, с. 563-575.
непрерывности. - Вестн. С.-Петерб. ун-
А.А.Шабозова
ТАДБИЦИ НАЗДИККУНИИ ХАТ^ОИ КА^ БА ^ИСОБКУНИИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛХРИ КА^ХАТТАИ ^ИНСИ ЯКУМ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола натичадои наздиккунии хатдои кач ба воситаи хатдои шикаста барои баъзе синфи функсиядои ва синфи хатдои кач дангоми бадодидии хатогии намунаи формулаи классикии росткунчаи дисобкунии такрибии интегралдои качхатта истифода бурда шудааст.
KmuMa^ou Kmudu: xamu 6ayoduyuu хатогu, tftopMymu Keadpamypuu pocmKy^a, интеграn%ои кацхатта.
A.A.Shabozova
APPLICATION OF CURVE-FITTING TO THE APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND
Tajik National University
i4:
In this paper are used the results of approximation of curves by broken line for some classes of functions and classes of spatial curves, the estimation of the error of the analogue of the classical quadrature
gue of the classical quadra formula of rectangular for the approximate calculation of the curvilinear integrals are calculated. Key words: curve, error estimate, quadrature formula of rectangular, curvilinear integral.
ILl 1У/ / Cl^tL/f/liitil.// , Isll! yiliri^LIt IIIIZ.V! Ltl.
^ л- V w
A ¿V V
