О внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Андреева Ирина Юрьевна, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Урал-ЭНИН, e-mail: i.y.andreeva@urfu.ru.

Andreeva Irina Yur'evna, Ural Federal University, Ekaterinburg, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail: i.y.andreeva@urfu.ru.

Сесекин Александр Николаевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Россия, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики УралЭНИН; Институт математики и механики имени Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, ведущий научный сотрудник, e-mail: a.n.sesekin@urfu.ru

Sesekin Aleksandr Nikolaevich, Ural Federal University, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, the Head of the Applied Mathematics Department, e-mail: a.n.sesekin@urfu.ru

УДК 517.958

О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА

© А.П. Антонова, А.В. Фаминский

Ключевые слова: уравнение Захарова-Кузнецова; задача Коши; внутренняя регулярность решений.

Рассматривается вопрос о внутренней регулярности слабых решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в случае двух пространственных переменных Устанавливается результат о существовании у этих решений производных, непрерывных в нормах Гельдера.

В работе исследуются вопросы внутренней регулярности слабых решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова на плоскости

и + пххх + пХуу + ппх = / ж, у) (1)

(и = и(£, ж, у)) в слое Пу = (0, Т) х М2 (Т > 0 - произвольно) с начальным условием

п|г=0 = ио(ж,у). (2)

Уравнение (1) было выведено в работе [1] для описания распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова-Кузнецова. Оно является одним из вариантов обобщения уравнения Кортевега-де Фриза пг + пххх + ппх = 0 на случай некольких пространственных переменных.

В работе [2] была установлена глобальная корректность задачи (1), (2) при начальной функции из Нт(М2) и правой части из £1(0, Т; Нт(М2)) при натуральных т в некотором специальном классе функций Кт(0, Т) С С([0, Т]; Нт(М2)) . Для т = 1 этот класс описывается следующим образом:

К1(0,Т) = {и € С([0, Т]; Н 1(М2)), Пхх,Пху,Пуу € £^(Мх; ^((0,Т) х М)), и € £з(0,Т; ^ (М2)), и € ¿2(Мх; ^((0,Т) х М))}.

La =

В работах [3, 4] при изучении задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова было установлено свойство повышения внутренней гладкости обобщенных решений в зависимости от скорости убывания нерегулярной начальной функции uo , правой части f и ее производных при x ^ (ранее для уравнения Кортевега-де Фриза подобное свойство было получено в статьях [5, 6]). В частности, в статье [4] решения рассматривались при начальной функции из функциональных пространств La и Hl'a , где для а ^ 0

2) = { Ф € L2(R2) : (1+ х)аф € L2(M+)}, R+ = {(x,y) : x > 0},

Hi,a = h 1,a(R2) = { ф € H 1(R2) : ф, фх, фу € L^.

Из результатов статей [2] и [4] вытекает следующая теорема (символом [а] обозначена целая часть числа а ^ 0 , dv = д^1 д^2 для мультииндекса v = (v1, v2) , |v | = v1 + v2 ).

Теорема 1. Пусть u0 € H1,a , f € (0,T ; H1,a) для некоторого а > 3/4 такого, что число (2а + 1/2) — нецелое, dvf € Lœ(0, T; La~|v|/2+1/2) при 2 ^ |v| ^ 2а + 1, натуральное m = [2а + 1/2] , натуральное v0 = [2а + 1] . Тогда существует непрерывное в Пу решение u(t,x,y) задачи (1), (2) из пространства K1(0,T) П Lœ(0,T; H1,a) (оно единственно в пространстве K1 (0,T) ). Это 'решение обладает в Пу обобщенными производными дvu до порядка |v| ^ v0 и непрерывными производными dvu до порядка |v| ^ m — 1 . При этом для любых ô € (0, T) и x0 € R

(x — x0 + 1)а-И/2+1/2дvu € L^(ô,T; L2((x0, +то) x R)), 2 < |v| < V0; (3)

sup |dvu(t,x,y)| < то, 0 < |v| < m — 1. (4)

te[s,T ],x^x0

В настоящей работе получены оценки для непрерывных производных dvu в нормах Гельдера.

Теорема 2. Пусть выполнены условия Теоремы 1. Тогда решение u(t, x,y) задачи (1), (2) из пространства K1(0,T) обладает следующим свойством: если |v| = m — 1, е = = 2а — m + 1/2 , то для любых ô € (0, T), x0 € R, x1, x2 ^ x0 , y1, y2 € R, t € [ô, T] и a € (0, е)

|dvu(t, x1, У1 ) — dvu(t,x2,У2)I < c(|x1 — x2|£-CT + |У1 — У2|£-^; (5)

а если |v| = m — 1 — j , j = 0,1, 2 , е = 2а — m — 1/2 + j , то для любых ô € (0, T), x0 € R, x ^ x0 , y € R, t, t € [ô, T] и a € (0, е)

|дvu(t, x,y) — дvu(t, x,y)| < c|t — t|(£-ct)/3, (6)

где константы c зависят от x0 , ô, a, а .

Доказательство. Используем свойства фундаментального решения оператора дt + дХхх + дХУУ , которое, как нетрудно видеть, задается формулой

где

G(t,x,y)= ед^е'«3«1®] . W s(tx.,_/.)

S(x,y) = F-1 U«3«1 «22^ (x, y),

в - функция Хевисайда, 5-1 - обратное преобразование Фурье. Свойства функции Б были изучены в работах [2, 4]. Доказано, что функция Б бесконечно дифференцируема и для любых жо € М, целого т ^ 0 и мультииндекса V

(1 + МЛ^< с(т, IV|,жо)е-Со(х-Жо)3/2 Уж ^ жо, Уу € М, (7)

а для любых г € [0, 2/3] и целого п € [0, 2]

|д£5(ж,у)| + |д^(ж,у)| < с(г)(1 + |у|)-г(1 + |ж|)г+п/2-1/4 Уж < 0, Уу € М. (8)

Обозначим через п(ж) срезающую функцию, а именно, пусть п - бесконечно дифференцируемая неубывающая функция такая, что п(ж) = 0 при ж ^ 0, п(ж) = 1 при ж ^ 1, п(ж)+ п(1 — ж) = 1. Условимся, в случае интегрирования по всей прямой М и всей плоскости М2 пределы интегрирования опускать.

Пусть ж0 € М, 5 € (0, Т) . Введем вспомогательные функции = п(2£/5 — 1) , ^(ж) = = п(ж—ж0+2). Положим "(£, ж, у) = дии(£, ж, у^^^ж), где | = т — 1 ^ 1, тогда "(£, ж, у) является решением (вообще говоря, в смысле обобщенных функций) в слое Пу линейной задачи Коши

V + V ххх + "хуу -

Ы+М = М

+ 3д^ их^^" + ди и^'" + д^ иуу = Р (£, ж, у), "|г=0 = 0.

Используя фундаментальное решение С запишем функцию V в виде

ж, у) = у0 JJ с(* — т, ж—е, у — с)р(т, е, с) «¿т. (9)

Оценим модуль непрерывности по ж (модуль непрерывности по у оценивается полностью аналогично). Пусть 5 ^ £ ^ Т, ж0 ^ ж1 < ж2 ^ ж1 + 1. Имеем:

д^ и(£, ж2, у) — д^ и(£, ж1, у) = "(£, ж2, у) — "(£, ж1, у) =

(с(£—т, ж2—е, у — с) — с(£ — т, ж1 — е, у — с)) р (т, е, с) «¿т.

Для оценки интеграла, содержащего функцию / , разобьем область интегрирования по е на три части: (ж0 — 2, ж1 — 1), (ж1 — 1, ж1 + К) , (ж1 + К, для некоторого К > 0 . Используя оценку (7) (так как ж1 — е ^ 1), находим, что

гг 1-х 1-1 Г

/ / /(С(* — т,ж2 — е,у — 0 — С(£ — т,ж1 — е,у — О)д/р^ДОт <

./¿/2 ./ хо-2 1

1 г х1 -1

< (ж2 — ж!)/ / / / |Сх(£ — т,ж1 + 0(ж2 — ж1) — е,у — С)д^/1 ЖДОт^ <

Jо ./¿/2 /хо-2 ./

Л г/• е-со(г-г) 1 д /1

< с(ж2 — ж1) ---— -^¿С^е^т < С1(ж2 — ж1).

Н/2 3хо-2 3 — т) (1 + К — у|)

Далее, т. к. а — |/2 + 1/2 = г/2 + 3/4, то в силу (8) (г = 1/2 + с/2 , п = 0, с € € (0, ш1п(в, 1/3)))

/•г г+ж /•

/ / /(С(* — т,ж2 — е,у — 0 — С(£ — т,ж1 — е,у — О)д/р^ДОт ^ ./г/2 .7 х1+д.У

< / (1 +|с у3+ „2 2 (1+е—ж1)1+2 д/к^т <

■)5/2.)х1+^ (£ — т) 4 + 6

/ /•г 3 \ 1/2

< С1(1 + К)-2+2 вир П /(1+ е — ж0)2+£ (д/)2^ < С2(1 + К)-2+2.

\7х0 ■) )

г

Для дальнейшей оценки заметим, что

гЬ ГХ1+Я. г

/ / / (с(* - т, х2 - е, у - с) - - т, Ж1 - е, у - с)) д*/р^ ^дет

./¿/2./ Х1 — 1 J

1 ^ Г Х1+Д

= (Ж2 - Ж1) / / / - Т,Ж1 + в(Ж2 - Ж1) - е,у - С)д*/р /о ./5/2 /

"1 Н /•х1+Д

Х1 -1

ПГ /-Х1+Л /•

/ / - т, Ж1+в(ж2 - Ж1) - е, у - с)д*/р «^в

/2 Х1-1

Здесь IV| + 1 = т ^ v0 , тогда, используя (8) (г = 1/2 + а/2 , п = 0 , а € (0, шш(в, 1/3))), находим, что поскольку а - (IV| + 1)/2 + 1/2 = в/2 + 1/4

ПЬ /-Х1+Д /•

/ / - т, Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е, у - С)д*/р ЖДОтйв

/2 Х1-1

< с /Г /Х1+й / (1 +|с - у3+7-2 (2+е - Ж1)1+2 /I «¿т <

Н/2.) Х1-1 J (£ - т) 4 + 6

1 / /•/• 1 \ 1/2 1 < С1 (1 + Л) 2-2+2 вир / /(2 + е - жо)2 + (д^/)2^ < С2(1 + Л) 2-2+2

¿/2<4<Т Ч/Х0-1./ /

¿/2<ГСГ Ч./Х0-1.

и аналогично /• Г г

/ С(* - т, Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е, у - С/р

/о ./¿/2 ■)

Х1+Д Х1 - 1

<

< ЛГ /(1 + |С у3+: 2 вир (2 + в)4+2|д-/(¿,Х1 + в,СМ^т <

П/2 3 (£ - т) 4 + 6 0€[-1,Д]

< С1 вир / /(1 + К - у|) 2 2 X

¿/2<ГСГ./-1 -1

X ((2 + в)1+2/(¿,Ж1 + в,С)| + |((2 + в)1+2д^/(¿,Ж1 + в,С))в|)¿(¿в <

х 1 £ | с

< С2(1 + Л) 2- 2 + 2 .

Объединяя полученные оценки находим, что

С(* - т, Х2 - е, у - С) - £(* - т, Ж1 - е, у - С)) д-/р ^ «¿т

<

< с((1 + Л)-2+2 + (Ж2 - Ж1)(1 + Л) 2-£ + 2) ^ С1(Ж2 - Ж1)£-СТ,

если положить 1 + К = (ж2 - ж1)-2 .

Так как р' = 0 при £ € [^/2,^] и в силу (3) свойства функции дии при £ € (¿/2,Т) ж > жо - 2 аналогичны свойствам функции д^ /, то интеграл

(С(* - т, ж2 - е, у - с) - - т, Ж1 - е, у - с))д'ир^ ¿дат

оценивается аналогично.

Далее, оценим интегралы, содержащие нелинейные члены. Будем использовать то же разбиение области интегрирования по е , что и раньше. Из оценки (7) находим, что

/•г /*х1 1 г

/ / / (С(* — т, ж2 — е, у — С) — С(£ — т, ж1 — е, у — С))д^ идир^ ¿дат

-/0 Ухо-2 J

Шх1 — 1 /*

/ Сх(£ — т, ж1 + 0(ж2 — ж1) — е, у — С)д^идигр ^ ¿(^т^

- 2 -о-2 •/

/• г /•/• е-со(г-т)-1

^ С1(ж2 — ж1) —---—|д^1 ид^2иг| «¿т ^ с2(ж2 — ж1).

Л Ао— т)

Используя свойство (3) (заметим, что |^1| ^ , |^2| + 1 ^ ) и оценку (8) ( г = 0 , п = 0 ) находим, что

/•г г+ж г

/ / /(С(* — т,ж2 — е,у — 0 — С(£ — т,ж1 — е,у — О)д^д^р^^т ^

./¿/2 ./х1+Д J

(■г С + — N - 1

< С1 I I I (1 + е ж2) 4 |д^ ид^2и?| «¿т < сз(1 + К)-1. ./г^Л^+яУ (£ — т) з

Для оставшегося интеграла сначала рассмотрим случай 0 < е ^ 4/5. Разобъем в нем область интегрирования по т на две части. Для в € (0, £ — 5/2) используя оценку (8) при г = 0 , п = 1 и свойство (3), находим что

/•г-в /"х1+л г

/ / / (С(* — т, ж2 — е, у — С) — С(£ — т, ж1 — е, у — С)) д^ ид^и?р ^ «¿т

./¿/2 х1 — 1 J

Пг-в /-х1+д г

/ / Сх(£ — т, ж1 + 0(ж2 — ж1) — е, у — С)д^ид^2и?р ¿(^т^

/2 х1-1

/•г-в ГГ 1 1

^ С1(ж2 — ж1) -^(2 + е — ж1) 4 |д^ид^2иг| «¿т ^ с2(ж2 — ж1)в 12,

./г/2 ./хо-^ (£ — т) 12

и, наконец, используя оценку (8) для г = 0, п = 0, находим, что

г г гх1+д г

/ / /(С(* — т,ж2 — е,у — 0 — С(£ — т,ж1 — е,у — О)д^ид^ЧР^ДОт <

г- в х1 - 1

< с / Г [-^ |д^1 ид^2 иг | «¿т < С1в1.

л-Лхо-у (£ — т) з

Из полученных оценок следует, что при 0 < е ^ 4/5

С(£ — т,ж2 — е,у — С) — С(£ — т,ж1 — е,у — С )) д ^ ид и? р^е^т

1 1 1) 4

<

^ с( (1 + К) 4 + (ж2 — ж1)в 12 + в з) ^ с(ж2 — ж1) 5 ^ с(ж2 — ж1)£

если положить в = (ж2 — ж1)12/5 , 1 + К = (ж2 — ж1) 16/5 .

Пусть теперь 4/5 < е < 1. Заметим, что в данном случае поскольку 2а — т + 1/2

= в > 4/5 , то т + 1 ^ v0 и тогда | 1 + 2 ^ v0 . Имеем:

Г Г ГХ1+И г

/ / / (С(* - т, Ж2 - е, у - С) - - т, Ж1 - е, у - С)) д-1 ид-2и?р ¿дет

./¿/2 ./ Х1 — 1 J

= (Ж2 - Ж1) / / / - т,Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е,у - С)д^1 ид-2и? о ¿/2

Х1+Д Х1 - 1

р ¿(¿т^в-

ПГ /-Х1+Д /•

/ / - т,Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е,у - С)(д^ид-2и? + д-1 ид-2ик

/2 Х1-1

Используя (3) и (8) (г = 0, п = 0) находим, что

ПГ /• Х1+Д г

/ / - т,Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е,у - С)(д^1 ид-2и? + д-1 ид-2ик) ¿(¿е^в

/2 Х1-1

<

гГ г+ж

^ с

/¿/^Х0-У (£ - т) 3

((д-1 и)2 + (д-1 и?)2 + (д-2и?)2 + (д-2ик)2)¿дет < С1

/ / / - т, Ж1 + в(ж2 - Ж1) - е, у - С)д-1 ид-2и? о ¿/2

Х1+Д Х1 - 1

¿(^¿в

<

^ с вир / ¿/2<Г<Т./Хо-1.

I(|д-1 ид-2и?| + |д-1 и?д-2и?| + |д-1 ид-2ик|) ¿(¿е < С1.

В итоге получаем, что если положить 1 + Л = (ж2 - Ж1) 4 , то в случае в > 4/5

- т, Ж2 - е, у - С) - - т, Ж1 - е, у - С))д-1 ид-2и?р^^С^е^т

<

^ с((Ж2 - Ж1) + (1 + Л) 4) ^ С1(Ж2 - Ж1).

Наконец, поскольку вирр ф' С [жо - 2, жо - 1] , интегрируя по частям и используя оценку (7) находим, что

/•Г Г+<Х !■

/ / / (С(* - т, ж2 - е, у - С) - - т, ж1 - е, у - С)) (3д-икф'+

¿/2 Х0 2

+ 3д-и?ф'' + д-иф''' + д-иссф') ¿дет

ПГ ГХо-1 /•

/ / С(£ - т, ж1 + в(ж2 - ж1) - е, у - С)(3д-и^ф'+

/2 Х0 2

/о ./¿/2./ Х0-2

+ 3д-и?ф'' + д-иф''' + д-иссф') ¿дет

<

/• Г /• Х0-1 /•

< (ж2 - ж1) / / / (3(С?ф')к - 3(С?ф'')? + ф''' + С?ссф')д-и ¿дет

¿/2 Х0-2

<

Г Х0-1

^ С1 (ж2 - ж1) / / /

¿/2 Х0 2

е

-со(г-т ) 2

¿/2./ Х0-2У (£ - т) 3 (1 + - у|)

|д-и| ¿(^¿т ^ с2(ж2 - ж1).

Объединяя полученные оценки всех слагаемых из правой части равенства (9), выводим неравенство (5).

1

и

Оценка модуля непрерывности по t вытекает из результатов работы [7] и уже полученных оценок модуля непрерывности по пространственным переменным.

Введем последовательности параллелепипедов Qni = T] х [xo + n, жо + n + 1] х х [—1 - 1,1 + 1] и Qni = X [жо + n - 1/2, жо + n + 3/2] х [— - 3/2, l + 3/2] где n, l = 0,1,... Пусть сначала j = 0, то есть |v| = m — 1, e = 2a — |v| — 1/2 = 2a — m + 1/2 e (0,1). Положим w(t, ж, y) = u(t, ж, y) . Из самого уравнения (1) следует, что

wt = —Wxxx — Wxyy — дv (u2/2) x + дvf.

Из уже доказанной оценки (5) следует, что |w(t^2,y2) — w(t,ж1,у1 )| ^ с(|жх — ж2|£-ст + +|yi — У2|£-ст ) при (t^byi), (t, ж2, У2) e Q^i -В силу (4) |N|Wq/j < const, |dv(u2/2)||L (q, ) ^ const. Кроме того, ||dvf г)) ^ const. В обозначениях статьи

[7] A(3,o) = A(i,2) = w , A(i,o) = дv(u2/2), A(o,o) = dvf , w^i — ж2|, |yi — y2|) = |ж1 — ж2|£-ст + + |yi — y2|£-CT - Тогда в силу теоремы 1 и замечания 5 из [7] при (t, ж, y), (t + т, ж, y) e Qni

|w(t + т, ж, y) — w(t, ж, y)| ^ c inf (h£-CT + тЛ,£-ст-3 + тЛ-^

o<h<i/2

и положив h = тi/3 , получаем требуемую оценку. Пусть теперь j = 1, |v | = m — 2 . Тогда в каждом прямоугольнике Q^i функция w является обобщенным решением уравнения

wt = —Wxxx — Wxyy — dv (uux) + dv f, (10)

кроме того, уже доказано, что

|wx(t + т, ж, y) — wx(t, ж, y) | + |wy(t + т, ж, y) — wy(t, ж, y) | ^ CT^^ (11)

при (t + т, ж, y), (t,ж,y) e Qn . В силу (4) ||дv (uux)||Lœ(Q, ;) ^ const. В обозначениях [7] возьмем A(2,o) = A(o,2) = wx , A(o,o) = —dv (uux) + dvf . Тогда в силу теоремы 1 и замечаний 2, 4, 5 из [7] при (t, ж, y), (t + т, ж, y) e Qni

|w(t + т,ж,y) — w(t,ж,y)| ^ inf (h-т+ тh£-CT-3 + т).

o<h<i/2

Положив h = тi/3 получим оценку (6) для данного значения j . Пусть теперь j = 2 , |v| = = m — 3 . Тогда в каждом прямоугольнике Q'ni функция w является обобщенным решением уравнения (10) и справедливо неравенство (11). В обозначениях [7] возьмем A(i,o) = wxx , A(o,i) = wxy , A(o,o) = —dv (uux) + дvf . Тогда полностью аналогично предыдущему случаю выводим оценку (6) и при j = 2 . Теорема доказана.

Замечание1. Полученные результаты аналогичны результатам работ [5, 6] для задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза за исключением введения константы а . В работе [8] такие же результаты о внутренней регулярности решений задачи (1), (2) установлены в случае начальной функции uo e L2 , но для рассмотренных там классов решений неизвестны результаты о единственности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах // Журн. экспер. теорет. физ. 1974. Т. 66. № 2. С. 594-597.

2. Фаминский А.В. Задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 6. С. 1070-1081.

3. Levandosky J.L. Smoothing properties of nonlinear dispersive equations in two spatial dimensions // J. Differential Equ. 2001. V. 175. № 2. P. 275-352.

4. Faminskii A.V., Antonova A.P. On internal regularity of solutions to the initial value problem for the Zakharov-Kuznetsov equation // Progress in Partial Differential Equations, M. Reissig, M. Ruzhansky (eds.), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 2013. V. 44. P. 53-74.

5. Кружков С.Н., Фаминский А.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза // Матем. сборник. 1983. Т. 120. № 3. С. 396-425.

6. Фаминский А.В. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1988. Т. 13. С. 56-105.

7. Кружков С.Н., Фаминский А.В. О свойствах непрерывности решений некоторых классов нестационарных уравнений // Вестник Моск. ун-та, сер. 1, Математика, Механика. 1983. Т. 3. С. 29-34.

8. Антонова А.В., Фаминский А.В. О регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в нормах Гельдера // Матем. заметки. 2015. Т. 97. Вып. 1. С. 13-22.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках реализации государственного задания министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности (код проекта 1.333.2014/К).

Поступила в редакцию 11 июня 2015 г.

Antonova A.P., Faminskii A.V. ON INTERNAL REGULARITY OF SOLUTIONS TO THE INITIAL VALUE PROBLEM FOR THE ZAKHAROV-KUZNETSOV EQUATION

Internal regularity of weak solutions to the initial value problem for the Zakharov-Kuznetsov equation in the case of two spatial variables is considered. Results on existence of derivatives continuous in Holder norms are established.

Key words: Zakharov-Kuznetsov equation; initial value problem; internal regularity of solutions.

Антонова Анастасия Петровна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: antonova-nastya@mail.ru

Antonova Anastasiya Petrovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: antonova-nastya@mail.ru

Фаминский Андрей Вадимович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: afaminskii@sci.pfu.edu.ru

Faminskii Andrei Vadimovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: afaminskii@sci.pfu.edu.ru

УДК 621.311+519.642

ОБ УПРАВЛЕНИИ ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРОЙ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЭЭС РОССИИ

© А.С. Апарцин, Е.В. Маркова, И.В. Сидлер, В.В. Труфанов

Ключевые слова:интегральная модель; оптимизация; электроэнергетика. Одной из актуальных проблем современной электроэнергетики является старение генерирующего оборудования, в связи с этим увеличиваются затраты на поддержание его в рабочем состоянии. Настоящая работа посвящена поиску и исследованию оптимальных стратегий замены устаревающего генерирующего оборудования в интегральной модели развития электроэнергетической системы (ЭЭС) России.