CC BY
11
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 517.988.67
И. В. КОНОПЛЕВА, Б. В. ЛОГИНОВ
ПРИМЕНЕНИЕ КОСИМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА ПО ДОПУСКАЕМОЙ ГРУППЕ СИММЕТРИИ
Для бифуркационных задач с нарушением симметрии предложен новый подход к построению уравнения разветвления по допускаемой им группе.
В работах Н. И. Макаренко [1,2] в условиях групповой инвариантности вариационного нелинейного уравнения без явного выделения линеаризации в неизолированной точке ветвления доказано косим-метрическое тождество нелинейного оператора с ин-финитезимальными операторами допускаемой группы. Нами на основе общей теоремы о наследовании групповой симметрии уравнением разветвления [3] это тождество установлено [4] для нелинейного оператора уравнения разветвления (УР) потенциального типа. Для случая инвариантного ядра линеаризации косимметрическое тождество позволяет определить общий вид непрерывно дифференцируемого УР потенциального типа по допускаемой групповой симметрии. Метод является наиболее эффективным для бифуркационных задач о нарушении симметрии, когда эквивариантное УР является уравнением разветвления потенциального типа (УРГГГ) даже по части переменных. Принята терминология и обозначения [4-6].
1. ур 0 = ->2Л, теКп задачи
теории ветвления Вх = Я(х>£), К( 0,0) = О, /?(0,£) = 0с фредгольмовым оператором В называется УРПТ, если /(г, £) — (!- %га(1и(тг, е) с
обратным оператором В . Справедлива [5,6] теорема о наследовании симметрии нелинейной задачи уравнением разветвления:
ДА8т98) = В:Дт,е),
п
где
№
и
В? = Н1 Ру (а) II конечномерные представления допускаемой г -параметрической группы Ог(а) соответственно в инвариантных подпространствах
ЩВ) = {<р^ и = 1. Доказан-
ное в [4] косимметрическое тождество в рассматриваемом случае инвариантного ядра принимает вид
(/(т,£\Хкт) = 0, к = 1,...,г, где {Хк } [ система инфинитезимальных операторов представления А^ (а) в инвариантном подпространстве Ы(В) .
2. Рассмотрим примеры построения общего вида УР потенциального вида, в том числе по части переменных [5]
Теорема 1. Двумерное вещественное непрерывно дифференцируемое потенциальное (потенциального
типа) УР с 30(2)-симметрией (8Н(2)-симметрией) в вещественном базисе №(В) допускает симметрию 0(2) (соотв. Н(2)) и имеет вид
\Т Г1 и( \т\,£) = 0,
-]
(1)
/2(т,£) = г2 |т | и(\т\9е) = 0
(\т
2 2 тг -т2
)
с потенциалом V(г, £) = . (2)
О
Доказательство. Для потенциального УР с симметрией 50(2)
Да) =
^СОБ а - БШ <зх
Ч81ПЙ СОБА у
Хг =
/
— +
д
\
дг, дт2
т =
V У
V
1 О
1
Из
Поддержано грантом РФФИ 01-01-00019
косимметрического тождества следует, что отноше-
/1 (т, £) /2(т,е) ния -=- равны произвольной не-
Г1 т2
прерывно дифференцируемой функции со{\ т в) от
единственного инварианта
5/, 5/,
/2 2 n 7?
(Г, . г2)/2 и
дт-, дт
-i
. Полагая со(\ т\,£)=\т\ и(| т s) с
произвольной функцией и , обладающей указанными свойствами, получаем (1), и согласно [6]
1
-f
u(t\T\,£)(tTÍ +trl)
0
1
dt =
i'i
= Ja(f |r|,*)rf(f|r|) =
o o
Для двумерного УР потенциального типа с симметрией гиперболического поворота имеем
(cha sha\
А(а) =
к
sha cha
Xr =
/
д
\
дт,
4- Г,
дт.
У
Т ~
'тЛ Го
г
\
1 О
/
I
причем выполнено условие инвариантности потен-
Гл с\ \
щ
циала Л (a)dA(a) = d, d =
V
1 О О -1
. Кос им мет-
рическое тождество
показывает, что отношения
О = (d . /(г, Хг) =
- /j (Г, ¿г)г2 - /2 (Г, ¿г)^
А fo í) Л S)
1
т
рав1гы произвольной непрерывно дифференцируемой функции й)(\ Т от единственного инварианта
1/2
Т
1 2 Tt -г2
Из определения УР потенди-
ди „ ди г
ального типа следует —-= J j, -~~J2
дтх
дт.
^JA
дт2 дт}
-1
Полагая
С0(| Т б) t | и(| Г ¿г), получаем (1). Со-
гласно
[6]
1
^= {( Á (^1> К2 - Л > К =
О
л ^
_ rz¿(/1 т |,¿г) | /Tj — ír2 | dt _
О
1 М
= ^u{t\T\,s)d{t\r\)= ^u(s9s)ds
о
о
3. На основе теоремы 1 может быть получен об-щий вид УР с частичной потенциальностью (потенциального типа) в задачах о нарушении симметрии.
Теорема 2. 21 мерное непрерывно дифференцируемое УР с 30(2)-С14лшетриялп4 ^57/(2)-
симметриями) в I -й паре переменных ,
при независимых групповых параметрах для различных I, обладающее симметрией
21 -мерного представления группы I -мерного куба, имеет вид
/2 £) ~Т2 к-\1к {и(1 к>12> —
• /^-1 5 5 5 ¿0 = О
/2* (г> ~ Т2к^к к >^2
, / j, ,...,1 — О
/г — 1 ^... ? / ,
где
?
?
_ (r2¿-l + r2¿ )
(Ь К2 ^ ^(2)-
симметрии). Функция II инвариантна относительно попарных перестановок аргументов с индексами большими единицы и вместе со своими первыми производными является бесконечно малой при I ^ —> 0,
£ = 1,..., /, £ —^ 0. В УР к -я пара уравнений потенциальна (потенциального типа) по к-й паре пе-
ременных (Т2к-1 > Т2к)'
Ul(T,s) = U(Ily...9I¡,£) = h
Если
0
то
ик (г, S) =
причем и(/|у , 6") —
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СГШСОК
1. Макаренко Н. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Доклады РАИ, 348 (1996). - №3. - 302-304.
2. Макаренко Н. И. Симметрия и косимметрия вариационных задач теории волн // Тр. междунар. Школы-семинара «Приложения симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходах», Сочи, сентябрь 2001.- Ростов-на-Дону, 2001. - С. 109-120.
3. Логинов Б. В. Общая задача теории ветвления в условиях групповой симметрии // Узб. мат. журнал. -1992.-№2.-С. 40-49.
4. Логинов Б. В., Коноплева И. В., Русак Ю. Б. О ветвлении решений нелинейных уравнений с потенциальными и частично потенциальными уравнениями разветвления // Межвуз. сб. науч. работ «Функциональный анализ» - 2003. — Вып. 38. - С. 41-52.
5. Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A.V., Falaleev M.V. Lyapunov-Schmidt Methods m Nonlinear Analysis and Applications. MIA, v.550, 2002. - 54cSp.
6. Berger M, Berger M. Perspectives m Nonlineanty. Benjamin, NY-Amsterdam, 1968.
Коноплева Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент. Имеет статьи в области нелинейного анализа и нелинейных дифференциал ьн ых уравн ен и и.
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор. Имеет монографии и статьи в области нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.
УДК 539.1
Ю. Н. САНКИН, В. М. БАР АХОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ КАК СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕНЯЮЩЕЙСЯ КОНФИГУРАЦИИ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрены методы построения математических моделей и динамического расчета манипуляторов, рассматриваемых как стержневые системы переменной конфигурации.
Динамический расчет манипуляторов с учетом распределенных параметров в настоящее время разработан недостаточно^]. Манипуляторы, обычно схематизируются в виде стержневых систем, однако при исследовании его динамики, манипулятор рассматривается как система твердых тел[2]. И, если учитываются распределенные параметры, то это осуществляется приближенно, аппроксимируя дополнительные перемещения, возникающие за счет деформаций звеньев, с помощью полиномов. При этом получаются громоздкие выражения, которые приводят к большим трудностям при конструировании системы управления. Кроме того, стремление повысить быстродействие манипулятора приводит к увеличению его динамической нагруженности. А это требует всестороннего прочностного анализа звеньев механизма. Прочностной анализ целесообразно осуществлять, определяя коэффициенты динамичности по переходным процессам, имеющим место, например, при торможении вблизи заданной позиции, а также в момент приложения управляющих воздействий. Таким образом, в области современной робототехники приходится решать задачи колебаний сложных стержневых систем при различных условиях, а также задачи оптимизации управления движением системы.
Реальные задачи оптимизации сложных технических систем, состоящих из некоторых элементов, весьма трудоемки, так как обычно это задачи со
сложной математической моделью анализа состояния (напряженно-деформированного, устойчивости, колебаний и др.). Решение таких задач весьма затруднительно, если пользоваться точными уравнениями каждого элемента в отдельности.
Методика расчета колебаний, представленная в [3,4], позволяет осуществить строгий переход от сложной системы к ее простой эквивалентной модели. Данная методика использует построение и анализ амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ).
При построении АФЧХ решается задача о вынужденных колебаниях упругой системы под действием периодических возмущающих сил при любых значениях частот, лежащих в заданных пределах. Учет трения необходим в задачах динамики стрежневых систем, так как в этих задачах требуется определить амплитуды колебаний при всевозможных значениях состояния системы на заключительном этапе движения. Непосредственный учет 'фения при расчете вынужденных колебаний упругих систем осуществляется методом малого параметра, пропорционального силам трения. Преимущество метода малого параметра, пропорционального силам трения, заключается в том, что с его помощью можно строить АФЧХ упругих систем с распределенными параметрами, не определяя предварительно ни частот, ни форм свободных колебаний.
