Научная статья на тему 'Бифуркация Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях, не разрешённых относительно производной'

Бифуркация Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях, не разрешённых относительно производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
278
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / БИФУРКАЦИЯ / СИММЕТРИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Коноплёва Ирина Викторовна, Логинов Борис Владимирович, Макеев Олег Владимирович, Русак Юрий Борисович

На основе теорем наследования симметрии уравнением разветвления потенциального типа бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, не разрешённых относительно производной, доказана теорема о понижении его порядка. Отмечены возможности исследования устойчивости разветвляющихся периодических по времени решений

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Коноплёва Ирина Викторовна, Логинов Борис Владимирович, Макеев Олег Владимирович, Русак Юрий Борисович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Бифуркация Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях, не разрешённых относительно производной»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 517.588

И. В. КОНОПЛЁВА, Б. В. ЛОГИНОВ, О. В. МАКЕЕВ, Ю. Б. РУСАК

БИФУРКАЦИЯ АНДРОНОВА-ХОПФА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ, НЕ РАЗРЕШЁННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

На основе теорем наследования симметрии уравнением разветвления потенциального типа бифур кации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, не разрешённых относительно производной, доказана теорема о понижении его порядка. Отмечены возможности исследования устойчивости разветвляющихся периодических по времени решений.

Ключевые слова: сингулярные дифференциальные уравнения, бифуркация, симметрия.

1. В вещественных банаховых пространствах Е1 и Е2 изучается общая задача динамического ветвления

Р =

ди

Р(р,и,є) = 0, & , Р(0,и0,0) = 0 (1)

л = л,,0 =/г;(о,«0,о), в = вч =-^;(о,и0,о),

Где Аип и Вио - фредгольмовы операторы,

ЛЧ4 „) = *рап{ф,Х - подпространство нулей

(ядро) оператора Аио = А, М* (Ащ) = зрап{ц/1}[" - подпространство дефектных функционалов,

Е\> {Фі’&;) = дц и В1!};

є£7,

д^\ ц/ У1 ^ = б у соответствующие биортого-

нальные системы. Элементы полных В - и В -жордановых наборов ] = \,аі, / = 1,ти и

^')}> 1 = й1, к=йг, Аф\р) = Вф\р~'\

Р = 2,?(,

/,7=1, от;

{ф!р)А)=О

А'у^ =ВУГ‘>. = 0. / =

г, к = 1,/я могут быть выбраны [1,2] удовлетворяющими соотношениями биортогональности

Ф\1\9\!)) = 81к8я,^\№) = 81к8]1,

№ = ШяГ)

И. В. Коноплёва, Б. В. Логинов,

О. В. Макеев, Ю. Б. Русак, 2006

= Вф\Яі+1 7), і,к = 1,т. Эти соотношения порождают проекторы на корневые подпро-

т

странства, КА =^Яі ~ корневое число, т. е.

/=1

размерность корневого подпространства К(А,В). Уравнение (1) в силу гладкости оператора £ записывается в виде

А0^у = В(и-ио)-я(ио^~ио^’£)-

0 ш ш

Пусть А -спектр сгА(В) состоит из двух

частей: &А(В) лежащей в левой полуплоскости

и а°А (В) - на мнимой оси, состоящей из конечного числа точек ± І/3, ненулевых собственных значений конечной кратности, распадающихся на непересекающиеся подклассы ±іаг,

аг = кга, г - 15у (кг - натуральные числа не

имеющие нетривиальных общих делителей). Для каждого а строится [3] свое собственное уравнение разветвления (УР) введением подстановки

г

и

а + /л

-щ =ХО- при

этом задача построения

2 к

— периодических

решений (1) сводится к задаче определения -

периодических решений уравнения

(1у

<ВУ = МСУ + К(У>£) -

(2)

(т’\т) = Вщ у(т) - аЛщ

(суХг) = 4, ^ •

■о

торов Хи = Пт/ 1 \Ь„(п11^и - г/ в касательном к

,_>0 -1

£у(в) многообразии 7^г(а). с2) Стационарная подгруппа элемента и0 оп-Подпространства нулей N((3) и N*((8) ределяет представление ДСг5) локальной груп-

операторов ФиФ ~Ви о +<&4ио 2л-мерны, пы Ли с Сг, 5 < г , с 5 -мерной подалгеб-

рой 7^(а) инфинитезимальных операторов. Таким образом, элементы вида (р - Хи0,

X е 7^(а), образуют в М(ВЩ)) некоторое т = (г -5)-мерное подпространство, т.е. базисы в М(Ви^) и в алгебре Т'{а) можно упорядочить так, что (рк - (рк (г/0) = Хки0, 1 < к < т, и

Л'(в) = N(<3^) = = <Ру(и0-,т) =

“г, (“оУк,'< Ф® = «п(и0)е~'кгТ}

ІУ( в*) = ЛГ(«*„,) = = ^(мо^) =

/ \ ік т Vі* / \

(«О)е ' >(%• = Мио)е

у = 1, иГ, г = 1, к. Их базисным элементам отве- % и = о для к>т + 1

к О

чают ^4-жордановы (соотв. у4*-жордановы) це-

*»>=4>(и0у*',

почки

¥Ї]] =У(гР(и0)е,кг\ к = \,рг) длин рг], которые также можно выбрать удовлетворяющими условиям биортогональности [3]. Оператор

(В: £4 —> £2 предполагается фредгольмовым в комплексифицированных банаховых пространствах (Ек - Ек + іЕк, Л: = 1,2 .

В работах [4, 5] для потенциального оператора Е(х,е) (в [6] для УР потенциального типа)

в условиях групповой симметрии доказана теорема о понижении порядка (редукции) УР. Здесь как и в [6] на основе обшей теоремы о наследовании групповой симметрии (1) соответствующим УР потенциального типа установлены необходимые и достаточные условия инвариантности потенциала УР, получено ко сим метрическое тождество левой части УР с операторами алгебры Ли представления, позволяющее доказать теорему о редукции УР.

Исследование уравнения разветвления в корневом подпространстве позволяет исследовать устойчивость разветвляющихся решений в том числе и в условиях групповой симметрии

[7].

2. Всюду далее предполагается, что группа Ли Є = Єг = Сг(а), а = (а]і...,аг) является

г-мерным дифференцируемым многообразием, удовлетворяющим следующим условиям [4-6]:

с,) Отображение а —» Ь^а)и$, действующее из окрестности (?г (а) единичного элемента в пространство £], принадлежит классу С1, поэтому Хи0 є Е] для всех инфинитезимальных опера-

с3) Предполагаем, что имеют место плотные

в гильбертово про-

вложения Е] с Е2 с: Н

странство

и

НйСС2

и

Н

&

и

Для

оценками

каждого

X е отображение X : Е] —> Н ограничено

в £>(ЕХ ,Н) -топологии.

Пусть выполнены условия симметрии уравнения (1) К^(р,и,£) = Р{ЬёрХёх,£) и

К - представления С в Е] и Е2),

КгЯ(и0,и-и0,~,€) =

Ж

сій

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Я(Ьги0, {и - м0 ),£*—, є),

А

позволяющее подобно [6, 8] доказать теорему о наследовании групповой симметрии УР Ляпунова-Шмидта [3]

Л ОоМЩ>€,€)>М>€) или

у(и0, & |) = £ £ (^^7) (мв, г) +

г=; Аг=/

+ 4,к¥л(и0>г)\

/(і .и0,Ч1 и0,^,4),м,є)=

(3)

Ке/{и0Мчо^>І)>^’є)

1{Ьеи0Х^и 0,4,£),р,є)= Ь і(и0,у(и0,4,^%р,е)

(4)

Определение. УР (3) является уравнением разветвления потенциального типа, если в окрестности точки (и0,0) выполняется равенство

/О, v(>>, gradvU(y, £ ц, е), (5)

где d- обратимый оператор. Тогда

U(у,<%,<!; ,fu,£) называется потенциалом УР (3),

а оператор f (соотв. t) - псевдоградиентом

функции U .

Теорема. Пусть выполнены условия

с\)~сз), УР Ляпунова-Шмидта потенциально-

Л

го типа, его потенциал принадлежит классу С в некоторой окрестности точки ветвления

(и0,0) и является инвариантом представления Lg группы Gr(a), s - размерность стационарной подгруппы элемента и0, причем

т = г - s > 0 . Тогда

1) если т-п, то для всех (<%(£),

или v(w0,£(£•)) из некоторой окрестности точки

ветвления (u0,s) в R~ УР (3) выполнено;

2) если т < п и п> 2, то имеет место частичная редукция УР: т из его уравнений являются линейными комбинациями остальных (и - т).

Замечание. Уравнение разветвления в корневом подпространстве для бифуркации Андро-нова-Хопфа служит основой исследования устойчивости разветвляющихся решений [7]. Оно также наследует группу симметрии нелинейного уравнения (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969. - 524 с.; Engl, transl. Wolter Noordorf, Leyden 1974.

2. Логинов, Б. В. Обобщённая жорданова структура в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными про-

изводными и их приложения. - Ташкент: Фан.

1978.-С. 113-148.

3. Loginov, В. V. Determination of the branching equation by its group symmetry // Andronov-Hopf bifurcation. Nonlinear Analysis, TMA. 28( 1997). - № 12. - C. 2033-2047.

4. Макаренко, H. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений / Н. И. Макаренко // Докл. РАН. - 1996. - Т. 346, №3.- С. 302-304.

5. Макаренко, Н. И. Симметрия и косим-метрия вариационных задач в теории волн / Н. И. Макаренко // Тр. Междунар. Школы-семинара «Применение симметрии и косиммет-рии в теории бифуркаций и фазовых переходов», Сочи.-2001.-С. 109-120.

6. Логинов, Б. В. Симметрия и потенциальность в общей задаче теории ветвления / Б. В. Логинов, И. В. Коноплёва, Ю. Б. Русак // Известия высших учебных заведений. Математика. - С. 30-40.

7. Коноплёва, И. В. Метод Ляпунова-Шмидта построения уравнения разветвления в корневом подпространстве в динамическом ветвлении / И. В. Коноплева, Б. В. Логинов, М. Ю. Макаров // Труды средневолжского математического общества. Международная конференция «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». - Саранск. - 3-4, № 1. - 2002. - С. 68-72.

Коноплёва Ирина Викторовна, кандидат физи-ко-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Макеев Олег Владимирович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Русак Юрий Борисович, кандидат физико-математических наук, Университет Канберры, Австралия.

?

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.