Модели преобразования продольной волны деформации на границе сопряжённых стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.233.6

• 5 * I . Я «

В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ СОПРЯЖЁННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Представлены модели преобразования волны деформации на границе сопряжения элементов конечной длины стержней в случаях идеального сопряжения, сопряжения через упругий элемент, при размещении сосредоточенной массы в сечении сопряжения.

Вопрос о преобразовании волн деформаций на границе сопряжения участков стержня актуален при анализе механических волноводов, обеспечивающих передачу энергии волны деформации по составному волноводу к обрабатываемой среде. Исследованию этого вопроса посвящены работы

[1-Ю].

В данной работе рассматривается такой вид нагружения стержня, когда движение его поперечных сечений в направлении продольной оси х нау-м однородном участке стержня описывается волновым уравнением вида

¿ЧМ 1 М (1)

--------= и X < X < X

ох а* о г '

где и.(х^)~ продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; / - время, а - скорость звука в материале стержня, х ] и х- координаты границ у'-го однородного участка стержня.

Решение волнового уравнения (1) представляется как

и у 0■0 = /, (а г1 ~ х)+ Ф Аа у1 + х) • №

где /.[р. 1-х) ~ функция, описывающая параметры волны, распространяющейся на у'-м участке по направлению оси х (назовем её прямой волной); <рДд./ +- функция, описывающая параметры волны,

распространяющейся на у'-м участке в обратном направлении (назовём её обратной волной).

Стержень представляется конечными элементами с однородными свойствами материала в пределах конечного элемента. Продольное перемещение и(хЛ) поперечного сечения в пределах у-го малого элемента конечной длины < х <Х], где хИ и х] - координаты границ элемента) складывается из перемещений, обусловленных действием прямой и обратной волн,

и(х, 0 =//а/ - х) + Ф /а/ + х), у = 1,2,3,.., п, хИ < х <х],

где уу(а/ - х) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся по у'-му участку в направлении продольной оси х со скоростью а/у <р /а/ + х) - функция, описывающая параметры

обратной волны, распространяющейся поу'-му участку в направлении, противоположном продольной оси х со скоростью а/, / - время, п - количество конечных элементов.

Функции - х) и ф ¡(а/ + х) - неизвестные функции, определяемые из решения краевых задач,

связанных с особенностями распространения и преобразования волн на границах сопряжения участков стержневой системы. Ударная система может быть представлена множеством разнородных сопряжённых участков такой малой длины, в пределах которой свойства данного элемента конечной длины можно считать однородными и решить проблему описания распространения волн в пределах этого участка на основе следующих равенств:

я,.

Данные равенства определяют следующие особенности распространения волн в пределах малого однородного участка.

В. К. Манжосов, 2005

Прямая волна /j/яД / -

-у--Vi 0 ;

) - х/.у], сформированная ранее в момент времени (

Х- X:

L± на гра-

нице участка в сечении хи, без искажения достигнет сечения .тс (л:,., < л* <Л/), но с запаздыванием на

л - л- .

величину-¿_1 - времени распространения волны со скоростью а-, от сечения я*/./ до сечения л.

а

Обратная волна ср j[a,{t -^L_1)+ Xj), сформированная ранее в момент времени t -

Л> Л' на границе

а;

Ü :

участка в сечении х] , без искажения достигнет сечения х (х^ < х <хД но с запаздыванием на вели-

чину -L

х, - X

aJ

времени распространения волны со скоростью а,- от сечения xj до сечения х.

ДaJíee возникает проблема анализа особенностей преобразования падающих на границу сопряжения разнородных участков прямой и обратной волн. Сопряжение этих участков может быть идеальным (рис. 1, а), когда участки стержня отличаются лишь свойствами материала и продольной жёсткостью поперечных сечений.

В сопряжении может быть расположен упругий элемент (рис. 1? б), сосредоточенная масса (рис. 1, в), сопряжение участков возможно при наличии зазора после замыкания границ (рис. 1, г), сопряжение участков может характеризовать более сложное их взаимодействие.

fj (Oj t-Xj) U^lMtjO

т

fj (Cj t-Xj)

к

j

fr

«S (a.t+xj ^(fl^t+xj

a) идеальное сопряжение элементов

i

% (Qjt+Xj) Xj '^(■Gj.jt+Xj) J + 1

б) упругий элемент в сопряжении

fj (а, t-x^

£

Л

Ъ (o..t+х,)

I

X

fj (°J t-Xj)

J

Ч (о/. +

I

X

J ^iCa^t+Xj) j

l + l

в) сосредоточенная масса в сопряжении г) сопряжение с зазором

Рис. 1. Различные схемы сопряжения конечных элементов

Падающими на у-ю границу сопряжённых участков являются прямая волна f. (а/ - х) со стороны

7-го участка и обратная волна фу+,(я;Ч1г + х) со стороны (/+1)-го участка.

Величина относительной продольной деформации и скорость в произвольном поперечном сечении для 7-го или (/+1)-го однородного участка стержня равны

*j(x,t)=-fj(ajt-x)+<Vj(ajt + x) е J+](x,t)= (a^t- xj + v'^fa^t + x) Vj(x,t) = djffojt - x)+ a/p j(ajt + X) vJ+, (x,t) — aJ+j;+] (aJ+it - *)+ aj+]<p)+l (aj+lt + x)

5

Функции фj(aß +x) и fJ+](aj+]t - x) являются неизвестными и определяются из граничных условий сопряжения стержней.

При идеальном сопряженииу'-го и (/'+1)—го участков стержня граничные условия имеют вид

du/xj.t) _ duj+](xj,t) р , du/xj,t)

dt

dt

(4)

д x

где Ер Е/+1 - модуль упругости материала/-го и (/'+1)-го участков стержней; Ар Ар+} - площадь поперечного сечения у'-го и (/+1)-го участков стержней.

Из уравнений (3) и (4) при известных параметрах падающих на границу х] прямой /Ддуг-х) и

обратной (<я/и/ + волн можно определить параметры формируемой в сечении х] прямой волны

//+|(й/+|/-л;) на (/'+1)-м участке и параметры обратной волны ф](<7./ + .\/) на у'-м участке:

/Л" *,)= */(/)/>/-*,)+ + )• С5)

Ф+ л-.)= <7<Р0)р;+1(яу+1/ + Г/ л-7.) (6)

где ^(у) = у--/Ч1 I 7— - коэффициент прохождения через/-е сечение прямой волны /Дл^-.хД па-

дающей на границу д:=лу со стороны у'-го участка; г.. ( =—7 } - отношение волновых сопро-

тивлений сопряжённых у'-го и (/'+ 1)-го участков; /• (/') = -——коэффициент отражения от /-го

1 +

сечения волны ф].+|(а + падающей на границу со стороны (/' +1)-го участка;

= ~ коэффициент прохождения через у'-е сечение обратной волны +

0.7+1 + 1 — 1

г (у) = — - коэффициент отражения оту'-го сечения прямой волны /Да/ - х}). 0./+1+'

Если между сопряжёнными сечениями у'-го и (/+1)-го участков стержня размещён линейный упругий элемент жёсткостью «к» (рис. 1, б), то граничные условия имеют вид

д х

~Е >А >~~Гх + Е Тх = °

(7)

Из граничных условий (7) при известных параметрах падающих волн /<(а)г-х]) и ф можно определить формируемые в ударном сечении х] прямую волну

Гы(амг-х.) = 2—----^ Пах -хЛ---—(1+—;х

У+/ )' ГА п ] ] } Р А Г

к 1

* - V '+ ^+ >> " гг А (] +-^ ' + V '

р*

и обратную волну ф)Гв , + * ; = Г(а1 _ х ;--(а г _ ; -ф^/я^ + Х])],

Е ■А ■ ) }

т = ЕА

£ Л л

у'+1 У+1 а]

решая соответствующие дифференциальные уравнения. Интегрируя дифференциальное уравнение (8), получим

/

/¡+1 ( а ; + о + 1

ч

а 7

Е]+1А)+1 а]+1 J J 7

(I+—)■ + )- - к (] + -!—).<?'.+](а^ + Х;) (9)

Г А г ' 1 * 1 } ' Р А у

Если между сопряжёнными сечениями у'-го и (/+1)-го участков стержня размещена сосредоточенная масса М (рис. 1, в), то граничные условия имеют вид

М-

■йг

где - продольные силы в сопряжённых сечениях (х = ху) у'-го и (/'+1)-го участков

стержня; у^Х],^, скорости сопряжённых сечений у'-го и (/'+1)-го участков; уДх^г)- скорость

сечения х= х], где расположена сосредоточенная масса М.

Из граничного условия (10) следует Мй\},/)=[-N} [х],г)+N]+][х],/)}//.

Интегрируя, получим Л/[уу(ху,/)-уу(ху,г0)]= (И)

Учитывая, что

N, (л-,, /) = Е} Л, [- /; (д./ - х. )+(р; + .г,)] А0+,М= + ?

приходим после преобразования (11) к следующему уравнению:

М ;

и+1 //+1 -^/1+1 А|+1

Учитывая из (6), что скорость «-го сечения

Ул (*„ •<)="пУ'п(ап'-Хп) + <{«п' + Хп) ] V, (*» 'Со) = "п |Л <0 -*п) + Ф(«„ 'о + )] >

получим из(12)

/„'(«„' - а„)+ф; («„/+хл)=/;(ап10 - лл)+Ф; +*„)+ ^Ц^

Из условия равенства скоростей сопряжённых сечений (8) для сечения л = хп следует

Л

Учитывая (14) в (13), получим

/;♦. к,' - *„)=^^ - Ф ;,+1 (*„+1 г+х„)+}

М и

2 Е"А" /,;(а,/-л-„) / \ ,

г

(12)

(13)

(14)

Иные условия сопряженияу'-го и (/'+1)-го участков будут определять иную более сложную структуру дифференциальных уравнений, решения которых позволят перейти к определению параметров формируемых волн.

Решения, полученные для прямоугольной падающей волны, показывают, что параметры волны при прохождении через границу при наличии упругого элемента или сосредоточенной массы существенно изменяются (форма волны, длительность действия и другие).

Если падающая волна лишь частично проходит через границу, то соответственно и частично происходит перенос энергии через эту границу. А это определяет в целом эффективность переноса энергии волной деформации от ударного сечения по стержневой системе к технологической среде.

Энергия Еу,. падающих на границу х] сопряженияу'-го и (]+1)-то элементов определяется как

а) о а}+\ о

где 7}, 7}-ьу - длительность действия падающих волн нау-м и (/+7)-м участках.

Энергия волны Ераспространяющейся от границы х} в направлении технологической среды, определяется как

о

Соответственно эффективность переноса энергии волны через границу сопряжения элементов существенно зависит от характера преобразования волн на границе.

БИБЖОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров, Е. В. Прикладная теория и расчёт ударных систем / Александров Е. В., Со-колинский В. Б. - М.: Наука, 1969. - 200 с.

2. Алимов, О. Д. Бурильные машины / Алимов О. Д., Дворников Л. Т. - М.: Машиностроение, 1976.

3. Алимов, О. Д. Амортизация волнового импульса с помощью упругого элемента малой длины / Алимов О. Д., Дворников Л. Т., Шапошников И. Д. //Труды Фрунзенского политехи, ин-та, вып. 38 (математика). - Фрунзе, 1969. - С. 24-32 .

4. Алимов, О. Д. Исследование прохождения ударных импульсов по стержневой системе с участками разного волнового сопротивления / Алимов О. Д., Дворников Л. Т., Еремьянц В. Э., Лисовский А. Ф., Манжосов В. К. // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых . -1973,- №6.-С. 66-68.

5. Грицюк, В. Е. Расчёт стержня с сосредоточенными массами на действие продольного удара // Изв. вузов. Машиностроение. - 1979. - № 3. -С. 11-14.

6. Манжосов, В. К. Удар массы по полуограниченному стержню через сосредоточенный линейный упругий элемент // Прикладные задачи механики. - Ульяновск: УлГТУ, 1998. - С. 7-23.

7. Манжосов, В. К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границе стержневой системы // Механика и процессы управления. - Ульяновск: УлГТУ, 1996.- С. 13-29.

8. Слистин, А. П. Расчёт параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням. Автореф. дисс. канд. техн. наук. -

• Томск, 1990.- 18 с.

9. Фабишевский, К. В. Трансформация продольной упругой волны в составном стержне с упруго подвешенными сосредоточенными массами // Прикл. механика. - 1977. - Т. 13. - № 6. -

С. 97-110.

10. Фолленсби, (Follansbu P.S.), Франц (Franz С.). Распространение волн в составном стержне Гопкинса // Труды Американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы инженерных расчётов. - 1983. - № 1. - С. 73-80.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, имеет статьи и монографии в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, анализа преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

>