CC BY
10
УДК 517.988.67
И. В. КОНОПЛЁВА, Б. В. ЛОГИНОВ
ПРИМЕНЕНИЕ КОСИММЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА ПО ДОПУСКАЕМОЙ ГРУППЕ СИММЕТРИИ
Для бифуркационных задач с нарушением симметрии предложен новый подход к построению уравнения разветвления по допускаемой им группе.
Ключевые слова: косимметрическое тождество.
В работах Н. И. Макаренко [1, 2] в условиях групповой инвариантности вариационного нелинейного уравнения без явного выделения линеаризации в неизолированной точке ветвления доказано косимметрическое тождество нелинейного оператора с инфинитезимальными операторами допускаемой группы. Нами на основе общей теоремы о наследовании групповой симметрии уравнением разветвления [3] это тождество установлено [4] для нелинейного оператора уравнения разветвления (УР) потенциального типа (УРПТ). Для случая инвариантного ядра линеаризации косимметрическое тождество позволяет определить общий вид непрерывно дифференцируемого УРПТ по допускаемой групповой симметрии. Метод является наиболее эффективным для бифуркационных задач о нарушении симметрии, когда эквивариантное УР является УРПТ даже по части переменных. Принята терминология и обозначения [4-6].
1. УР 0 = /(r,¿r):E£ ->Е", teR" задачи
теории ветвления Вх = R(x, е), i?(0,0) = 0, R(0, е) = 0 с фредгольмовым оператором В называется УРПТ, если f(r,£) = d-gradU(T,s)
с обратным оператором В. Справедлива [5,6] теорема о наследовании симметрии нелинейной задачи уравнением разветвления:
f{AgT,e) = Bgf(T,e),
п
где Ag=Ág{a)=Y<ajt<P
/=1
j
и Вг = В^а) =|| Ру (а) || конечномерные
представления допускаемой г -параметрической группы Сг(а) соответственно в инвариантных подпространствах
Э И. В. Коноплёва, Б. В. Логинов, 2006
Ы(В) = {<р]}п1 и Л^ЯМ^/)!7. Доказанное в
[4] косимметрическое тождество в рассматриваемом случае инвариантного ядра принимает
вид (/(г,£);Ха.г) = 0, к = 1,...,г , где {Хк}\-
система инфинитезимальных операторов представления А (а) в инвариантном подпространстве АТ(В).
2. Рассмотрим примеры построения общего вида УРТП и УВТП по части переменных [5]. Теорема 1. Двумерное вещественное непрерывно дифференцируемое потенциальное (потенциального типа) УР с 80(2) - симметрией (57/(2)-
симметрией) в вещественном базисе АГ(В) допускает симметрию 0(2) (соотв. #(2)) и имеет вид
/1(т,е) = т] |г|-1 м(|г|,*) = 0,
/2(г,£) = г2 М-1 и(\т |,£) = 0
т |= + х\ (I г |= 7Г12 ~т2 ) с потенциалом
U (т, б) = ¡u(s9s)ds. (2)
о
Доказательство. Для потенциального УР с симметрией 5*0(2)
(1)
А(а) =
'eos а - sin а
\
sin я coso
f
Хт =
д а
- т-у — + T¡
^
ч
аг
i
дт
т =
2)
/ \ ~т2
V
Т1
Го -íYr,
>
У
V
1 О
у
Из косимметрического тождества следует,
что отношения
/¡(т,е) /2(т,е)
равны про-Г, т2
извольной непрерывно дифференцируемой функции со(| г |, е) от единственного инварианта
2 ^ У 5А
г|=(г1 + г?)/2 и ~—=-• Полагая
дт2 дт\
со(| т е) =| г |-1 г/(| т\,£) с произвольной функцией и, обладающей указанными свойствами, получаем (1) и согласно [6]
к=1
= ^(/[тихггг =
О
о о
Для двумерного УРПТ с симметрией гиперболического поворота имеем
'cha sha"
А(а) =
V
sha cha
Хт =
/
д д Г2-Т- + Г!
У \
V
дт
i
дт-)
т =
i ;
V
Í0 1
\
\
т\)
V
1 О
/
/ \
причём выполнено условие инвариантности по-
/
1 О О -1
/
тенциала A* (a)dA(a) = d , d = Косимметрическое тождество
0 = (d.f(r,s),X т) =
показывает, что о
f\(T>s) /2
-=- равны произвольной не-
Щ Т2
прерывно дифференцируемой функции 0)(| Т s) от единственного инварианта
2 _2
отношения
= | г | г |) = .
о о
3. На основе теоремы 1 может быть получен общий вид УР с частичной потенциальностью (потенциального типа) в задачах о нарушении симметрии.
Теорема 2. 21 -мерное непрерывно дифференцируемое УР с 50(2)- симметриями (57/(2)-
симметриями) в I -й паре переменных (, 2*2/) при независимых групповых параметрах для различных /, обладающее симметрией 21 -мерного представления группы / -мерного куба, имеет вид
• 1»Л»Iк+1 Ь > ¿0 = О f2k С1"'6") = т2к^к и^к >^2'—
к ~ 1 / IV X V ф 9 9 5
где 1к = (Г24-1 + Т2к )
а* =1 - г» I*4 шя 5Я(2)_
симметрии). Функция ^ инвариантна относительно попарных перестановок аргументов с индексами большими единицы и вместе со своими первыми производными является бесконечно-
малой при / > 0, 5 = 1,..., /, £ —> 0. В УР
к -я пара уравнений потенциальна (потенциального типа) по к -й паре переменных
(т2к-\>т2кУ Если
т |= (rj2 - rf). Из определения УРПТ следу- U,(t,s) = U(I,,...,!,,£) = [u(s J 2,.s)ds,
du du dfx eT -^/l'--= -/2
OTn
дт}
дт■
^2 Эг1
о
то uk(t,s) = u(ik , i2 , /; , /, ,
"I
VJ ^V-JyV'J/)^) ~
Полагая &>(| Г |, £) =| Г | w(| Г |, £"), получа- причем ем (1). И согласно [6]
>•••» j ■>•••7 Ii VJ ?
= {(/i(^1 эtr2)г, -f2(tT^tT2)T2}it=
о
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Макаренко, Н. И. О ветвлении решении инвариантных вариационных уравнений / Н. И. Макаренко // Доклады РАН. - 348 (1996). - №3. -С. 302-304.
2. Макаренко, Н. И. Симметрия и косимметрия вариационных задач теории волн // Труды международной Школы-семинара «Приложения
симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходах», Сочи, сентябрь 2001. -Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2001. - С. 109-120.
3. Логинов, Б. В. Общая задача теории ветвления в условиях групповой симметрии / Б. В. Логинов // Узб. мат. журнал. - 1992. - №2. - С. 40-49.
4. Логинов, Б. В. О ветвлении решений нелинейных уравнений с потенциальными и частично потенциальными уравнениями разветвления / Б. В. Логинов, И. В. Коноплёва, Ю. Б. Русак // Межвуз. сборник научных работ «Функциональный анализ». - 2003. - Вып. 38. - С. 41-52.
5. Sidorov, N. A., Loginov В. V., Sinitsyn А. V., Falaleev М. V. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. MIA, v. 550, 2002.-548 p.
6. Berder, M., Berder M. Perspectives in Nonlineary Benjamia, NY-Amsterdam, 1968.
Коноплёва Ирина Викторовна, кандидат физи-ко-математических наук доцент кафедры «Высшая математика УлГТУ». Имеет статьи в области нелинейного анализа и нелинейных, дифференциачьных уравнений. Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика УлГТУ». Имеет монографии и статьи в области нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.
