Отражение и переход продольной волны деформации линейной формы с убывающей интенсивностью в соединении стержней с упругим элементом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.3; 534.1

В.К. Манжосов, И.А. Новикова

ОТРАЖЕНИЕ И ПЕРЕХОД ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ С УБЫВАЮЩЕЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ В СОЕДИНЕНИИ СТЕРЖНЕЙ

С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Рассмотрен процесс преобразования продольной волны деформации на границе разнородных стержней с упругой прокладкой. Изложена методика расчета процесса преобразования волны деформации линейной формы. Определены параметры волны, прошедшей через соединение стержней.

Волна деформации, волновые уравнения, метод бегущих волн, преобразование волны деформации, стержневая система, сопряжение стержней с упругой прокладкой

V.K. Manzhosov, I.A. Novikova

REFLECTION AND TRANSITION OF THE LONGITUDINAL WAVE WITH LINEAR DEFORMATION UNDER DECREASING INTENSITY WITHIN THE ROD CONNECTION

POSSESSINH AN ELASTIC ELEMENT

The paper gives a review of the longitudinal strain wave transformation at the boundary of heterogeneous rods with an elastic gasket. The article describes a technique for calculating the transformation of the linear strain wave. The parameters of the wave passed through connection of rods are defined.

Strain wave, wave equations, traveling wave method, transformation of the strain wave, rod system, conjugation of rods with elastic gasket

Введение. Поведение волны деформации на границе сопряжения стержней требует изучения при создании технических систем, обеспечивающих перенос энергии продольных волн, сформированных при ударе, к технологической среде по составному волноводу [1, 2]. Если в стержневой системе имеются сопряжения разнородных участков, то на границе сопряжения возникают процессы, связанные с отражением и трансформацией волн [3, 4, 5, 6].

В данной работе рассмотрена задача о преобразовании продольной волны деформации на границе сопряжения участков стержневой системы с упругой прокладкой. Схема стержневой системы изображена на рис. 1.

Два полуограниченных разнородных стержня 1 и 2 (рис. 1) в сечениях x = x1 и x = x2 разделены упругой прокладкой 3. Инерционными свойствами упругой прокладки пренебрегаем, учитывая лишь её упругие свойства.

Рис. 1. Схема стержневой системы при падающей волне деформации:

1, 2 - стержни системы; 3 - упругая прокладка

На границу x = x1 со стороны стержня 1 падает прямая волна. Параметры падающей волны считаются известными. Требуется определить формируемую в сечении x = x2 прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х по стержню 2, и обратную волну, формирующуюся в сечении x = x1 и распространяющуюся по стержню 1 в другом направлении.

Волновая модель системы. Построение решения. Движение сечений рассматриваемой динамической системы описывается волновыми уравнениями

)2м1( х, t) 1 д 2и1( х, t) д 2и2( х, t) 1 д2

-------------------- ------------- — 0,------------------------------- --

..2 „2 -лЛ 2 „2 -лЛ

0 - /-------- / = о, (1)

дх2 а1 д? дх2 а22 дt2

где и1(Х,t) , и2(л,t) - смещения сечений соответственно 1-го и 2-го стержней, а1, а2 - скорости распространения волн деформаций в стержнях; Х - координата поперечного сечения, £ - время. Начальное состояние системы описывается равенствами:

при £ = 0 и1(х,0) = и(х) , и2(х,0) = 0, диДХ,0) = у(х) , ди2(0,0) = о. (2)

д£ д£

Граничные условия рассматриваемой динамической системы имеют вид: для х = 0

ди1(0,£) ди2(0,£) ди2(0,£) г /п ч /п ^

Е1А1— -------= Е2 А2— --------, Е2 А2— --------= - к [и1(0, £) - и2(0, £) ], (3)

дх дх дх

для х = -» Е1А1 ди1*-”’‘> = 0, для х = ~ Е2А2= 0, (4)

дх дх

где к - жесткость упругого элемента; Е1 , Е2 - модули упругости материалов стержней; А1 , А2 -

площади поперечных сечений стержней.

По методу бегущих волн решения уравнений (1) предоставляются в виде

и1(х, £) = /1(а1£ - х) + р1(а1£ + х), -»< х < 0, (5)

и2 (х, £) = /2 (а2£ - х) + р2 (а2£ + х), 0 < х < », (6)

где /1 (а1£ - х) , /2 (а2£ - х) - функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся сле-

ва направо (прямые волны); <р1(а1£ + х), (р2(а2£ + х) - функции, описывающие волны деформации,

распространяющиеся справа налево (обратные волны).

Так как стержень 2 полуограниченный и в начальный момент времен находится в состоянии покоя, то можно принять, что р2 (а2£ + х) = 0. Тогда 16

u1 (х, t) = f (a1t - x) + p1 (a1i + x), u2 (x, t) = f2 (a2t - x).

Продифференцируем последние равенства по х :

Эи,( x, t) .

— -------= - fi (ait - x) + p (ait + x),

dx

Для сечения х = 0

Эи1(0, t) / ,

—^---------= -f (ait - 0) + p (ait + 0),

dx

Используя (9) в первом граничном условии (3), получим

Эи2( x, t) дх

Эи2(0, t) дх

- - f2 (a2t - Х) •

- - f2(a2t - 0) •

cp'1(a1t + 0) -

Е2 А2

El Al

f 2 (a2t - 0) + f1 (ait - 0) •

(7)

(8)

(9)

(10)

Рассмотрим второе граничное условие (3) с учетом (7) и (9) при x = 0 :

E2 Af'^t - 0) = к [ fi (at - 0) + p at + 0) - f2 (a2t - 0)].

Дифференцируя по t, приходим к равенству

/2W - 0):

ka1

2f1 (ait - 0)---------ГГА f2 (a2t - 0)----2 f2 (a2t - 0)

ЕД a1

E2 A2a2

Данное уравнение преобразуем к виду

г", ™ к (г +1) , 2ka1

f2 (a2t - 0) + ^^i-------f2 (a2t - 0) = ^“;---f1 (a1t - 0),

E2 А2 Г

E2 A2a2

(11)

где г

E1 A1 a2

a1 E2 A2

отношение волнового сопротивления

EA

стержня 1 к волновому сопротивле-

EA

нию

22

стержня 2.

a2

Обозначим отношения

k (г +1) Е2 А2Г

-а,

2ka1

-ß •

Тогда из (11)

Е2 A2a2

f2(a2t - 0) + af2(a2t - 0) - ßf1(a1t - 0).

(12)

(13)

Введём переменную ^ = а2£ - 0 . Решение дифференциального уравнения (13) представим как

(14)

(15)

£(£ - V (О) • Z О),

V О) - Q • exp(-of), Z (О) - j

ßf1(g,t - 0) V (О)

где С15 С2 - постоянные интегрирования.

Решение (14) зависит от функции /1(а1£ - 0) , определяющей параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней от стержня 1.

Преобразование линейной волны с убывающей интенсивностью. Рассмотрим процесс преобразования линейной волны деформации /1 (а1£ - 0) и формирования в стержне 2 волны

/2(а2£ - 0) . Предположим, что подходящая к упругому элементу волна деформации имеет треугольную форму с убывающей интенсивностью. Схема стержневой системы изображена на рис. 2.

Рис. 2. Схема стержневой системы при падающей треугольной волне деформации с убывающей интенсивностью: 1, 2 - стержни системы; 3 - упругий элемент

a

Функция /1(а1£ - 0) , определяющая параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней со стороны стержня 1, имеет вид

£(0)

0,

£(0)

т

і -£(0)

(

1

а2і аТ ,

-£(0)

(16)

і > т,

где £(0) - значение функции /1(а1£ - 0) при £ = 0; Т - длительность действия падающей волны; £ - время.

Учитывая (16) в (15) при определении функции Z (|), находим на интервале 0 < £ < Т

в£(0)

1 -

V а2Т J

С1 ехр(-а£)

^+С2= (^ +-1-£\ ехр(о£) + С2.

а2ТС1 у

а а а

Решение (14) с учётом (15) и найденного значения функции Z (|) на интервале 0 < £ < Т примет вид /2'(|) = V(|) • Z(|) = £(0)^1 + —---------------------1 1 + С• ехр(-а|), 0<£<Т. (17)

а у аа2Т а2Т J

Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в начальный момент времени при | = 0 упругий элемент не деформирован и значение /2(0) = 0:

1+-

1

аа2Т J

1+

1

аа2Т J

Подставляя значение С в (17), получим

/2 (а2і - 0) = £(0)

в

а

1 і

1 +-------------

V аа2Т Т

-£(0)

в

а

1 + -

аа2Т J

ехр(-аа2і), 0 < - < 1.

Группируя слагаемые, приходим к выражению

/г(а2і -0) = £(0)в а

1

1 + -

у аа2Т J

(1 - ехр(-аа2г))- т

0 < —< 1. Т

(18)

Рассмотрим теперь процесс формирования волны деформации /2(^) после завершения действия падающей волны на интервале і > Т , когда /1(а1і - 0) = 0. Учитывая в (15) при определении функции г (£), что на интервале і > Т функция / (ахі - 0) = 0, находим

г (#) -1 /^1+С = с„ < > т,

а решение (14) на интервале і > Т представим как

/2'(£) = С • ехр(-а£), і > Т. (19)

Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в момент времени і - Т значение функции /2(^) определяется из (18) при і - Т :

V аа2Т J

(1 - ехр(-аа2Т)) -1

= С • ехр(-аа2Т),

откуда

у аа2Т J

(1 - ехр(-аа2Т)) -1

ехр(аа2Т)

Подставив значение С в (19), получим

1

г

\

1

/2(а2£ - 0) = £(0)в а

аа2Т у

(1 - ехр(-аа2Т)) -1

ехр(-аа2(£ -Т)), £ > Т.

Итак, если волна /1 (а1£ - 0) имеет треугольную форму с убыванием интенсивности

Л (а1£ - 0) =<

£(0) ^1 - Т I, 0,

0 < £ < Т,

£ > Т,

то формируемая в стержне 2 волна деформации /2(а2£ - 0) имеет вид

/2 (а2£ - 0) =

£(0)в а

£(0)в а

1 +-------

V аа2Т у

1 +-------

V аа2Т у

(1 - ехр(-аа2£)) - т

(1 - ехр(-аа2Т))-1

0 <-< 1, Т

ехр (-аа2(£ - Т)), — > 1

Т

Из (10) формируемая в сечении х = 0 обратная волна определяется как

р1 (а1£+0) = —-^А2 —1-2 /2(а2£ - 0)+/1(а1£ - 0) = —2 /2(а2£ - 0) + /1(а1£ - 0)

Е1А1 а1а2

г а,

Для большей универсальности целесообразно перейти к относительным величинам при определении падающей и формируемых волн. Так, относительное значение функции падающей прямой волны

/1'(а1, - 0) = Ш-» =

1 £(0)

1 -

£

(21)

0, £ > Т.

Относительное значение функции формируемой в сечении х = 0 прямой волны

/'(а2£ - 0) =

/2(а2£ - 0)

£(0)

У

1

Л

1 + -V аа2Т у

1 +-------

V аа2Т у

(1 - ехр(-аа2£) )- Т

(1 - ехр(-аа2Т))-1

0 < - < 1, Т

(22)

ехр (-аа2Т(£ / Т -1)), Т > 1-

Относительное значение функции формируемой в сечении х = 0 обратной волны

р1,(а1£ + 0) =

р1(а1£ + 0) 1 а2

£(0)

---------/2 (а2£ - 0) + /1 (а1£ - 0) .

га

При расчете значений /2(а2£ - 0) р[(а1£ + 0) целесообразно учитывать, что

в = 2ка1 Е2 А2г = 2г а1

а Е2 А2а2 к (г +1) г +1 а2

к г +1 к г +1 А1 ~ г +1 £ ~ г +1~

аа2£ =-------------а2£ =------------------а2£ — = к--------------------= к-£,

2 Е2А2 г Е2А2 г А1 г АТ г

%г +1 Т %г +1 ~ £ £ АТ £

аа2Т = к-----------------------------= к-Т, — =--= —,

2 г АТ г Т АТ Т Т

где А1 - единица длины стержня 2, к =

к •А/ Е2 А2

отношение жесткости упругого элемента к продоль-

А/

ной жесткости единицы длины стержня 2, АТ = — - время прохождения волной деформации раса 2

£ ~ Т

стояния А/ во втором стержне, £ = А-----отношение текущего времени £ к АТ, Т = А----------отноше-

ние длительности падающей волны Т к АТ.

Г

Л

С учетом представленных равенств имеем

/2'(а2£ - 0)

2г а

г +1 а9

2г а1

1+

кг-^ Т

г +1 а2

1+

кг-^ Т

1 _ехр\-кг-Т±~ П-Т~

1 -ехр\ _k—+1 Т | I-1

0 < ^ < 1, Т

ф[(а1£ + 0) =

ехр|-к'^Т(Т-1) I, Т> 1,

---------2 /2 (а2£ + 0) + /1 (а1£ + 0) .

г а,

(23)

Результаты расчета. В таблице представлены результаты расчета формируемых в сечении х = 0 прямой /2(а2£ - 0) и обратной ф[(ах£ + 0) волн по формулам (23) при следующих параметрах

механической системы: относительная длительность падающей волны Т = Т / АТ = 1, отношение волновых сопротивлений г = 1, скорости распространения волн а1 = а2 .

Эти результаты показывают изменение параметров формируемых волн в зависимости от относительного времени £ при различной жесткости упругого элемента к .

Преобразование волны треугольной формы с убывающей интенсивностью

Л

1

г

1

г

г

Т = 1, к = 1, г = 1 Т = 1, к = 2, г = 1 Т = 1, к = 5, г = 1

£ / /2 Ф1 /2 Ф[ /2 Ф[

0 1 0 1 0 1 0 1

0,1 0,9 0,171904 0,728096 0,3121 0,5879 0,595333 0,304667

0,2 0,8 0,29452 0,50548 0,488339 0,311661 0,751131 0,048869

0,3 0,7 0,376783 0,323217 0,573507 0,126493 0,745234 -0,04523

0,4 0,6 0,426007 0,173993 0,597629 0,002371 0,679853 -0,07985

0,5 0,5 0,448181 0,051819 0,580831 -0,08083 0,592588 -0,09259

0,6 0,4 0,448209 -0,04821 0,536603 -0,1366 0,497273 -0,09727

0,7 0,3 0,430105 -0,1301 0,473987 -0,17399 0,398997 -0,099

0,8 0,2 0,397155 -0,19716 0,399047 -0,19905 0,299631 -0,09963

0,9 0,1 0,352052 -0,25205 0,315845 -0,21585 0,199864 -0,09986

1 0 0,296997 -0,297 0,227105 -0,22711 0,09995 -0,09995

1,1 0 0,243161 -0,24316 0,152233 -0,15223 0,03677 -0,03677

1,2 0 0,199083 -0,19908 0,102045 -0,10205 0,013527 -0,01353

1,3 0 0,162995 -0,163 0,068403 -0,0684 0,004976 -0,00498

1,4 0 0,133449 -0,13345 0,045852 -0,04585 0,001831 -0,00183

1,5 0 0,109259 -0,10926 0,030735 -0,03074 0,000673 -0,00067

1,6 0 0,089454 -0,08945 0,020603 -0,0206 0,000248 -0,00025

1,8 0 0,059963 -0,05996 0,009257 -0,00926 - 0 - 0

2 0 0,040194 -0,04019 0,00416 -0,00416 - 0 - 0

Диаграммы волн для к = 1 (относительная длительность падающей волны Т = 1, отношение волновых сопротивлений г = 1, скорости распространения волн а1 = а2 ) приведены на рис. 3.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

Относительное время

Рис. 3. Диаграммы падающей волны /1(а1£ - 0) и формируемых на границе сопряжения прямой /'2(а2£ - 0)

и обратной ф[(а1£ + 0) волн при к = 1

Значение формируемой в стержне 2 прямой волны сжатия /'2(а2£ - 0) экспоненциально растет на интервале 0 < £ < 0,55 и при £ = 0,55 достигает максимума. Максимальное значение /2(а2£ - 0) меньше 1 и достигает величины 0,45. Отраженная волна ф[(а1£ + 0) также изменяется по экспоненте. На интервале 0 < % < 0,55 волна ф[(а1£ + 0) представляет волну растяжения, а при £ > 0,55 - волну сжатия.

При % > 1 падающая вона /1(а1£ - 0) = 0. Однако волна /2(а2£ - 0) продолжает формироваться за счет потенциальной энергии, накопленной в упругом элементе. Волна ф[(а1£ + 0) с этого момента уже не отраженная доля падающей волны, а формируемая упругим элементом волна сжатия. При % значение /2(а2£ - 0) ^ 0. Длительность формируемых волн /'2(а2£ - 0) и ф[(а1£ + 0) превышает длительность падающей волны.

На рис. 4 представлены диаграммы волн при жесткости к = 2.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

Относительное время

Рис. 4. Диаграммы падающей волны /1(а1£ - 0) и формируемых на границе сопряжения прямой /'2(а2£ - 0)

и обратной ф1(а1£ + 0) волн при к = 2

С увеличением жесткости упругого элемента формируемая волна /2(а2£ - 0) приближается по параметрам к падающей волне /1(а1£ - 0) . Увеличивается ее максимальное значение, сокращается длительность.

Анализируя результаты, приведенные в табл. 1, заметим, что трансформированная волна /2,(а2£ - 0) при определенных значениях времени £ / Т достигает максимального значения. Дифференцируя по % равенство (22), получим

1

а• е

а

1

а2Т

о <-^< 1.

а2Т

(24)

Полагаем, что при % = %* функция /2(а2£) достигает максимума. Следовательно, /Д^*) = 0.

Тогда из (24) имеем

0 =

1 + -

1

а2Т а у

а ехр(-а£) -

а2Т

откуда после преобразований получим, что

ехр(а^„) = 1 + а2Та. Логарифмируя левую и правую части равенства, находим

а^* = 1п(1+а2Та).

Учитываем, что

а£ = Т ■*-, а2Та = (Г +1 •Т•к

г Т г

(25)

Тогда равенство (25) примет вид

• к • т • ^ = іп

гТ

1+

(г +1) • Т • к

откуда следует, что

Т (г +1) • к • Т

1п

1 +

(г +1) • Т • к

(26)

і

Если известно относительное время — при заданных значениях г и к , когда трансформированная волна / 2(а2£ - 0) достигает максимального значения, то по формуле (24) может быть определено максимальное значение /2(%*) , если в эту формулу, вместо величины £ подставить значение

—, найденное из (26):

Т

Л'(6)=

2г а1

г +1 а

1+-

(г +1) • Т • к у

Г і Г г +1 Г т 1

1 -ехр|---------к • Т •

Т

Т

(27)

Трансформация волны более существенна при меньших значениях жесткости упругого элемента к . Чем больше жесткость упругого элемента, тем трансформация волны менее существенна. Обратимся к формуле (22), представив ее в виде

ш=

2г а1

г +1 а

У

^ + (г +1) • Т • к у

1 - ехр -

г +1

Л

•к •Т •

Т

ґ

Т

0 <-< 1. Т

1

г

г

*

г

і

г

ж

г

г

~ Г f r +1 ~ ~ t 1

При к ^ » слагаемые-----------------—- ^ 0 и exp I--------------к • T • — I ^ 0 . Тогда

(г +1) • T • к Я r T J

Ш ^ — • — fl - , 0 < l- < 1. (28)

r +1 a2 v T J T

Формула (28) описывает формируемую в стержне 2 волну деформации в случае идеального сопряжения стержней. В этом случае трансформированная волна будет иметь ту же форму, что и падающая волна. Трансформация волны возникает из-за разницы волновых сопротивлений стержней 1 и 2 (r Ф1).

В случае идеального сопряжения стержней при к ^ » , одинаковых свойств материала и r = 1 из (28) следует

№ ^ [1 - T ] • о < T < 1.

Это означает, что прошедшая в стержень 2 волна деформации стремится полностью воспроизвести падающую волну.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В.К. Манжосов, В.Э. Еремьянц. М.: Наука, 1985. 354 с.

2. Алпеева В.А. Возбуждение и преобразование волн деформаций в ударных системах машин для испытаний изделий: дис.... канд. техн. наук / В.А. Алпеева. Фрунзе: ФПИ, 1990. 281 с.

3. Еремьянц В.Э. Ударное нагружение оснащенных стержней / В.Э. Еремьянц, Ю.В. Невенчанный, Н.Г. Писаренко. Фрунзе: Илим, 1987. 165 с.

4. Манжосов В.К. Продольный удар / В.К. Манжосов. Ульяновск: 2006. 358 с.

5. Саруев Л. А. Распространение силовых импульсов по буровым штангам постоянного сечения / Л.А. Саруев, А.В. Шадрина // Динамика и прочность горных машин: сб. тр. 2-й Междунар. конф. Новосибирск: 2003. С. 64-69.

6. Шадрина А.В. Исследование закономерностей распространения силовых импульсов по колонне труб при бурении скважин: автореф. дис.. канд. техн. наук / А.В. Шадрина. Томск, 2007. 21 с.

7. Слистин А.П. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф. дис.. канд. техн. наук / А.П. Слистин. Томск, 1990. 18 с.

Манжосов Владимир Кузьмич - Vladimir K. Manzhosov -

доктор технических наук, профессор, Dr.Sc., Professor,

заведующий кафедрой «Теоретическая Head: Department of Theoretical

и прикладная механика» Ульяновского and Applied Mechanics

государственного технического университета Ulyanovsk State Technical University

Новикова Ирина Александровна - Irina A. Novikova -

старший преподаватель кафедры Senior Lecturer,

«Измерительно-вычислительные комплексы» Department of Measuring- and Computing Complexes

Ульяновского государственного технического Ulyanovsk State Technical University

университета

Статья поступила в редакцию 20.05.12, принята к опубликованию 06.09.12