Отражение и прохождение продольной волны деформации на границе сопряженных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.233.6 В.К. МАНЖОСОВ

ОТРАЖЕНИТ И ПРОХОЖДЕНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМ VI ЩИ НА ГР \НИЩ СОПРЯЖЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Анализируется процесс преобразования волны деформации на границе сопряжения двух сир жней в случаях идеального сопряжения, сопряжения через упругий элемент, при размещении сосредоточенной массы в сечении сопряжения. Показано влияние упругих и инерционных свойств границы сопряжения на параметры прошедшей через эту границу и отраженной от нее волн деформаций.

Вопрос о преобразовании во.ш деформаций на хранице сопряжения двух стержней актуален при анализе механических волноводов, обеспечивающих передачу энергии волны деформации по составному волноводу к обрабатываемой среде. Исследованию этого вопроса посвящены работы [1-Ю].

Рассматривается стержневая система (рис.1, а), состоящая из двух лолуо граниченных стержней 1 и 2, сопряженных в сечении х = /. Граница сопряженных стеожней обозначена на рис.1,а позицией 3 По первому

("Г^ ■Щ'ит/Л О и 9 ТТПО О Примм ПЛТХ V ЦОЛТтАЛТ»ЛПТ»п£УГЛл п^лттлттт »тлл Т- /> —»»~ -тр

формации, параметры которой описываются функцией /)(а,1 - х). Аргумент функции (а1( - х) содержит а}> х (а1 - скорость распространения волны в материале первого стержня, X - время, х - координата сечения).

■ /' — / 1 —--

1 [. ^'(о^-О

7 V

-Ч

Т

\

1,(оЛ - I

\_.)

^.'(оа-п I

ь)

V

иол-»

)_/

'Л (ол-1)'1

-7

_

У

Д ^ 11 I ; г—, с 1

.С

у

т

V5. (п,» - ?)

ч

г)

Рис. 1. Схемы сопряжения стержней

7 -_

\

{ М

Полагаем, что в момент времени I- 0 волна деформации {¡{а// - х) достигла границы сопряжения первого и второго стержней и этой волной охвачен участок первого стержня д^хиной / (0 < х < /).

Скорость сечения х - I первого стержня определяется параметрами падающей на границу и отраженной от нес волн

ди{(Ц)

д1

= а\

/, (а11-1) + Ф1 (ах1-1)

(1)

где и\{1,1) - перемещение сечения х = I первого стержня; <р2(а^+1) функция, описывающая параметры отраженной волны для сечения х = /.

Скорость сечения х = I второго стержня определяется параметрами прошедшей через границу волны

(2)

где Ио(/л) - перемещение сечения х = / второго стержня; а2 - скорость распоостранения волны в материале второго стержня.

Продольная деформация в сечении х - I сопряженных стержней определится соответственно как

дх ди2(1,1)

дх

-/1(Щ-1) + ц>1(ц1 +1),

(3)

Равенства (1), (2) и (3) «шЯМш из условия, что движение поперечных сечений сопояженных стержней описывается волновыми уравнениями вица

дги{(хЛ) 1 5ги,(х.1)

дх

а,

д1

= 0.

дгиг(х.,1) 1 д\(х,1)

дх2

4 дГ

= 0, 1<х< 00,

решения которых можно представить как

и ,(х, 0 = fl(a] t - х) + щ(я, t + х),

U 2(Х, 0 = /2(^2 t ~ Jt) + ф2(йГ2 t + X),

а для рассматриваемой задачи, учитывая, что (p2(a2t +х)=0.

u2(x,t) = f2(a2t-x). (5)

Функции <Pi(a]t +х) и f2(a2t - х) язляются неизвестными и определяются из граничных условий сопряжения (лержней.

В работе рассмотрены особенности преобразования волн на границе х = /. когда эта граница представляет идеальное сопряжение стержней (рис. 1 ,б), имеет сосредоточенный .шнейный упругий элемент (рис. 1 ,в) или сосредоточенную массу (рис. 1 ,г).

При идеальном сопряжении стержней граничные условия имеют вид

Эи,(l.t) диг(1,г) д, " а,

дх бх

где Ej,E2 - модуль упругости материала первого и второго ст ержней; А}, А2 - площадь поперечного сечения первого и второго стержней. Учитывая (4) и (6), находим, что

+ 1)* r—J\'(<& "в (7)

г +1

1г Х%0 ~ 1)-2- (8)

г + \ С12

Е'А, а, Е,А>

ГТ1Р Г — - 1-!--— ^ТиЛТПАШЛР Ofimir Г>».т-/-> ПМ пкиоттатшп 1 I „^П

».-->• у л ......... - .. _ Wis i ZXJ LV.mi.1 - liCputJi U

E2A2ax a,

_. E 9

стержня к волновому сопротивлению —* — второго стержня.

«2

Если между сопряженными сечениями первого и второго стержней размещен лиьейныи упругий элемент жесткостью «к » (рис.1, в), то граничные условия имеют вид

дх du<ÍU)

дх

+ E2A^}-=o .

дх

Учитывая (4) и (6), приходим к дифференциальному уравнению

Ф,'(а + /) + ^(л + ОФ,'^, / + /) = (а,/ - /) -ь ^(л -- /). (10) ~ к

где к --ш - отношение жесткости « к » упруюго племен iа к про-

B.AÍ

дольной жесткости

Е1Л1 М

единицы длины первого стержня.

Решение уравнения (10) определяет параметры отраженной от границы х-1 волны (рj (a}t +1).

В случае, если параметры падающей на границу волны известны и определяются для сечения х-1 как

где Т -На, - п^тельность действия волны, при начальных условиях

<М)

v дх

а 0

'du_t(uY\ _ du^lj)

v дх дх

»— /

решение дифференциального уравнения (10) имеет вид

л г-1 2г

0 < г < 7,

(12)

+ = -

28

г 1

« 1 i

i

1-е Al

-k(r+1)

t-T

\т

f < T

i _г i ,

л Л/ /

где А/ = — - время прохождения волны единицы длины Л/ первого «1

стержня.

Параметры волны, прошедшей через границу х = I, определяются функцией

Г +1 «2

/{(а21-1) = 2-'

г +1 а2

1-е Л'

-*(г+П

1-е

, о</<г,

т

е , />7\

(13)

Если между сопряженными сечениями первого и второго стержней размещена сосредоточенная масса М (рис.1,г), то граничные условия имеют вид

М

&их(и)

- - ^ [ + £ 1 2

сЯ ох их

(14)

ди,(/,/) ам2(/.1) >4 щ

Учитывая (4) и (6), приходим к дифференциальному равнению

Ф|ь + — а>[( в|< +4= ^ — лгл* - - - О- 05)

Д/ г Л/ г

где т-

~ Р, А. Л/

к/

.11

отношение массы е.циницы длины первою егерж* к

сосредоточенной массе М (р, - плотность материала).

В случае, если параметры падающей на Гранину волны известны и определяются тля сечения х = I равенством (11), решение уравнения (15) при начальных условиях

= 0

ч д1 / Г==0 V 31 ;

ЫТ

ш

примет вид

(р[(а11 + 1) =

у[(ах1 + 1) =

-'■+1 г

г- 1 2Е Г —

Б -

г+1 Г + 1

г Аг , О<~1<Т ,

(

2б г

г + 1

_ г+1 Т -т--

1-е г ь

\

-т

.Г+1 г-Т г М

I > Т

У

Параметры волны, прошедшей через границу х = /, определяются функцией

„г+1 / ^

, 0<г<7\

/{Га21 -1) =

/2|\а21-^) =

(

«1 2 £/■

а2 г + 1 \

-тп

1-е г ®

у

/

2ег

<ъ /• +1

„ г+| 7Л -т--

1-е ' *

V

- т

г+1 Г-Г г А/

(П)

у

Сравнивая скорость сечения х - I второго стержня у2",*) = а2/2 з~0 со скоростью сечения х = I первого стержня

, , \ - / Л

И1 7 ~а\1\{а \t~tyf обусловленной действием падающей на границ)

г

волны Л'аЛ-1 отметим следующее.

1. Идеальное сопряжение стержней

При идеальном сопряжении стержней отношение скоростей сопряженных сечений

V =

Ш)1 г + 1

(1*6

При сопряжении однородных стержней (ко1да г = 1) отношение скоростей V равно единице, т.е. падающая на границу вольа полностью проходит во второй стержень При г -» оо (т.е. когда волновое сопротивление второго стержня стремится к нулю) скорость \г( I, 0 стремится к величине, удвоенной по сравнению со скоростью т е- возникае^

чф<Ьект свободного сечения х = / не испытывающего сопротивления при движении. И, наоборот, при г -> 0 (т.е. когда во^овое сопротивление второго стержня стремится к бесконечности ) скорость у2( I I) стремится к нулю, т.е. возникает эффект абсолютно жесткой опоры в сечении х -1.

V г ОО

г г > 1 , г= 1

г < 1

__¿— - - -

1/т

1

О) б)

V

V

Э) е)

Рис. 2. Диаграммы, характеризующие параметры прошедшей через границу волны деформации

На рис.2,а показана диаграмма функции /¡'(а,*-/) г, характеризующая параметры падающей волны и^^ормапии На пис 2 ^ нокз^а-ны диаграмм функции , характеризующие параметры прошедшей через границу волны дефоомации 1фи различных соотношениях волновых сопротивлений иде<ип>но сопряжении л стержней.

2. Сосредоточенный линейный упрушй элемент в сопряжении стержней

При сопряжении стержней с сосредоточенным упругим элементом отношение скоростей сопряженных сечении

у = 2

у = 2

г + 1 г

г + 1

\_е-к(г+\)Т/А1

, 0 < / < 7 , г-Т

-*(г+1)

ДГ

(19)

Диапзаммы функции V при различных волновых сопротивлениях сечений приведены на рис. 2. в.г.

При 1 = 0 отношение скоростей \ равно нулю. Если длительность па-

дающей волны стремится к бесконечности (Т со), то V — ^ , ^ -»}

стремится к отношению скоростей при идеальном сопряжении. С увеличением жесткости упругого элемента интенсивность поста и спада скорости сопряженного сечения возрастает (рис. 2,г) и при относительной жесткости к оо, величина стремится к значению 2г / (г + \).

/ (.

Г / - -

Л

.е.

3. Сосредоточенная масса в сопряжении стеожней

При сопряжении стержней с сосредоточенной массой в сечении х = I отношение скоростей сопряженных сечений

- 2-

/1 1

1-е

г .и!

-т—1Г/ДГ

г + )

, 0<1<Т,

-т^Т/лЛ 1-е '

„г+1

(20)

-т— (*-Г)/Д/

, 1> Т .

(

/

Диаграммы функции \ при (ЩШ волновых сопротивлениях сопряженных сечений приведены на рис. 2, д,е.

Отношение скоростей V изменяется от нуля (при I = 0) и стоемится к значению 2г/(г+1) при Т -> оо. Если сосредоточенная масса М стремится к бесконечности, то т ->0 и V ->0, т.е. возникает эффект абсолютно жесткой опот?ы в сеыении х — '

Если сосредоточенная масса М ->• 0 , то оо, и т -> 2г / (/■ +1) , т.е.

при отсутствии сосредоточенной массы в сопряжении достигается эффект идеального сопряжения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров Е.В., Соколинскич В.Б. Прикладная теория и расчет ударных систем. М.: Наука, 1969 200 с.

2. Алимов О.Д., Дворников Л.Т., Шапошников И.Д. Амортизация волнового импульса с помощью упругого элемента малой длины// Трулы Фрунзенского политехи, ин-та, вып. 38 (математика). Фрунзе, 1969. С. 24 -32.

3. Алимов О.Д., Дворников J1.T., Еремьянц В Э., Лисовский А.Ф., Манжосов В.К. Исследование прохождения ударных импульсов по стержневой системе с учасгками разного волнового сопротивления // Фи-зико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых . 1973. № 6. С. 6668.

4. Алпеева В.А. Возбуждение и преобразование волн деформаций в ударных системах машин для испытаний изделий Дисс-канд. техн. наук. Фоунзе: ФПИ, 1990. 281 с.

5. Грицюк В.Е. Расчет стержня с сосредоточенными массами на действие продольного удара ё Изв. вузов. Машиностроение. 1979. № 3. С. 11-14.

6. Манжосов В.К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границе стержневой системы // Механика и процессы управления. Ульяновск; УлГТУ, 1996. С. 13-29.

7. Сшсгин А.П. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: Автореф. дксс.-.канд. техн. наук. Томск, 1990. 18 с.

8. Фабишевский К.В. Трансформация продольной упругой волны в составном стержне с упруго подвешенными сосредоточенными массами // Прикл. механика. 1977. Т. 13. № 6. С. 97-110.

9. Фолленсби (Follansbu P.S.), шианц (Franz С.). Распространение волн в составном стержне Гопкинса // Труды Американского общества инженеров'-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1983. № 1.С. 73-80.

10. Харксвич A.A. Теория электроакустических преобразований. Волновые процессы. Избранные труды. T.l. М.: Наука, 1973. 400 с.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктср технических наук, профессор, заведующий клфедр I ■:•: 1 еоретическая и прикладная механики » УлоянОиского государственного технического университета, окончил механическии Факультяп Фтнзенского политехнического институты. Имеет монографии и статьи в области оинамики механических систем переменной структуры, пробельного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.