Устойчивость периодических решений и метод диаграммы ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 517.988.67

Л. Р. КИМ-ТЯН, Б. В. ЛОГИНОВ, М. Ю. МАКАРОВ

устойчивость периодических решении

и метод диаграммы ньютона

Получен критерий устойчивости разветвляющихся периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа в терминах соответствующего уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта.

В работе [1| доказано, что устойчивость разветвляющихся периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения в банаховых пространствах

Е{ и Е1

А — = Вх - е), Ц0,е) = 0, дХ

^ (0,0) = О С1)

определяется экспонентами Флоке, которые находятся как решения приведённой ниже задачи на собственные значения. Здесь А и В - ограниченные (для упрощения изложения) фред-гольмовы операторы. •

Пусть А -спектр а 4(В) оператора В состоит из двух частей: су~а (В) 3 лежащей строго в

левой полуплоскости и <з°А(В) на мнимой оси,

состоящей из конечного числа точек вида + IV — ненулевых собственных значений конечной кратности. Множество чисто мнимых собственных значений распадается на непересекающиеся

подклассы {±гах}9 ау = кха9 $ = 1V

(ку натуральные числа, не имеющие нетривиальных общих делителей). Собственные элементы имеют вид

■V

Ууу, для сопряжённой задачи).

•V/ ' -V/

Замена А. Пуанкаре I =

а*/-' 5

х(0 - Яг)

сводит задачу построения

7я а+р

-периодических

решений (1) к определению 2л -периодических решений «стационарного уравнения» с двумя малыми параметрами /л и £

В у = ¡лСу + Я(у, 8)= К (у, ^ 8) (2) (В у)(г) = Ду(г) - а.4 , (С)0(г) - /11

¿/г

в комплексифицированных банаховых пространствах Е к = Ек 4-¡Ек,к = 1,2, в предположении,

что оператор допускает достаточно

гладкое расширение на эти пространства. Операторы В и С отображают пространство 7 2тг -периодических непрерывно дифференцируемых

функций т со значениями в Е} в пространство

2 2>т-периодических непрерывных функций г

со значениями в Е 2, . Используются функционалы специального вида

2л-

«у,/ »= 2Т | < У(?)>/(?) > ^

о

^ е У, / е или у е / .

Оператор Л: предполагается фред-

гольмовым.

Задача на собственные значения о ветвлении собственных чисел и элементов

(IXV

Вм> = ¡л(е)А — + Я (уг:,е)м<' + кАм>= (3)

с1т

Я V (у,, //(£), £)■М' + ло4н<0) = ч>(2тг) сводится к уравнению разветвления в корневых подпространствах (УРК) [2] /(лг; 8) = 0 . По-

V "а

© Л Р. Ким-Тян, Б. Б. Логинов, М. Ю. Макаров^004

лученное УРК имеет Р$ паР комплексно

<г-1 >1

сопряжённых корней к(е), определяемых по

методу диаграммы Ньютона [3], знаки вещественных частей которых определяют орбитальную асимптотическую устойчивость ответвившегося предельного цикла. Если все вещественные части к (с) отрицательны (одно из них предполагается простым нулевым), то ответвившееся периодическое решение асимптотически устойчиво, и если хотя бы одна из них положительна, то неустойчиво.

Критерий орбитальной устойчивости периодического решения уравнения (1) также мо-

жет быть реализован с помощью метода диаграммы Ньютона. Для краткости изложения рассмотрим построение УР Шмидта. При этом задача на собственные значения (3) сводится к системе

»' "а

В w =. В w + 2, ^ [« w, » +

<7 = 1 7 = 1

+« » = M(e)A$ + Ry(yt>e)w +

г »,

(4)

а=\ у=1

} — \ па , ОТ = 1,1^. (5)

Согласно лемме Шмидта существует ограниченный оператор Г - В Тх^ = (р'^к ,

г = Л г'й' =М>, еле-

довательно,

w = w(f(1), г(,), ЯГ, s) = !£[/-+

а=] 7=1

+*, СУ, , /<(*), «Г1 + ) ■ (б)

Подставляя (6) в (5), приходим к системе линейных уравнений

^«(кА + Яу (у£, ¿0) [/ - +

сг=1 7=1

, Су..//. (¿3VS'>>=0'

<Т

« {кА + Л , (у£, //(*)> е))[1 - Т(кА +

с~\ 7=1

Приравнивая её определитель к нулю получаем УР Шмидта задачи о ветвлении /I — чисел и элементов фредгольмова оператора 2? при возмущении К у (у£, ¡и{£), е) =

(1)^-0)

(1)

L(k,S) =

=0.

(7)

« А(Рсд, у/кк » « А^, »

А = Я , [/- Г(к4 + Л Д"1.

Тогда аналогично стационарному ветвлению может быть доказано следующее утверждение

Теорема 1. Пусть для уравнения (1) у -I,рх, = р — 1, / = 1,...,щ = п, корневое

У 1 л.

число кА = &\тК(А',В) оператора Ак конечно и элементам {(р^К'ф^}" еАТ(В) отвечает пол-

ный канонический обощённый жорданов набор (ОЖН) оператор-функции В-Я (ус s) с

длинами ОЖЦ г, <г <...</,. Тогда

2.7

1 '2 ' п ' к

периодическое решение (/) уравнения (1) устойчиво, если для соответствующего у -УР бифуркации Андронова-Хопфа /А. уе) - 0,

tk = tk(£ 9<!;9е) = Q,k = главные члены

асимптотики собственных значений ЯДб*) , У = определяемые главной частью мат-

D{tJ)

рицы Якоби =

0 = с1е!Г_ „ — _ „ - - я 1 =

« С(е)(рк, у/ » « , У/у » _ л

__ _ _ +Я/]

« с{е)<рк , у/] » « С(фк, у/} »

С(*) = ЛД^^^^-П^ + Л,]-1 (8)

имеют отрицательные вещественные части, и неустойчиво, если хотя бы один из них положителен.

Доказательство.

Действительно, УР Шмидта бифуркации Андронова-Хопфа в данном случае выводится следующим образом. Запишем (2) в виде системы

п _

7=1

=«/у », =«>>,у = ■

Подставляя решение первого уравнения во

р*

второе с учетом равенств I у, = у/ , получаем ^ - УР 2л- - периодических решений

(£, I, £) (У£, £), у/1 », I (<;, £) =«К (уЕ, р(£), £), у7: »,

7=1,и.

Полагая для краткости

R y = R у (y(ç> f 5 М(£)>£) > получаем матрицу

Якоби

п = _ « C(£)(pk , y/j » « C(£)çk, y/j »

« С(е)<рк, y/j » « С{£)(рк, у7; » '

С(е) = R v(}> ,£)[I - Y(kA + Rv]'y. (9)

Так как жорданова цепочка имеет единичную длину р1 = 1, ] = то

I 0

0 1

= 1.

«Асрпу/к » <<A(pj,y/k » « Асрf,[j7k » « А(рj,у7к »

Тогда из условий теоремы и линейного свойства определителя следует, что главные части асимптотики /с¡{s), определяемые из (7), и

Я (f), определяемые из (8), (9), совпадают.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Ким-Тян, Л. Р., Логинов, Б. В., Макаров, М. Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной // Труды Сред неволжского мат. общества. - Саранск. - 6. - 2004. - 53-70.

2. Karasozen, В., Konopleva L, Loginov В. Hereditary symmetry of resolving systems for nonlinear equations with Fredholrn operator, Nonlinear Analysis and Applications (collect, monography), vol.2 (2003),617-644.

3. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969.

Ким-Тпи Луиза Ревмировиа, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Московского института стали и сплавов. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа.

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук,, профессор кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа и его приложений.

Макаров Михаил Юрьевич, аспирант кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет работы в области нелинейного функционального анализа.

Поддержано грантом РФФИ 01-01-00019.

УДК 593.1

В. К. МАНЖОСОВ

МЕТОД ПЕРЕНОСА СОСТОЯНИЯ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ ПРОДОЛЬНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ СТЕРЖНЯ

Изложен метод, позволяющий анализировать процесс распространения продольной волны деформации по стержню на основе переноса волновых состояний по однородному участку стержня, а также формирования волновых состояний в сопряжённых сечениях разнородных участков.

Задачи продольного динамического нагружения стержня, в том числе и ударного нагружения, представлены в работах [1-10 |. В данной работе рассматривается такой вид нагружения стержня, когда движение его поперечных сечений в направлении продольной оси х на ]-м однородном участке стержня описывается волновым уравнением вида

д х1 а1 д г

= 0, Xj_i <х< хj, (I)

гДе и / (х,/) ~ продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; t - время, а - скорость звука в материале стержня, х ^ и xJ - координаты границ _)-го однородного участка стержня.

Решение волнового уравнения (1) по методу Даламбера представляется как

и/(х,1) = //(аг-х)+<р/(а! + х), (2)

где -х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси X (назо-

В. К. Манжосои, 2004