CC BY
34
УДК 531.3; 534.1
преобразование продольной волны деформации линейной формы с возрастающей интенсивностью в соединении стержней с упругой прокладкой
В. К. Манжосов, И. А. Новикова
Ульяновский государственный технический университет E-mail: v.manjosov@ulstu.ru, tpm@ulstu.ru
Рассмотрен процесс преобразования продольной волны деформации на границе разнородных стержней с упругой прокладкой. Изложена методика расчета процесса преобразования волны деформации линейной формы. Определены параметры волны, прошедшей через соединение стержней.
Ключевые слова: волна деформации, волновые уравнения, метод бегущих волн, преобразование волны деформации, стержневая система, сопряжение стержней с упругой прокладкой.
The Transformation of Longitudinal The Strain Wafe Having a Linear Form and Increasing Intensity in Conjugation of Rods with Elastic Gacket
V. K. Manzhosov, I. A. Novikova
The paper gives a review of transformation of longitudinal strain wave at the boundary of heterogeneous rods with elastic gasket. The article describes a technique for calculating the transformation of the strain wave of linear form. Parameters of the wave, which have passed through connection of rods are defined.
Key words: strain wave, wave equations, traveling wave method, transformation of the strain wave, rod system, conjugation of rods with elastic gasket.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Прогнозирование поведения волны деформации на границе сопряжения стержней актуально при создании систем, обеспечивающих перенос энергии сформированных при ударе продольных волн к технологической среде [1,2]. Если в стержневой системе имеются соединения разнородных участков, то на границе сопряжения возникают процессы, связанные с отражением и трансформацией волн
[3-5].
В данной работе рассмотрена задача о преобразовании продольной волны деформации линейной формы с возрастающей интенсивностью в соединении разнородных стержней. Схема стержневой системы изображена на рис. 1. На границу х = х\ со стороны стержня 1 падает прямая волна.
Параметры падающей волны считают-Формируемая на границе ся известными. Между стержнями 1
и 2 размещена упругая прокладка 3. Требуется определить формируемую в сечении х = х2 прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х по стержню 2, и отраженную волну, формирующуюся в сечении х = XI и распространяющуюся по стержню 1 в другом направлении.
Отраженная волна
Рис. 1. Схема стержневой системы
1. ВОЛНОВАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ
Движение сечений рассматриваемой динамической системы описывается волновыми уравнениями:
d2ui (x, t) dx2
a
1 д2 u1(x,t)
"2 ' c¡12 =0,
dt2
д2 u2(x, t) dx2
a
1 d2U2 (x,t) "2 ' ÔI2 = 0,
dt2
(1)
где ^(х, Ь), и2(х,Ь) — смещения сечений соответственно стержней 1 и 2; аь а2 — скорости распространения волн деформаций в стержнях; х — координата поперечного сечения; Ь — время. Начальное состояние системы описывается равенствами при Ь = 0:
u1(x, 0) = u(x), u2 (x, 0) = 0,
du1(x, 0) dt
= V (x),
du2 (x, 0) dt
= 0.
(2)
Граничные условия рассматриваемой динамической системы имеют вид для сопряженных сечений стержней при х = Ж1 = х2 = 0
Е А1 = е а , е2 а *!гМ = -Ф1 (о,() - М0,ь)], (3)
дх дх дх
. д„1 (—го,Ь) „ . д„2(го,Ь)
для х = —го Е1А1-^-- = 0, для х = го е2А2-^-- = 0,
дх дх
где к — жесткость упругого элемента; Еь Е2 — модули упругости материалов стержней; А1, А2 — площади поперечных сечений стержней.
По методу бегущих волн решения уравнений (1) предоставляются в виде
„1 (х,Ь) = /1(а1^ — х) + (а1 Ь + х), —го < х < 0, „2 (х, Ь) = /2 (а2Ь — х) + (а2Ь + х), 0 < х < го,
где /1 (а1 Ь — х), /2(а2Ь — х) — функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся слева направо (прямые волны); ^1(а1 Ь + х), ^2(я2Ь + х) — функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся справа налево (обратные волны).
Так как стержень 2 полуограниченный и в начальный момент времен находится в состоянии покоя, то из начальных условий (2) можно принять, что ^2(а2Ь + х) = 0. Тогда
„1 (х,Ь) = /1 (а1 Ь — х) + (а1 Ь + х), „2(х, Ь) = /2(а2Ь — х). (4)
Продифференцируем последние равенства по х:
д„1(х,Ь) „,, , ', , д„2 (х,Ь) „,, ,
—дх— = —/1 (а1 Ь — х) + («1Ь + х), —дх— = —/2 («2 Ь — х).
Для сечения х = 0
= —/; (<* — 0) + ^(«1Ь + 0), ^„1(0^ = —/2 («2( — 0). (5)
Используя (5) в первом граничном условии (3), получим
(«1Ь + 0) = /2(«2Ь — 0) + /1(«1Ь — 0). (6)
Рассмотрим второе граничное условие (3) с учетом (4) и (5) при х = 0:
Е А2/2 («2 Ь — 0) = к[/1(«1Ь — 0) + ^1(«1 Ь + 0) — /2(а2Ь — 0)]. Дифференцируя по Ь, приходим к равенству
/2' («2 ь — 0)= ка1
2/1 («1Ь — 0) — Е^г /2 («2 Ь — 0) — ^ /2(«2Ь — 0)
Е1А1 «1
#2 А«
Данное уравнение преобразуем к виду
/2'(«2ь—0)+^ /2 м—0)=/; («1Ь—<», (7)
Е А «2 ЕА1
где г =--— — отношение волнового сопротивления - стержня 1 к волновому сопротив-
в1 Е2А2 в1
Е2А2 „
лению - стержня 2.
«2
Обозначим отношения к(г +—^ = а, ^ к«1— = в. Тогда из (7) для сечения х = 0
Е А г ' Е2 А «2
/2' Ы — 0) + а/2(«2Ь — 0) = в/1 («1Ь — 0). (8)
Введём переменную С = а2£ — 0. Решение дифференциального уравнения (8) представим как
/2 (С) = V (ОЖО, (9)
V(С) = С ехр(—а£), ^(С) = | 0) ¿С + С2, (10)
где С1, С2 — постоянные интегрирования.
Решение (9) зависит от функции /1 (а1 £ — 0), определяющей параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней от стержня 1.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ВОЛНЫ С ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
Рассмотрим процесс преобразования линейной волны /1(а1£ — 0) и формирования в стержне 2 волны /2(а2£ — 0). Предположим, что подходящая к упругому элементу волна деформации имеет треугольную форму с возрастающей интенсивностью. Схема стержневой системы изображена на рис. 2.
8 (Г)
Рис. 2. Схема стержневой системы при падающей треугольной волне деформации с возрастающей интенсивностью: 1, 2 — стержни системы, 3 — упругий элемент
Функция /1(а1 £ — 0), определяющая параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней со стороны стержня 1, имеет вид
' Ге(Т)£ = е(Т)= е(Т)-^, 0 < £ < Т,
/1 («1 £ — 0) = { 1 Т 1 V Т 1 - - ' (11)
|д £ > Т,
где е(Т) — значение функции /1 (а1 £ — 0) при £ = Т, Т — длительность действия падающей волны, £ — время, £ = (а2£ — 0) — новая переменная.
Учитывая (11) в (10) при определении функции Z(£), находим
г(£) = МТ) /сехрК)¿С = "£(Т)
ехрм« — 1)
2
+ С2, 0 < £ < Т.
вид
С1^ «2ТС1
Решение (9) с учётом (10) и найденного значения функции Z(С) на интервале 0 < £ < Т примет
/2(С) = V(С) = ^ ■ -1(аС — 1) + Сехр(—а£), 0 < £ < Т. (12)
а2 Т а2
Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в начальный момент времени при С = 0 упругий элемент не деформирован и значение /2 (0) = 0. Тогда имеем
0 = — ■ .1 + С, С = в£(П ■ .1.
а2Т а2 ' а2Т а2
Подставляя в (12), получим
/2(а2£ — 0) = е(Т)- ■ —^-(аа2£ — 1+ехр(—а«2£)), 0 < £ < Т. (13)
а аа2Т
Рассмотрим процесс формирования волны деформации /2(£) после завершения действия падающей волны на интервале Ь > Т, когда /1(«1Ь — 0) = 0. Учитывая в (10) при определении функции Z(£), что на интервале Ь > Т функция /1 (в1 Ь — 0) = 0, находим
Z(í)= / в/;(,«;Ь Г0) ¿е+С2 = С2, Ь > Т,
V (е)
а решение (9) на интервале Ь > Т представим как
/2(£) = сехр(—а£), Ь > Т.
(14)
Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в момент времени Ь = Т значение функции /2(£) определяется из (13) при £ = я2Т:
/2(а2Т) = е(Т)- ■ —^-(а«2Т — 1 +ехр(—а«2Т)).
а ая2 Т
Тогда из (14) при £ = я2Т имеем
е(Т)в
1
а ая2Т
(ая2 Т — 1 + ехр(—ая2Т)) = С ехр(—ая2 Т),
С = е(Т)в ■ еХр(а«2Т) (ая2Т — 1 + ехр(—ая2Т)). а ая2Т
Подставив значение С в (14), получим
/2(«2Ь — 0) = е(Т)- ■ —^(а«2Т — 1 +ехр(—а«2Т)) ■ ехр(—а«2(Ь — Т)), Ь > Т. а ая2Т
Итак, если падающая волна /1(«1Ь — 0) имеет треугольную форму с ростом интенсивности, то формируемая в стержне 2 волна деформации /2(«2Ь — 0) имеет вид
/1(«1Ь — 0) =
е(Т)Ь/Т, 0 < Ь < Т, 0 Ь > Т.
Имеем
/2 («2 ь — 0)
£(Т)
=
1
Гв__
а ая2 Т
в .
, а ая2 Т
(ая2Ь — 1 + ехр(—ав2Ь)), 0 < Ь < Т,
(а«2Т — 1 + ехр(—а«2Т)) ■ ехр(—а«2(Ь — Т)), Ь > Т.
Из (6) формируемая в сечении х = 0 обратная волна определяется как
^ («1 ь + 0) = — ■ ^/2м — 0) + /1 («1 ь — 0) = —1 ■ ^/2(«2ь — 0) + /1(«1Ь — 0).
Е1А1 «1 «2 Г «1
Для большей универсальности в применении целесообразно перейти к относительным величинам при определении падающей и формируемых волн. Так, относительное значение функции падающей прямой волны имеет вид
/1 («1Ь — 0) =
£(Т)
Ь
Ь
/1 м — 0)1 Т, 0 < Т < 1,
> 1.
I0, Т
Относительное значение функции формируемой в сечении х /2(о2Ь — 0) = /2(в2Ь — 0)/е(Т) определится следующим образом:
прямой волны
в
/2 («2 Ь — 0) =
^-(ая2Ь — 1 + ехр(—ая2Ь)), 0 < ^ < 1, а ая2Т Т
1
в__
, а ая2Т
(а«2Т — 1 + ехр(—а«2Т)) ■ ехр(—а«2Т(Ь/Т — 1)),
Т
> 1.
Ь
Относительное значение функции t + 0) найдем как
+ 0) =
+ 0)
£(T)
1 «2 r a1
f2 («2t - 0) + fl (ait - 0).
(15)
При расчете значений f2(a2t — 0) и £1 (a11 + 0) целесообразно учитывать, что
в
2r a1
r + 1 a2'
aa2t =
k
~r + 1 T ~r + 1 ~ a«2T = k^- ■ — = fc^— T, 2 r AT r
E2A2 r t
T
r + 1 r + 1 a21 = k-1 ,
r
t AT = t
AT ' T" = T'
где AI — единица длины стержня 2, k = k ■ A1/(E2A2) — отношение жесткости упругого элемента к продольной жесткости единицы длины стержня 2, AT = A1/a2 — время прохождения волной деформации расстояния AI во втором стержне, t = t/AT — отношение текущего времени t к AT, T = T/AT — отношение длительности падающей волны T к AT. С учетом представленных равенств имеем:
f1(ait — 0) = ^
I' 0 < 1 < 1,
T T
0' t > 1'
T
— 0)
2r r + 1
a1 a2
=
T
£1 («11 + 0) = —102 f2 («21 — 0) + f («11 — 0),
1 — expf—jtr±l t r
~r + 1 ~ k^- T
' 1 — exp (—k^+1 T^
1—
l V
r+1 k^— T
/
0 < ^ < 1,
T
(16)
exp ( —^T IT — 1
t
T
> 1.
В таблице представлены результаты расчета падающей волны нии х прямой /2(а2£ — 0) и обратной £ + 0) волн.
— 0) и формируемых в сече-
a
r
r
T = 1, k = 1, r = 1 T = 1, k = 2, r = 1 TT = 1, к = 5, r = 1
к fi /2 /2 vi /2 Vi
0 0 0 0 0 0 0 0
0,2 0,2 0,03516 0,16484 0,062332 0,137668 0,137668 0,086466
0,4 0,4 0,124664 0,275336 0,200474 0,199526 0,301832 0,098168
0,6 0,6 0,250597 0,349403 0,372679 0,227321 0,500248 0,099752
0,8 0,8 0,400948 0,399052 0,560191 0,239809 0,700034 0,099966
1 1 0,567668 0,432332 -0,56766 0,754579 0,245421 -0,75457 0,900005 0,099995 -0,90000
1,2 0 0,380519 -0,38052 0,339054 -0,33905 0,121802 -0,1218
1,4 0 0,25507 -0,25507 0,152347 -0,15235 0,016484 -0,01648
1,6 0 0,170978 -0,17098 0,068454 -0,06845 0,002231 -0,00223
1,8 0 0,11461 -0,11461 0,030758 -0,03076
2 0 0,076825 -0,07683 0,013821 -0,01382
2,1 0 0,062899 -0,0629 0
Диаграммы волн для к = 1 (относительная длительность падающей волны Т = 1, отношение волновых сопротивлений г = 1, скорости распространения волн а1 = а2) приведены на рис. 3.
Значение формируемой в стержне 2 прямой волны сжатия /2 (а2£ — 0) экспоненциально растет на интервале 0 < £ < Т и при £ = Т достигает максимума. Максимальное значение /2(а2£ — 0) меньше 1. Отраженная волна ^>1 (а1£ + 0) также изменяется по экспоненте и представляет волну растяжения.
3§ Л /2
® 0.8
0.6 0.4 0.2 0 ■0.2
о -0.4
М
н
о -о.б
7! ?=1Д=1,г=1
/1 /
л; д Д'
Ф//
<ф;
1.6
1.8 2.0
2.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Относительное время
Рис. 3. Диаграммы падающей волны /1(а\Ь — 0) и формируемых на границе сопряжения прямой /2 — 0) и обратной ф1(а1£ + 0) волн при й = 1
При Ь > 1 падающая волна /1(а1Ь — 0)= 0. Однако волна /2(а2£ — 0) продолжает формироваться за счет потенциальной энергии, накопленной в упругом элементе. Волна ф[(а1I + 0) с этого момента — уже не отраженная доля падающей волны, а формируемая упругим элементом волна сжатия. При £ ^ го значение /2 (а2I — 0) ^ 0.
Длительность формируемых волн /2(а2£ — 0) и ф'1 (а1I + 0) превышает длительность падающей волны.
На рис. 4 представлены диаграммы волн при жесткости к=5.
С увеличением жесткости упругого элемента формируемая волна /2(а2£ — 0) приближается по параметрам к падающей волне /1(а1Ь — 0). Увеличивается ее максимальное значение, сокращается длительность. Если жесткость упругого элемента к стремится к бесконечности, то слагае-
г 1 — ехр (—к ^ к
мое ----^-— в формуле (16)
г + 1 кТ к
стремится к нулю, а функция /2(а2£ — 0) стремится к значению
Л
0.8
« N
и 06
0.4
I 0.2
и
^ п И о
со и
3 -0.2
И
д
4
и
Ё о о И н
О -0.8
-0.4
-0.6
-1.0
/2
Т=\,%=5, г=\
<?2
К,
ф,'
Ф/^
/Ф;
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Относительное время
1.2
1.4
1.6
2г а1
г + 1 а2
/1 (а1 £ — 0).
Рис. 4. Диаграммы падающей волны /' (а1 £ — 0) и формируемых на границе сопряжения прямой /2 (а2£ — 0) и обратной ф 1 (а+ 0) волн при й = 5
ВЫВОДЫ
На границе сопряжения стержней при наличии упругого элемента падающая волна трансформируется даже при равных волновых сопротивлениях стержней. Значение формируемой волны в стержне 2 прямой волны /2 (а2£ — 0) экспоненциально растет на интервале 0 < £ < Т и при £ = Т достигает максимального значения:
/2 (а2Т) =
2г г + 1
а1 а2
1—
1 — ехр (—кТ
г + 1
кТ
+ 0) > 0 представляет
На интервале 0 < £ < Т формируемая в стержне 1 обратная волна ф\ волну растяжения.
На интервале £ > Т волна /1(а1£ — 0) = 0 и процесс формирования волны /2(а2£ — 0) продолжается за счет потенциальной энергии упругого элемента, накопленной в нем на интервале 0 < £ < Т. На
г
данном интервале формируемые прямая /2(а2£ — 0) и обратная ^>1 (а!£ + 0) волны представляют волны сжатия.
С увеличением жесткости упругого элемента формируемая в стержне 2 волна деформации /2(а2£ — 0) приближается по форме к падающей волне, уменьшается ее длительность, увеличивается максимальное значение.
На интервале 0 < £ < Т с учетом, что /!(а1 £ — 0) = к/Т,
f - о)=r+r ■ (/; -о) - r+i
1 - exp (-k^t
kT
t
0 < < 1. T
Если жесткость упругого элемента к стремится к бесконечности, то слагаемое
r + 1
1 - exp (-kt
~ 2 г а! ~
^ стремится к нулю, а функция /2(а2£—0) стремится к значению + ^ — /!(а!£—0).
Если стержни из одного материала (а! = а2) и имеют равные волновые сопротивления (г=1), то при к ^ го функция /2 (а2£ — 0) ^ /!(а1 £ — 0).
Это означает, что при к ^ го формируемая в стержне 2 волна деформации/(а2£ — 0) стремится воспроизвести падающую волну /!(а1 £ — 0).
Библиографический список
1. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. М., 1985. 354 с.
2. Дворников Л. Т., Жуков И. А. Продольный удар по-лукатеноидальным бойком. Новокузнецк, 2006. 80 с.
3. Манжосов В. К. Продольный удар. Ульяновск, 2006. 358 с.
УДК 539.3+622.831
4. Еремьянц В. Э, Невенчанный Ю. В., Писарен-ко Н. Г. Ударное нагружение оснащенных стержней. Фрунзе, 1987. 165 с.
5. Саруев Л. А., Слистин А. П., Авдеева А. И. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии. Томск, 1995. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.95, № 3164-В95.
графовый подход при построении
конечно-элементной модели упругих тел
при осесимметричном деформировании
А. А. Тырымов
Волгоградский государственный технический университет E-mail: tyrymov2010@yandex.ru
Предлагается численный метод анализа упругой среды на основе дискретной модели в виде ориентированного графа. В процессе анализа на основе графового подхода тело рассекаем на элементы и для каждого из них строим элементарную ячейку (подграф), являющуюся его моделью. Используя матрицы, представляющие структурные элементы графа, а также уравнения, описывающие разрезанное тело, можно получить уравнения связного тела. Приведены числовые примеры.
Ключевые слова: математическое моделирование, теория упругости, ориентированный граф, деформация, напряжения.
Graph Approach for Finite-Element Based Model of an Elastic Body Under Conditions of Axisymmetric Deformation
A. A. Tyrymov
A numerical method for analysis of the stress -- strain state of elastic media based on a discrete model in form of directed graph is suggested. To analyze a deformable body using the graph approach, we partitione a solid body on elements and replace each element by its model in the form of an elementary cell. The matrices, presenting several structure elements of the graph, and the equations, describing the elementary cells, contribute to deriving the constitutive equations of the intact body. Numerical examples are presented.
Key words: mathematical simulation, elasticity, directed graph, strain, stress.
r
x
Из инженерной практики известно, что элементы многочисленных конструкций имеют форму тел вращения. Во многих случаях геометрия и система нагружения таковы, что исследование напряженного состояния трехмерных тел можно заменить решением соответствующей осесимметричной задачи. В настоящее время одним из самых эффективных и распространенных методов для решения задач механики сплошной среды является метод конечных элементов (МКЭ). Описанию этого метода,
