CC BY
10
УДК 539.3
В. к. МАНЖОСОВ, И. А. НОВИКОВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ НА ГРАНИЦЕ СОПРЯЖЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ
Рассмотрена задача о преобразовании волны деформации линейной формы при прохождении границы сопряжения двух полу ограниченных стержней с упругим элементом. Построены аналитические зависимости для расчёта параметров волны деформации, прошедшей через границу сопряжен ия стержней.
Ключевые слова: волна деформации, распространение волны, преобразование волны, динамика стержни
При распространении волны деформации по составному стержню (волноводу) происходит трансформация волны, возникающая вследствие неоднородностей, диссипативных сил и т. д. Особые эффекты трансформации волн вызывают стыковочные узлы волноводов (соединения). Экспериментами [1] было замечено, что при прохождении волны деформации через соединения изменяется её форма, уменьшается максимальное значение, увеличивается продолжительность. В работах [2-7] отмечается, что прохождение волны деформации через соединение характеризуется определёнными потерями энергии волны деформации.
Наиболее существенные свойства соединения, как элемента, трансформирующего волну деформации, может смоделировать сосредоточенный упругий элемент, расположенный между сопряженными торцами стержней.
На рис. 1 показана схема системы, состоящая из стержней 1 и 2, взаимодействующих с упругим г ^
элементом 3. По стержню 1 движется волна, обеспечивающая линейную деформацию сечений стержня на участке, охваченном волной (треугольная форма волны). Предположим, что на процесс прохождения волны через упругий элемент граничные условия на р^а-^+х)
левом конце первого стержня и на правом конце п , „
' г г Рис. 1. Расчетная схема стержневой системы
второго стержня 2 не оказывают влияния, т. е.
стержни являются полуограниченными. Упругий элемент 3 расположен в сечении .к = 0 и имеет жёсткость, равную к .
Начало координат совмещено с положением упругого элемента. Движение сечений рассматриваемой динамической системы описывается волновыми уравнениями
д21ф,1) ! д2г/,(х,0_л д2и2{х,1) 1 Л2(х,/)_п ,п
1 1 1 -у' л * *). V '
дх~ а~ дI дх а2 дt
где и2(х,1) - смещения сечений соответственно 1-го и 2-го стержней; <Я|, Си
скорости распространения волн деформаций в стержнях.
Предположим, что начальное состояние сечения X = 0 системы описывается равенствами:
при I = 0 г/,(0,0) = 0, »,(0,0) = 0, 5И|(°’°) = Р/0, —2 (°~°} = 0. (2)
о1
Граничные условия рассматриваемой динамической системы имеют вид:
„ ды,(0,1) „ ди,{0,0 5м.,(О,/) /Г т т ,г.
для х = 0 ЕХА\—!---------------= Е2А2—*-----, Е2А2—=------= —А[м,(0,/) — г/,(0,/)], (3)
дх дх ' дх
© В. К. Манжосов, И. А. Новикова, 2008
дм,(-со,/) ды,(°°>0
для .V = -со /' /I. —1-----------------------------= и, для х = оо Е1А-) — -= 0 . (4)
* * "Л - - '■ч
ох ох
где к - жёсткость упругого элемента; Е{, Е2 - модули упругости материалов стержней: /I,. /К
площади поперечных сечений стержней.
Решения волновых уравнений (1) предоставляются в виде
Ы, (Л', I) = /, (£/,/ - х) + Г/?, («,/ + х) . -со < х < 0,
г/,(.V./) = Д (а21 - х) + (Рі{а21 + х), 0 < х < оо ,
где /,(я,/ -х), /2(&-,/-х) - функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся
слева направо (прямые волны); (с/,/+ х). (р2(а21 + х) - функции, описывающие волны
деформации, распространяющиеся справа налево (обратные волны).
Вследствие полуограниченности стержня 2 примем, что (р2 (а2( + х) - 0.
Тогда
Ц\ (х,0 = /\(а\1 - х) + <Р\{а^ + х), «2(х,/) = /2(а2/-х):. (5)
Из граничного условия(3)получим
ЕЛ [~А'(а\0 + <Р'№\0] = -е2а2/.2'(я2/),
откуда
<р\(а/) = т-Л'^гО + /'(в|0 • (6)
Интегрируя (6) в пределе от О до /, имеем
(р, (а,о=--/2 (а2/) 4- - /, (0)+у; (л,о - у; (0), (7)
г г
ЕЛ а
где г = —— -!— отношение ударной жёсткости стержня 1 к ударной жёсткости стержня 2.
а2 Е2А2
Предполагая, что при / = О смещения сечений х = 0 в стержнях отсутствуют
/2(0)=0, Л(0) = Л(ал).
получим из (7)
(р^) = --/2{а21У+1'^)-/^0). (8)
Г
Рассмотрим граничное условие (3):
Е А РЦ°Л = -^ГЦ|(0,О-цг(0,/)],
ох
которое преобразуется к виду
-Е2А2/2{а2() = -к [/(сг,/) + (я,/) - /2 (я,/)], (9)
Подставляя (8) в (9). получим
Л'(<У) + /2 (°г0 = ТТ-/ (°.')+ 7Г- / («Л) • (1 °)
Е2А2-г е2а2 е2а2
Предположим, что подходящая к упругому элементу волна деформации имеет треугольную форму с убыванием усилий во времени. Следовательно,
г----------ІІ.. /
’П 1 ч
Т
°0
0.
0 < / < г
1>т.
У, (^,0
/
т
о
0.
(11)
->1
т
где <с;() - максимальное значение модуля деформации в падающей волне; 7'- длительность действия
падающей волны; /- время.
Дифференцируя (11) по /. получим
Л(а21) +
к(г + \) ,,
(12)
Учитывая (12), приходим к равенствам
2 А: а,
/2(^0 +-г—--------------/2(л2/) =
Е7 /I, • г
Е1Л-, а.
о
VI4
7’
\
0</<7\
(13)
/
/>7*.
(14)
£? А, • /-
Рассмотрим преобразование волны на интервале 0 < / < 7\ Уравнение (13) путём замены переменной с/2 / = д представим в виде
/
Ш) + а-т) = р-е0
1-
£
\
\
о, Г
£ = а,/, 0<г<^7\
•'а* ^ —
(15)
/
где
от =
/г(г + 1) £2 /42 • г
Р =—Л
Е2 А2 а2
Решение дифференциального уравнения (15) имеет вид:
Ж) =
Р-Єо
/
а
і+
і
*
\
V
а2Та а2 Т /
Р-£.
о
а
/
1 +
1
N
Ч
а^Та
-а§
/
Преобразовывая, получим
№)
= Р-Е0
а
ґ
1 +
1
\
V
а2Та
/
£
а2Т
0< —<1. (16) а,Т
Формулу (16) представим в безразмерных параметрах:
ш-2г а'
г +1 а,
/
І +
V
(г + \)-Т-к
\ / /
• 1 - ехр
/ к V
г +1 г - / -----К-Т•—
г Т
\
\
/
I
т
, 0< —<1 т
(17)
где /■ -
м Л. „ .... 0
1— - отношение ударной жесткости стержня 1 к ударной жесткости стержня 2:
я, А7
Т к
Т ------отношение длительности падающей волны к Гп; А: =----------отношение жёсткости упруго! о
п К
элемента к продольной жёсткости единицы длины стержня 2; — - отношение текущего времени к
длительности падающей волны.
Рассмотрим преобразование волны на интервале / > Т . Уравнение (14) путём замены переменной
а21 = £ представим в виде
/Д£) + аг ■ Л'(£) = О,
% = «2 1 *
Решение дифференциального уравнения (I 8) имеет вид
а
£(/• + ])
/ц Л, • г
и
>^7’ .
(18)
№) -
ъ
/* +1 я.
/
\
1 +
г
V
{г + \)-Т-к )
/
\-е
у
-1
(г+1)-7Ч
(//Г-1)
/•
-> 1 Г
(19)
По формулам (17) и (19) проведён расчёт трансформированной волны /2(с) для падающей волны
треугольной формы длительностью Т = 1 и следующих параметрах системы: отношение ударной жёсткости первого стержня к ударной жёсткости второго стержня г = 1; скорости распространения волн равны С1\ — <22; отношение жёсткости упругого элемента к продольной жёсткости единицы
длины стержня 2 равно к - 5 .
В табл. 1 приведены изменения во времени параметров падающей и трансформированной волн при различных значениях отношения жёсткости упругого элементе к продольной жёсткости единицы
длины стержня 2 (к). При этом принято, что Т - 1 , Г — 1 , = а0 .
Таблица
Изменение во времени параметров падающей и трансформированной волн при различных значениях отношения жёсткости упругого элементе к продольной жёсткости единицы
Относи-тельное время, (/Т Падающая волна, ./МО Трансформированная волна /2'(я, 0
к = 1 к = 2 II к = 5 к - 6 к= 8
0 1,0 0 0 0 0 0 0
0,1 0,9 0,172 ш 0,312 0,5195 0,5953 0,6570 0,7479
0,2 0,8 0,294 0,488 0,6978 0,7511 0,7850 0.8192
0,3 0,7 0,376 0,573 0,7229 0,7452 0,7537 0,7537
0,4 0,6 0,426 0,597 0,6791 0,6798 0,6744 0,6607
0,5 0,5 0,448 0,581 0,6043 0,5925 0,5806 0,5621
0,6 0,4 0,448 0,536 0,5157 0,4972 0,4825 0,4624
0,7 0,3 0,430 0,474 0,4208 0,3989 0,3830 0,3624
0,8 0,2 0,397 0,399 0,3231 0,2996 0,2832 0,2625
0,9 • 0,1 0,352 0,316 П 9941 V Лш0 • к 0,1998 0,1833 0,1625
1,0 0 0,297 0,227 0,1246 0,0999 0,0833 0,0625
1.1 0 0,243 0,152 0,0559 0,0367 0,0251 0,0126
1,2 0 0,199 0,102 0,0251 0,0135 0,0075 0,0025
1,3 0 0,163 0,0684 0,0113 0,0049 0,0022 0,0005
1,4 0 0,133 0,0458 0,0050 0,0018 0,0006 0,0001
1,5 0 0,109 0,0307 0,0022 0,0006 0,0002 »0
1.6 ф . 0 0,089 0,0206 0,0015 0,0002 «0 ^0
1,7 0 0,073 0,0138 0,0004 «0 %0 ^0
[_ 1.8 0 0,060 0,0092 ■ 0,0002 «0 «0 »0
1,9 0 0,049 0,0062 «о ~0 «о ^0
2,0 0 0,04 0,0041 «0 ^0 ^0 ^0
Диаграммы изменения параметров падающей волны для падающей волны треугольной формы
. . ____ __ . г_ __ _ | ...
длительностью Т = 1 и трансформируемой волны (при У — 1, к — 5 ) показаны на рис. 2.
Из диаграмм видно, что трансформированная волна имеет некоторый максимум, и её форма отличается от формы падающей волны. Это связано с наличием упругого элемента в соединении стержней.
На диаграммах имеется два участка. На первом участке трансформированная волна возрастаем от пуля до своего максимального значения. Здесь происходит накопление потенциальной энергии в упругом элементе.
Максимальное значение падающей волны превышает максимальное значение трансформированной волны примерно на 25%. На втором участке наблюдается обратная картина. 'Здесь значения трансформированной волны превышают значения падающей волны.
Из диаграмм видно, что происходит искажение по длительности импульса, что также объясняется наличием упругих свойств соединения стержней. Длительность действия трансформированной волны превышает длительность действия падающей волны на 20%.
1 -
Отношение времени I к длительности падающей волны Т
Рис. 2. Диаграммы падающей и трансформируемой волн: диаграмма падающей волны; 2 - диаграмма трансформированной волны
Анализируя результаты, приведённые в табл. 1, заметим, что трансформированная волна /2'(а,/) при определённых значениях времени 1.1Т достигает максимального значения:
Л г
Т (г+ !)•& -7
1п
1 +
(г + \)-Т-к
г
(20)
/
Если известно относительное время ПРИ заданных значениях
Г и к , когда
трансформированная волна /?(я20 достигает максимального значения, то по формуле (1 /) может
I
быть определено максимальное значение ./,(£•)» если в эту формулу вместо величины — подставить значение —, найденное из (20):
Т
Ш)~2г а'
Г + 1 А,
/
1 +
Г
\
(г + \)-Т -к
\ / / 1 -ехр
/
\
V
\\
у
/
т
(21)
Анализируя результаты, заметим, что трансформация волны более существенна при меньших
значениях жёсткости упругого элемента к. Чем больше жёсткость упругого элементе, тем трансформация волны менее существенна.
Обратимся к формуле (17):
При к —> со слагаемые
финн мает вид
г
(г + \)-Т -к
'г-^-к.т±]
К г Т
—> О . Формула для расчёта )
№) =
2 г
а*
/
\
1--
т
\
У
Формула (22) описывает формируемую в стержне 2 волну деформации в случае идеального сопряжения стержней.
В случае идеального сопряжения стержней трансформированная волна будет иметь ту же форм\. что и падающая волна. Трансформация волны возникает в результате разницы волновых
сопротивлений стержней 1 и 2 (Г Ф 1).
В случае идеального сопряжения стержней и /' = 1 из (22) следует
.ш =
_ а\
/
а
\
1--
т
\
У
О < - < I.
т
Эго означает, что прошедшая в стержень 2 волна деформации полностью соответствует падающей волне.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов, О. Д. Исследование прохождения ударных импульсов по стержневой системе с участками разного волнового сопротивления / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников, В. Э. Еремьянц, А. Ф. Лисовский, В. К. Манжосов // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. -1973,- №6,- С. 66-68.
2. Алпеева, В. А. Преобразование волны деформации треугольной формы на границе сопряжения стержней с упругим элементом / В. А. Алпеева, В. К. Манжосов // Прикладные задачи механики. - Ульяновск : УлГТУ, 2006. - С. 4-15.
3. Манжосов, В. К. Отражение и прохождение продольной волны деформации на границе
сопряжённых стержней / В. К. Манжосов // Вестник УлГТУ. - 1999. - № I. - С. 70-78.
4. Манжосов, В. К. Модели продольного удара / В. К. Манжосов. - Ульяновск, 2006. - 160 с.
5. Манжосов, В. К. Продольный удар / В. К. Манжосов. - Ульяновск, 2006. - 358 с.
6. С’аруев, Л. А. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии / Л. А. Саруев, А. П. Слистин, А. И. Авдеева. - Томск, -1995. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.1 1.95, № 3164-В95.
7. Слистин, А. П. Расчёт параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф.... дисс. канд. техн. наук / А. Г1. Слистин. - Томск, 1990. - 18 с.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой « Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.
Новикова Ирина Александровна, старший преподаватель кафедры «Измерительновычислительные комплексы».
