Метод переноса состояния волн деформаций в задачах продольного динамического нагружения стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

Так как жорданова цепочка имеет единичную длину р1 = 1, ] = то

I 0

0 1

= 1.

«Асрпу/к » <<A(pj,y/k » « Асрf,[j7k » « А(рj,у7к »

Тогда из условий теоремы и линейного свойства определителя следует, что главные части асимптотики /с¡{s), определяемые из (7), и

Я (f), определяемые из (8), (9), совпадают.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Ким-Тян, Л. Р., Логинов, Б. В., Макаров, М. Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной // Труды Сред неволжского мат. общества. - Саранск. - 6. - 2004. - 53-70.

2. Karasozen, В., Konopleva I., Loginov В. Hereditary symmetry of resolving systems for nonlinear equations with Fredholrn operator, Nonlinear Analysis and Applications (collect, monography), vol.2 (2003),617-644.

3. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969.

Ким-Тпи Луиза Ревмировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Московского института стали и сплавов. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа.

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук,, профессор кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области нелинейного функционального анализа и его приложений.

Макаров Михаил Юрьевич, аспирант кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет работы в области нелинейного функционального анализа.

Поддержано грантом РФФИ 01-01-00019.

УДК 593.1

В. К. МАНЖОСОВ

МЕТОД ПЕРЕНОСА СОСТОЯНИЯ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ ПРОДОЛЬНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ СТЕРЖНЯ

Изложен метод, позволяющий анализировать процесс распространения продольной волны деформации по стержню на основе переноса волновых состояний по однородному участку стержня, а также формирования волновых состояний в сопряжённых сечениях разнородных участков.

Задачи продольного динамического нагружения стержня, в том числе и ударного нагружения, представлены в работах [1-10|. В данной работе рассматривается такой вид нагружения стержня, когда движение его поперечных сечений в направлении продольной оси х на ]-м однородном участке стержня описывается волновым уравнением вида

д х1 а1 д г

= 0, Xj_i <х< хj, (I)

гДе и / (х,/) ~ продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; t - время, а - скорость звука в материале стержня, х ^ и xJ - координаты границ _)-го однородного участка стержня.

Решение волнового уравнения (1) по методу Даламбера представляется как

и/(х,1) = //(аг-х)+<р/(а! + х), (2)

где -х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси X (назо-

В. К. Манжосои, 2004

вем её прямой волной); с+ х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся в обратном

направлении (назовём её обратной волной).

Величина относительной продольной деформации в произвольном поперечном сечении стержня равна

е(х, () = = — - х) -4- (р[си + х)]=-/'(а( - х) + (р'{а1 + х)'

дх дх

Для ¡-го однородного участка стержня

£;.(х}()= - + ср)(а1 + х)- (3)

Скорость поперечного сечения может быть определена как

у(Х,1) = = А [Дд/ - х) 4- ^(¿2/ 4- - х) +

Для J-гo однородного участка стержня

- х) + а<р'.{а1 +х)> (4)

а

Если равенство (3) вычесть из равенства (5), получим

я

* / «

Из (6) следует, что разность у __ е ^ целиком зависит от прямой волны (соответственно от

а ;

функции /дя/ — х)). Если прямая волна формируется в сечении х (причём х < х ), то

/; ) - 7' (7)

а

т. е. прямая волна, достигшая сечения х, имеет такие же параметры, как и в сечении х м, но с запаздыванием по времени на величину

VI =

* " . (8)

а

И если в сечении х н прямая волна имеет некоторые волновые состояния ^ и £ (х]_х) > то эта

состояния через время г , будут перенесены к сечению х. Тогда для прямой волны можно записать следующее

у—I

равенство переноса волновых состояний:

а а

Рассмотрим состояния, которые переносит обратная волна. Сложим равенства (5) и (3). В результате имеем

+ в 7 (х,0 =Ър' {а(-х)' (:10)

а

Из (10) следует, что сумма ^д'? ^ + е ^ целиком зависит от обратной волны (соответственно от функции

а 7

ф' (си - х))- Если обратная волна формируется в сечении х ■ (причём х <х .)> т0

< _/ V ' / 7 ]

(я/ + х)=^ [а(1 - Ъ—1) + х} ]> (11)

х. —х а

т. е. обратная волна, достигшая сечения х, имеет такие же параметры, как и в сечении X ■, но с запаздыванием по времени на величину

г (12) а

#

Если в сечении х обратная волна имеет некоторые волновые состояния V Ух ,1) и г (х- то эти со-

Л J и ./ Л

стояния через времл г . будут перенесены к сечению х. Тогда для обратной волны можно записать следующее равенство переноса волновых состояний:

- + £,(х,1) -+ £/х.,( - т.•

а ' а

Если сложить равенства (9) и (13), то для произвольного сечения х на _)-м однородном участке стержня (хн <х<х,)

=■■ - -"--Г . ' " )]+- -+ 6; (Х} , { - Г, )].

(14)

' V /I ; , I- V , / / -

а 2' а 2' а

Если вычесть (9) из (13), то для произвольного сечения х на ¡-м однородном участке стержня

(лу, < х < *.)

£Г,„ = _I_ ; + . + _, _ (,5)

2 ¿з 2 а

Формирование волновых состояний в сопряжённых сечениях разнородных участков

Рассмотрим; какие волновые состояния образуются в сопряжённых сечениях разнородных участков? Пусть на ]-м участке нам известны волновые состояния, формируемые в сечении х а на (]+1)-м участке нам

известны волновые состояния, формируемые в сечении х . Сопряжённые сечения разнородных участков

имеют координату х • •

От сечения Х/ 1 перенос волновых состояний к сечению Ху ]-го участка осуществляется прямой волной. Из равенства (9) для сечения х = х ]-го участка в этом случае следует

_ . ( _ (.б, а ■ а

у,'(х1>0 . >

где _I__относительная скорость сечения х. ]-го участка, с (х ^)- относительная продольная де-

а ) 1 1

формация в сечении х- .¡-го участка, у/(хн >1 гн) относительная скорость сечения х ^ .Ьго участка,

)

а

£ .(х,/ — т .шЛ) - относительная продольная деформация в сечении хм «Ьго участка, т __ У ' П время переноса волновых состояний от сечения х. % к сечению х]- >го участка.

а

От сечения х ^ перенос волновых состояний к сечению X • 0+1)-го участка осуществляется обратной

]

волной. Из равенства (13) для сечения х = Ху 0+1)-го участка в этом случае следует

а а

где относительная скорость сечения X ^ (]+1)-го участка, (х •, Iотносительная продоль-

а

•у / ^ _ 2" )

ная деформация в сечении X • (]-Ч)-го участка, -7*1 ,/чр у+1/ относительная скорость сечения х ^

а

0+1)-го участка, £ ^¡(х-^^ — т - относительная продольная деформация в сечении Ху+1 (¡+1) -го уча-

стка, т = " время переноса волновых состояний от сечения л-. к сечению х - 0+1)~го Участка.

Из граничных условий сопряжения следует равенство скоростей сопряжённых сечений разнородных участков стержня:

(18)

а а

а также равенство продольных сил в сопряжённых сечениях

ЕА]£.(Х], I) = ЕА]+1 е/+1 (х/,1), (19)

где Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня, AJ и площадь поперечных сечений сопряжённых

участков стержня.

Из (19) следует, что

£j+\(xj.O-Üe/Xj.t), =

(20)

Aj+\

Вычтем (16) из (17) с учётом равенств (18) и (19). В результате получим

/ 1 г Vi (Xj+i.t-Tj+J , ,7

£/xj'0 = 77—J -—-— + еП} (xJ+I <1 ~ Vi)] ~

O+rj)

a

[-J—L-1--Sj(xH,t-tH)]-

(21)

a + ;

a

Учитывая (21) в (20), получим

sj+\(Xj,t) =

r.

J /у f ~ w

-+ s ,+] ( x /+1, t ~ T/+1 )J -

a+rj

[-

a

r

V

¡(x, !,/-r,

, _ д _ }] .

(22)

n+o-;

¿2

Из(16)следует

Vf(X.ft) V (X>Ut - T : л )

я

я

Учитывая (21), получим

v.

1

a Tj -ь1 а • (1 + г J

Г —-— + Гх/+1, Г - Г,+1)]

(23)

а

Таким образом, в сопряжённом сечении д:. j-ro участка формируются волновые состояния vj(xj>0 и

j

а

£ .(х }t)> перенос которых от сечения X ■ к сечению х на j-м участке (х <х < х •) будет осуществлён

J J J J J

обратной волной.

V (X t ) V • (X t)

В сопряжённом сечении X • (j+l)~ro участка формируются волновые состояния J+]•' J' у 1 _ ' t и

л!

а

а

(Xj, t) = rjSj^ (Xj, t), перенос которых от сечения Xj к сечению х на (j+l)-M участке (х < х < ) будет осуществлён прямой волной.

8. Малков, О. Б. Расчёт ударных импульсов в ступенчатых стержневых системах/ О. Б. Малков. -Омск: Омский государственный технический университет, 2000. - 112 с.

9. Стихановский, Б. Н. Передача энергии ударом, часть I/ Б. Н. Стихановский. - Омск: Омский политехнический институт, 1986. - 180 с, деп. ВИНИТИ,

N 8115 - В 86.

Ю.Тимошенко. С. П. Колебания в инженерном деле/ С. Г1. Тимошенко. - М.: Физматгиз, 1959. -440 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Александров, Е. В. Прикладная теория и расчет ударных систем/ Е. В. Александров, В. Б. Соколинский. -М.: Наука, 1969.-200 с.

2. Алимов, О. Д. Бурильные машины/ О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М.: Машиностроение, 1976.-295 с.

3. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах/О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. - 354 с.

4. Алимов, О. Д. Распространение волн деформаций в ударных системах/' О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц-. - Фрунзе: Илим, 1978. -196 с.

5. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний/ В. Л. Бидерман. - М.: Высшая школа, 1972.-416 с.

6. Гольдсмит, В. Удар/ В. Гольдсмит. - М.: Строй-издат, 1965.-448 с.

7. Кильчевский, Н. А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар/ Н. А. Кильчевский. - Киев: Наукова думка, 1976. - 320 с.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стер-жневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах..