CC BY
28
УДК 517.91
ОБ ОСЦИЛЛЯЦИЯХ, ПОРОЖДАЕМЫХ ОПЕРАТОРОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ДИСКРЕТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЯХ 14)
Е.В. Радкевич 15)
Московский государственный университет,
Ленинские горы, 1, В-899, Москва, 119899, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Для дискретных уравнений кинетики доказано существование глобального решения, получено разложение его по гладкости, исследовано влияние осцилляций, порождаемых оператором взаимодействия.
Ключевые слова: кинетическое уравнение, оператор взаимодействия, глобальное решение.
1. Введение
Кинетическая теория рассматривает газ как совокупность громадного числа хаотически движущихся частиц тем или иным образом взаимодействующих между собой. В результате таких взаимодействий частицы обмениваются импульсами и энергией. Взаимодействие может осуществляться путем прямого столкновения частиц или при помощи тех или иных сил. Для пояснения математической схемы, описывающей подобные явления, в [1] рассматриваются так называемые дискретные модели кинетического уравнения Больцмана и приводится феноменологический вывод уравнения Больцмана для газовой модели с конечным числом различных скоростей частиц и конечным числом разных взаимодействий (модели типа Бродуэлла [2])
дг щ + (и^хдх + и^у ду + дх )щ = ^ агк] (ик щ - ищ), г = N (1)
Потребуем справедливости так называемого закона детального равновесия
= пк1 °к\ = ,
который обычно имеет место для реальных систем. Более того, для любых фг имеет место
ді(фіПі) + (Шіхдх + шiy dy + Uiz dz ){фіПі)
= &%kl (Фі + Ф j — Фі — Фк)(nknl — ЩП j)
k,l, j;k=i,l=i, j=i
14 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант N1 09-01-12024), (грант N1 09-01-00288) и (грант №11-01-12082-офим)
15Радкевич Е.В., д. физ.- мат. наук, профессор Московского государственного университета
Отсюда следует, что щ > 0, г = 1,... , пм, если начальные условия п0 > 0, г = 1,... , пм.
Для ф] = 1 имеет место уравнение неразрывности
N N
дгр ^ Н] ) + дх ( ^ ^ (Щ]хдх + ^зу ду + С% )щ 0 3=1 3 = 1
для ф] = 1п пз имеет место Н-теорема Больцмана дг(щ 1пщ) + (шгхдх + Шгуду + Шггдг)(щ 1пщ) = ^ а3 1п( )(пкН1 - ЩЩ)
к,1,3;к=г,1=г,3=г 1 к
(3)
Для того чтобы выполнялись другие законы сохранения, надо накладывать на законы столкновения частиц дополнительные условия, чтобы существовали такие ф3, при которых правая часть уравнения (3) обращалась бы в нуль. Способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газа с законами сохранения трех компонент импульса и с сохранением энергии в общем случае не разработан. Это связано с трудностями комбинаторно-геометрического характера [1].
Для кинетического уравнения Больцмана широко дискутируются две проблемы:
1. Необратимость (во времени);
2. Исследование структуры аттрактора.
Вторая проблема связана с исследованием сложной размерности аттрактора через описание составляющих его разноразмерных податтракторов. Но, кинетическое уравнение Больцмана чрезвычайно сложно в исследовании. Дискретные кинетические уравнения, обладающие основными свойствами кинетического уравнения Больцмана, позволяют понять природу этих проблем.
В этой статье мы рассмотрим задачу Коши для одномерной модели типа Бродуэлла (см.[1]):
ди + дхи = -(у2 — ит), (4)
е
2 2
д^у = — (у — ит) ,
е
дгт — дхт = -(у2 — ит), е
у(0) = у0, и(0) = и0, т(0) = т0 , (5)
и ее модификацию (комплексификацию):
ди + дхи = -[уу — -(ит + ти)] , (6)
е2
2 _ 1 _ _
дгу = — [уу — - (ит + ти)] ,
е2
дгт — дхт = - [уу — -(ит + ти)] , е2
и(Ь, 0) = и(Ь, 2п) - пространственно-периодические граничные условия, е-малая величина, которую мы выберем ниже. Все полученные результаты переносятся на двумерную и трехмерную модели (1), приведенные в [1].
Система (4) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа, состоящего из частиц со скоростями с = 1, 0, —1 (их плотности соответственно и = п1(х,Ь), у = п2(х,Ь), т = п3(х,1)). Две частицы-одна первого, а вторая третьего типов, сталкиваясь с вероятностью, пропорциональной ит = п1(х,1)п3(х,1), вызывают реакцию, переводящую их в две частицы второго типа. В свою очередь, две частицы второго типа, сталкиваясь с вероятностью у2 = п2(х,Ь)2, переходят в одну частицу первого типа и в одну частицу третьего типа. Эта модель при всей схожести с моделью Карлемана не имеет квадратичных диссипирующих интегралов, в связи с чем, как отмечено в [1], получение глобальной теоремы существования затруднительно.
Дискретные модели кинетики достаточно просты, но очень интересны с точки зрения потери симметрии [3], [4] и наличия эффекта необратимости. Более того, они дают подход к объяснению фрактальной, многоразмерной сложности аттрактора через его структуировванность, позволяют проверить гипотезу существования податтракто-ров кинетических уравнений. По сути, приемом довольно часто применяемым в математике, удается уйти от хорошо известной сложности исследования кинетического уравнения Больцмана за счет разбиения частиц на семейства, расположенные в разных подпространствах и способных в результате взаимодействия переходить из одного подпространства в другое. Формально, за счет увеличивая размерность пространства переменных, удается упростить, сделать болеет прозрачным действие оператора взаимодействий, доказать существование глобальных решений и получить их разложение по гладкости.
Для нас эти модели интересны еще с той точки зрения, что предварительный анализ спектра линеаризованных задач в окрестности равновесия установил наличие «щели» [6] в спектре, гарантирующей существование корректного усечения задачи [11], [13] в фазовое пространство консервативных (гидродинамических) переменных. Тем самым, удастся всю полученную информацию «спустить» вниз, в физические размерности пространства и получить информацию о природе реального оператора взаимодействия.
Мы докажем существование глобального малого возмущения и = ие + е2и решения в окрестности состояния равновесия ие = (ие,уе,те)Т, у2 = иете, и = (й,у,7ш)Т.
Малые возмущения (в окрестности состояния равновесия у2е = иете). Положим и = ие/е,гй = те/е,и = уе/е. Решение будем искать в следующем виде
формально совпадающую с (4) на вещественных решениях. Здесь х Е Б1 = [0, 2п\ и
и = ие + є2пі и , V = ьє + є2у£ V , т = тє + є2ті т .
Тогда система запишется в виде
ди + Лдхи + Ви = є3V2Г(и, и), и(0) = и0,
где
1 0 0 \ ( из —2лДт) и \ / т2
А = | 0 0 0 I , В = I — 2^/luw —2^ии I , V2 = I —2и
00 —1) \ и —2л/иу и ) \ и2
Г(и,и) = у 2 — йй, и = (й,у,т)т .
Воспользуемся рядами Фурье по х
г*2п
2п ■ 1о
и(Ь,х) = ^ ик(Ь)егкх, ик Е с, ик(Ь) = 2-1 и(Ь,х)е-гкхТх
Z
где и-к = ик, так как и(х,Ь) вещественнозначная. Введем нормализованную Ь2-норму для вещественнозначной функции Ш (х)
- С2п
Но = у 1И2 = 2т f(х)2Тх = Ш2 М'кI2.
Положим
Н■ = ШI2 + У \\Н , У \\Н = £ 1кПкI2, * Е н, Zв = z \ {0} .
На На А'
Zо
Далее мы будем использовать это определение нормы как для решения и, так и для последовательности {ик}.
Используя представление Фурье (в образах Фурье) функции и (как гладкого решения (4) перепишем (4) в виде бесконечной связанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье ик(Ь) = (ик,тк,ук)т,
Тик + Л(к)ик = е3V2Г(ии)к, Г(и,и)к = ^ (сик1 ,ик2), (8)
к1 +к2=к
где
т + гк у — ^л/гии \ (000
Л = Агк + В = 1 и и — гк —2\и} I , С = 1 —10 0
— 2^ьл) —2^гу 4у / \ 0 0 1
1). Нулевая мода(к = 0).
Л(0) =
(0) = е3 V2 Г(и, и)о , (9
ти уи — 2уДУУ \
уи ии — -2\/уу I
-^л/гии —2\/уу) 4у /
или
ти
1/2 (Ь
ио
+ ги1/2и0 + и1/2ю0 — 2и1/2у0 = еъ/2
у0 — иото + ^(2у |2 — ик т-к — и-к юк к>0
:ю)
1 ( и1/2 (Ь
1 ( 2й/2 (Ь
Отсюда
Тогда
ю0 + ю1/2и0 + и1/2ю0 — 2и1/2у0 = е3/2
у0 + ю1/2и0 + и1/2ю0 — 2и1/2у0 = еъ/2
у0 — и0^0 + ^(21ук |2 — щт-к — и-к юк к>0
у^ — и0^0 + ^(21ук |2 — ик т-к — и-к юк
к> 0
((и'Г2и0) = (Ь ('ш'Г2ю0) = — - ((г,1/2у0)
и1/2(и0 — и°) = ю1/2(ю0 — ю0) = — 2 и1/2(у0 — у^
Подставляя в последнее уравнение, получаем
(у0 + - Ьеу0 — еу\/2(0 = —еу\/2 аЬ е
3 2
2 у0 + 2Ьу0— 2с у0 | ¿=0 = у0 ,
— 2еу1е/2(В(у,у)0 + Н(у)0), (11)
где Ье = 4уе + ие + те,
кг +к2=0
у
ук1 у*2 — т| у»1 — гк1 е гка> ‘)ук1 а.в)(ук, + гк-2 егк'-(‘ с(з
Н(у)
0=
£ (ек1 ‘(
кг+к2=0 \ \
■) ('
^ I 2ю02 Ю1^ + укЛ ( ук1 — гк1 I е-гк1(1-‘^ук1 аЛ +
’)
а0
^2ю01 гуТ/2 + ук1^ ^к2 + гк2^ е%к2{Ь-‘)ук1,
^2ю01 ~ур2 + у°0^
Ь = — 2 (ио —¡д + ю0 ~\/2 + у0°) , с = 4 (2ио+ у0) (2юо —щ + у0°]
\ уе уе ) \ уе / \ уе /
- £
2 ^
к1 +к2=0, kl,k2&Zо
ег(к2-к1)М 2ю01 —г2 + у0„ ) , Zо = {к Е Z,k = 0}
г
г
0
0
1
4
0
Выберем начальные данные из условий
o = _ ^o _ wew = 0 , (12)
и + w
отвечающих двум законам сохранения системы (8). Тогда b = c = H(vo)o = 0.
Неоднородное уравнение Риккати. Теперь рассмотрим неоднородное уравнение Рик-кати в случае, когда ao = const:
dv0 + 1 Lev0 + do = _ 3 ev¡/2v2 + 2e3/2v1/2f (t), (13)
dt £ 2
vo|t=o = v0 .
Приведем здесь хорошо известные факты о неоднородном уравнении Риккати. Положим v0 = vstn + £z
dz + -(Le _ 3£2v¡/2vstn)z = _3 £v¡/2z2 + f (t), (14)
dt £ 2
z|í=o = 0,
где vstn - ограниченное решение стандартного уравнения
dvstn + 1 Le vstn + do = _ 3 £ ve1/2vStn , (15)
dt £ 2
vo|í=o = vo.
Положим
L = min (Le - 3 e2Wstn ) > 0, Mo = max \f (t)\ .
0^5^^ y 2 )
Предложение 1. Пусть фиксировано M0, max \f (i)| ^ M0, а равновесные значения ue,ve,we и постоянная е выбраны из условия
Тогда существует абсолютно непрерывное решение задачи (15), для которого справедлива оценка
sup \z(t)\ ^ (1 + &VeMo)2( 1+‘3-VeM^ . (17)
04t4,T \ L2 J
□ Рассмотрим приближение
d 1 3
~ñzn + (Le + 3^vstn)zn = —ñ є vlJ2¿n-l + f(t) , (18)
dt Є 2
zn\t=0 — 0 ,
I
/Ч -1 /1(
гп = I ехр<{ - - I (Ье + 3еу&п№г о
}
- £У1е/2г1_1 + /(г)
¿8
\гп(г)\ ^ вир \/(8)|
(Ье + 3е2у
3 1 /2 \ 0<«<*
( вир \Zn-ll )
21
виР \/(8)\ 0<«<*
^ \/(8)\- (1 + --у1/2 вир \/\)
-
0<«<*
Ь
(
3
^С0\ ^ вир \/(8^ у I 1 + ^£у1/2 вир \/( 1 + ^еь12 вир
2
0<«<*
Ь2
1
3
1/2
2
0<«<*
Положим д = - еь1/2 вир \/ (8) \, 2 0<«<*
81 = 1 + д,
82 =1 + Ьд(1 + д)2 < (1 + д)2( 1 + Ьд)
= -, + -2д 83 = 1 + Ь
е2д
1 + Ь2 (1+д)2
е2(1 + д)4 ( е2д\2
«1+1 + ьЛ «1+д
если д £ (0,1), Ь > е выбраны из условия
-2(1 + д)4
Ь2
('+й'«■
('
-(1+2-у1/2 ^р \/(8)\) ( 2-3у1/2 ^р \/(8)\^
2 0<в<* / _ 2
0<«<*
Ь2
1+
0<«<*
Ь2
Тогда
е2д
1 + Ь2 (1 + д2)2
2
е2д
«1 + Ь2 (1 + д)2 < (1 + д^(1 + —)
= 1 + -2д
85 = 1 + Ь
1 + е11 (1 + е!1
ь2 у Ь2
1 + -2<
+ Ь2
22
2
2
2
2
Таким образом,
Отсюда следует, что
S2j+1 р 1 + Ч, р (1 + я)2 ^1 + '
8з р (1 + я)2(1 + Ь), V 2 > 1
и
0рврі
(
3
вир \zj (в)\ Р ( 1^- Єу1/2 вир Ц (в
2~ ~е
0рврі
\):
1 +
- є3 ь1е/2 эир 1и(в)\ 2 0рврі
Далее, положим уп — zn — zn-1. Тогда d 1
~Г,Уп + (Ье + 3є 2узіп ')Уп — — ~ є ЬІ/2(^п-1 + ^-2)Уп-1
аЬ є
Уп\і=0 0 >
і і
п — — ! ехр | —1 в (Ье + 3є2Vstn) ■ 3 ЄУІ/2^п-1 + Zn-2)Уn-lds
0
\Уп(Ь)\ Р 3є УІ/2є вир ІУп-і(в)\( вир ^п-і(в)\ + вир ^п-2(в)\) Р 2 Ь 0р«рі \0рврі 0р«рі /
р 3єуЄ2Ь + -єу1е/2 йир \/(з]
Ь\ 2
0р«рі
0:
( -є3V1/2 вщр \и
1 +
0р«рі
Ь2
вир \Уп-і(в)\ 0 рврі
Выбираем дополнительно, чтобы
3єV12Ь (1 + -є^ шр и(в)\) \ 2 0рврі /
3
Ь \ 2
0р«рі
2 є2 и12 эир и(в)\
1 +
0рврі
Ь2
Яі < 1 •
Отсюда следует, что
Zn(t) ^ Zo(t) в Св (Я+) •
2. Система для старших мод
Теперь перейдем к исследованию старших мод (\к\ ^ 1), которые описываются системой
а зі —
-ик + Л(к)ик — є2 ^2 г(и,и)к ик (0) — ик •
(20)
Отсюда
1 /а
IV
1/2 ( аь 1 (а
—ик + ікик ) + т1/2ик + п1/2іик — 2v1/2vk — є3/2Г(и, и)к
V
—тк — іктк) + У01/2ик + и1/2тк — 2п1/2Vk — є3/2Г(и, и)к
1 а
2п1/2 аь
Vk
+ т1/2ик + п1/2тк — 2п1/2Vk — є3/2Г(и, и)к •
Следовательно,
(21)
IV
1 (^ +ікик)— иЬ (іЮк — ікШк)
1/2 V аь
1 а 2П/2 аЬ
Vk
или
Тогда
4- (вшП1/2ик) — —1 егкі 4- (пl/2vk),
аьу к 2 аьу кп
4- (в-шіп1/2тк) — —1 е-гкі 4- (п1/2^^к)
аг к 2 аьу к
ик
1 Ve
1/2
2 иУ2
Vk
— ік е-гк(і-в^к ав — е-гкі 2 ик + V
0
™к — —4
1 п1/2
2 т1/2
Ук + ік І егк{і~8^к ав — егЫ ( 2 и>к + VI
0 ' Г>е
2
(2 ^ ик + V0) ' )
Подставляя в последнее уравнение в (21), получим
О^к + ~(Ье + 3v1/2є2Vo)vk + 1 ік І (егк(і в)ие — е гк(і в)те) Vkав
1/2єі^0 / (егк(і-в) — е-гк(і-в)^кав+
+ -а+ егкі + - аке гкі — 2єVI/2[Н^^)к + Н(V)к] — єvle/2ак(Ь), к Є Zo
і
і
где
В(V, V)
к
Е
кі+к2=к, kl,k2,k£Zo
ЬкіЬк2 — -^кі — ік1! е гкі(і в^кіав)^к2 + ік2 ^ егк2(і в^кі—в)
Е
кі+к2=к,кі ,k2,kєZo
1/2
ек>‘ І 2ш0, ^ + V0
2
к2 1/2 _Г к2 І \ °кі 'Уе
^ ^кі — ік1 у е гкі(і кі+
+ е кіі ^2т°і ^к2 + ік2 ^ егк2(і s)Vk2^
*'кі,к2
2
І1/2 0 Ше І „,0
2 1 к2 1/2 + ик2 І 2икі 1/2 + икі
\ /&е VI*-'
)(
+ VI І 2ик^ + V
1/2
0 ие 0
Ve
)
Z0 — {к Є Z,k — 0},
Положим
ТкУ — —У + - ЬеУ + ік1 І (егк(і-в)ие — е-гк(і-в)и,е)Уав аь є є і
АкУ — є І (егк(і-в)ие — е-гк(і-в)и>е)Уав , Ак1]У — ік !(егк(і-в) — е-гк(-к))У—в •
00 Так как наша техника базируется на разложении Фурье, мы можем выбрать задачу Коши для систем
а 1 3
—V0 + - Ьеу0 — —єи!/2 - V!2 — 2єи1/2(В(v,v)o + Н^0]) — єь12а0
аь є 2
Vo\і=o — Vo0 ,
(22)
Тк Vk — —3v1/2єvoVk + v1J2єvoA{'})Vk +
+ є—і егкі + є—- е-гкі — 2єv1J2[B Мк + Н (V)к ] —
— єv.
1/2
Е
ег(к2-кі),—кгМ,, к Є Z
кі+к2=к , \кі\,\к2\,\к\рш, кі, к2, k£Zo
Щ \і=0 — ^ •
1
4
і
і
за первоначальную форму системы (8), которая эквивалентна системе (4) для гладких решений. Запишем ее в слабой форме
Ь0(г) = ь0 - у1/2е е *Ье (* «
3
2 У0 + 2(в (y, у)0 + Н (у)0) - ¿0
70 ие
0
ук (г) = у° ехр |-1 ^ — + 3-2 ь1/2У0)й^ - -¿+ Т-1(е%ы) + —¿1 Т-1(е-гЫ) -
- -у1/2 Т-1(в,к (г)) - ь1/2еТ-1 К к (у, у) , к £ Zо
К к (у,у) = 3У0 Ук + ь1/2-У0 к + 2[в (у,у)к + Н (у)к],
¿к(г) =5] ег(к2-к 1Чк1 м .
к\+к2=к,\ кг\,\ к2\,\к\^ш, кг, к2, k£Zo
Определение 1. Функцию и(г,х), с коэффициентами Фурье ик(г), к ^ 0, и-к(г)
¿8, (24)
и к (г), к > 0, назовем решением (8) на временном интервале [0,Т ], если для любого к £ Z0 функции у к (г) удовлетворяют системе интегральных уравнений (24).
3. Галеркинские приближения
Определим оператор усечения Пт, действующий на последовательность коэффициентов Фурье
\ Фк если \к\ р т,
Птф к — (Птф)к — 1 п 17 1^
0 если \к\ > т.
Теперь определим галеркинское усечение системы (70), (23) для аппроксимирующего
решения и (т)
такого, что
и(т) = и(т) , к ^ 1 ,
¿у0Г) + 1 ЬеУ((Т) = --У1/2 2 (У^)2 - 2-у\/2(ПтВ (]ПтУ, ПтУ)0 + Н (П^]) - -У^т^,
(25)
У^Т)\=0 = у0 , Тут = -3у1/2еу0т)у<т) + у\/2-у0т)А(к1)ут) +
(26)
+ — е%Ы + — ¿-е гк - 2е Уе/2\ПтВ (ПтУ, ПтУ)к + ПтН (ПтУ)к]
-у^ 5] ег( к2-к^йк ь к2 (г)
к\+ к2= к ,\ кг\,\ к2\,\к\^т, кг, к2, k£Zo
- -у/
Vk |t=0 = v°k , \k\ p m,k = 0 .
ГТ1 (m)
Tk Vk =
-3V1/2 £v0m)vkm)
1 1
+ vl/2ev0m)Ai1)vim) +
(27)
+- d+eikt + - d-e-ikt - 2evlJ2 nmH (Um v)k
и уравнения состояния
£
- £vI/2U.
E
e'(k,kk,)tdkuk2 (t)
ki+k2=k , |ki |,|k2 |,|k|^m , ki, k2, k£Zo
Vk|t=o = V°, \k\ >m.
( m) u0
1 VIJ2 (m) 2—2 V0
2 Ue
W0 = -
1 vlJ2 (m)
2—2 V0
2 We
(28)
m
U
(m)
W
(m)
1 Ve
2
1/2
(m)
Ue
1 ve
2
1/2 k
1/2
(m) 1/2 Vk We
kik(t-s) Ve
1/2
(m)
0
1/2V k Ue
ds + e
k ikt 0
U
— -ik
t V1/2 eik(t-s) vkm)ds + e
0 We
iktW0 Wk
1 V1/2
+ _ e-iktVe v°
+ 2 e u i/2 Vk Ue
1 V'e/2_ eiktV0
2 wl/2
+
e v0 , k e Z0.
t
e
k
Теорема 1. Пусть а > 2 и у(0) = у0 £ На(0, 2п). Пусть т £ N фиксировано. Тогда существует Т* > 0, возможно зависящее от т, такое что система (25), (26), (27) имеет единственное решение на интервале [0,Т*]. Это решение у = У(т')(г) может быть продолжено на максимальный интервал [0,Т*ах) такой что Т^ах = +ж, если норма 1|у(0)||яст(о,2^) достаточно мала.
Заметим, что для доказательства теоремы существенна конечность системы обыкновенных дифференциальных с квадратичной нелинейность. Следовательно, можно гарантировать конечный временной интервал [0,Т*] существования и единственности решения и максимальный интервал существования [0,Т*ах). Отметим, что в принципе Т* и Т*ах могут зависеть от т. Ниже мы покажем, что это не так, т.е. Т*ах = +ж.
Чтобы доказать это и перейти к пределу при т ^ ж в галеркинском усечении системы, нам необходимо получить глобальную априорную оценку для решений системы (25), (26), (27). Прежде чем переходить к доказательству априорной оценки, исследуем интегро-псевдодифференциальный оператор (гиперболический вариант оператора типа Гуртина-Пипкина [7]) в левой части уравнения (26). Свойства этого оператора позволяют избежать при доказательстве глобальной разрешимости схемы Мозера-Нэша и доказывать разрешимость в одном весовом гильбертовом пространстве.
4. Интегро-псевдодифференциальные уравнения
Сначала найдем условия существования глобального решения интегро-псевдодиф-ференциального уравнения
1 1 Ґ
дгь + - (4ує + тє + пє)у + - [е9х(і:-^иє — e-дx(t-s')wє]дxvds = f + к, (29)
є є л
v(0) = V0.
В образах Фурье
d
— Vк + А(к,є^ = fk(г) + кк(г) , (30)
dt
Щ к=о = ^ ,
где
ct
A(k,e)vk = - (4ve + We + Ue)Vk +---------[eik(t s)ue — e ik(t s)we]vkds
Je I We I Líe i
є ' є J0
осциллирующая правая часть
hk(t) = 2 vlJ2ulJ2elktw°k + 2 vlJ2wlJ2e~lktul + - (We e~ikt + Ue eikt)vk є є є
и для некоторого ¡1 > 0 функция fk (t) Є L2)7)k>7>_M£, где
r»oo
2
L2,Yg (R+)
e~21’ ’\g(t)\2dt.
k
Заметим, что этот оператор возникает при исследовании старших мод \k\ = 0, т.е. к Є Zk. Поэтому, в дальнейшем, мы будем считать, что целое к = 0.
Далее, положим vk = yk + e~1 (4Ve+We+Ue)tvk. Тогда
Tkyk = dyk + - (4ve + We + Ue)yk + — í [eik(t~s)Ue - e~lk(t~s)We\ykds =
dt є є k
= fk(t) + gk)(t) + g{k)(t), (31)
yk \t=k — 0 ,
n(1)(t) = (___________ikUe_________________________I_ikWe_V_2(4ve+Ue+We)tvk G L (R )
k V4ve + Ue + We + ієк 4ve + Ue + We — їєк) k ,Y +
для любого Y > —1 (4ve + Ue + We) и для любого Yg > 0
gk)(t) = —
ikUe ____________eikt +_______________ik We____________e~ikt
4ve + Ue + We + ієк 4ve + Ue + We — ієк
vk + hk (t) Є L2,Yg (R+)
измененная осциллирующая правая часть.
Сделав преобразование Лапласа по Ь, получим
1 гк/е гк/е
р + ~(4Ье + Ше + Не) +-----ГГ Пе----—Г Ше
е р — гк р + гк
где ¡(\г) = ¡к(г) + дк1. Введем символ
Е(р,к; е)
У к (р) = ¡11)(р) + д<к)(р)
а(р) =
р2 + к2
1 гк 4к2
Е(р, к; е) = (р2 + к2)р + - (4ье + Ше + Не)р2 +-(Не — Ше)р +-Уе .
е ее
Формально мы можем написать преобразование Лапласа по г решения уравнения (31)
Ш р к) =----------1------^+¡*1--------------------^ + (32)
(р2 + к2)р + - (4Уе + Ше + Не)р2 +------(Не — Ше)р +-Уе
е ее
+ _______________(р + к2)9(^)(р)________________ ^ > 0
+ 1 гк 4к2 , лр > 0 ■
(р2 + к2)р + - (4Уе + Ше + Не)р2 +-(Не — Ше)р +-Уе
е ее
Чтобы получить оценки этого решения в соболевских нормах, приведем сначала широко известные факты, которые мы будем использовать в дальнейшем.
Определение 2. Назовем пространством Харди И2(Шр > 1, И) класс вектор-функций ¡ (р) со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве И, голоморфных в полуплоскости {р Е С : №р > 7 > 0}, для которых
/+те
\И(х + гУ)\\и&У< ж , р = х + гУ.
■те
Сформулируем теорему Пэли-Винера для пространств Харди.
Теорема (Пэли-Винера).
1. Пространство И2(Шр И) совпадает с множеством вектор-функций(преобразований Лапласа), допускающих представление
1 гте
¡ (р) = (г№ (33)
для ¡(г) Е Ь2п(Я+, И), р Е С, №р > 7 > 0.
2. Для любой вектор-функции ¡(р) Е И2(^р > И) существует единственное представление (33), где вектор-функция ¡(г) Е Ь2г/ (Я+,И), причем справедлива формула обращения
1 Гте .
¡(г) = е{l+гy)t¡(7 + гу)^, г Е Я+, 7 > 0 .
V 2п ^ —те
3. Для вектор-функций ¡(р) Е И2(Кр > ^,И) и ¡(г) Е Ь2у7(Я+, И), связанных соотношением (33), справедливо равенство
/+те ■те
II/(х + іУ)\Н дУ
—21*
N ді =
2
Ь2П ( Я+, Н)
Если мы установим, что функция ук в (32) такова, что рук, Ук и АкУк принадлежат пространству Харди ¡(р) Е И2(Кр > у) при некотором 7 Е Я, то по теореме Пэли-Винера функции ^ Ук и Ак Ук принадлежат пространству Ь2 ,7 (Я+) и, следовательно, Ук(г) Е 1 (Я+; А). Отсюда следует разрешимость уравнения (31) в пространстве
7(Я+; А). Здесь
ІМІ
(я+;А)
N1
¿2,7 (и+)
+
д
—и
ді
те
0
2
2
Нам нужны оценки символа о(р, к; е) снизу. Докажем его строгую устойчивость то есть, что его корни находятся в левой полуплоскости Кр < 0 параметра р.
Лемма 1. Существует ц > 0 такое, что равномерно по к Е Z0 имеет место
\Е(р, е,к)\ > с0 > 0, Ук Е Z, р Е С, Кр > —¡10е, 0 < ц0 < 1.
□ 1). Сначала рассмотрим случай, когда не = Ше. Тогда
1 4к2
Ео(р, к; е) = (р2 + к2)р +- (4Уе + Ше + Не)р2 +-Уе = 0
ее
или
(р + 1 (4Уе + Ше + ие)^ р2 = — к2^р + 4 Уе^
Очевидно (из изучения графика), это уравнение имеет ограниченную ветвь корня ри(к, є) Є (—1 (4уе + ше + ие), — 4 Уе), которая монотонно возрастает от ри(0) = — 1 (4уе + ше + ие) к ри(к) ^ — 4 уе, к ^ +то. Есть еще две комплексно сопряженных ветви с вертикальными асимптотами р±(к, є) = ±ік + Ки + 0( 1), где
1 ,
Ки = — — (ие + Ше) ■
Покажем, что эти ветви при \к\ > 0 не пересекают мнимой оси. Если р = іу, V Є Я, V =
0 имеем
1 4к2
і(к2 — у2)у-(4Уе + Ше + ие)у2 +-Уе = 0 ,
єє
т.е.
к2 — у2 = 0 , = 4к
22
(4Уе + Ше + ие) '
Эта система не имеет вещественных решений, поскольку
4Уе
Отсюда следует, что
(4Уе + Ше + ие) ■
Е0(р, к; є) = 0, Угр Є С, Кр ^ 0 .
У
е
2). Теперь проверим устойчивость символа Е(р, к, є). Для этого покажем, что корни находятся в левой полуплоскости параметра р. Сначала, также как выше, покажем что ветви корней не пересекают мнимой оси. Для р = іу, V Є Я, к = 0 имеем
1 к 4к2
2 2 2 і(к — V )у (4Уе + Ше + ие)у------------(ие — Ше)у +----Уе = 0 ,
є є є
т.е.
,2 2 1 ,. ч 2 к . . 4к2
к — V =0, — (4Уе + Ше + ие^------(ие — Ше^ +--------Уе = 0 ,
є є є
из второго уравнений получаем
к2[±(ие — Ше) + (шє + ие)\ = 0 =^ 2ие = 0 или 2шє = 0 ,
что невозможно, поскольку Ше > 0, ие > 0. Таким образом, ветви не пересекают мнимой оси, если \ к\ = 0.
Теперь разделим полином Е на р(р2 + к2). После простых преобразований получим
Е і 1 ^ 1 ік ( 1 1 )
+ е + уер(р — ік) Шер(р + ік))
р(р2 + к2) єр є \ р(р — ік) р(р + ік
Откуда
к( Е ) =
\р(р2 + к2)]
1 + є Кр{4Уе (Щ2 + (%р)2 + ие (Кр)2 + (<$р — к)2 + Ше (Щ2 + (^р + к)2)
Имеем
Е
чр(р2 + к2)'
В случае Кр < 0 и шт^Ор^ \Ор + к\, |Ор — к\) ^ 8 > 0, 8 < 1, имеем
р(р2 + к2)) ^ 1 є \Кр\ 82 > 2
е 82
если \Кр\ < - —. Отсюда 2 ЬР
\Е| ^ 1 \р\\р2 + к2\ ^ 1 82, Ур, Кр< 0, \Кр\ <е^г .
2
2
2 ЬР
(34)
Далее рассмотрим прямые р = —у + гу, 7 = е^\ > 0. Тогда
У (к — У ) = Ц\[2(4Уе + Ше + ие)У + к(ие — Ше) — 2^\е у]
(35)
(4Уе + Ше + ие)У2 + к(ие — Ше)у — 4к2Уе = е2^\[(к2 + /1 2) — Зу2 + (4Уе + Ше + ие)^\].
Теперь рассмотрим случай, когда Кр > —1\е, \0р\ ^ 8 или \0р — к\ р 8 < 1 или \0р — к\ р 8 и к Е Z0. Для больших к, \к\ ^ к*, к* ^ 1 в силу (34) для двух волновых ветвей корня полинома Е(р; к,е) = 0 с вертикальными асимптотами асимптотика: р = ±гк + к± + 0(\к\-1), где к+ = —ие/е, к— = —Ше/е. Для ограниченной диффузионной ветви (Крв < 0 имеет место асимптотика р = —4Уе/е + 0(\к\-1). Отсюда следует, что для Кр > —1\е, \Ор\ ^ 8 или \Ор — к\ р 8 < 1 или \Ор — к\ р 8 и к Е Z0 система (35) не имеет вещественных решений для любых е ^ 1 и достаточно малого 1 = 1(8, е) > 0, поскольку для конечных \к\ р к* этот результат следует из исследования случая р = гу, у Е Я, к = 0.
Таким образом, равномерно по к Е Z0 имеем
\Е(р, е,к)\ ^ с0 > 0, Ур Е С, Кр > — -ц\е. ■
Теперь уточним полученную выше оценку.
Лемма 2. Существуют положительные Е (0,1),с0 > 0 такие, что равномерно по
к Е Z0
вир
р
a(p, к)
(36)
для любых Кр > —це.
□ Для этого оценим снизу функцию Zk (р) = и(р, к)/р. Имеем
еZk (р)
Следовательно,
е(р2 + к2)р + (4.Уе + Ше + ие)р2 + гк(ие — Ше)р + 4к2Уе
р(р2 + к2)
^ 1 \ 1 ,1 = е + (Уе + Ше) —т + (Уе + ие)-------------------гг + 4Уе~ .
р + гк р — гк р
еК Zk (р) = е + Кр^
(Уе + Ше)
+
(Уе + ие)
+
4.Уе
(Кр)2 + (Яр + к)2 (Кр)2 + (Яр — к)2 (Кр)2 + (Яр)2
.
164 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ д«.Д Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 Откуда следует, что
К Zk (р) ^ 1, Кр ^ 0
и требуемая оценка.
Теперь посмотрим поведение \Zk (р)\ в окрестности Кр = 0. Если \ Ор \ ^ 11,
0 < 11 р 2, \^р — к\ ^ 11, \ Ор + к\ ^ Ц1, к ^ 1, то
\еК Zk(р)\ ^ е — -1 \Кр\(121(10Уе + Ше) + (Уе + ие)) ^ е — -1 \Кр\(11Уе + ие + Ше) > 1 е ,
11 11 2 если 2
\Кр\Р 11е
2{llve + пе + We) В случае \^p — к\ р \^p\ ^ ß2£ имеем
p
.„.И “pp+^<"Г‘"+»>”■
если в этой области \E(p, к)\ ^ с0(\p\2 + к2). ■
Последнее неравенство есть следствие следующей леммы:
Лемма 3. Существуют ß1, 0 < ß1 < 0; c0 > 0 такие, что равномерно по к Е Z0 выполняется
\E(p,k,e)\ ^ во(\p\2 + к2), ■p ^ —ßi£. (37)
□ 1) Начнем с области {k0^p > \Яp\. Здесь оценим главную часть символа T,(p, к, £). Покажем, что в этой области \p(p2 + к2)\ ^ с1(\p\2 + к2) при \p\ ^ с0 для достаточно большого с0 = с0(к0) ^ 1.
Положим p = y(±i+ß), y ^ R0, ß ^ к0. Рассмотрим три случая: min{\y—к\, \y+к\} ^ 6к, \y — к\ р 6к и \y + к\ р 6к, где 0 < 6 < 1, к ^ 1. Случай целых к р —1 исследуется таким же образом.
В первом случае
\ ?(p2 + к2) \ = \y\ \i + ß\ (ß2y2 + 62к2) >
> \ у \ \ i + ß \ min 62, 1 + ß2^j ( \p \2 + к2) ^ Ro(1 + ß2)1/2 min 62, 1 +ß2^j (\p \2 + к2).
Во втором случае \y\ ^ (1 — 6)к. Тогда
\ p(p2 + к2) \ > \у\(1 + ß2)1/2ß\у\ (ß2y2 + (2 — 6)2к2)1/2 >
^ 2 Roß (min{ß2, (2 — 6)2})1/2 min {(1 + ß2)1/2, (1 + ß2)1/2(1 — 6)} (\p\2 + к2) .
Теперь выберем R0 = R0(k0) из условия
Г { 2 1/2 { 2 ß2
R0 min
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ■¿¿Я Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 165 2 (2 - 5)2})1/2min {(1 + ß2)1/2, (1 + ц2)1/2(1 - S)}J ^
^ - (4ve + we + ue) max £ \p\2+k2 = 1
„2 , (Ue We)
p + ik—-------------------р + 4k
(4Уе + Ше + ие) (4Уе + Ше + ие)
Третий случай рассматривается аналогично.
2) Рассмотрим случай \Яр\ ^ к0\Кр\, и \Кр\ р Напомним, что все оценки прово-
дятся для \ к \ ^ 1.
а) Начнем со случая Кр = 0. Тогда
Я(Е(р,к; е)) \^Р=о = Яр(к2 — (Яр)2)2 ,
К(Е(р, к; е))\жр=о = 1 ((4Уе + Ше + ие)(Яр)2 + к(ие — Ше)Яр — 4к2у^ .
Пусть для определенности к ^ 1. Рассмотрим три случая, когда Яр — к ^ 8к, к ^ (1 — 8)Яр ^ 0 или \Яр — к\ р 8к.
В первом случае
| Яр(к2 - (Яр)2)2| ^ 2
2 SkIЯрI (IЯрI + (2 + 5)к) + 52|Яр| к2
^ 2 тт |2 8,8^ (\Яр\2 + к2).
Во втором случае используем тот факт, что также как выше, если \Яр ± к\ ^ 8\к\, 0<8<1
\Яр(к2 — (Яр)2)2\ ^ 82, \Яр\ к2 ^ 1 82 \Яр\(1 — 8)2(к2 + \Яр\2).
Отсюда следует, что для \Яр\ ^ с1 имеем
\Яр(к2 — (Яр)2)2\ ^ - 82с1(1 — 8)2(к2 + \Яр\2).
В третьем случае \Яр\ ^ (1 — 8)к, Яр р (1 + 8)к и
к; е))\|йр=0 ^ е [2ие — (4уе + Ше + ие)(2 + 8)8 — \ие — Ше\8)]к2 ^
^ 1 ик ^ ^ие(к2 + (2 + 8)-2\Яр\2) ^ ^ие(2 + 8)-2(к2 + \Яр\2)
е 2е 2е
для достаточно малого 8.
В тоже время, для достаточно малого с1 при \Яр\ ^ с1
\К(Е(р, к; е))\\йр=о = 1 \4Уе + Ше + и,е)(Яр)2 + к(щ — Ше)Яр — 4к2Уе\ ^ 1 к2Уе , \к\ ^ 1.
ее
v
e
Следовательно,
\Т.(р,к; е)\\мр=о ^ со(к2 + \Яр\2), \Яр\ ^ 0, \к\ ^ 1. Отсюда вытекает существование достаточно малого ц1 > 0 такого, что
\Е(р,к; е)\ ^ со(11)(\р\2 + к2)
для \Яр\ ^ к0\Кр\, \Кр\ ^ /11е.
Ь) Теперь рассмотрим случай \Яр\ > к0Кр, Кр ^ ц1е. Заметим, что корни полинома
(ІУе + Ше + Пе)р + ік(ие - Ше)р + 4к Ье = (4ье + Ше + пе)(р - р+)(р - р ) = 0
чисто мнимые
р± = і
к
2(4Ье + Ше + Пе)
(-(ие - Ше) ±у/(ие - Ше)2 + 16Уе(4Уе + Ше + Пе)) = ікк±
Положим р = кг, В = 1 (4ье + Ше + ие). Тогда
Е(р, к, е) = к 2 (к г (г + г)(г — г) + В (г — гк+)(г — гк ) ^ .
Рассмотрим случай П+ = {Яр > к0Кр, Кр ^ ^е} (случай Яр < —к0Кр, Кр ^ ц1е анализируется аналогично). В П+ имеем
\г(г + і)(г - і)| ^ ^іФ\(\г\2 + 1)1/2 > ^^(\г\2 + 1) •
Отсюда
\Е(р,к,е)\ ^ к2[к -^д!2 е2(\г\2+1)—В тах(1,\к \)(\г\ + 1)2^ ^ с0к2(\г\2 + 1) = с0(\р\2+к2)
для достаточно большого \к\ ^ 2 у/2 В тах(1, \к-\)(^1е)-2.
Теперь рассмотрим случай \Яр\ > к0Кр, Кр ^ ц1е и 1 ^ \к\ р к0. Тогда
\Е(р, к,є)\ = к3\(г + і)(г - і)|
1 (г - ік+)(г - ік )
г + т В—}-------г~7------гг—
к (г + і)(г - і)
1 (г - ік+)(г - ік )
г + - В>
к (г + і)(г - і)
Очевидно, что в области П+
тт
Х&0.+
1 (г - ік+)(г - ік )
г + т В—}-------гг-------г—
к (г + і)(г - і)
с1 > 0.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Отсюда
\Е(р,к,е)\ ^ С\-2=№(\г\2 + 1) ^ ^^1е(\р\2 + к2) ■ Суммирование полученных оценок приводит к неравенству (37). I
Лемма 4. Для ц > 0 из предыдущей леммы справедлива следующая оценка А(р,£,к)
а(р,є,к)
равномерно по к Є
□ В силу оценки (37) имеем
(38)
а
а(р,к)
- (4ье + + ие)р2 + ік- (ие — ше)р + 4к2- V
(р2 + к2)р + -(4ье + + ие)р2 + ік-(ие — ше)р + 4к2- ує
Разрешимость интегро-дифференциального уравнения.
Теорема 2. Пусть функция Е Ь2>11 (Я+ ,Н), > —^£ и д(2 = 0. Тогда для
любого ч > 11 задача (31) однозначно разрешима в пространстве (Я+, А) и для ее
решения справедлива равномерная по к оценка
\\Ук||ж*„(я+,л) р л (||Д II ¿2 Г1 (Я+) + \'ик\)
(39)
с постоянной й, не зависящей от к и ¡* ,у°. Здесь
й
—и йі
¿2, 7 (я+ )
+ \\Аи\\2Ь2(Я+) + 11 и \ ¿2,7 (Я+) ■
□ Умножение на аналитическую и ограниченную не выводит из пространства Харди
Н2(Яр > ^,Н). Поэтому из /к1"1 Е Н2(Шр > —^е) следует, что функции рук, Акук принадлежат пространству Харди Н2(^Яр > —^е) и справедлива оценка
«а»*тъг,ш+) + и ИЇ2,-,«+) < адЛХ„+ кг).
Отсюда следует искомое неравенство (40) с постоянной й-, не зависящей от ¡(\у°,к. Таким образом, мы получили решение у*(і) уравнения в (29). Покажем, что полученное решение удовлетворяет начальному условию у*(+0) = 0. I
Замечание. Если функция ф(р) Є Н2(Кр > 7), то для любого Я > 7 можно найти последовательность (Яп), такую что Ііти^те Яп = +то и
я
Ііт
\\ф(х + іЯи)Ин йх = 0
2
і
Очевидно, это есть следствие оценки
гЯ-и / рЯ \ рЯ / рте
([ \ф(х + гКп)\2^лу р [ ( [ \\ф(х + ШпШ^Лу р (Я — 1)\ф\\2н2(^р>1) ■
1 -Яи V */7 / */7 \</—те /
Из доказанного выше следует, что ук(Ъ) Е Ь2>1 (Я+), т.е. ук Е Н2(Кр > 7). Тогда по теореме Пэли-Винера получаем
1 Г Яи 1 г у+гЯи
Ук(0) = —= 1!т ук(^ + гх)Лх = —= Ът ук(р)лр.
л/2п Яи^те у-Яи л/2п Яи^те ]1-гЯк
Функция ук (р) является аналитической в правой полуплоскости Кр > 7, следовательно, по теореме Коши
Р^+^Яи ( гЯ+гЯи гЯ+гЯи гЯ+гЯи )
/ Ук (р)лр = ( — + / )ук (р)ар =
V 'у—гЯи ^ 'У—Я ^ 'У—гЯи ^ Я—гЯи
г Я р Я р Яп
= ук(х — гКп)Лх — ук(х + гКп)Лх + г ук(х — гЯп)Лх.
<^7 <^7 2—Яи
Согласно замечанию
Г Я
Пт \ук(х — гЯп)\Лх = 0 .
Отсюда
1 Яи
1 ( Г™ . ,,2, )1/2 ( ¡'те Лх )1/2 <
^ —2^(¡—те \(н +гхЫЛ + хЧх) 0^ я + х?,
р с(№)\\рук\\и2(Щ>1) .
Таким образом, при Як ^ ж получим у к (0) = 0.
Наконец, покажем, что полученное решение Ук (Ъ) удовлетворяет уравнению
аук + - (4Уе + Ше + Пе)ук + — [ [егк(1—8)Пе — в—гк(г—з)ше]ук¿8 = .
аъ е е 2к
Для этого достаточно проверить, что ук(Ъ) есть решение задачи
аук + 1 (4Уе + Ше + Пе)ук + — ! [егк{1—8)пе — в—гк(1—з)Ше]ука8 = ,
аъ е е к
ук(0) = °-
к
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К,,Я Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 169 По теореме Пэли-Винора
1 'R
Vk (t) = lim ________ a(j + ix,k,e) + ix)]e(j+ix')tdx =
R^+™ у/ 2n J-R
1 n+iR
lim -/= / a(p,k,£)-l[f()] ePtdp, y> -ߣ.
R^+^ ^2n Jj-iR
Отсюда получаем
d 1 r j+iR p -~r
dtVk(t) = Rlin+ -^ ( k £) [f( 1)] -ePtdP, Y> -ߣ. (40)
dt R^+<x у/2n Jj-iR &(p,k,£)
Далее, для y > 0 имеем
Аук (t) = -(4ve + We + Ue)Vk+
£
11 Гt ( ГJ+iR 1 ^
+ ik- lim -= [eik(t-s)ue - e-ik( t-s)We]U , , ч [ii1]] espdp)ds =
£ R^+™V2nJo[ e ei\Jj-iR a('P, k, £) kJ y)
= 1 (4ve + We + Ue )Vk+
£
1 1 p+iR [ f(1)]ept , ft N
+ ik - lim -= / f . ( [eik(t-s)Ue - e-ik(t-s)We ]epsds)dp =
£ R^+^V2n Jj-iR a(p, k,£)\ Jo1 J )
1 lim -L Г'1" ^ f ) [fk1)] ept dp.
£ R^+™^/2n Jj-iR o(p,k,£)
Следовательно,
Аукт=- иш > гх 1 [(4Уе ± " ± Пе^ ± гкI п — "еЪ УеК ¡Г)] е,: ар ,
укК> е Я^+те,ДП ]1—%Я Шк,е) ик ] у-
(41)
1 > —№,
поскольку выражение под знаком интеграла не имеет особенностей и для любых 72 >
0, —^е < ^1 < 0
1 ,. 1 ГY1+iR 1 [(4ve + We + Ue)p2 + ik1 (Ue - We)p + 4k21 Ve]ept Г7Ц) pt
- lim / $-------------------—-—г------------------$-----[fk J] ept dp
£ R^+<x y/2n Jj1-iR E(p, k,£)
1 1 [Y2+iR 1 [(4ve + We + Ue)p2 + ik1 (Ue - We)p + 4k?1 Ve]ept 'jjj
= - lim -------------------——$— ------------------------------$-\fk \e‘ dp.
£ R^+^ л/2п Jj2-iR E(p, k, £)
Из соотношений (40), (40) вытекает, что функция yk(t) удовлетворяет (31) в случае д^ = 0. Теперь рассмотрим д^. Очевидно gk\t) Е L2j(R+), Y > 0. Преобразование
Лапласа
(2) ( ) _ ( гкпе ± гк "е ) ук
дк р V (4уе ± пе ± те ± гек)(р — гк) (4уе ± пе ± те — гек)(р ± гк)) к
имеет чисто мнимые полюса р = ±к. Поэтому, также как выше, показываем, что соответствующее решение ук\Ъ) задачи (31)
1 г 7+гЯ
у{к)(ъ) = —^ к,е) — 1(р2 ± к2)д(к)(р) eptdp, 7 > —ле ,
Я^+те у/2п ]7—гЯ
поскольку (р2 ± к2)дк\р) аналитично в полуплоскости Кр > —^е, и
\\Е(р,к,е)—1(р2 ± к2)д(к)(р)\\2н2(ъ»ън) =
/+те ——-
\Е(х ± гу, к, е)\—2\((х ± гу)2 ± к2)дк\х ± гу)\2Лу р ж .
-те
Отсюда получаем, что для —ц,е < 7 < 0 имеет место
а / ч 1 г 1+гЯ гкп
7гук (ъ) = - £+те —ш 1_ж ^к-еГ'р(р2 ± к2)(м ± пе ±т;±ЧекЦр — гк) *ар ±
1 г1+гЯ гкт Ук
± ^ —шЦ Шк'е)~1р(р2 ± к2)(У. ± Пе_ ± т "Лк)(р± гк) е'ар'
поскольку, в силу оценки (37), для —/ле < 7
sup /
p=Rp+ix, Rp'^Y J — те
1„2\ 0Гь weuk
T,(p,k,£) p(p + k)
ik wevk.
(4ve + ue + we — iek)(p + ik)
2
dx <
Гте k2 w2|v0|2
< C2(Y) sup ____________k We k 1_____________________dx =
^ 0 p=^p+ix, mp-^YJ—те ((4ve + Ue + We)2 + £2k2)(^2 + (x + k)2)
Гте k2 w2 |v0|2 1
= c2(y) sup + +k W¡ +kl2k2)( 2 + 2) dxi < ~2 ci(y?
p=mp+ixu rnp^YJ —те ((4ve + Ue + We)2 + £2k2)(Y + x2) £2
Следовательно, что, равномерно по k, выполняется
'{k)\\H2(^p>i,H) < c*\vk°\, \\y('^)\\H2(^p>Y,H) < c*\vk\ =^ y(2)(0) = 0 , (42)
в силу оценки символа Т.(р,к,е).
Замечание. За счет перехода от системы (10), (21) к системе (70), (23) в правой части к-моды возникают осцилляции
Нк(ъ) = -(а+егк ±а~ке—ги) — еу1/2 ^ ег(к1—к2)*ак1М,
к1+к2=к , k£Zo
ОС
которые определяют часть решения
,(!)
й = & + п-о-,
где = Т-1 (е±гк*), для которого
Отсюда
Аку() = Тку11] — ^у() = кк (г) - ^у()
АкУк ^к (г) £ Я2,^;0>^>-^£(Я ) •
Оператор А к на функциях Нк (г) действует из Ь21 (Я+), —^£ < 7 < 0 в Ьте(Я+), но не в
ЫЯ+).
В этом смысле решение можно считать обобщенным. Определим, в каком слабом смысле мы построили решение задачи (31).
Определение 3. Функция ук(г) £ (Я+), 7 > —^£, называется обобщенным ре-
шением задачи (31), если для любой финитной ф(г) £ Сте(Я+) выполнено интегральное тождество
рте рте
/ ТкУк(Ь) ф(г) ¿г = (/(1) + д{к]) ф(г) ¿г. (43)
0
0
Покажем, что построенное формальное решение является обобщенным решением задачи (31) в сформулированном выше смысле. Действительно, для любой финитной ф существует < 0, такое что образ Лапласа ф(р) аналитичен в полуплоскости Кр > ^ф. Тогда для 0 > ^1 > — тш{^£, \^ф|} в силу доказанных свойств решения имеем
тете
/ ТкУк (г) Ф(г) ¿г = (е~м* ТкУк ^)) (ем*ф(г)) ¿г =
1 рте рте
__ I Ту (\^. \ + 4х\г>(( — \^ \ + ¿х\Их = I (
ТкУк (Ы + 1х)Ф(—\11\ + ъх)йх = I (¡^ + д{к))(\^1\ + гх)ф)(—\^1\ + гх)йх =
Л
г те __
(е-ы* (¡1" + д<2))(г) (е^’ф®) Л = (¡к1 + д[2)т ф(г) Л•
те -те
г»оо рте
5. Разложение по гладкости
1). Начнем с того, что заменой
V^ = Ут) + V0 ехр | —1 J (Ье + ?)£2ь1е/2ь((П'})д,^ , Ье = 4уе + + пе
в системе (25), (26) перейдем к нулевым начальным условиям. Положим
С\т = к + Н '(р(т))к+ д(т)]
0
0
0
г>*(0,(т) „,(т)\
Б (Щ )к
ПтБ ( Пт^
^П^0 ехр | — J (Ье + ?v1/2£2v°¡n'l)d^ ,
ПmV0 ехр | — 1 J (Ье + ?V1/2£2v0m'))ds^J +
+ \Пт У ег(к2-к1)’Пт \к1 [ егкга ехр( —1 / (Ье + 3vl/2£2^^))dЛ ¿П
4 к^к ¡-^0 I £ Л ]
X
ХПт
1 Г
£ ¡0
к2 I е гк2и ехр ^ — - I (Ье + ?vl/2£2v0m)d^ ¿и
Ь
2,7 ,0>~(>-^0£ ;
Н* ^0т))к = ПтН ^Пт^° ехр | —1 ^ (Ье
+ 4 Пт
Е
е
(к2-кг)’
I к2 \/2 + Vk2 I Птк1 х
kl+k2=k,kl,k2,k£Zo
2
х J егк1аехр | — J (Ье + ?v1/2£2v0m'))ds^ v°l+
+ 1/2 + Птк2 ^ е гк2а ехр — £ J (Ье + ?1^12£2^ ¿п £ Ь2,у ,0>у>-^,0£
д{(кп) = ^^^^к ’ (егк(* а)—е гк(* а)) ехр | —1 ^ (Ье + 12£2v°°n))ds^ ¿п £ Ь2,1,0>1>-^0в
1{п
X Пт
^Пт к^°к1 J егк1а ехр | — J (Ье + ?v1/2£2v0m'))ds^ ¿и ! е-гк2а ехр | — - J (Ье + ?v1/2£2v0n'))ds^ ¿и
X
(
(
We
1/2
— ( 2wk2 —1/2 + vk^ Птк1 J егк1а ехр — £ ! (Ье + ?vl/2£2v0 )^| У01 ¿и +
к2 1/2 + °к2 I Птк1 I е ехр ^ I (Ье
Ve / 2 0 I £ 2 0
0 ТЖ + <) Птк2 [те е,-'к2а ехЛ — 1 / Ь
ve / и0 К. £ 20
1 Га
£ .10
>| vk2 ¿и)
2v°°n'})ds \ V? ¿и
0
е
ь
Тогда
c±(v0m)) =
(Ье + ?v1/2£2v0m'))ds\■ ¿г
■}
d
— 0,(т) + 2. Т п + £Ь
1
£
(т)
(44)
— 2£vl/2Пm(Б(ПтУ, ПтУ)0 + Н(ПтУ)0 + Н(ПmУ,v0m))o) +
+ 0^(1) — ^/Пт ^ ег(к2-к1 ^Пт^М + Ьк1,к2)
к1+к2=0
( т) 0
Щ \*=0 = Щ
ТкУ1Г' = —?у ‘^^уП + А(кЧт) + 0кт)(г)+
(45)
+1 (<Ч + vl/2e2v0n')^k«i 4(1’0т)))егк’ + 1 К + vl/2!£2vkm)ik^v° с- (г'0т)))е гк’
£1'1'2Пт ег(к'--к1”Пт^кък,(г) + Ьк1,к2 (г)) —
к1+к2=к
— 2£V1J2Пm\Б (ПтУ, ПтУ)к + Н (ПтУ^'^^к + Н (ПтУ)к] , к £ Zo ,
Ут)\’=0 = 0 , \к\ р т, к = 0 •
Здесь билинейные операторы Б(у(т),у(т)), Н(у(т),v(m)):
Б(у(т) ,у(т))к = Е [Пт(уГ))Пт(ук7)Ь
к1+к2=к
— у‘к!] — к 1‘е^-Ь^сЬ\ Пт (у£1 + к 0 е-гк2(’-‘)ук:
keZ
и
Н (y(m),V{(Г))o = Пт (
0 ^ = 1 т\ ^
к1+к2=0, \к1\^т,к1=0
ехр
(4( + к + и + 5£3/2v1/2v0m'))ds^ х
ПтК )Пт(у^ )+Пm(vk2 Шу^) ’
Пт
(уП + гк‘]а П^гкН^Л)) —
— Пm(v°l Hk,,а(vkm),г])Пm(ykm) + к / ’ е-^’-’^:'¿б) +
’
’
+ П^ ІІ ,г)) ,4 нк2,ч, („<т>, о)])
Н (у{т,,<С\ = П„( £
кі+к2=к
ехр
(4и + ги + и + 5є3/2v1/2v^)m'>)d^ х
X
ПтУт) пт(,°к2) + пт(,°к!)пт(укт])
+
+ пт(у(т) - гь е-*«-^^) пт{,і2 кк2,и,ит\г))
+ пт(,°к1 НкиМт\і)) Пт^укт + гк2 ^ егк2(
2). Оценим вклад билинейного оператора Б (у(т\у(т)) в решение, выделив члены, принадлежащие Ь2,1;0>1>^е (Я+). Наша цель - получить так называемое разложение по гладкости
(т) -1 (т) -1 (т)
ук = Тк Ук + Тк Бк
(46)
Б
± _ Ат) ікі | Ат) -ікі
кк Б±
Ск егк + Пк е-
Т-Че**), УГ є ^ к>7>-,ое(я+),
(т)
где для к< 0 положим £к = П\к\, Пк = к\, Б+ = Б-к\, Б- = Б + \. Отсюда £кБ+
к
П\к\Б -к\.ПкБ- = С\к\Б+к\,Бк = Б\к\. Заметим что т,:1Б{(П)\’=0 = 0, Т,:1¥^>\’= Тогда
0.
в(у(т) у(т)) = В(Т-1У(т) Т-1У(т)) + В(Т-1Б(т) Т-1У(т)) +
+ В (Т-1У(т) ,Т-1Б(т)) + В (Т-1Б(т),Т-1Б(т)) Начнем со старших мод к Є Zк. Для к, к1,к2 Є Zк:
(47)
В(Т-‘У(т) ,Т ~‘У (т))к= 22 (ПтТ-1'Гі(1п)ПтТ-2'ГІт)
кі+к2=к
(48)
-Пт(Т-1Ут - ікг егк^Т-іУт^з) Пт^Т-'У™ + гк2 е^^Т-У^^)) .
t
Лемма 5. Для любых к,к‘,к2 £ Z0, к + к‘ + к2 и и.V £ Ш‘2 0 (Я+) справедлива
оценка
!1;0>1>^(Я+) ^
і -(
i k2\
d
—и
dt
+к\\\и\\2
L2,y;0>y>^£ (R+)
L2, y;0>y>^£(R+)
-i~v
dt
L2,y;0>y>^£ (R+)
+ k2\\v\\b2, t,0>y>vc(R+))
а). Следствием этой леммы является приводимая ниже оценка для первых слагаемых в (47). Во-первых,
II \ Л П Т-1V(т)Т-1V(т')\\2 <■
II / у ПтТ к1 1 к1 Т к2 1 к2 \\Ь2,т,0>ч>ре(я+) ^
к1+к2=к, 0<\к\,\к1\\к2\< т
І к2 С
Л
Е (
k\+k2=k, 0<|k|,|ki||k2|i m
d
-1v(m)
__T-1Y
1 Y I
dt
ki ki
X
cl
dT-1Y(m) dt k2 k2
l2 , y;0>y>^£(r+)
2 WT-1v(m) \\2
T-1Y(m)
1 k1 Y ki
к2
E
L2, y',0>y>^£(R+)
(m)\\2
+ k2
+щ пт.;1 уг\\i, ,:o>,>„ №+)> і
L2, y:0>y>^£(R+ )
' X
Y(m)2
ki IIL2, y:0>y>^£(r+) H k2 IIL2,y:0>y>p£(r+)
\КП)\\
ki+k2=k, 0<|k|,|ki||k2|i m (m)
с постоянной c1 не зависящей от Y(m) Є 0>7> (Я+) и к Є Z0,
Т-№? — iki 0 e'k‘(‘-)T-i1Y(m‘,ds = 0 e'kl(‘-’)dT-'Ykm'ds ■
Далее, из приведенных выше свойств интегро-псевдодифференциального оператора Tk следует, что символ p(p + ik1)/'E(rp, k1) оператора 7y = /0 eiki(t-s) dT—1yds ограничен в полуплоскости Kp > y = —/л0є. в силу Лемм 2,3, отсюда следует,что
sup
t>0
eik i(t-s)T-1dY (m)ds e Tki dsYki ds
і
(fe^dt)
1/2
d
ki ds*ki
T-1 dY(m)
1 її- 1 Y I/
і
L2, y;0>y>^£(R+)
і sj2c1^0/e \\Ykrm')\\L2,to>y>^(R+) ■
Окончательно получаем
\\B (t-1y (m),T-1Y (m))k Ц2
L2, y;0>y>^£(R+)
і
^ c‘( ¥ +1“)
ki+k2=k, 0< |k|,|ki 11k21і m
Y(m) 2 Y(m) 2
II ki II L2,y;0>y>^£ (R+ ) \ k2 II L2,y;0>y>^£ (R+ )
Доказательство леммы. В образах Лапласа по t получим
IIHIL2 ,t,0>Y>»s(R+ ) = SUP
Y>-^£ J fcp=Y
u(p — s)u(s)ds
' Ks=7
dp і
2
2
d
2
0
(
-V
dt
dp
+ 2ІМІІ2 ,-т,о>-1>^(я+) (
+ кЇМІ2П;о>^(п+)) 8ир/ ртгц I 1и(р- 3)143 +
1>—^є •/Шр=у \р\ + к о№^=^
+ к2 МЬ2,т,о>^(К+)) J—^ \р\2 + к2 •
—и
dt
и ^р=у 22
Ь2, 7 ; 0>^>^є(^+)
)
dp
Здесь мы воспользовались тем, что (\р\2 + к2) ^ 2[(Ы2 + к‘) + (\р — s\2 + к2,)). Для последовательности {¡кт(г), к £ Z0, \к\ ^ т} положим
В/(т)ІІ2
— / (т^Р
Ь2;0>^> — ^0) / ^ В / к В Ь2 ,*у;0>^> — №0є(^+ )
Е
к^Ео, |к|^т
В/(т)«»'.
2 ,-у;0>-у> —-^о£
(я+)
Е (
кєЕо ,|к|^т
dt/k
(т)
В/(т) В2
ж
2,-у;0>-у> — ^0£(Я+'А)
Е
к£Ео,1к1^т
d / (т)
1гк
2
Ь2 ,^;0>7> — і^оє(^+ ) 2
+ \к\2В/к )В‘ь2,1;0>1> — ^0£(Я+)
,
Ь2,-у;0>-у>^£(В-+)
+ \к\2В/кт)В2Ь2ГІ;0>1> — ^0£(Я+) +
+ Рк /ҐИІ2^
,Т;0>7> — Р0є(^+) ,
Тогда
£(т) \\2 к \\Ь
ЦеЩТ —1У (т),Т—1У "п і?,.,,»,,, (Н+)
(т)\II 2
(т)«2 гк;"’»?- - (^)«
^ ^ С1 ^ V Н^кі Вь2,7;0>—7> —1 к2 ІІ?2, ^;0>1> — ^0є(^+ )
кєЕо кі+к2=к,к<ІкіІ,Ік-І,ІкІ^т
< (т) й2„^>—„,(я+)
Ь). Теперь оценим два следующих члена в (1). Имеем
Л — В (Т—1Б(т),Т—1У(т))к — ^2 (
П Т—1 Б(т)П Т—1У(т)
ПтТкі Бкі ПтТк2 1 к-
(49)
кі+к-=к
Пт
Б*т) - ікл / eгkl(t-s)т!:l'Бtm)ds) П^(т—-УЦк) + ік2 eггk2(t-s>т-^y¡m>d¡))
к, к1, к2 Є Zк .
Также как выше
Пт
(т^б" - ік1 / егкі('— Бт)Із) П^(Т—Ут + гк2 е—гк2(—У™ Із)
П
га( к еік і(/'—*Б<т 1) П^( - [ е— гк2 ^ ^У^Із) ■
2
і
Из приведенных выше свойств интегро-псевдодифференциального оператора Тк следует, что Т—1Б{(к") Є Ь2<Гк>1>—роє(Я+) и Т—1 £Б[т) Є Ь2,ГА>1>—роє(Я+). Отсюда
вир
t>к
егк і (і;—^ т —1ІБ(т)Ія е Ткі ІзБкі 13
<
/ г те \ 1/2
И е-™*)
Т —1 Б(т)
кі Із кі
\/2^к/є
Т—1 Б(т)
кі Із кі
Ь2,7;0>7> — ро є(^+)
Оценим таким же образом Т^Б^ = /0 Т-1 Б(П)ds. На основании этих оценок имеем
II ^1 11 ?2, 1;0>7> — Р)є(К+ )
<
<
2с2фк
кі+к2=к, кі, к2, кєЕо, І к І, І кі 11 к21 < т
У(т)
В к2 В ?2,'у;0>7> — роє
с). Наконец, оценим
В (Т—1Б(т),Т—1Б(т))к— ^
кі+к2=к, кі,к2,кєЕо, Ік,кіЦк2І< т
Пт^В" ^"(Т^Б"))-
-П"{ т— 1б т) - гк1
t ) ( /*t
е^^Бт^з) ^(т^Б" + ік2І е—гк2(‘^Т— 1Б(:І
і і т 2 2 2 2 2 кк
£
кі+к2=к, кІ, к<ІкіЦк2І< т
Пт(Т—і1 Б <т ))Пт(Т— 1Б^"))-
і 2
к
к
Решим теперь проблему с членами ік /к егк(і—^Б+(в)Із, ік /к е—гк(і—^Б — (з)Із, которые, как мы показали выше, не принадлежат Ь2,і;к>1>^є(Я+). Выделим в них вклад осциллирующей части.
Слагаемое ПтТ—і1Б")ПтТ— Б) оценим по Лемме 5. Имеем
IIП Т— 1Б(т)П Т— 1Б(т)\\2 ) <
НПmT кі Б кі ПтТ кі Б к2 \\ Ь2ГГ;0>7>—^0є(ії+) ) <
<
—аЙ"\2 + \чí"‘)!2) (\£І"V + \ч["‘)Г2).
Далее,
£'ЧҐ І е—гкі(—)^-Т— 1(егк^)Із І егк2(‘—-^Т—Че-гк2УІз
Із
Із
<
Ь2,-у;0>-у>—^о £(^'+)
2
і
t
к
к
d
—T-1( eikist\ ds1ki (e )
L2 ,y:0>y>—^o£ (R+)
d
elk2(t-s) —Tj-1 (e-ik2S)ds
і
L2 >'у;0>7> — ^os(R+')
і (іСі2 +1 <i 2) ( icI 2 + K^2)
Здесь мы воспользовались выражением для преобразования Лапласа
L( Jo eik2(t-S)dsT-1(e-ik2S)ds)
p
E(p, k2) '
Откуда в силу Леммы 3, следует, что ^ /0 егк2(* з)£Т-21(е гk2S)ds|2L2n;0>Y>-,0s(R+) < с2 Теперь оценим члены вида
h = )rntm)(T-1(e-ikiS) — ik1 J0 e-iki(t-s)T-i1(e-ikiS)ds) J* eik2(t-s) ^Т-1 (e-ik2S)ds
и
I e-iki(‘-S)dsT-i1(eikiS)ds (r-1(eik2‘) — ik2 I eik2(‘-S)d-T-1(eik2S)ds) ■
2=
d
ds
Далее, для определенности, рассмотрим случай k\,k2 > 0. Тогда
—ih e-iki (t-S) T-1(e-ikiS)ds = —Tki T-1(e-ikiS) —
є
we
d 1
d_T-1(e-ikiS) — —LeT-1(e-ikiS) — iku — I eiki(t-S)T~1(e-ikiS)ds
—
We 1 rt
є J 0
(50)
— e-ikiS__________
We We
d Ґ d єJtT-1(e~ikiS) — (Le — Ue)T-1(e-ikiS) + Ue eiki (‘-S) —T—1(e~ikiS)ds
Таким образом, осталось оценить только члены вида
h = nim'Zim'(T-(e-ki‘) + ik1 2 e-ki(‘-S)T-i1{e-ikiS)ds) x
x (t-'^) — ik2 eik2(t-S)T-(eik2S)ds)
) + rlm'ik;,T--ie-ik',)—e'k2 + чСХ“ )T-l1(e-iki‘)T-1(eik2‘)
UeWe
—Т-Кє-^11) (—eik2S + U-e [—dr-1^) — (Le — We)T-1(ekS) —
- We
d
e-ik2(t-S) dttT-i1(eik2S)ds]) +
2
2
—
0
t
0
t
0
Ке
с г* с
") — (Ье — ие)Т-(в-гкП + ие У0 егк1(--
X
Г* с
х у егк2(-) —Т-1(егк2*)Сь
Здесь мы дважды воспользовались (50).
Из приведенных выше оценок следует, что
||£ Б*(Е^тК, Г(т))к11^,>>->>-т,(н+) <
< £с‘ 22 (|{¡n^)|^ + ¡п^!2](|tlm^)|2 + ІЧ^)|2]
к1+ к2=к, \ к1 \, \ к2 \, \ к\ ^т,к 1, к2,к=0
где
Б*(Е(т), Т(т))к = Б(Т-1Б(т),Т-1Б(т))к — а™ (г) £ Ь^»-^ , 2
а^ю = — 22 П^^П ег(к-1)‘
'№е е
к1+ к2=к, \к1 \, \к2 \, \к\ ^т
Замечание. Для к‘ < 0 имеем
С 1 Г*
Тк1 У = т+у + - ЬеУ + г\к‘\ (Ке ег \к1 \(-) — ие е-г \к1 \ (tкS))yds•
¿г £ .¡0
Положим
С 1 Г*
ТПУ = мУ + -£ЬеУ + ^ I (Ке ег'к1 l(t-s) — ие е-\к-\ (t-s))уйа .
Тогда для к1 < 0 имеем
Тк 1 у = ТП у т.е. Т-11 = (Т17)-1.
Из этого наблюдения можно сделать следующие выводы.
1. Для к1 < 0, к2 < 0
(к Л е-гк '^'Т- ‘бП )&) (гк.2 0 ^т- ‘бП )с^ =
= (г^ 1‘ егк1 \ (^(т;щ Г‘бп,1^ (г^£ е-гк 1(-)(щ у‘б Цй*)
2 £2 -п\к,6* \ е(-\к2\+\к1 \)* + " • =--------------п\к2й к! \ е<к-1)* + ... .
иеке иеке
2. Для к‘ > 0,к2 < 0
(■гкА‘е-гк^Т-‘Б(П)<1ь) (гк2 [1 Б*!
1
р2 р2
е _1^1___ о
~П\к2ІПкіе І к2І кі + ■■■ —-------ПІк21Пкіек2 кі + ■■■
. «і^ І '/ І к2 І '¡кі
ие—е ие—е
3. Для к1 < 0,к2 > 0
(ік11‘ е—гкМТї 1Бт)Із) (ік21‘ еікБ*(")Із) —
— ( - іЩ кегІкіІ(—)(ТП)—1Б(")і')(ік,2 кегк2(—)(Т— Б^Ів)
к «Ікі :ек'2+І кі + ■■■ —----------------------^ кі Іе к'2—кі +
и—е ие—,
Положим
В*(У(т) У(т)) — В(Т—1У(т) Т—1У(т)) + В(Т—1Б(т) Т—1У(т)) + В(Т—1У(т) Т—1Б(т))
2
В *(Б(т),Б(т))к — В(Т—1Б(т),Т—1Б(т))к + ^2 ег(к2—к^£^ )п<"""
иг кі+к2 = к 2 1
Тогда Б* часть Б которая переводит
В*(У(т\У(т')) : (Ь2>Г1»—^(Я+ ))2 ^ Ь2>Г1»—^(Я+)
и
В*(Б(т),Б(т)) к — В(Т—1Б(т),Т—1Б(т))к +-------- X! Є Ь2
кі+ к2= к
Таким образом, в переменных У(т') ,Б(т') система (45) записывается в виде
У" + 3,1/2е ,(0т)Т—1У(т) - ,1/2е,кт"Л^Т ^У^" (51)
+1 (І+ + ^^к"ік,к 4(,ІкҐ)))егкі +1 (І— + ^^Ґ^кс— (,кт)))е гк
е2
е ‘-(т) (т)\
-Є,\/2Пт £ е^^ПтІіМ ^)+ Ькі,к2 ^) + ------------------ССО
кі+к2=к и—
-2е,\/2 Пт[В*(У (т),У (т))к + В *(Б(т),Б(т))к + н (Т—1У (т),,кт))к + Н (Т—У (т))к]
-2е,1/2Пт[Н(Т—1Б(т),,{кт))к + Н(Т—1Б(т))к] + 0{кт)(^, к Є Zк, \к\ < т,к — 0 ■
Заметим, что Т- 1Б(п^\*=0 = 0, Т- 1¥(т\*=0 = 0. В силу Лемм 3-5 и приводимой ниже Леммы 6 получим
||£ Б„(¥(т>,¥^кЩ,„,0>~,>-„.т+) «
< е с\
(т)2
ІІУ (т)\\‘‘
кі + к2= к, |кі І, |к21, |к\<т,кі,к2,к=к
X
X
(иуГи^о^-™.^)+\«)\2+пт ч2)-
Р^ 1
Лемма 6. Аналитические в полуплоскости Кр > ^;0 > 7 > —ц,£ функции •-
к
рЯ________________
£ р(р ± ік)'
Е р ± ік
Q = р + к , ограничены, т.е. существует с0 > 0 такое, что
рЯ 1
Е р ± ік
< Ск ,
рЯ к
Е р(р ± ік)
< Со , У р Є С, Кр > 7 , 0 > ^ > -^е .
□ Действительно, во-первых
рЯ 1
Е р ± ік
11 < Ск \р±ік\ ’ \р ± ік \> 2 -
рЯ к
Е р(р ± ік)
1
< СкП
к
\р\ \р ± ік\
Далее, в окрестности \р\ < 1/2 имеем
\р ±ік\>1 > \ р\> 2 -
рЯ к Я к
Е р(р ± ік) Е (р ± ік)
< с1
и в окрестности \р ± ік \ < 1 имеем
Точно также
Е р(р ± ік) рЯ 1
Е
Е ік
\р\ \р - (±ік) \
< \ Е \ < 3 -
Из доказанного утверждения следует, что указанные функции интегрируемы с квадратом
вир
( рЯ 1 2 + рЯ к
тД Е р ± ік Е р(р ± ік)
<-
Лемма 7. Из приведенных выше оценок частей билинейного оператора B* (Y,Y(m'))
следует равномерная по k априорная оценка
e2\\B*(Y (m),Y (m))k\Ц2
Y ; 0>Y>-l-l0£
B
£ [гГі^ ¡R+) +1 С і 2 +1 nm" іy <r+> +1 C’ і 2 +1 <' і 2]
(52)
-")\2 , \Jm)\2-\
ki+k2=k, 0<|ki\,\k2|,|k|^ m
для любой Ye L2,t, 0>j>-^ae-
Более того, справедлива априорная оценка вида
є2\\В*(Оі'"‘\ \\1 ^i єсВ Y,
ki+k2=k, 0<|fci|,|fc2|,|fc|^ "
[ і d" і2+1 nk" і2] [ іС і 2+1 nm" і2]
k2
53)
для любых E("', Y("' Є C"
6. Нулевая мода
Теперь посмотрим как влияет билинейный оператор
П" {В(П"(у("'), П"(у("')))0
£
kl+k2=0,|kl|^",kl=0
vki vk2
— - (”£) — гк‘ [ е-гк1 (-) ¿¡п;;]еъ) (4т) + гк2 0 е^^йв
на нулевую моду. При условиях на начальные данные (12) и (62), которое мы рассмотрим ниже, когда Н(у)0 = ¿0 = 0, уравнение для нулевой моды принимает наиболее простой вид
dtv0 + 1 Lev0 = -2єуі/2у2 — 2єvl/2B(v,v)0
V0 і t=0 = v0 ,
(54)
положим
Для v = v° exp j — 1 f0(Le + 3є2ve/2v0"dt + y("', y" іt=0 = 0,
G0"' = B^v° exp I — J (Le + 3є2vl/2v0"'))ds^j dt, v° exp | — J (Le + 3є2vl/2v0"') )ds^j dtj
H(y("\v0"')) = b(v° exp I —1 J (Le + 3є2vl/2v0"'))ds^j ,y("^ + + B(y("\v° exp I —1 J (Le + "te2vl/2v0"'!)ds^''j .
Далее, полагая, так же как и выше = Tk lY+ Tk lY(m), получим
n^ B(nm(y(m)), nm(y<”‘>}) 0 =
E ((Т-Х:т + т-ч^кт-хт+т^-г^^ -
ki+ k2=0, \ki|^m,ki=0
4 (T-iYf + T-i'Dm + iki J‘ e-mt-^T-Ym + T-i'Dkmy)ds) x
x (t-'Y^ + Tk-'Dm, + ihf ' + T-'D^ds) .
Суммируя, изложенное выше, мы можем разложить компоненты билинейного оператора, выделив осциллирующую часть. Тогда B0 часть оператора B, которая переводит
B*(Y(m,,Y(m,)o : (Ь2гф>1>-,ое(К+)}2 ^ Ь2гф>1>-,ое(К+) ,
по следующему правилу
B*(y(m),y(m,)o = B(T-1Y(m),T-1Y(m,)o+B(T-1D(m) ,T-1Y(m,)o+B(T-1Y(m),T-1D(m,)o . Далее, B*(D(m,,D(m,)o = B(T-1D(m,,T-1D(m,)o - a0m,(t) E L2>r,o>7>-Mas , £2
aom,(t) = — y, e'(k‘-ki,t.
UeWe i
ki +k2 =o, Iki I, Ik21, |k\^m
Следовательно, несуммируемый в L2 вклад осцилляций определяется функцией am. Функция a(m) E CB(R+) меняет предельную константу на плюс бесконечности для стандартного уравнения
d vstn + 1 LeVstn = -3vl/2£ v2'n - 2vl/2£ a(om) , (55)
dt £
vstn(0) = vo . (56)
При этом нулевая мода
von) (t) = vm (t) + £ von) (t) , von) (t) E L2,r,o>Y>-^e(R+) .
Мы потребуем, чтобы а(т') (Ь) Е СВ(Я+) была гладкой ограниченной функцией. Тогда стандартное уравнений имеет глобальное решение
(Ь) = У{^)(Ь) — (^Г1 Ье + 2у+п)(ь)^ х
х ^1 + exp |^1/2є J ((3vі/2є2) lLe + 2v+"\t))ds + т| + z("\t)^ , т Є R
такое, что sup et іvS"'(t) і ^ C0, стабилизирующееся при t ^ +то к функции v+")(t),
t^0
„{")
z("'(t) Є L2>y;0>7>_^0£. Параметр т находим из условия
- ((Зі^е^и + 2„'+т)(0)) (1 + вТ)~' = -к
Здесь у = ^"¡(і) - і+"\і) решение уравнения
d1 Ly = dt-У + Є Ley — ^*/2є y(y— 2v+")(t)) =0 ■
Если
y = — ^(3v1/2Є2) 1Le + 2v+"')(t)^ (l+exp ^3vl/2є J ((3v1/2є2) 1Le + 2v"(t))ds + т|^
то
Ly = —2dtvi+")(t) (\+exp j^1 /2є ((3v£ /2є2) 1Le + 2vi")(t))ds + т J ) Є L2,r;0>j>-^os
при условии
(3vі/2є2)~lLe — 2 sup іv+" (t) і > ц0є . t>0 Невязку z("\t) Є L2,y;0>7>-
Lz" = —2dv+"\t) (l+exp |^є1/2Є (^і/2Є2) 1Le + 2v+"\t))ds + т| ) Є L2,T,0>j>-^oe
будем искать, так же как во введении.
Частное решение г" (і) будем искать как решение задачи
dv+"\t) + 1 Lev+"\t) — 3v1J2є (^+"))2(і) + 2vl/2єa" = O(m ^ . (57)
Для а0т)(і) = 52\к\<2т, к=к Нкегкі, \Нк\ < \к\ 1 а, а > 1, решение будем искать в виде
1Ґ)(і) = Е\к\<т, к=к СкЄгкІ- Тогда
3ve Є ^ cki ck2
ki+k2=k hk ґго\
Ck =--------------------------------j-1-----------------------------------------j— . (58)
ik + — Le ik + — Le
є є
Положим А = 52к \ к\а \Нк \. Разрешимость системы (58) есть следствие утверждения:
Лемма 8. Пусть А = 52к |к|м I кI *| Нк | < ж, Нк € С, для некоторого а > 1 и для семейства билинейных квадратичных форм Вт(и, и) равномерно по т справедлива оценка I Вт (с,с)к I ^52к1+к2=к I скА I °к21 ■ Тогда для любого т > 1 система билинейных уравнений
Ск = е(Нк + В (с, с) к), к = 1,... ,т, (59)
имеет решение (с1,... , ст) € Ст, для которого равномерно по т и к справедлива оценка
А
| ск | ^ е | Нк | +
('Нк]+ш*) ■
к = 1,... ,т ,
(60)
если
к^о
□ Фиксируем т. Тогда для приближений (с/ ,... , ст) € Ст:
= е[Нк + В(с( 1),с/ 1'))к] , к = 1,... ,т ,
= 0, к = 1,... ,т, справедлива оценка (60), поскольку в силу индукции
| ск ] | ^ е^ | Нк | + 7ЩГ Е ( | к11 * | Нк1| + А)(| Нк2| + тщит) +
\ к1+к2=к
)«
+ {\к2]\7 ^Нк2 | + А) (^кх | +
, 8сА2 \
‘^Шг)
А
Ш-
А
если е28сА ^ 1. ■
Из ограниченности приближений следует существование решения (с1,... , ст) € Ст системы (59), для которого справедлива оценка (60).
Замечание. Для оценки ^скI, к € Z0, умножим (60) на |к|. Тогда
к\+к2=к
^скI ^ е(\кНкI + к ^2 ^к1 Цск2 |) ^ е(\кНкI + ^ Цск21 + ^2 ^к1 Цк2ск2 |)
к\+к2=к кх+к2=к
е(кI + 2 ^2 Цк2ск21) .
к1+к2 =к
Следовательно,
если
Для функции = 52|к|<т, к=о скеШ имеем
+ 1-ьУ+т\1) + 31'1/2е Ут>)2(г) + Н/2е4"' = = Н/2е Е Нк-Ш + 3у1/2е [( Е скеш)2 -
т<1к1^.2т, к=0 |к|^т, к=0
~ П
У, ск1 ск2егЫ = 0(т 1).
кх+к2=к, 1к1Цк21,1к14,т
В зависимости от знака ат нулевая мода либо проскакивает состояние равновесия либо не доходит до него. Решение стремится к нулю экспоненциально только при условии а(т') = 0. В случае а(т') = 0 мы имеем только устойчивость по Ляпунову в окрестности состояния равновесия.
В переменных У(т), Б(т') уравнение для нулевой моды
(у™ + \Ы - 3 еЧ1/^) У0т) + 2еу'€/2/Г) = (61)
I Т 3 2 1/2 (т)\
\Ье- ^ е V У0 )
О0т) - 2еу}/2И(Т-1У(т),у0т))о - 2еь\/2В*(У(т),У(т))к
окт) = -2ь1/2е
в(у° ехр | - - J (Ье + Зу 1/2е2v0on'>)ds^
у0 ехр |-1 ^ (Ье + Зу 1 /2е2у0п)№^ )0 + В*(В(т),В(т))о + и(Т~ 1Б(т),укт))о
7. Условия несекулярности
Как видно здесь за счет взаимодействия появляется члены с ег(к2~к1')1:. Образ Лапласа решения с такой правой частью не будет аналитичен в полуплоскости Ш.р > -^е. Появляются полюса в точках р = г(к2 - к1). Мы должны потребовать выполнения дополнительного условия на начальные данные мод любого порядка:
(к1М = 1 |^°2 ^72 + (^и°к1 4/2 + = 0 ,
(к = ™е2 (2и1/2и1 + У1/2у°о) = = и1/2(2'Ы1е/2Ы°о + у1е/2у°о) = 0 ,
т.е. потребуем, чтобы
т1/2(2и1/2и0к + = и'е/2(2т1/2и1^г + у1/2Ук) = 0 , к € Zо . (62)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К,,Я Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 187 Тогда
1/" ,° \( [ Ак1* [ (т _1_ ч„Д/^^,(т)'
(гкеукк1 )(гк2У°2 )^ ^ егк1 ехр | -1 J (Ье + Зу1/2е2укт )(‘|(^ х ^ j е-гк2 ехр | - - j (Ье + Зу1/2е2укт'))(^ ,
1о Iе Jо
и оставшиеся секулярные члены имеют вид
( е2 ) еуУ^куШЧ 14(уот))еги + с-(^Г))е-гкЧ - Е ег(к2—к1)<(Ък„к2М + — С<>)) к-1+кг2=к иеШе
Замечание. Положим Цт = {(ке,к2); ке,к2 € Z0,\ке\,\к2\ < т, \ке - к2\ > т}. Отметим, что случай \ке - к2\ > 2т невозможен для ке,к2, \ ке\, \ к2\ < т Действительно, пусть для определенности ке > 0. Тогда -к2 > т. Таким образом, в секулярных условиях мы исключили все возможные пары из Ят.
Также как при исследовании нулевой моды разобьем осцилляции на две группы. Учитывая, что у П по построению есть линейная комбинация экспонент 52\к\<т к=о скегкь, положим
гке^т'гк, НУ"")ек + сГ—(у^")е-гЫ] - £ с'(к2-к1)4Ък1,к,(г) +
к1+кг=к иеЮе
= Б (т) + вет)
где
Имеем
Б(т)(г) = ^ в(т)ек, Б(т)(г) = ^
|к|<т \к\>т
4т) = У Щ2сЯ1 У°2 с+2 (уот)) + У сЯ1 с-2 (у{(Т))-
Я1+Я2=к, \д1\<т,о<Ч2<,т,д1=о Я1+Я2=к, 1д11<т,о>д2^—т,д1=о
( е2 )
^ Л ' 1 • *(т) п(т)
(ъ™ + ■ \к\ < т,к = 0
\ ир сир /
Я1+Я2=к, тит^т, д1, д2=о
Нетрудно проверить, что равномерно \к\а = 0(т—е) и поэтому, также как при
исследовании уравнения Риккати (нулевой моды), мы эти члены отбросим. Они будут не существенны при обосновании схемы Галеркина.
Оставшиеся секулярные члены егЫ, \к\ < т, к = 0 приводят к нелинейной
системе для коэффициентов . Для коэффициентов потребуем выполнения
следующего условия.
Условие несекулярности. Потребуем, чтобы для любых к € Z0, \к\ < т, к = 0 были выполнены соотношения
е2
5к "е 1^к ' и~и, Пк
(т) . п 1/2 1 (т) . е (т)
.V > , о г-2 I вк ; +--------кк ;
е к Пе1ие к
где
(k“) + 2е S“ + yWk“) =0 ■ 0 <к ^ m, <63)
П“ + 2sv1/2 ^ s“ + K/k“^ = 0 , -m ^ к < 0.
к(т) = V"1 С(т)п(т)
Кк = /_^ ^Я2 Чя1 .
Я1+Я2=к, 1я11,1я21<т,Я1,Я2=0
Существование решения системы для достаточно малой нормы ||у0||я°(0,2п) следует из Леммы 9, приведенной выше.
В дальнейшем, мы потребуем выполнение условий несекулярности (63) и условий (12), (62).
Остается вопрос, что будет в случае, когда для старших мод это условие не выполнено? Можно ли получить пусть слабое, но глобальное решение?
Заметим, что
гкс±(у(Г)) = ±гк еТгкзе—\=
о
г*оо г 1 рЬ
1------[ (Le + 3v1/2e2v0m'))eTtks exp | — J (Le + 3v1/2e2v0“n'))ds^j dt.
s Jo Iе Jo
Отсюда следует равномерная по к ограниченность
Ikr^r»! i mJ 1, ^fLL^mp)
{ inft^o(Le - ?v1/2s21vo I) J
Inf t^o(Le - ?v1/2s21 Vo I )
Точно также для
jk = —2vJ bqi,Q2
qi +q2 =k,\qi\,\q2\4m,qi,q2=o
( 1 rt
= Vl/2 У (iQlV°q, )(iQ2V°q2 W eiqit ex^ - - . y^e
У (iqiV0qi)(iq2V^2) f eiqit exp j-- i (Le + ?v1/2s2v(“n'))ds\ dt x
qi+q2=k, \qi\,\q2\<m,qi,q2=o o l o
|-- J (Le + ?v1/2s2v(n'))ds^ dt;
x l e 42*exp| -— j (Le + ?v1/2s2v'on)
для а ^ 1 имеем
1
jk1 < vI/2tL Y. { q 11+a К 1 x
qi+q2 = k, \qi\,\q2\<m,qi,q2=o
X
>0
+1 ® Г+1 у1 I
| — - J (Ье + 3v1/2є2v(n'>)ds^
J в~г(І2І ехр | —1 J (Ьє + 3v1/2є2v(m'>)ds^ dt | —1 J (Ье + 3v1/2є2v(nn'>)ds^ dt
{ — 1 /
+
ЄЩ2І ех^ - є I у^е
с[1у^л I е "“"ехр ^— J (Ье + 3v1/2є2v(m'>)ds\■ dt !> ^
рте
уО І р-гдіі,
| dt |
1 к1 с
/ 2 1/2 1 \л *иР^о(Ье + 3^}1/2е21 ^1 )
^ 2є ve ^г~,— шах< 1, ---------------------- -------------------------------——
(т) і
щ 1
(Ы т(Ье — 3v1/2є2 ^0т>|))2
}(е
> V \о.\^1
2
Ыа ю
При выполнении условия достаточной малости нормы 1^° \\н° равномерно по т однозначно разрешима система для определения двух векторов коэффициентов осцилляций
ііт) = (£п>,---, т>), п(т> = пт ,■■■, пПт>)
так, что для решения системы (45) справедливо разложение по гладкости
у'П'М = П>+ пі""О- + У(т)У), = Т-\е±гк), |к| < т, к = 0,
где У^Нї) € Ь2, ,ч;0>7>рє(Н'+), и проблема существования глобального решения задачи (61), (51) сводится к проблеме для возмущения оператора А = I+є Л{У(т')) билинейным оператором с малой нормой
А(У(т)) — єВ(У(т),У(т)) : (ь2>Г'0>^(Я+ ))
2,^;0>^>^є
(Я+)
(64)
А(У(т))к = 3v1/2v0m)T-1У¿m) + v¡/2v^n)A{k1)T-1У¿m), В (У кт),У(т) )к = ^112вч (Ут) , У (т))к, к € 2°, к ^ т
о существовании решения в пространстве Ь2,Т;°>1>-^0Є(Я+) неоднородного уравнения
А(У(т)) — є В (У (т),У(т)) = Ск
т)
(65)
оо
0
2
Предложение 2. Пусть V0 € Н°, а > 1, выполнены условия несекулярности и условие (12). Тогда существует число с0 = с0(е) > 0, независящее от т такое, что, для достаточно малого е < е0, при условии ||у°||яст < с0 и для любого т € N, существует
решение V = У(т)(г) системы (25), (26), которое является глобальным по времени. Более того, равномерно справедлива оценка
11У0 ) - УзЫ11Щ} , > (Я+) < ,
2,-у 0>'у> — №£
llvк'т)(^) — °<кП)\\Щп.0>7>_^(,Я+;А) ^ С°\К\\, ^к € 2°
(м+
К" + ПЧ « С0-1 |vg| ( |v0| + п^А,
где А, = £к€г0 \к\,гта < ж ■
Замечание. Очевидно, что проведенные построения применимы к модификации (6). Но этот случай намного проще, поскольку здесь
(т) ____ 2 1
а° є п2и2 ^ 1"^к1 ^к2
к\+к2=°, kєZo, \к\^т
есть константа и можем не приближенно, а точно решить уравнения для нулевой моды. В тоже время
а" = є2£ «¡ГС)ек + иЫт^к;)е-‘к‘\ ■
е е kl+k2=k,kєZo, |к|^т
Это упрощает условие несекулярности и позволяет решить систему для к мод (|к| ^ т,к = 0) опять же не приближенно, а точно. Ниже, для простоты, мы приведем вспомогательную задачу (линейную относительно старших мод) для такого случая, когда
(т)
а константа.
кс )ект)+«їґ'пкт ч
0
8. Модельная задача (априорная оценка)
Сначала рассмотрим задачу, линейную относительно У(т') (см. (44), (45
1 [Ье- -е2у1/2^т) \ т) + 2еу1/2п[т
(г 0 е V е 2
7о - 2е V
+ -(Ье — 2 є^У^) + 2єг1/2а!”і) = (66)
= Г° — 2єvl/2 Н (Т-1У кт))°,
Т7 ^ т (т)
Ро € Ь2,Т;°>у>р0є, в случае, когда для простоты, а° — константа.
у" + 3vl/2є ¿"Т1 Ук" — v1e/2єvkr)A(k1)Tl:1Уkm) + 2є vle/2H(Т-1У(т), v0m))k = (67)
—О кт) — 3v1/2єv0m)Tk1УD" — v¡/2єv((n)A(k1)Tk1D" + 2єv1e/2H (Т ~1О(т) ^к"^) к+
+ 0 Ц + М.Ъ4тЧ сМт')) Є- + (^ + ,.Ы с-і,/") е-
( є2 )
— ^1/2 X/ ег(к2 dк1,к2 + Ькі,к2 + ~ €кт)пкт^ Рк(ї) ,
\ Шр сир /
к Е Zo , IkI ^ m,k = 0 ,
где
Dn)(t) = Сt)eikt + n“e-ikt,
bkiM = -2(ik1V0kl)(ik2V0k2) [ elkise~iJ0(Le+3vi/2c2v0r))dsdt [ e~lk2se~iJ0(Le+3vi/2c2v0r))dsdt.
Ю J0
2
dki ,k2 = г I 2w0^ + v° 2ul + v0
dk = wlJ2(2ulJ2u°k + vlJ2vk) = d+ = ul/2(2wl/2wk + vlJ2vk) = 0 ,
Fk £ L2>7;0>7>M0£. Правая часть определилась разложением билинейного оператор B (v, v). Здесь мы упростили задачу, положив что аП - константа.
Постоянная аП меняет предельную константу на плюс бесконечности для стандартного уравнения
d —
~^vstn + - (4ve + Ue + We)vstn = -2vl/2e(v;2tn - a00n)), (68)
dt £
vstn(0) = v0 . (69)
Как мы показали выше, в этом случае v0m)(t) = vstn(t)+£ z(m) (t), где z(m) £ L2>7;0>7>M£(R+), vstn(t)— решение стандартного уравнения Риккати.
1. К уравнению (66) (когда vn = const) применим результаты, проведенных выше
исследований неоднородного уравнения Риккати, согласно которым существует гло-
(n ' vo
бальное решение v0m)(t), если
е2(l + 3eveМоГ ^ + 3£veMoJ < 1 (70)
L2
где в нашем случае
Мо = sup\Fo - 2£vlJ2H(T-iY{m),v(m))o\ t>0
Это решение v(m^ = vstn + £ z(t) абсолютно непрерывно и z(t) удовлетворяет следующей оценке
sup \z(t)\ ^ (- + 3£3veM0)2(- + 3£ VTe2M°\ . (71)
0<t<T
Оценим М0 в этом случае. Начнем с
\H(T-iY(m),v(m)\ < Ji + J2 + J
0
где
J 2v0i exp{-- Jo (Le + 3£2vl/2v{om))ds^Tk2lYk
-iv(m) k2
ki+k2=0, \ki\4m,ki=0
-
J2 = - 2 У vlt[ e~ - J0 1,6 '"0
ki+k2=0, \ki\4m,ki=0
0 ^eki So (Le+3^2vln))ds-ifcl J eiki(tkS)eki Ю (Le+3s2vl/2drdg'j
x т-хп+ihf ’ ek-k2(tks)Tkkiv(m,dS),
-
nt
J3 =
2 v%2(ek2& (Le+3e2v‘2v0m))ds+ik2 ekik2(tkS)ekiJ0 (Le+3^e/2dTds)
ki+k2=0, \ki\4m,ki=0 0
X
x (Tkxm1 - ikii ’ e^TkYm'ds).
Имеют место следующие неравенства:
£ \Tk1Yl:m)(t)\ 4 J‘ j-Tk1Ytm\s)ds
4
Vb\
dT-1v(m) dt k
4
4 CoV£/^o\\Ykm')\\L2,Y-,0>Y — l-4(R+) ■
Следовательно,
J 4 2co^7j7oektl. ^»A^WVrw Y, \v0i Wl?r/;o>Y—^f(R+) «
ki+ k2=0, \ ki \ 4m, ki=0
4
4
о - -
Далее
С0./Ф0 ekti lnWL-k3*!vi/1lvS”’l)
( £ \kTjvO
\ k \ >1
vk \M У \\Yk ')\\2L2,t,o>y—Mr+))
14 \ k \ 4 m
) 1/2
t
ik eklk(tkS)Tk1Ylm) ds
0kk
ekik(tkS)Tk1Y(m) (t) - j eklk(tkS)dTk1Y(m)s
0 ds
4
4 \Tk1Yk;m)(t)\ +
Отсюда следует
-
Vb\
d Tk1y(m) dt k k
4 2C0~7Y\ \\Ykm)\\L2Yr’°>Y—^(R+)
L2,y;0>^(> -^s(R+)
£ WYk(m)W2
\k\>1 14\k\4m
где inft>0{Le - 3e2vi/2\v0m)\} > L0 > 0. Таким образом
) 1/2
k II l2,y;0>y—^£(R+) J
H(Tk1Y(m),v0m))o 4 V£ C2ekiLot(Y; \k\a\
vk \M У \\Ykm)\\2L2>1;0>1 — ^s (R+))
°\v0
\k\>1 14\k\4m
) 1/2
£
k
£
В силу (70), (71),
|z(m)(t)І 4 (1 + 3є3 „ М°)2 ^ 1 + 3
1/2
°4£4С©
где
М° = (£ Щ° К|) ( Е іУ'Гіі^»^..^)) +8“Р |^о(Ї)1
\ к \ ^1 14 \ к \ 4т
если
є2(1 + 3єv'lM0)i ( 3єveM0^2
Ь2
-.. (1 + 3^М^) 4 д< 1. (72)
Здесь
если
Ь° > (Ье — 3є2vle/2|v0|) — 5єХ/2 т&х ^ Ь
°4з4те 2
єІ 4 —П/2 (Ье — 10є2ve‘2|vOo|) ■
°<з<те Ш1/2
Достаточно, чтобы
є3(1 + 3ё\еМ°)2 ^1 + Зє Ь2М°^ 4 Ь. [ш&к((ЬІ, 1) + 12є3 VeMo]3 4
ЬГ
4 —1т//2 (Ье — 10є2ve‘2|vOo О
^е
или
1
2(10)1/3v1e/6
Ье — \0є2vl/2|v0| > 0 , є шах{ЬІ, 1} 4 ------------------------------------------/ , (73)
єАМ° 4 ------------——г Ье.
24(10)1/3vl/6
Точно также получим, что
є2(l + 3єv3зM0)4 ^ + ^цму 4 4є2 ШахГг2 1} + 12є„з М]6
Ь2 .1 + —Ь2—) 4 Ь[шах{Ьс, 1} + 12єveMo] 4 д,
если[
,д)1/6 1/з г Т 2
є4/3М° 4 1
(4) Ье — є1/3 шах{Ь2,1}
12vз3
Выберем є так, чтобы выполнены неравенства (73) и
єі/3 шах{Ьі, і} 4 2 (4)1 Ье.
Тогда условие разрешимости (72) выполнено, если
е4/3М0 < шш {----------1--— , (-)1/6 } Ье .
^ 24(10)1/3у7/6 24у3 44/ /
Таким образом, условие разрешимости (72) выполнено, если
е5/6((£ \кГ\У0\) ( Е ВУк!т)»11л,0>,-„(Я+))1/2 + ™Р< (74)
\) (. £ ЛУк(т)Л^1.„о>,-.,(я+0 е + зир^ы
| к | "1 1< | к | <т
1 - г 1 1 (-)1/6} Ье
< — тт
е3/4
Г______1_________^ 1/6 1
^ 24(10)1/3у1^6 24у! и; / ша^1^^у/2 , 2е1/2 (1)^у/2
1 • г 1 1 (-А1/6
< 2ПШ1124(10)1/ЧТ/6 ' (л) I е.
У \к\а\ук\ | +^ир ту м>1 """о
2. Теперь перейдем к оценке норм У(т. Точно также оценивается Н(Т еУ(т') ,у^п))к, \к\ < т, к = 0. Справедлива оценка
IIН(Т-'У<
< ^ Е ^\2|у(а ;0>у>-^(Х+) .
0 к1 +к2=к, \к1\}\к2\}\к\<т,к1,к2 ,к=0
Аналогично получаем, что:
ру^еу^Т-'У^ - У^еу^А^'У™!2. <
< с0 \ У^т) (г)\2 |Ук(т) 1 .2 ,^>-„„
Оценим оставшиеся члены в правой части (67)
3к'/28У(т)Т—'0[т) - у'/2еу^) А[})Т—еО(т) + 2су1/2Н(Т —'0(т),У^])к ,
У^е^т - ут) гк гйс+У^У11 + с-^)^1“],
где
№ = }^Ш (г) .
1^00
Здесь существенно, что мы рассматриваем модельный случай, когда предел у^)-константа. Такое условие, как мы уже отмечали, выполнено для модифицированной системы.
11у1/2е (у0т) - у(П)) (гкУо с+(у0т) УЫ + гкУ1 с- (у0т))е-гЫ) 11.2,7 ; 0>~«>-^ <
< еа,( 1 + В"Р’>°{1е + 3е2\у(т)(г)П 2 '0,2ц Ут)_ ^тк,, 2
< 0 ( + [Ье - 3е2\у(т)(г)^ \Ук \ л;°>Г>-'-01- '
если ('0т) - V(т")) € Ь2г/;0>1>^е(К+). Докажем этот факт. Для стандартного решения
Т
sup e
т >0
~rvstn
dr
+ \vstn(T) - vSttn
< OO
где У,^п = Ит^+оо У31п(г). Вернемся к уравнению для невязки:
( 1 3
-г(т) + -(Ье - 3еу\/2(1 - увЬп))г(т) = - е у1/2(г(т))2 + Го(1), (75)
(г е 2
¿т)\г=о = 0 .
Потребуем чтобы вир^ eІY|t\f (г)\ < ж. Положим х = е^1 . Тогда
( 3
—х + (и + и + 4з - 3еу'/2(1 - У81п) - Ц2)х = 2 еу1е/2е--гА1Х^ + ^(г) , ^(г) = е^Ео(г) .
К этой задаче применимы процедуры доказательства существования глобального решения задачи (18). Приведенные там условия разрешимости и оценка решения в нашем случае
(1 + 3еуеМ0)4 ( 3еуеМ0)2
L2
(l + ^У 4 -
те же, поскольку коэффициент 3£ veJ2e ^2t при х2 убывает и, по построению, мы должны взять максимум 3£vl/2ek^2t, т.е. опять же получили 3£ v1“2. Тогда существует абсолютно непрерывное решение задачи (66), для которого справедлива оценка
2 3 £ v e M0
sup \x(t)\ 4 (1 + 3£veM0) ( 1 +
04 t4
Откуда следует требуемый результат supt>0 e'\l]\t\z(m')\ < то
3. Остались секулярные члены
I,c = + nt)ekiU) +
d+ + v'Jhvm ikvk c+(v0m)))eikt +(y-dk + vl/2svm ikv0 c-iv™))ek'kt
( £2 )
£v1/2 ST'' ri(k2kki)t d , b , £ t (m)(m)\
-£ve e \dki,k2 + bki,k2 + —— kk2 ^ki ),
uewe
ki+k2=k, \ki\,\k2\,4m,ki ,k2=0
(m)
в которых предел vте - константа.
Прежде всего определим 2т начальных данных из 4т данных и°к,и00, \к\ < т,к = 0 в силу 2т уравнений
52 и.і.п + Ь,і.„ + — ЙП>С0 =0. *2 — = ±1,..., ±т ,
, 77^, ' Шеие 2 /
81+82 = 8, \ві\,\в2\,4т,8і,82=0
которые есть возмущение системы
Е
*81,82
(76)
81+82 = 8, \81\,\82\,4т,81,82=0
£ (
1/2
81+82 = 8, \8і\,\82\,4т,81,82=0
поскольку
Ve
2и,° + 7,° ^ (2п° — + п°
2 ик2 1/2 + Vk2 І І 2пкі 1/2 + Vkl
1/2
Ve
Е
ь
81,82
81+82 = 8, \81\,\82\,4т,81,82=0
у м,
81+82=8, \81 \,\82 \ ,4т,81,82=°
рте
М,)М2) І ег81іе-і -¡0 о
1іе-1 ¡o(Le+3v1/2є2vom))d8dt X
XI е г82іе 1 Іо(^+3,1/2єЧт))d8dt /о
2,(т))
Е
81+82 = 8, \81\,\82\,4т,81,82=°
1 рте
у031 <
— 1+- ег81Ь(Ье+3v1/2є2vkm))e- 1/^+3,1/2є2,0т )<ъdt
X
X
— ! + -
є
е-гк2і и е
(Ье + 3v1/2є2vkm))e-11о(^+3,1/2єЧт))<і8dt| = 0(є2).
Систему же (76) из 4т уравнений можно свести к 2т уравнений
2и
о Ше
1/2
к2 1/2 + °к2 Ve
+ v0n = 0, к2 = ±1,..., ± т.
2п
пе
1/2
к1 1/2 к1
Ve
+ Vі0 = 0 , к1 = ±1,..., ± т.
Положим
<+
Е
^8Ъ82 + Ь81,82 ) , к =1,... ,т.
82 — 81=к, 81+82 = 8,\81\,\82\,4т,81,82=0
Ск = Е ((з1’82 + Ьз1’82 ) > к =1,...,т.
82-81 = -к, «1+«2 = 3,|«1|,|«2|,<т,«1,«2=0 ( т) ( т)
Теперь неизвестные постоянные 4к ,По , к = 1,... ,т найдем из следующего условия.
оо
30
о
Условие несекулярности.
-^Г) + - d++vl/2£v{m ikvk ct(v0m)) - £vl/2c+
ve
1/2
Ue—e
£
) = 0, k =1,
S2-Si=k, Si+S2=S,\Si\,\S2\,4m,Si,S2,S=0
(m)
+- d- + ikvkc- (v0m)) - £v1/2<k -
Vk ' + £dk + ve~£v^
—£
ve
1/2
uewe
E
S2 Si = -k, Si+S2=S,\Si\,\S2\,4m,Si,S2,S=0
счщ*)=0, k=
.. ,m,
(77)
где
\ikct(v0r))\4 - +
supt>o{Le + 3vl/2£2\v0m)\}
inft>o{Le - ^^1/2£2^0>п)\}
Оценим решение этой системы ^От^, пОп" .
Лемма 9. Пусть равномерно по т " 1 имеем \а(т) \ < К0 и ||.21.0>1>_11£ < К0. Тогда для а > 1 для достаточно малого 80 > 0 существует постоянная се > 0 такая, что равномерно по к € Z0 и т " 1 справедлива оценка
ЙЧ + \4im)| 4 c1 (\v0| + i^), Ak
0<\k\4m
если
£ \ v01 Ak 4 5o
4. Решение Y(m') системы (67) определим линейным уравнением
Y(m) + £AY(m) = G(m) + F, (78)
G{m) = -^ - 3vl/2£^^)T-1YD(m)k - v^2^A^T^D^ +
+ 2£vl/2H (T-1 D(m') ,v0m'))k
0 — ^ 0 ° и0 ±0 1 ^У’Чк ие °ио л0
тт/т—' т-ч(п.) , .
Уо )к, А о У(т) = 3у1/2у0т)Т-1У(т) - уУ^А^Т'У™ + 2'1/2Н (Т-1У (т),у0т)) о .
Из полученных выше оценок следует, что функция Ь € Ь2,1;0>1>^£ (Я+) и что ограниченный оператор I + еА является малым возмущением тождественного. Тогда для достаточно малого е у него существует ограниченный обратный (I + еА)-1. Решение вспомогательной задачи
,(т) гр-1 /" т | _ /СМ I гГ-1( Г>(т) Л
уП = Tk1(I + £a} (Fk) + Tk1(Dim)). (79
Как видим, мы получили так называемое разложение решения по гладкости, поскольку
АТ-I + еА^~\Ро) €
Ь2~{;0>~{>у,е(^+ ) ,
в то время как
АТ-'(П0Г)) € 1о(Я+)
и эта функция не принадлежит Ь2,1;0>1>^£(Я+).
Последнее, что нужно сделать, чтобы убедиться в справедливости неравенств (74), которые очевидно выполнено, если достаточно мала норма ||у0||я(о,2^).
Старшие моды. Исследование линейной системы для \к\ > т есть следствие результатов для вспомогательной задачи. В этом случае, очевидно, справедлива оценка:
1(1 - Пт)у(т)(г)Ц10 < соШ - Пт)ут)(0)Ц1 , г е [0,^).
9. Исследование нелинейного оператора
Теперь перейдем к исследованию нелинейной системы
(у0т) + 1 (Ье - 3е2у1/2у0т)) у0т) + 2еу'/2а0т) = о0т) - еАо(У(т)) - еВ(У(т),У(т))о , (г е \ 2 )
У(т) = 0(т) - еА(У(т)) - еВ(У(т),У(т)), (80)
А(У(т)) = У(т) + еА(У(т)),
А(У(т)) = 3v1/2vкпп)Tl—1У0m) + у1'/2у{^)А0)Т-1У(т),
Ао(У(т)) = 2у'/2Н(Т-'У(т),у0т))о, Во(У(т) = 2у'/2В*(У(т),У(т))о .
Сначала рассмотрим
А(У(т)) - е В (У (т),У(т)) = 0(т) (81)
при фиксированном у0т). Положим
А>т) = Е \к\2’[10оИ.,,, 1Е+) + \4о\2 + \Пк\2], а> 0.
0<|0|<т
и пусть постоянная Ь > 0 определяется оценкой
И3у1/2Т-11Ут) + уЧ^Т-У^Иь„(Н+) < ЬЦУ^К,(Я+).
Лемма 10. Пусть А(т) < ж. Тогда для любого т " 1 билинейное уравнение (81) имеет решение У(т € Ь2г1(Я+), для которого равномерно по т и к справедлива оценка
ИУкт) ИЬ2п(я+) < - щ2ь2( ^\) ) (|° 011.2, 7(я+) + , (82)
если
- £2Ь2 ( sup\v0m)^ c2Bca£A(m) 4 - , a > 2
2b2( sup \v0m)\) cBca£A(m) 4 -, a >^, (83)
2
-
\k\
где ca =J2 ТЛ^ 4 2/(2a - -)
k€Zo
Доказательство Леммы 10 аналогично доказательству Леммы 8, из него следует существование решения нелинейного уравнения (81) и оценка решения при фиксированных v0m),£(m),ri(m). Как мы показали выше, для билинейных операторов B(Y(m),Y(m)) равномерно по m справедлива оценка
ll®(Y(m),Y(m))Bi,^(R+) 4 (84)
4 cB e [ггщ „ (r+)+\cim)\2+юч*
ki+k2=k, 0< \ki \,\k2 \,\k\4 m
x wi,^(r+) + \ikm)\2+\vkm)\2].
1) Фиксируем m. Тогда для итерации A(Z(m'j)) = G(m) -£B(Z(m'jk1), Z(mjk1)), j > - ,
z(m,o) = G(m)
справедлива оценка (82), поскольку
\lZ,r)\W2L,,-((r+) - £|3v1/2vt'Tt1Z<rl) + vl/2v!m)Aiki)Tk:1zt'i)Wl„(r+) 4 l|Gkm)H!a „(R+)+ +£<Bb E [WZtJk1)W\lY(R+) + СЧ2 + Пп^ x
ki+k2=k, 0<\ki\,\k2\,\k\4 m
x [wz^wi,„(R+)+cv+\nkm)\2] ■
Отсюда следует
- £^( sup Iv0m)\) ^ w y (R+) 4 ^i^lL? (R+) +
+£cl E [WZt'jk1)Wl^(R+) + С’\2 + x
ki+k2=k, 0<\ki\,\k2\,\k\4 m
x [\iz£jk1)wia ,,(r+)+k^2+.
В силу индукции
, 7(R+) 4 (- - £2ь2(stup\v0m)\) ) (jlGk\\2L2, y(R+) + .
Следовательно, последовательность итераций Z(m,j'), j > 0 ограничена. Отсюда следует слабая сходимость Z(m'j ^ Y(m) Е L2y(R+) при j ^ то. В тоже время, мы имеем сильную сходимость Tk1Z(m'j') в L2>10>1>k^e(R+) и в CB(R+). Тогда последовательность
(ih J‘ e'’’i(‘kS)Tk1Z<im'',)dS) (ik2 J‘ ek2t,kS'Tk21 Zkm j)ds'j
сходится к
для всех ї Є Я+. Отсюда, из структуры оператора В и оценки его частей (см. раздел 5) последовательность
3v1/2v0n)T-1zim,j) + v1e/2v0n)A ii)T-1Z(m,j) + B(Z( mj-1) ,Z (m’j-1))^ сходится поточечно к
е( 3у1/2у{0т)Т—1У(т) + у1/2у{0т) А(к1)Т—1У(т) + В (У (т),У(т))) для всех г € Я+. Таким образом, для почти всех г € Я+ имеет место
А(У(т)) - е В (У (т),У(т)) = 0(т).
Следовательно, существует решение У(т € Ь2>1 (К+), для которого справедлива оценка (82) при условии (83) и фиксированном у^.
2) Используя существование глобального решения вспомогательной задачи для правых частей специального вида, мы доказали обратимость оператора А(У(т)) в Ь2,7;0>7>М£(Я+) и ограниченность решения
У \k\a(\СТ)\ + + \\Y(m)\\L2rr,0>-,>^(R+) + Wv0m) - v<m \\wiYTfi>1>^(R+) 4 (85)
0< k4m
4 co[\\F\\l2rr,0>-,>^(R+) + \v°\h°(0'2O] , a > - . в случае am (t) = const.
Теперь рассмотрим систему (86). Метод итераций дает систему уравнений
dz°n + - ^Le - 2£2vl/2z^ z°n + 2£vl/2a0m'') = G0m) - £Ao(zn) - £B(zn-1 ,zn)o ,
zn = G(m - £A(zn) - £B(zn-1 , zn) . (86)
Те же рассуждения, что и для модельной задачи, позволяют и в случае am (t)- гладкой функции получить оценку (85) для решения системы (86) с точностью до O(m-1) (см. раздел 7). Достаточно потребовать a > 2, чтобы в этом случае
E \k\a 1(\£n\ + \vn\) + Wzn\\l2,Y; 0>y>^(R+) + \\z°n - ^tillw^ ;0>y>^(R+) + ) 4
0< k4m
4 c^ llGl|l2 y ; 0>y>^(R+) + £cH Wzn\l2 Y ;0>y>^£(R+) +
+ есВ ||гп— 'ИЬ2, ^;0>-у>^£(К+) И И .2, ■у;0>-у>^£(К+) + \у \на (0,2ж)^ ,
где у^ы^) определяются функцией а(т)(г) = 520<\0\<т соегк, норма которой ||а(т) Цщ(я+) 520<\к\<т\к\\со\. Выберем Мо такое, что
II 0 II .2,'~Г;0>7>^£(К+) <
т.е.
2
1 - е(сН + сВМ0) е сВМ0 - М0(1 - е сН) + ||0||ь2 ,
^;0>^>^£(^+) < 0 .
М0
Возьмем
___________________2|0 .2, 'у;0>'у>^£(К+)
(1 - е сН ) + \! (1 - е сН У - 4е сВ 1 1 0 И .2 ,1;0>1>^(Я+) и е выберем из условия, что
(1 - есН )2 - 4есВ 11 0 || .2 >1;0>1>^(Я+) > 0 .
Тогда для любого п ^ 0
11^1.2П;0>7>^(Я+) < М0 .
Выразим разность между двумя приближениями следующим образом
(гп - гп—1) = еН(гп - гп—1) + е[В(гп—1, гп) - Ъ(гп—2,гп—1)] .
Если справедлива оценка
ЦЩ2<т),У(т))Ц£а < св(ИУ(т)Ии. + КИн»+ Мн•), (87)
то
ЦВ(гп—1 ,гп) - В(гп—2, гп—')И <
< сВ ||гп— '1.2 ГГ;0>7>11Е(Я+)(11гп - гп—'ИЬ2 ГГ;0>~>^е(Я+) + 11 гп 1 - гп—2ИЬ2 , ^;0>^>№£ (к+)).
Отсюда
||гп - гп—'ИН < ес0(сН + В (Игп—1ИЬ2П;;0>-1>ц£(В-+)) + 11у ЮИ^п - гп—1ИЬ2ГГ;0>~1>^£(К+) + +ес0сВ (Игп—'ИЬ2 ГГ;0>~,>^(Я+)) + 11у0 ИЬ2(0,2п))11гп—1 - гп—2ИЬ2 ГГ;0>~,>^(Я+) ,
если равномерно ||г,-И.2, 10>1>^(п+) < Мо, то
II _ || < ес0сВ (М0 + ||у0 || ¿2 (0,2-к)^ || _ ||
Игп гп—1ИЬ2,1;0>1>,£(к+) < 1 - есо(сН + сВ(М0 + Цу0ЦН«))Игп—1 гп—2ИЬ2,Т;0>,>^(П+) .
При этом должно быть выполнено условие
есосв (Мо + Цу0Цн° )
(1 - ес0(сН + сВ (М0 + ||у0||н))
< д < 1.
Отсюда следует сходимость гп в Ь2гі]0>1>^є(К+)) к решению У(т) Є Н задачи (86).
Выбор постоянной М°. Последнее, что нам осталось сделать - обосновать равномерный по п (и, соответственно, независимо от v0!m^) выбор постоянной М°. Для этого нам нужно оценить правую часть О к. Очевидно, все определяется оценкой О к (v0!m^) для = Vstn. Тогда постоянную М° можно определить , например, по 2||G(Vstn)\\L2, ).
10. Обоснование галеркинских приближений
Построенные нами решения задачи (25), (26), (27) имеют следующую структуру
<с>т = v;;n;^ + z¿r)(t),
где vSmnn) (ї) определяются функцией а(т)(ї).
у{кт)(г) = ук ехр | -1 е ^ (4уе + ие + ^е + | + 4^Г)Пк + П(т)Ок + У(т) (г) .
Теорема 3. Пусть а > 2 и у(0) € На и выполнены условия Предложения 2. Тогда существует подпоследовательность у(т^(г), к € Z (которую будем обозначать также) решений задачи (25), (26), (27) с тем же начальными данными у(0) € Н- такое, что у0Г\г) и ут)(1), к € Z0 сходятся строго в СВ(Я+) и Ь2г/;0>1>^е(Я+) соответственно и слабо в (Я+) и Ш2,П.0>1>^£(Я+) к функциям у™ (г) и у™ (г), к € Zо; у0° (г) ,у™ (г), к € Zо являются решением задачи (8)(в смысле определения (24)) для почти всех г € Я+, с ограниченными нормами
1ктеМ — 4 М„ Л., ||в<т)||„.-1, ||т<т)\\„,-1 4 сійія.,
|Кте(0 - чте^+ — Ц -г0>~,>,ЛК+А) 4 М К’0\н° ,
с постоянной Ма не зависящей от к € Z.
□ 1) Постоянные равномерно ограничены
И=(т)Ин-1, ЦТ(т)Ин-1 < сЛу^Ин. , где КН = Ео**, ШГЙ\. Цн(т)Ин- = ЕП= \к\5\4(Ч, Цт(т)Ин. = Ет=1 кИч^
Откуда следует существование предельных постоянных векторов
Б(т) Е™ г(т) г™ т^сс.
и
Тогда
є3
а(т)(ї) ^ ате(ї) = -3/2 У (-те, Тте)ег(к2-к 1)1 в Нв(Я+).
Уе 0<\к\4т
^ те(ї) в СВ (Я+) ,
где 1Ы1
св (Я+) = ыр
\у(г)\ +
Л
йг
у
и справедлива равномерная по т оценка
||у0 )(г) у<т (г')11\У11;;0>1>-^(Я+) + Е ИУк > 11'У1,1;0>^>-^(К+ А) < с0 11у°11Н
0=1
2) Теперь покажем, что У'(П) ^ У™ в Ь2,1;0>1>—^£(Я+). Из равномерной ограничен-
ности ограниченность норм || У™ Ць2 „г0>7>—1^(я+) следует слабая сходимость У0т) ^ У™ при т ^ ж. В тоже время, мы имеем сильную сходимость Т —1D<ккm'') в 0>1>—^£ (Як) и в СВ(Я+). Отсюда следует сильная сходимость В,(0(т), 0(т)) В,(О™, О™) и В,(У(т),Б(т)) ^ В,(У™, О™ в Ь2,Т,о>~(>—^ (Я+). К тому же последовательность
(к 1‘ егк^Т—У'т^) (к1‘ е-гк2(—)Т^'У^йв)
сходится к
(гк'[ егк 1(—‘"Т—11 У™Л>)((кг[ е-к(,-‘>Т^У^йв)
поточечно для всех г € Я+. Отсюда
А(У™) - е В(У™,У™) = О™
для почти всех г € Як .
Тогда с силу (81) имеем
(у(т) - у™) = -е А(У(т) - У™) + е(В(У(т) ,У(т)) — В(У™ ,У™) + (0(т) — О™) ,
(т)
где И(0(т) - о™ ^
ИеА(У(т) - У™) + е(Ъ(У(т),У(т>) -
<
< 8е/2С„\1(У(т) - У™)Иьа,ш+).
Отсюда, для достаточно малого е < е0, следует сильная сходимость У ( в Ь2,Т.0>1>—р£(Я+) для любого \к\ ^ 1. В тоже время, получим, что г
(т)
(т)
^ Ук™ у(г)(г) -
уЖ(г) ^ г™ в Ь2,г.0>1>—^£(Я+) и слабо в Ш'2 т0>1>—^(Е+) к функции г™ €
ше (я .АУ
.2 ,—1~1£ \ . А>
3) Теперь покажем, что функции
у?(г) = <%,(() + г™(г),
у™(г) = у0 ех^ |-е ^‘(Ье + 3уе2уе/Ч™(в))*1 + ^0+ + п¥В- + т—1 гк™(г), к € z„
являются решением задачи (70), (23) в смысле определения (24) (О ± = Т—1(е±гЫ).
( т)
Для у0 имеем
их е
¡(уГ )2+
(88)
+2Пт ¿2 (Пту(т> Пт^т> - Пти^ПтюС;>)
-2у(/2е о0т)
(т)
О0
01+02 =0
2у1/2е Е ЬоегЫ + 3у(/2е Е с^ со2 еЮ = 0(т-1)
т<\0\<2т, 0=0 \к1+к2\2>т, \к1\,\к2\
где
вир\Okm)\ < ( Е
^0 V 7гг'
т< | | < 2 т,
\с 1\ \с 2\ <
\01+ к2\^т, \011,|02\<т
< Се^2 \к\-\у0\] = 0(т-').
Ю^т
Далее, второе уравнение в (24) запишем в более удобной нам форме
У^т)(г) + 0 {(Г)(г) = у0 ехр | -1 jk (Ье + 3е2уе/2у{^) )ЛТ | + 1 й+е% Ю + ейке г Ю + (89)
+ еу1/2йк (г) + у\/2е ПтК к (Пту(т\ Пту(т)) + О
(т)
О(т = -2еу1/2Б(Г)(г) = Е ,{т)егЫ = 0(т-1).
\к\'^т
Положим П_т = I - Пт. Тогда
й 1 г 3
-г.™ г + -Ьту^®* у\/2е [¡(уЛ2 + £ К у% - < <)
01+ к 2=0
= -у(/2е
3 (т) (т) (т) (т)
+Vk )(Vk -у0 )+Пт \Пт\у01 ~У>0 )Пту02-Пт(иО1 -и01 )Пт^О2
+
01+ 02=0
+ ЩЬт^(г) - у0т)) - у(/2е Пт ^ (Пту^Пп« - у£>) - Ппи1™4.« - у£‘>)
01 + 02=0
+
+ Лгу™(г) - Л-уП + у1/2еП-т\ Е (ПтуГПту—0 - П™^Пти,
+ у(/2 е
+
0<|0|<т
Е (П—тук1 ПтуТ2 - П—ти%П.'Ш™
+
-т и^ ПтШк2
01+0 2=0
+ у1/2еПт[ Е (Пту£П—тук2 - П.и%П—т'Ш^ +2у(/2е О[
01+ 02=0
т)
к
к
Для фиксированного k имеет место
Yk°°(t) + D0(t) - v0Tk(e-i f0(Le+3-2ve/2v°r)dr) = - d+eikt + - d-e-ikt + £vl/2dk(t)
We/2£ (3v™ v0 + v°°)Ai(})v? + 2[B(v00,v00)k + Hv°°)k]j +Yk°°(t) - Y(m)(t) + D°(t) - Dm(t) + v°kTk[e-iti(Le+3c2vi/2v(om))dr - e-i J^(Le+3s2v1e/2v^)dr]
-v\/2£ П—mKk(v°,v0) - vl/2£ nmKk(n-mv°,v°°) - v\/2£ П^К k(П^v°°, П-mv 00) +vl/2£ (3(v(m)-v°)nmv°+3v(m) nm(v°-vim))+vl/2£(vkm)-v°)A( 1 v°+v'km') A(1 (v°-v°°)
+2Пп[В(v(m),v°)k + B(v(m),v(m) - v°)k + H(v(m) - v°)k]) + O(m)
Здесь важно отметить, что Т- (От не принадлежит Ь2,Т.0>1>—^£(Я+).
Теперь отметим, что П—ту™- это предел решений у\к\ > т, задачи (27), для которых очевидна оценка
< со\у1\^ 0, т ^ ж .
ь2, -у;0>-у> — ^£(Н+)
Из полученных выше оценок следует, что
а ™,1. ™,.. _п(/2е г3
Jtv°(t) + -Lev°(t) = -vi/2£ [2(v°)2 + 2 Y, (v°iv02 - u°iw°2)
ki+ k2=k
Л rt(-—' ....... v? “£ Kk (
Tkv°(t) - v\Tke- * f0(Li+3s2vi/2v0r)dT = vlJ2£ кk(v°°,v°°), k Е Zo . (90)
в смысле интегрального тождества
( 3 „ ^ \1
^dt = 0
dt vO(t) + - Lev°(t) + vl/2£( 2«)2 + 2 E «v02 - <w°2))
dt 0 w £ 0 w e V 2
ki+ k2=k
poo
[Tkv0 (t) - vkTke-i S^+^^dr - v1 /2£ K k (v 0,v 00)] ydt = 0 ,
Jo
для любой ф, ip(t) Е C0(R+). U
Замечание. Для комплексификации (6) мы получаем точное решение (24)), поскольку в этом случае поправка a(m') в уравнении Риккати является константой и условие несикулярности позволяет точно решить систему для k мод, \k\ ^ -
Теорема 4. Пусть a > - и v(0) Е На и выполнены условия Предложения 1 для комплексификации (6). Тогда существует подпоследовательность v(m‘^(t), k Е Z (которую будем обозначать также) решений задачи (25), (26), (27) с тем же начальными данными
у(0) Е Иа такое, что у0т\ь) и у<]П')(Ь), к Е Z0 сходятся строго в Св (Я+) и Ь2,Т;0>1>^£(Я+) соответственно и слабо в (Я+) и Ш),П]0>1>^£(Я+) к функциям у0°(Ь) и у°(Ь), к Е Z0; у° (Ь), у° (Ь),к Е Z0 являются решением задачи (8)(в смысле определения (24)) для всех Ь Е Я+, с ограниченными нормами
||у°(Ь) - у?птщгД„>г,<я+) < М №. , ||Н<т>||„„—1, ||Т<т>||„„—1 < соКИя.
1|у°°(Ь) - ГО+ - гТО-Цщ_Г^,[К+А < М, у\н. ,
с постоянной Ма не зависящей от к Е Z.
□ В этом случае ап - константа. Секулярные члены в уравнении для к- моды возникают только для пар к\ + к2 = к, т.е. для той же моды. Поэтому условиями секулярности можно убрать осциллирующие члены в правой части приближения Га-леркина. Отсюда следует, что функции уП(Ь) Е Ь2г/;0>1>—^£, \к\ < т, к = 0. Также уП\1) - у^ (Ь)) Е Ь2,Т;0>1>—^£ и у(т) (Ь) у+(а(т)) при Ь стабилизируется к пре-
дельной константе однородного уравнения Риккати, определяемой постоянной а(т).Из полученных выше оценок для комплексификации (6)следуют предельные уравнения
Ук°(Ь.) + (Ь) - у0Тк(е-11'01ь‘+3£че''‘) = 1 с1+е,к‘ + 1 с1-е~‘к‘ + еу1/2с1к(Ь)
+у'/2е (зу° у° + у°Л^у? + 2[В(у°, у°)к + И(у°)к]) ,
у~(ь) - у2е~$ ь‘‘ = -у\/2е е-$ )‘ + 2^ Кук2 - <<)
^0 к1+к2=0
32
¿8
для всех Ь Е Я+. Л
Как следствие этих результатов получаем
Теорема 5. Пусть а > 2, начальные данные у0 Е Иа(0, 2п), и выполнены условия Предложения 2 (условие несекулярности, законы сохранения для начальных данных и условия малости нормы ||у0||яст)■ Тогда построенное решение системы (25), (26), (27) является глобальным классическим решением задачи (4) в малой окрестности точки равновесия и удовлетворяет системе почти всюду. Из за осцилляции во времени у^п нулевая мода функции у(х,Ь) осциллирует так же как и нулевые моды функций и(х,Ь) и т(х, Ь).
Терема 6. Пусть а > 1, начальные данные у0 Е Иа(0, 2п) , выполнены условия Предложения 1 (условие несекулярности, законы сохранения для начальных данны и условия малости нормы ||у0||я.)■ Тогда построенное решение системы (25), (26), (27) для системы (6) является глобальным классическим решением этой задачи в малой окрестности точки равновесия и удовлетворяет системе для всех Ь Е Я+. Функция у(х,Ь) стабилизируется к константе. Осцилляции в противофазе на больших временах функций и(х,Ь),т(х,Ь) остается за счет интегро-псевдодифференциальных членов в уравнениях состояния■
ь
Заключение. Можно сделать следующие выводы.
1. В построенном решении задачи Коши для системы (6), для вещественных начальных данных, функция а(т')(Ь) равномерно по Ь сходится при т к постоянной.
Поэтому функция у(х, Ь) стабилизируется к константе, возможно не равной нулю, а функции и(х,Ь) ,т(х,Ь) осциллируют при больших значениях Ь в противофазе. Остается вопрос о том, совпадают ли построенные решение для задачи Коши для систем (4) и (6) для одних и тех же начальных вещественных данных. Проблеме единственности слабого решения как для модели (4), так и модели (6), в более общей ситуации а ^ 0 будет посвящена ближайшая публикации.
2. В этой статье мы рассмотрели модели типа Бродуэлла [2] (дискретных уравнений Больцмана, см. [1]) спонтанной потери симметрии. Часто хиральная специфичность биоорганического мира воспринимается как феномен нарушения зеркальной симметрии, проявляющийся в существовании жизни [3], [4]. Сразу возникает вопрос, а где именно искать причины нарушения симметрии-в ходе химической, предбиологической или же биологической эволюции. Интуитивно эти этапы молекулярной эволюции представляются различными, но какими бы они не были, они привели к возникновению уникального полимерного мира-гомохиральных молекул, обладающих удивительными структурными и функциональными свойствами. Ключевой является проблема-как возникли гомохиральные молекулы, сложность которых адекватна сложности информационных и функциональных носителей в биологии? Ответ на этот вопрос во многом, если не во всем, может определить подход и к вопросу о причинах нарушения зеркальной симметрии биосферы в целом [3]. Но потеря симметрии-это не только природа биологической среды. Многие эффекты неравновесности неорганического мира, как например ликвация [15] (начальная стадия разделения на фазы в жидкостях, сплавах и даже газах) можно смоделировать как спонтанную потерю симметрии (классическая триада Ван дер Ваальса-двух устойчивых зон и одной неустойчивой). Эти факты определяют интерес к моделям потери зеркальной симметрии.
3. Все полученные результаты переносятся на двумерную и трехмерную модели (1), приведенные в [1]. Естественно, технически это намного сложнее, но суть одна. Полученные результаты позволяют выдвинуть дерзкую гипотезу о структуре решения кинетического уравнения Больцмана в окрестности распределения Максвелла. На больших временах для парных взаимодействий возмущения распределения Максвелла имеют локальный аттрактор, размерность которого равна числу законов сохранения, и диссипация определяется бесконечномерным уравнением Риккати, имеющим сепаратрисное решение.
Литература
1. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи МН(1971). - т. XXVI, в. 3(159), стр. 3-51.
2. Broadwell T.E. Study of rarified shear flow by the discrete velocity method // J. of Fluid Mechanics. - 1964. - 19:3.
3. Аветисов В.А., Гольданский В.И. Физические аспекты нарушения зеркальной симметрии биоорганического мира // Успехи Ф.Н. - 166;8. - C.73-891.
4. Chirality: from the weak Bozon to a-Helix / Ed. R. Janoschek. - New York: Springer-Verlag, 1991.
5. Boltzmann L. On the Maxwell method to the reduction of hydrodynamic equations from the kinetic gas theory / Rep. Brit. Assoc (1894) in the L. Boltzmann memories, v.2/ M.: Nauka, 1984. - P.307-321. [in Russian].
6. Radkevich E.V. Mathematical Aspects of Nonequilibrium Processes / Novosibirsk: Tamara Rozhkovskaya Publisher, 2007. [in Russian].
7. Gurtin M.E., Pipkin A.C. Theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1968. - 31. - P.113-126.
8. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова // В.В. Веденяпин. - М.: ФИЗМАТЛИТ,2001.
9. Chapman S., Cowling T. Mathematical Theory on Non-uniform Gases / S. Chapman. -Cambridge: Cambridge University Press, 1970.
10. Chen G.Q., Levermore C.D., Lui T.P. Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy // Commun. Pure Appl. Math. - 1994. - 47;6. - P.787-830.
11. Palin V.V., Radkevich E.V. Mathematical aspects of the Maxwell problem // Applicable
Analysis. - 2009. - 88;8. - P.1233-1264.
12. Radkevich E.V. Problems with insufficient information about initial-boundary data // Advances in Mathematical Fluid Mechanics/ Special AMFM Volume in Honour of Professor Kazhikhov / Volume editor(s): A. Fursikov, G.P. Galdi, V. Pukhnachov / Birkhauser Verlag, 2009. - P.347-376.
13. Palin V.V., Radkevich E.V. Hyperbolic Regularizations of Conservation Laws // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2008. - 15;3. - P.343-363.
14. Babin A.V., Ilyin A.A., Titi E.S. On the regularization mechanism for the periodic KdV equation // Comm. on Pure and Appl.Math. - 2011. - LXIV, 0591-0648.
15. Radkevich E.V. On structures in instability zones // Journal of Mathematical Sciences. -
2010. - 165;1.
OSCILLATIONS GENERATED BY INTERACTION OPERATOR IN DISCRETE KINETIC EQUATIONS
E.V. Radkevich
Moscow State University,
V-899, Moscow, 119899, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is proved the existence of global solution of discrete kinetic equations. Besides, it is obtained its expansion according to smoothness and it is studied the influence of oscillations generated by interaction operator.
Key words: kinetic equation, global solution, interaction operator, circular terms.
