CC BY
22
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 517.588
И. В. КОНОПЛЁВА, Б. В. ЛОГИНОВ, О. В. МАКЕЕВ, Ю. Б. РУСАК
БИФУРКАЦИЯ АНДРОНОВА-ХОПФА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ, НЕ РАЗРЕШЁННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
На основе теорем наследования симметрии уравнением разветвления потенциального типа бифур кации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, не разрешённых относительно производной, доказана теорема о понижении его порядка. Отмечены возможности исследования устойчивости разветвляющихся периодических по времени решений.
Ключевые слова: сингулярные дифференциальные уравнения, бифуркация, симметрия.
1. В вещественных банаховых пространствах Е1 и Е2 изучается общая задача динамического ветвления
Р =
ди
Р(р,и,є) = 0, & , Р(0,и0,0) = 0 (1)
л = л,,0 =/г;(о,«0,о), в = вч =-^;(о,и0,о),
Где Аип и Вио - фредгольмовы операторы,
ЛЧ4 „) = *рап{ф,Х - подпространство нулей
(ядро) оператора Аио = А, М* (Ащ) = зрап{ц/1}[" - подпространство дефектных функционалов,
Е\> {Фі’&;) = дц и В1!};
є£7,
д^\ ц/ У1 ^ = б у соответствующие биортого-
нальные системы. Элементы полных В - и В -жордановых наборов ] = \,аі, / = 1,ти и
^')}> 1 = й1, к=йг, Аф\р) = Вф\р~'\
Р = 2,?(,
/,7=1, от;
{ф!р)А)=О
А'у^ =ВУГ‘>. = 0. / =
г, к = 1,/я могут быть выбраны [1,2] удовлетворяющими соотношениями биортогональности
Ф\1\9\!)) = 81к8я,^\№) = 81к8]1,
№ = ШяГ)
И. В. Коноплёва, Б. В. Логинов,
О. В. Макеев, Ю. Б. Русак, 2006
= Вф\Яі+1 7), і,к = 1,т. Эти соотношения порождают проекторы на корневые подпро-
т
странства, КА =^Яі ~ корневое число, т. е.
/=1
размерность корневого подпространства К(А,В). Уравнение (1) в силу гладкости оператора £ записывается в виде
А0^у = В(и-ио)-я(ио^~ио^’£)-
0 ш ш
Пусть А -спектр сгА(В) состоит из двух
частей: &А(В) лежащей в левой полуплоскости
и а°А (В) - на мнимой оси, состоящей из конечного числа точек ± І/3, ненулевых собственных значений конечной кратности, распадающихся на непересекающиеся подклассы ±іаг,
аг = кга, г - 15у (кг - натуральные числа не
имеющие нетривиальных общих делителей). Для каждого а строится [3] свое собственное уравнение разветвления (УР) введением подстановки
г
и
а + /л
(О
-щ =ХО- при
этом задача построения
2 к
— периодических
решений (1) сводится к задаче определения -
периодических решений уравнения
(1у
<ВУ = МСУ + К(У>£) -
(2)
(т’\т) = Вщ у(т) - аЛщ
(суХг) = 4, ^ •
■о
торов Хи = Пт/ 1 \Ь„(п11^и - г/ в касательном к
,_>0 -1
£у(в) многообразии 7^г(а). с2) Стационарная подгруппа элемента и0 оп-Подпространства нулей N((3) и N*((8) ределяет представление ДСг5) локальной груп-
операторов ФиФ ~Ви о +<&4ио 2л-мерны, пы Ли с Сг, 5 < г , с 5 -мерной подалгеб-
рой 7^(а) инфинитезимальных операторов. Таким образом, элементы вида (р - Хи0,
X е 7^(а), образуют в М(ВЩ)) некоторое т = (г -5)-мерное подпространство, т.е. базисы в М(Ви^) и в алгебре Т'{а) можно упорядочить так, что (рк - (рк (г/0) = Хки0, 1 < к < т, и
Л'(в) = N(<3^) = = <Ру(и0-,т) =
“г, (“оУк,'< Ф® = «п(и0)е~'кгТ}
ІУ( в*) = ЛГ(«*„,) = = ^(мо^) =
/ \ ік т Vі* / \
(«О)е ' >(%• = Мио)е
у = 1, иГ, г = 1, к. Их базисным элементам отве- % и = о для к>т + 1
к О
чают ^4-жордановы (соотв. у4*-жордановы) це-
*»>=4>(и0у*',
почки
¥Ї]] =У(гР(и0)е,кг\ к = \,рг) длин рг], которые также можно выбрать удовлетворяющими условиям биортогональности [3]. Оператор
(В: £4 —> £2 предполагается фредгольмовым в комплексифицированных банаховых пространствах (Ек - Ек + іЕк, Л: = 1,2 .
В работах [4, 5] для потенциального оператора Е(х,е) (в [6] для УР потенциального типа)
в условиях групповой симметрии доказана теорема о понижении порядка (редукции) УР. Здесь как и в [6] на основе обшей теоремы о наследовании групповой симметрии (1) соответствующим УР потенциального типа установлены необходимые и достаточные условия инвариантности потенциала УР, получено ко сим метрическое тождество левой части УР с операторами алгебры Ли представления, позволяющее доказать теорему о редукции УР.
Исследование уравнения разветвления в корневом подпространстве позволяет исследовать устойчивость разветвляющихся решений в том числе и в условиях групповой симметрии
[7].
2. Всюду далее предполагается, что группа Ли Є = Єг = Сг(а), а = (а]і...,аг) является
г-мерным дифференцируемым многообразием, удовлетворяющим следующим условиям [4-6]:
с,) Отображение а —» Ь^а)и$, действующее из окрестности (?г (а) единичного элемента в пространство £], принадлежит классу С1, поэтому Хи0 є Е] для всех инфинитезимальных опера-
с3) Предполагаем, что имеют место плотные
в гильбертово про-
вложения Е] с Е2 с: Н
странство
и
НйСС2
и
Н
&
и
Для
оценками
каждого
X е отображение X : Е] —> Н ограничено
в £>(ЕХ ,Н) -топологии.
Пусть выполнены условия симметрии уравнения (1) К^(р,и,£) = Р{ЬёрХёх,£) и
К - представления С в Е] и Е2),
КгЯ(и0,и-и0,~,€) =
Ж
сій
Я(Ьги0, {и - м0 ),£*—, є),
А
позволяющее подобно [6, 8] доказать теорему о наследовании групповой симметрии УР Ляпунова-Шмидта [3]
Л ОоМЩ>€,€)>М>€) или
у(и0, & |) = £ £ (^^7) (мв, г) +
г=; Аг=/
+ 4,к¥л(и0>г)\
/(і .и0,Ч1 и0,^,4),м,є)=
(3)
Ке/{и0Мчо^>І)>^’є)
1{Ьеи0Х^и 0,4,£),р,є)= Ь і(и0,у(и0,4,^%р,е)
(4)
Определение. УР (3) является уравнением разветвления потенциального типа, если в окрестности точки (и0,0) выполняется равенство
/О, v(>>, gradvU(y, £ ц, е), (5)
где d- обратимый оператор. Тогда
U(у,<%,<!; ,fu,£) называется потенциалом УР (3),
а оператор f (соотв. t) - псевдоградиентом
функции U .
Теорема. Пусть выполнены условия
с\)~сз), УР Ляпунова-Шмидта потенциально-
Л
го типа, его потенциал принадлежит классу С в некоторой окрестности точки ветвления
(и0,0) и является инвариантом представления Lg группы Gr(a), s - размерность стационарной подгруппы элемента и0, причем
т = г - s > 0 . Тогда
1) если т-п, то для всех (<%(£),
или v(w0,£(£•)) из некоторой окрестности точки
ветвления (u0,s) в R~ УР (3) выполнено;
2) если т < п и п> 2, то имеет место частичная редукция УР: т из его уравнений являются линейными комбинациями остальных (и - т).
Замечание. Уравнение разветвления в корневом подпространстве для бифуркации Андро-нова-Хопфа служит основой исследования устойчивости разветвляющихся решений [7]. Оно также наследует группу симметрии нелинейного уравнения (1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969. - 524 с.; Engl, transl. Wolter Noordorf, Leyden 1974.
2. Логинов, Б. В. Обобщённая жорданова структура в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными про-
изводными и их приложения. - Ташкент: Фан.
1978.-С. 113-148.
3. Loginov, В. V. Determination of the branching equation by its group symmetry // Andronov-Hopf bifurcation. Nonlinear Analysis, TMA. 28( 1997). - № 12. - C. 2033-2047.
4. Макаренко, H. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений / Н. И. Макаренко // Докл. РАН. - 1996. - Т. 346, №3.- С. 302-304.
5. Макаренко, Н. И. Симметрия и косим-метрия вариационных задач в теории волн / Н. И. Макаренко // Тр. Междунар. Школы-семинара «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов», Сочи.-2001.-С. 109-120.
6. Логинов, Б. В. Симметрия и потенциальность в общей задаче теории ветвления / Б. В. Логинов, И. В. Коноплёва, Ю. Б. Русак // Известия высших учебных заведений. Математика. - С. 30-40.
7. Коноплёва, И. В. Метод Ляпунова-Шмидта построения уравнения разветвления в корневом подпространстве в динамическом ветвлении / И. В. Коноплева, Б. В. Логинов, М. Ю. Макаров // Труды средневолжского математического общества. Международная конференция «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». - Саранск. - 3-4, № 1. - 2002. - С. 68-72.
Коноплёва Ирина Викторовна, кандидат физи-ко-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» УлГТУ.
Макеев Олег Владимирович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.
Русак Юрий Борисович, кандидат физико-математических наук, Университет Канберры, Австралия.
?
