Об устойчивости разветвляющихся семейств решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в глубоком пространственном слое флотирующей жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

10 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.988.67

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВЕТВЛЯЮЩИХСЯ СЕМЕЙСТВ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛНАХ В ГЛУБОКОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛОЕ ФЛОТИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ1

© 2009 А.Н. Андронов2

Рассматриваются потенциальные течения несжимаемой тяжелой капиллярной жидкости в пространственном слое бесконечной глубины со свободной верхней границей. Вычисляется асимптотика периодических течений в пространственном слое со свободной границей, близкой к горизонтальной плоскости г = 0, ответвляющихся от основного течения с постоянной скоростью V в направлении оси Ох. Исследуется их орбитальная устойчивость относительно возмущений той же симметрии. Применяются методы группового анализа и теории ветвления в условиях групповой инвариантности. Особое внимание уделяется случаям высокого (п ^ 4) вырождения линеаризованного оператора.

Ключевые слова: слой глубокой флотирующей жидкости, капиллярногравитационные поверхностные волны, ветвление, устойчивость, групповая симметрия.

1. Постановка задачи

Рассматриваются потенциальные течения несжимаемой тяжелой капиллярной жидкости в пространственном слое бесконечной глубины со свободной верхней границей. Постановка задачи о капиллярно-гравитационных волнах восходит к известным работам А.И. Некрасова [1, 2], X. Ьеуь Ст1а [3] и Б. Я^шк [4]. В работах [5-10] рассматривалась пространственная задача. В работах [6-8] для вычисления асимптотики малых разветв-

1Полученные результаты поддержаны грантом РФФИ-Румынская академия №07-01-91680а.

2Андронов Артем Николаевич ([email protected]), кафедра прикладной математики Мордовского государственного университета, 430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

ляющихся решений применялось групповое расслоение, а в [9, 10] — методы группового анализа [11] в задачах теории бифуркаций [12], развитые в [13-15], нашедшие применение в ряде задач поверхностных волн и физики фазовых переходов [9, 10, 13-15]. Определяются периодические с периода-

-п -П 7

ми — = и = Ь\ потенциальные течения тяжелой капиллярной глубокой жидкости в пространственном слое со свободной верхней границей, близкой к горизонтальной плоскости г = 0, ответвляющиеся от основного течения со скоростью V в направлении оси Ох. Потенциал скорости имеет вид <^(х,у, г) = Vx + Ф(х, у, г). Предположение о бесконечной глубине слоя значительно упрощает вычисления по сравнению с [6-10] и позволяет исследовать устойчивость разветвляющихся решений относительно возмущений с той же симметрией.

В безразмерных переменных описывающая ответвляющиеся периодические режимы система дифференциальных уравнений имеет вид

ДФ = 0, —то < г < /(х,у); (1.1)

д Ф д/ д Ф д/ д Ф д/ . . .

- дх = (v/, Уху) = дХдХ + дуду,г = /(х,у); (.)

дф . 1,„т |2 . . . к

— + 2 |УФ|2 + ^2/ + -2

2 VI + IV/I2

*2+(-у/+І)(і+2|уф2

/

—7^ 2^гу(^^ ) = сош£, г = / (ж, у) (1.3)

Уі + IV/12

с условиями убывания функции Ф и первых ее производных на бесконечности. Второе равенство в (1.1)—(1.3) является кинематическим условием на поверхности слоя, а третье — описывающим баланс сил (интеграл Бернулли), ^- = ^ (число Фруда), 7 = (число Бонда), к = Р0.

Система (1.1)—(1.3) инвариантна относительно двумерной группы сдвигов Ь^д(х, у) = д(х + въ У + в-) и отражений

51 : х ^-х, Ф(х,у,г) ^-Ф(-х, у, г), /(х,у) ^ /(—х,у),

5- : у ^-у, Ф(х,у,г) ^ Ф(х, -у,г),/(х,у) ^ /(х, -у),

представляющих собой группу симметрии прямоугольной решетки.

2. Построение систем разветвления

Выполняя распрямляющую свободную верхнюю границу замену переменных £ = г — /(ж,у), Ф(ж,у, £ + /(ж,у)) = и(ж,у,() и полагая ^2 = ^02 + е, получаем эквивалентную (1.1) систему

Ли = 2ижС/х + 2иуС/у + ис(/хх + /уу) — исс/ + /2) = ад(0)(и, /), —то < ( < 0;

(2.1)

ис— /х = ^хУх + иу /у— ис (/Х + ) = ад(1)(и /), С = 0; (2.2)

Ux + kUxZ + F02 - yFq2Af = ucfx - є/ + 7єД/ - 1 (uX + Ц + u^) + Uxuc/x +

+uyuZfy - Y(F0 + є) [3 (fx2fxx + fy fyy) + 2(f2fyy + /J2fxx) + 2fxfyfxy] +

+1 k(F02 + є) f + f2) + k [—fyUxy - fx(Uxx + UCC) + UxUxZ + UyUyZ + UCUCC + + 2 fx UxZ + "2 fyuxC + UZ(fxfxx + fy fxy 2uxZfx 2uyCfy) Uxy (fxuy + fyux)

UCC(uxfx + uyfy) fxuxuxx fyuyuyy + fxfyUyZ] = w(2) f, є), С = 0;

(2.3)

k < yFq (условие эллиптичности интеграла Бернулли (2.3)) (2.4)

w(j), j = 0, 1, 2 — малые нелинейности. Система (2.1)—(2.3) может быть представлена нелинейным функциональным уравнением BX = R(X,є), Д(0,є) = 0, Rx(0,0) =0, X = {u, f} — задачей о точках бифуркации с линейным фредгольмовым [16] оператором B = Bmn: C2+а(По х (-то, 0]) + + C2+а(По) ^ Са(По х (-то, 0]) + Са(По) + Cа(По), 0 < а < 1, По — прямоугольник периодов в плоскости (ж, y). Представляя в однородном уравнении BX = 0 функцию f (ж, y) отрезком ряда Фурье ^ (amn cos max cos nby +

m,n

+ cos max sin nby + cmn sin max cos nby + dmn sin max sin nby), находим

u(x, y, Z) = ^ maseSmnC (cmn cos max cos nby + dm,n cos max sin nby -

m,n

-amn sin max cos nby - bmn sin max sinnby),smn = m2a2 + n2b2,Fmn = Fq.

Из уравнения (2.3) получаем дисперсионное соотношение (ДС)

( k + ) m2a2 = F0(1 + ^n = m2a2 + Fmn = F(2, (2.5)

\ -mn /

где m, n — положительные целые, n может быть равным нулю, при выполнении которого для некоторых пар (mj, nj), j = 1, 2,..., к пространство нулей N(B) линеаризованного оператора B имеет вид

= {-vij (Z) sin mjax cos njby, v2j cos mjax cos njby},

02j = {-vij (Z) sin mj ax sin nj by,v2j cos mj ax sin nj by},

03j = {vij (Z) cos mj ax cos nj by, v2j sin mj ax cos nj by},

04 j = {v"j (Z) cos mj ax sin nj by, v2j sin mj ax sin nj by},

/ mj aVab sm.n -C л/ab

где vij (z ) = e , v2j = ^ab.

Упрощающий вычисление коэффициентов УР переход от вещественного базиса к комплексному осуществляется с помощью матрицы С с диагональными блоками Cj, если j-я решетка двумерная:

11 i \

1 1 i -11 i ,

-1 1 -i

/ -i i -i i

1 1 1 -1 -1

2 1 1 1 1

V i -i -i i

C-i = -Cj = 2

i -i i -i

или

C-i =4 24 2

j 2 V -2i 2

если ^-я решетка одномерная. Уравнение разветвления (УР) ¿(п, е) = 0 в вещественных переменных при переходе к комплексному базису переходит в УР в комплексных переменных [8] £1,2 = П1 ± ¿П2, £з,4 = Пз ± ¿П4

7 (£ е) = (С-1^)7 (С£ е) = ^ .7 = 174. (2.6)

= 2{^(С), — ОД*}^“Х+ПЬу) = = 2{^(С), —*>,

^ = 2(С), —ах-п;Ьу) = ^ = 2{^(С), -¿Ме^;*>,

^27 = <^2. = 1 ^(С^ ТО2}е-г<г1;,9\ ^47 = <^4. = 1 ^(С^ ^2}е-г<гз;,9\

ш,- ал/аЬ 8. а л/аЬ туту

^ = (ж,у), ^ (С ) = —-----е ; Ц , ^2 = ---, ¿2,7 = —¿17, ¿47 = —¿З^.

пз./ п

Известными методами [17] проверяется симметричность однородной системы

(2.1)—(2.3). Те же методы, примененные к неоднородной системе (2.1)—(2.3), дают условия ее разрешимости, используемые при построении УР

у -ш(0 ^ж^у^( + у -ш(і)

Пох(-^,0] По

«г? (ж, у, 0) + к

/?

дж

^ж^у +

+ у эд(2)/г:?-^ж^у = 0, г = 1,4, j = 1,..., к

По

При принятой нумерации базисных элементов подпространства N и отвечающих им вершин прямоугольника По в обратной решетке действие группы (51 в переменных £ j-й решетки периодичности выражается подстановками индексов переменных £&, : рі = (1^-, 2^-)(3і, 4і),Р2 = = (1і, Зі)(2і, 4і),рз = (1і, 4і)(2і, Зі), а групповая симметрия УР в комплексном базисе — равенствами

(Рк¿)г(£,є) = ¿г(Рк£,є), к = 1, 2, 3. (2.7)

Действительно, преобразования векторных базисных элементов ^ =

= {«і,/і} в N (В) при действии группы (51 определяются формулами

Рі^ = {Рі«і, -Рі1і}, Р2^і = {Р2«і,Р2/і}, Рз^і = {Р3«, -Р31і}

где рі#(ж,у) = #(-ж, -у), Р2^(ж,у) = #(ж, -у), Рз5<ж,у) = ^(-ж,у). УР также наследует симметрию (2.1)—(2.3) относительно операции 7 комплексного сопряжения. Симметрия относительно 2-параметрической группы сдвигов наследуется УР как инвариантность относительно 2-параметрической группы Ай(в) = 50(2) х 50(2) вращений:

еі(1г^(£,є) = ¿г(... ,£і,еі(І1,,в),... ,£4,-еі(І4,,в),...; є), г = Т7Й.

Группе Ад(в) отвечает базисная система инфинитезимальных операторов (д£& = д/д£^, ] — номер решетки симметрии)

Xl = Е mja[-6j d6j + 6j d6j - d6j + C4j dC4j -

j

-tlj dtlj + ¿2, di2, - ¿3, di3, + ¿4, di4, ],

X2 = E njb[-6j d6j + 6j d6j + 6, d6j - ^4j dC4j -

—¿1 jdtlj + ¿2,dt2j + ¿3,dt3j - ¿4,dt4j].

(2.8)

Общий ранг г*(М) матрицы М = [Е£, Т^| коэффициентов Хі и X равен 2, если п = 0 хотя бы для одного j, и 1, если п = 0. Полная система функционально независимых инвариантов, определяемая уравнениями

n,

Х8/(£,£), 8 = 1, 2, содержит п инвариантов вида /&(£,£) = ^, к = 1

и Щ инвариантов вида /га+^(£) = ^2к-іС2к, к = 1, Щ. Остальные 2п — г*(М) —

— п — Щ Щ — г*(М) = инвариантов выбираются в виде инвариантных мономов наименьших возможных степеней от £. Из вида матрицы М следует, что Т = |£,£|£ — £(£) = 0} является неособым инвариантным многообразием действия группы в подпространстве Н2га векторов (£, ¿) и может быть представлено в виде Фст (/і,..., І2га-г*) =0, <г = 1,...,п. Так как

dIk

n системы от-

г*(2,Т) = г*(2), выполнено условие разрешимости г носительно переменных ¿, и мы получаем общий вид УР, выраженный через степени инвариантов /га+ст(£), 1 ^ а ^ ао = п — г*(М). В общем случае аналитического УР размерности п > 4 необходимо использование дополнительных инвариантов с последующей факторизацией по связям между использованными мономиальными инвариантами.

3. Четырехмерное подпространство нулей

При n = dim N(B) = 4 система разветвления имеет вид:

ts(C,e) = aos)(e)k + ^ 4s)(e)&(£i6)91 (бЫ92 = o, s = I“4,

где соотношения между коэффициентами и уравнениями определяются (2.7). Равенства (2.7) позволяют выразить УР системы через первое:

*1(£, е) = Л&е + ££2£2 + С&&61 + ... = 0,

(l)

2e1+e2;0, C = ¿Є;+е2+ез, Єі = (1, 0, 0, 0),...,Є4 = (0, 0, 0, 1),

tfc(£, e) = pfc-ltl(C, e) = 0, k = 2, 3, 4,

t(l) = -¿a;k

J w(0 )u2dxdydZ + J w(l)

Пох(-^,0] По

U2(x,y, 0) +

dxdy +

+Jw(2)/2dxdy.

По

Последовательно находим

,1ад=8^2 (278тг3ь„,„ - в ([(к2+б7> s™” -sk] sm”e2'""c

-2 [27smra - 3ksmn - I] eSmnC) e2i(m“x+raby),

absmn [ (k + 2y) smn + ksmn + 2 2i(ma,x+nfry)

f2ei ;0 = ----й 2f0 2 1 ГГ-----------П--- e2i(m“X+raby), Uei+e2;0 = Const,

’ 8n2 (27sm„ - 3ksmn - I) ;

fei+e2;0 — Const, ue3+e4;0 — fe3+e4;0 — Const, uei +e4;0 — 0,

= ab [2n252 (I + 7sU - ksmn (m2g2 - n2b2) (47^г - ksmn + 3)] 2mby. ei+e4;0 4n2sm„ (I + 4Yn2b2) (ksmn + I) e ’

uei+e3;0 —

?mn 1

¿ma2be2m“z eim“x

4n2sm„[(fcsm„ + I) (I + 47m2a2) ma - 2sm„ (I + 2kma) (I + Ys^n)]

x (ksmn [ksmn (m2a2 - n2b2) - 5m2a2 - 3n2b2 - 27 (smn + 4m2a2n2b2)] +

ima2b 2n2

+2 [3ysL (m2a2 - 2n2b2) - 2n2b2 (I - 27n2b2)]) - eSmnCe2im“x;

^ ma2b

fei+e3;0 = 4n2S

4:Л smn

fcsmn (ksmn (m2a2 - n2b2) + m2a2 - 3n2b2 - 27sm„) (ksmn + I) (I + 47m2a2) ma - 2sm„ (I + 2kma) (I + 7smn)

2 (2rnasm„ - m2a2 - 2n2b2) (I + Ys^n)

e2imax

(ksmn + I) (I + 47m2a2) ma - 2sm„ (I + 2kma) (I + Ys^J Тогда ненулевые коэффициенты УР имеют вид:

a=-(i+7smra) <o,

m2a3bsmn ksmn (I7 - Bys^^ +3 k/4m2a2n2b2 2 2 2l2\

—:—2-- -77;—2----+ 7: --------------2-------m2a2 - 3n2b2 -

4n2 (27smn- 3ksmn-1) 2 V smn J

B =

ksmn (ksmn + ^ [(k2 + 2y) smn + ksmn + 2 3smn7 (ksmn + I)

- I +

(i+7smj (27smn- 3ksmn- i) 2 (i+7smn)

(3m2a2 - n2b2) ma m3a3 4m2a2 2n2b2 2n2b2

—2—To------T-Г" Ui + 3— U2-----------------1 I 3— U3+

smn (2ma + smn) smn smn smn smn

, i m2a2 m3a3 2 2 2j2 2n2b2 \ 7 (ksmn +1)

+k-------------Ui + -^- U2 - m2 a2 + n2b2 + ^— U3 + 'v . mn—x

c2 smn / 2smn (I + 7smn)

(o 4 4 , о 4т,4 о 2 2 2т,2) 2k (ksmn + I) ( 3 3rr

x (3m a + 3n b - 2m anb „—?„—- (m a U2-

smn (I + y^J

2b2rr ) + k ^ 23m2 2 + 5 2b2 4m2a2n2b2 + 2 (m4a4 - n4b4) +

-n b U3J + 2 I -23m a + 5n b-----------------------------------------2-^-2-+

2 у smn smn

I2m2a2U1 8m3a3U1 r T 2m3a3U2 4n2b2U3

+4maU1 +------------------------------------1 +-2-1 - 4maU2 + 2 3

s2 2 s2 s2

smn smn smn

X

mn

где Ui, U2, U3 определяются по формулам

Uie2m“Z - SmraeSm

ima2b

ие1+ез;0 —

2n2 sm

e2im«æ

Шй Ь 2imaæ r йЬ ri ^2mby

/ei+вз;0 — 2^2^ U2e ’ Zei+e4;0 — 2^2^ U3e •

smn smn

Симметрия задачи относительно позволяет осуществить редукцию УР i(n, е) — 0, полагая П2 — П4 — 0. Тогда главная часть редуцированной системы принимает вид А^1е + Вп3 + С^Пз — 0, А^3е + Сп2П3 + В^з — 0. Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Задача (1.1)—(1.3) в окрестности точки бифуркации Fq —

— — четырехкратного собственного значения, определяемого дисперси-

онным соотношением (2.5), имеет с точностью до преобразования y ^ -y два двупараметрических семейства периодических решений

{Ф(1), f(1)} — [—A (F2 — F2n)]1 {eSmnÎ cos[ma(x + £1) +

+nb(y + ^2)], sin[ma(x + ^i) + nb(y + ^2)]} + O (|F2 — F^l) , (3.1)

sign(F2 - F2n) — s^B^s^n — 1 ,z — z — f(1)(x,y);

{Ф(2), f(2)} — [-B+C(F2 - F2„)]1 {eSmnZcos[ma(x + A)] x x cos[nb(y + в2)], sin[ma(x + в )] cos[nb(y + в2)]} + (3.2)

+O (|F2 - F2ra|) , sfgn(F2 - .F^J — sign(B + С^ ( — z - f(2)(x y).

Z

4. Высокие вырождения линеаризованного оператора

А. щ = П2 = 0, п = ё1ш N (В) = 4. Докажем возможность существования физических параметров, при которых существует решение с симметрией двух вырожденных решеток. Пусть ДС выполнено для двух пар (т1, 0) и (т2,0): (кт1 а + 1)т1а = F02(1 + 7ш^а2), (кт2а + 1)т2а = F0(1 + 7т|а2). Разделив первое уравнение на второе, получим выражение для к:

(1 + 7ш^а2)(1 + 7т|а2) т1а т2а

т2а2 — т2а2 |_1 + 7ш2а2 1 + 7т| а2

Положим т2 > Ш1 и /(ж) = , где х = та. Тогда /' = (11—и

/ < 0 при 7Х2 > 1 — условие существования двух вырожденных решеток периодичности.

Группе сдвигов по координате х отвечает однопараметрическая группа вращений-отражений в пространстве векторов £ = (£1, £2, £з, £4) с диагональной матрицей А(в) = ^гад{егт1“в, е_т11“в, егт2“в, е-шг2“в}.

Здесь (т1,0) и (т2,0) удовлетворяют дисперсионному соотношению

(2.5). Группе А(в) отвечает базисный инфинитезимальный оператор

(%1 = д//д£кО Х = (Х(£),Х(^|, Х(£) = т1а (—£1%1 + £2% /) +

+ т2а (—£з% 1 + £4% /).

Дифференциальное уравнение X/(£, ¿) =0 определяет полную систему семи функционально независимых инвариантов /8(£, £) = ,8 = 1, 4,/б(£) =

= £1 £2,/б(£) = £з£4,/7(£) = £^/т1 ^, где N — наименьшее общее кратное (НОК) чисел т1 и т2.

Согласно теореме Л.В. Овсянникова [11], получаем общий вид УР рассматриваемой задачи. Мы предполагаем УР аналитическим или достаточно гладким, поэтому при использовании построенной полной системы функционально независимых инвариантов некоторые мономиальные слагаемые в УР могут отсутствовать. Необходимо привлечь дополни-

N N

тельный инвариант /8 = £2"1 £з"2. Тогда в УР возникают повторяющиеся слагаемые и нужно провести факторизацию по связи между инвари-

N N

антами /7(£)/з(£) = /б"1 (£)/(Т2 (£). Эта факторизация обозначается символом [...]ои*. Таким образом, УР принимает вид ¿д.(£,в) = а0к)(е)£& +

N N \ 93 / N N\ 941 к(С\(С.СЛ9і(С„С Л 92 £fc ( £m £™2 j | £ ™ 1 £™2

+ £ < (£)(£i£2)91 (£э£4)92

9

= 0, k = 1,4, где

символ [...]ои* означает, что в выражении внутри скобки сомножители вида £2й-1£2й должны быть опущены.

В частности, для взаимно простых т1 и т-2 главная часть УР принимает вид

+ В£2т2-1£3т1 + ■ ■ ■ = 0, ^ + В£Г2-1£4т1 + • • • = 0, С£зе + ^ С1-1 + ■ ■ ■ = 0, С&е + ££2т2 £3™1-1 + ■ ■ ■ = 0.

B. n = dim N(B) = 6. Существование трех вырожденных решеток периодичности (ni = П2 = Пз = 0) невозможно. Действительно, пусть mi < m2 < m3 и am^ = s&. Тогда

(1 + 7s2) „2 1 „2 - (1 + 7si) „2 2 „2 = (1 + 7s2) „2 1 „2 - (1 + 7s2)'

<§o — s ^2 — Si S3 — Si S3 — Si

= (1 + 7s2) „2 2 „2 — (1 + 7S2) „2 3 o2 .

s 2 — s 2 s 32 — s 22

S3—S2 _____1

1(s2-s3) S1

Используя эти соотношения, получаем 7 = 2^3 82 , = —2 < 0, что про-

81(82 83)

тиворечит положительности 7. Правильная гексагональная решетка периодичности также невозможна. Действительно [9], 7 = ,

8з^^2 (к82 + !) — 82^^<3 (лС83 -—і)

тогда для «і = з2 оно отрицательно (7 = — ^). Мы можем записать два последовательных поворота на угол п/3 в виде шіаж + ш і а\/3у ^ —шіаж + + ^Зшіау ^ —шіа(іж + ^у) + л/Зш^—^ + іУ) = —2ш1ах, и предположение §2 = ш2а2 + Зшіа2 = 4шіа2 = 82 неверно.

Существование неправильной гексагональной, а также двух 4-мерных решеток периодичности (следующий пункт) может быть доказано, как и в работе [9] (используя непрерывную зависимость ДС относительно k).

При dim N(B) = 6 один из прямоугольников периодов вырождается в отрезок. Базис подпространства нулей нумеруется векторами I(m¿,n¿) =

= m¿I(1) + n¿I(2) обратной решетки: (m,n) (I(1) = aei, ¿(2) = be2),

Ii = 1i(mi,ni) = mili + ni¿2, 7э = miIi - ni¿2, I5 = ¿5(m2,0) = m^Ii, I2j = -

—¿2j-i. В такой нумерации базисных элементов и отвечающих им вершин (±mi, ±ni) и (±m2,0) соответствующих прямоугольников По1 и П02 в обратной решетке действие группы Gi симметрии прямоугольника выражается подстановкой индексов переменных , а групповая инвариантность УР относительно G1 — равенствами типа (2.7). Эти равенства вместе с инвариантностью относительно операции J комплексного сопряжения позволяют выразить уравнения системы через первое и пятое.

Для построения этих уравнений используем инвариантность УР относительно двумерной группы сдвигов ei(1k,e)ífc(£,е) = ífc(6ei(i1’e),. . . , £бei(l6,e),e). Тогда коэффициент при в k-м уравнении может быть отличен от нуля, если выполнено равенство I& = aili + ... + аб1б, |a| = г.

Рассмотрим такой случай шестимерного ветвления, когда взаимодействие решеток происходит на первом шаге, т.е. имеют место соотношения: Ii = I4 +15, I3 = I2 +15,¿5 = Ii +13, I2 = I3 + Ii, I4 = 11 + Ii, Ii = 12 +14, m2 = 2mi.

Аналогично предыдущему пункту определяем систему функционально независимых инвариантов, получаем УР, главная часть которого имеет вид

А^е + ÍB&& = о, А£з£ + ÍB&& = 0, С&е + ÍD&& = 0,

А&£ — ¿££з£б = 0, А&£ — ÍB£i£i = 0, — ÍD&& = 0,

где А = a0i, С = a0i, iB = a0111), iD = aOa^, A, B, С, D — вещественны. Главная часть УР в вещественных переменных принимает вид

Anie + B (П1П5 + ПзПб) = 0, Ап2е + В(п2П5 + П4 Пб) = 0,

Апзе + B (nini — ПзП5) = 0, An4e + В(п2Пб — П4 П5) = 0,

Cn5e + 4D(—П2 — П2 + П2 + П2) = 0, Спбе + 1 D(—пщз — П2П4) = 0.

Выполняя редукцию УР, положив П2 = 0 = Пз, приходим к системе разветвления, имеющей 4 решения. Комбинации сдвигов по координате x на

п п п п «-»

2mia, тта и по координате y на 2П75, , индуцированные группой сдвигов

¿в при соответствующих значениях в = (въ$2), индуцируют преобразования {ni ^ П4, П4 ^ ni, П5 ^ —П5>, {ni ^ —ni, П5 ^ П51, {П4 ^ —П4, П5 ^

П51, которые оставляют только одно решение ^2^— BIDе, 0, 0, 0, — Bе, 0^ .

C. n = dim N(B) = 4+4. Дополнительно к доказательству такого вырождения, указанному в предыдущем пункте, докажем этот факт в случае симметрии двойного квадрата. Рассмотрим два ДС: (k + ^)m2a2 = Fq(1+ Ysf),

(к + 21")4mfa2 = Fq (1 + 47s2), из которых получаем 27s! — 3ks1 — 1 = 0 ^

/ ^ гл 3fc+^9fc2+8Y

(si > 0) si =------------ — условие возможности такого вырождения.

Находим систему функционально независимых инвариантов, выписываем общий вид УР. Симметрия группы прямоугольника выражается подстановками индексов переменных {д:pi=(12)(34)(56)(78), p2 = (13)(24)(57)(68), рз = (14)(23)(58)(67), а соответствующая групповая симметрия УР — равенствами типа (2.7). Эти равенства позволяют выразить все уравнения через первое и пятое и дают симметрию коэффициентов УР.

¿iO^) = A6£ + B£26 + + D6 66з + ECiC7{8 = 0

t5({,£) = + H{5{7 {8 + K66{5 + L{3{4 = 0

Переходя к вещественному базису в N(B), выполняя редукцию соответствующего УР (^2 = Пз = 0), получаем решения.

D. n = dim N(B) = 4 + 2 + 2. Предположим, что взаимодействие решеток периодичности осуществляется на первом шаге. Это возможно, например, если векторы обратной решетки удовлетворяют соотношениям

li = I4 + I5,12 = 1з + 1б, 1з = ¿2 + I5,14 = li + 1б, ¿7 = 2I5, ¿8 = 21б.

Существование такой ситуации можно доказать, используя ДС для решеток (mi,ni), (2mi, 0), (4mi, 0). Симметрия относительно дискретной группы позволяет выразить уравнения системы разветвления через первое, пятое и седьмое и тем самым устанавливает связи между коэффициентами ajqfc)(e) УР. Переходя к вещественному базису в N(B) по формулам типа

(2.6), выполняя редукцию соответствующего УР, получаем систему:

Anie + B^in5 = 0, B^4^6 = 0, B^in6 = 0, A^4e — B^4^5 = 0,

СП5£ + ^(nl — П2) + E (П5П7 + П6П8) = 0, Спзе + E (^5^8 — П6П7) = 0,

+ G(n2 — П2) = 0, F^8£ + 2СП5П6 = 0, имеющую 5 решений, из которых существенными являются только три.

5. Об устойчивости решений задач о капиллярногравитационных волнах

Л. Флотирующая жидкость. 4-мерное вырождение. Согласно [21], орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений (1.1)—(1.3) определяется устойчивостью стационарных решений уравнения = ¿(п,є),

где ¿(п, є) — левая часть системы разветвления, є = ^2 — ^І^. Устойчивость же последних определяется знаками собственных значений матрицы Якоби 3 = на этих решениях. Действие оператора на произволь-

ный элемент N(Втп) равносильно преобразованию его координат в разложении по базису подпространства нулей с помощью матрицы (здесь

л/ab

/1(в1,в2) = cosma$1 cosnb$2, /2($1,$2) = cos ma$1 sinnb$2, /з(въ$2) = = sinma$1 cosnb$2, /4($1,$2) = sinma$1 sinnb$2)

( /1($1,$2) /2(в1,в2) /з($1,$2) /4(в1,в2) \

—/2($1,$2) /1($1,в2) —/4($1,в2) /з($1,$2)

—/з($1,$2) —/4(в1,в2) /1 ($1,в2) /2(в1,в2)

V /4($1,$2) —/з($1,$2) —/2($1,в2) /1(в1,в2)У

С помощью матрицы Ag определяется семейство решений j = Agг?о(е) =

= ^(/1 ($1, $2), —/2($1, $2), —Уз($1, $2), /4($1,$2))Т (— 1 е) 1/2 + ofle^2^

n0(e) = (1, 0, 0, 0)T (—1 е)1/2 + o(|e|1/2), где n0(e) — решение редуцированного УР ($1 = $2 =0).

Проверим выполнение соотношений

ín(no(e),e) [Лг jo(e)] = 0,i = 1, 2, (5.1)

где Лг — инфинитезимальные операторы алгебры Ли в Н4

CA

tn(j0(e), е) = diag < Ае — 3Ае, 0,0, Ае-----— е

I B

дАв, . . п / А 51/2

дАя п , у/ А \

^о(е) = =ft =0 ^ ^(е) = Tab (0, 0’ -mia’ 0) V J

0,1 / Л \ 1/2

Л2г?о(е) = две|ві =в2=о • %(е) = Tab (0, -mia> 0 °)Т у- Д£) .

10

\ а. а n ■ n/m є і — - мі. —71/, 1 а, 0, 0і і — ^

Соотношения (5.1) выполнены, и устойчивость ответвляющихся решений Ад70 (є) определяется знаками главных членов по є собственных значений матрицы Якоби J на этом решении, которые имеют вид (B — B + C,

C — 3B — C) V1,2 — 0, V3 — —2Ae, V4 — f+C((5 — B).

Теорема 5.1. Для того чтобы семейство решений было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

signe — signB — sign(B + C) — —1,

C—551 <—>*< s < 1. «,

Рассмотрим вторую группу решений. Главные части собственных значений матрицы Якоби J на этих решениях определяются из уравнения

(Ае - - V2 )

2АВе \2 ( А^е

Ае —-------— — V —

В + C ) \В + C

2АВє ,, _ 2Ає

0,

*1,2 = -BRJ, V3 = -(C - B), V4 = 0.

Теорема 5.2. Для того чтобы семейство решений было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

signe = sign(B + C ) = signB = -1,

0 < |B| < 1. (5.3)

2

Замечание 1. При выполнении неравенства (5.2), (5.3) семейство (1.1)— (1.3), соответствующее решениям (3.1), (3.2), будет устойчиво относительно возмущений того же класса решеток периодичности, а неустойчивость относительно возмущений класса решеток той же периодичности означает неустойчивость вообще. Придавая значения параметрам п, Ь, 9 = та,

мы определяем 1^1. Результаты для первой группы решений представлены 1В1

в табл. 1 (для к=0.8), где решения (3.1) неустойчивы, а решения (3.2) — неустойчивы.

Таблица 1

п Ь 9 |С |/|В | п Ь 9 |С |/|В |

1,000 1,000 1,3000 0,850813039 1,000 1,000 1,4500 0,178466137

1,000 1,000 1,3500 0,635714027 1,000 1,000 0,5000 0,131115256

1,000 1,000 1,4000 0,419410516 1,000 1,000 0,5500 0,622709000

Результаты для второй группы решений содержатся в табл. 2, где решения

(3.2) устойчивы, в то время как решения (3.1) неустойчивы.

Таблица 2

п Ь 9 |В\/\с\ п Ь 9 |В\/\с\

1,000 1,000 0,8000 0,040375771 2,000 2,000 0,4000 0,122130193

1,000 1,000 0,9000 0,157498907 3,000 3,000 0,1000 0,62698459

1,000 1,000 1,0000 0,301714049 3,000 3,000 0,2000 0,620169486

2,000 2,000 0,1000 0,292847947 3,000 3,000 0,3000 0,538527089

2,000 2,000 0,2000 0,344675422 3,000 3,000 0,4000 0,381837849

2,000 2,000 0,3000 0,272661090 3,000 3,000 0,5000 0,098692584

В. Жидкость без флотации, к = 0. 4-мерное вырождение. Результаты для первой группы решений показаны в табл. 3, где решения (3.1) устойчивы, а решения (3.2) неустойчивы.

Таблица 3

п Ь 9 |С |/|В |

2,000 2,000 0,1000 0,595643406

2,000 2,000 0,2000 0,761614822

2,000 2,000 0,3000 0,792834919

2,000 2,000 0,4000 0,765693784

2,000 2,000 0,5000 0,586082036

А для второй группы результаты показаны в табл. 4, где решения (3.2) устойчивы, а решения (3.1) неустойчивы.

Таблица 4

n b q |B |/|C | n b q |B |/|C |

1,000 1,000 0,6000 0,054693147 2,000 1,000 0,2000 0,077310085

1,000 1,000 0,7000 0,115291056 2,000 1,000 0,3000 0,190900611

1,000 1,000 0,8000 0,170005725 2,000 1,000 0,4000 0,227631315

1,000 1,000 0,9000 0,214241214 2,000 1,000 0,5000 0,156749153

1,000 1,000 1,0000 0,244240961 2,000 1,000 0,6000 0,000648038

Замечание 2. Все таблицы сокращены для краткости изложения.

C. Флотирующая жидкость. 6-мерное вырождение. dim N(B)=4+2. Как и прежде, проверяем выполнение соотношений типа (5.1). Здесь

По(^) = (2\J — BD, 0, 0, 0, — A, 0)Te + o(e) — решение редуцированного УР.

г /

tn(??о(е),е) = diag <

0 0 0 000 000 000

—D\l — BD e 0 0 0

0

0

0

Ce

,0

\ 0 0 0 0 0 /

Соотношения выполнены. Собственные значения матрицы Якоби J на этом решении имеют вид Vi,2,3,4 = 0, v3,6 = с2£2+4АСе2. Поскольку A, C < 0,

то одно из собственных значений будет положительно, следовательно, в данном случае устойчивости нет.

D. Флотирующая жидкость. 8-мерное вырождение. dim N(B)=4+2+2.

Первое решение редуцированного УР nO^e)

B, ° B^F 0)Te + o(e).

(0, 0, 0,

2A I _c _ BD 1 C

A2E^ B2F j ’

tn(tf}(e),e) = diag <

' / 0 —Br?^4) 0 0 \ >

0, 0, 0, Dn04) Ce + ABEG e 0 AE _ B e ,0

0 0 0 0

V V 0 -2GA e B e 0 Fe / У

Собственные значения матрицы Якоби 7 на этом решении: VI,2,3,4,5 = 0, V6,V7,V8 определяются как корни кубического уравнения, причем два из них комплексно сопряжены, а третье отрицательно. Исследование полученных выражений для комплексных корней при 7 ^ 0 приводит к условию, при котором решение будет устойчивым: = -1, §2 > 1.

Для второго решения: По3)(е) = (0, 0, 0, 0, ^-2§Р, ^-2ж?, 0, §)те + о(е),

tn(^?<э3)(е), е) = diag <

0, 0, 0, 0,

Ce

Ce

—2Gn0? V 2^

Ce

Ce

2Gr?^35)

2Gi?o;5)

En03) >\ ЯпО?

0

Fe

Находим собственные значения матрицы Якоби:

(Я + 2С)е ±у/(Я + 2С)2е2 - 8СЯ(1 + е2)

V1,2,3,4,5,6 = 0, V7,8 = ----------------------2-----------------------'

Так как С, Я < 0, то при любом е > 0 два последних собственных значения

будут отрицательны, следовательно, при этом условии решение устойчиво.

/ ._____ \ т

П(4) (Л — ( Г\ Г\ Г\ Г\ Г\ / С

Е,

Для третьего решения: i?04)(e) = ^0, 0, 0, 0, 0, ^— EG, E, ^ е + °(е),

¿че) = dia^ 0, 0 0, 0, 0Л У (4) ЕПо6

&4)

2СП04 Яе ) )

Находим собственные значения матрицы Якоби: VI,2,3,4,5,6 = 0, V7,8 = = Ре±р2е2+8СЕе2. Так как С, Я < 0, то одно из собственных значений V7,8 положительно, следовательно, устойчивости нет.

Литература

[1] Некрасов, А.И. О волнах установившегося вида / А.И. Некрасов // Известия Ивановского политехнического института. — 6(1922). —

С. 155-171.

[2] Некрасов, А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости /А.И. Некрасов. — М.: Издательство АН СССР, 1951. — 96 с.

[3] Levi-Civita, T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie / T. Levi-Civita // Math. Annallen. — 93 (1925). — P. 264-324.

[4] Struik, D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques / D.J. Struik // Math. Annalen. — 95 (1926). — P. 595-634.

[5] Секерж-Зенькович, Я.И. Об установивших капиллярно-гравитационных волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины/ Я.И. Секерж-Зенькович // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. — М.: Наука, 1972. — С. 445-458.

[6] Логинов, Б.В. Построение периодических решений трехмерной задачи о волнах над ровным дном / Б.В. Логинов // ДАН СССР. — 247 (1979). — №2. — С. 324-328.

[7] Логинов, Б.В. Периодические решения трехмерной задачи о волнах над ровным дном / Б.В. Логинов // Динамика сплошной среды. — 42(1979). — С. 3-22.

[8] Логинов, Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов. — Ташкент: Фан, 1985.

[9] Loginov, B.V. Capillary-gravity waves over the flat surface / B.V. Loginov, A.O. Kuznetsov // European Journal of Mechanics/B Fluids. — 15(1996). — №2. — P. 259-280.

[10] Логинов, Б.В. Вычисление периодических решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости / Б.В. Логинов, С.А. Карпова // Вестник Самарского гос. университета. — 1997. — №4 (6). — С. 69-80.

[11] Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. — М.:Наука, 1978 (AP, NY 1982).

[12] Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 524 с.

[13] Логинов, Б.В. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) / Б.В. Логинов, X.H. Рах-матова, Н.Н. Юлдашев // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. — Ташкент: Фан, 1987. — С. 183-195.

[14] Loginov, B.V. Group analysis method for construction and investigation of the bifurcation equation / B.V. Loginov // Applications of Mathematics, 37 (1992). — №4. — P. 241-248.

[15] Логинов, Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия / Б.В. Логинов // Вестник Самарского гос. университета, 1998. — №4(10). — C. 15-70.

[16] Агранович, М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях / М.С. Агранович // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ. — 63 (1990). — С. 5-129.

[17] Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Най-марк. — М.: Наука, 1969.

[18] Логинов, Б.В. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений / Б.В. Логинов, В.А. Треногин // Матем. сборник. — 85 (1971). —

С. 440-454.

[19] Андронов, А.Н. Асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов //Труды Средневолжского математического общества. — Саранск, 2007. — Т.9. — №2. — С. 9-14.

[20] Андронов, А.Н. О порядках вырождения линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов//Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань, 2007. — Т. 36. — С. 16-18.

[21] Loginov, B.V. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions. / B.V. Loginov, Yu.B. Roussak // Nonlinear Analysis. — TMA. — 17. — №3. — 1991. — P. 219-231.

Поступила в редакцию 15/X77/2008; в окончательном варианте — 15/XII/2008.

ABOUT THE STABILITY OF BRANCHING SOLUTIONS IN THE PROBLEM ON CAPILLARY-GRAVITY WAVES IN A DEEP SPATIAL LAYER OF FLOATING FLUID

© 2009 A.N. Andronov3

Potential flows of incompressible heavy capillary floating fluid in free-dimensional layer of infinite depth with free upper boundary are determined. Asymptotics of periodical flows in spatial layer with free upper boundary close to horizontal plane z = 0 bifurcating from the basic flow with constant velocity V in Ox-direction are calculated. Their orbital stability relative to pertubations of the same symmetry is investigated. Methods of group-invariant bifurcation theory and group analysis of differential equations are used. Special attention is given to cases of high-dimensional (n ^ 4) degeneration of the linearized operator.

Key words: floating deep fluid layer, capillary-gravity surface waves,

branching, stability, group symmetry.

Paper received 15/XII/2008. Paper accepted 15/XII/2008.

3Andronov Artyom Nicolayevich ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics, Mordovian State University, Saransk, 430005, Russia.