Преобразование продольной волны деформации экспоненциальной формы с убывающей интенсивностью в стыке стержней с упругой вставкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, И. А. НОВИКОВА

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ С УБЫВАЮЩЕЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ В СТЫКЕ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГОЙ ВСТАВКОЙ

Рассмотрен процесс преобразования продольной волны деформации на границе разнородных стержней с упругой вставкой. Изложена методика расчёта процесса преобразования волны деформации экспоненциальной формы с убывающей интенсивностью. Определены параметры волны, прошедшей через соединение стержней.

Ключевые слова: волна деформации, волновые уравнения, метод бегущих волн, преобразование волны деформации, стержневая система, сопряжение стержней с упругой вставкой.

Прогнозирование поведения волны деформации на границе сопряжения стержней актуально при создании систем, обеспечивающих перенос энергии сформированных при ударе продольных волн к технологической среде или технологическому объекту [1, 2]. Если стержневая система из-за своей протяжённости представлена совокупностью соединённых между собой стержней, то на границах сопряжения возникают процессы, связанные с отражением и трансформацией волн [3-8].

Решение задач прогнозирования процесса преобразования волны деформации на границе сопряжения стержней требует соответствующего математического описания, создающего основу для качественной оценки возникающих процессов преобразования волны деформации.

В данной работе рассмотрена задача о преобразовании волны деформации экспоненциальной формы с убывающей интенсивностью на границе разнородных стержней с упругой вставкой (рис. 1).

Падающая донна

Формируемая на границе прямая волна

Отраженная воина

Рис. 1. Расчётная схема стержневой системы: 1, 2 - стержни системы; 3 - упругая вставка

Вставка рассматривается как сосредоточенный линейный упругий элемент. Инерционные свойства упругой вставки малы, учитываются лишь её упругие свойства.

На границу х = 0 со стороны стержня 1 падает волна деформации. Параметры падающей волны считаются известными. Движение сечений рассматриваемой динамической системы описывается волновыми уравнениями

д и1 (х, t) 1 д и1 (х, t) = о д и2 (х, t) 1 д и2 (х, t) = о

дх2

а2 д^

дх2

а2 дt

(1)

где и1(х, t), и2(х, t) - смещения сечений соответственно 1-го и 2-го стержней; а1, а2 - скорости распространения волн деформаций в стержнях; х - координата поперечного сечения; t - время. Начальное состояние системы описывается равенствами:

при t = 0 и1 (х, 0) = и(х) , и2 (х, 0) = 0,

ди1(х,0) = ( ) ди2(0,0) ■ = у(х),

дt

дt

= 0.

(2)

© Манжосов В. К., Новикова И. А., 2017

Граничные условия рассматриваемой динамической системы имеют вид:

для х = 0 E A ^^ = E2 A2 , E2 A2 = -[ (0,t) -u2(0, t)], (3)

Sr Sx Sx

для x = -oo Ej Aj = 0, для x = o E2A, = 0, (4)

Sx Sx

где k - жёсткость упругой вставки; Ej, E2 - модули упругости материалов стержней; Д, A2 -площади поперечных сечений стержней.

Требуется определить формируемую в сечении x = 0 волну деформации, распространяющуюся в направлении оси x по стержню 2 (прямую волну); формируемую в сечении x = 0 отражённую волну деформации, распространяющуюся в противоположном направлении оси x по стержню j (обратную волну); эффективность переноса энергии падающей волны.

По методу бегущих волн решения уравнений (1) предоставляются в виде

uj(x, t) = fj(ajt - x) + pj(ajt + x), -o< x <0, (5)

u2 (x, t) = f2 (a2t - x) + p2 (a2t + x), 0 < x <o, (6)

где fj(ajt-x), f2(a2t-x) - функции, описывающие волны деформации, распространяющиеся в положительном направлении оси х (прямые волны); (pj(ajt + x), p2(a2t + x) - функции, описывающие

волны деформации, распространяющиеся в обратном направлении (обратные волны).

Так как стержень 2 полуограниченный и в начальный момент времени находится в состоянии покоя, то можно принять, что p2 (a2t + x) = 0 . Тогда

uj(x, t) = fj(ajt - x) + pj(ajt + x), u2(x, t) = f2(a2t - x). (7)

Su,( x, t) „ ч Su2( x, t) ru

j ' = -fj (ajt - x) + p'(at + x), y = - f22(a2t - x). (8)

Sx Sx

Для сечения х = 0

^^ = -f (ajt - 0) + p'(ajt + 0), = -ftot - 0). (9)

Sx Sx

Из граничного условия (3) с учётом (9) следует

((at + 0) = - E2Ar fMt - 0) + f(at - 0). (j0)

Из граничного условия (3) с учётом (7) и (9) при x = 0 следует, что

E2A2f[(a2t - 0) = k[ fj (ajt - 0) + p (ajt + 0) - f2 (a2t - 0)],

f2\a2t - 0)

E2 A2 a.

2 fj '(ajt - 0) - f'(a2t - 0) - f'{a2t - 0) Ej Aj aj

Данное уравнение преобразуется к виду

— 0)+Е+г^ ' - 0)=Ет^ла - 0), (°)

Е2 Л2 г Е2Л2 а2

ЕА а2 ЕА ,

где г = ——--2--отношение волнового сопротивления —^^ стержня 1 к волновому сопротив-

а1 Е2 Л2 а1

Е2Л2 2

лению —^^ стержня 2.

а2

Введём переменную % = а2? — 0 и обозначим отношения

к (г +1) 2ка1 р

Е2 Л2 г ' Е2Л2 а2

Тогда из (11)

/"(#) + а/'(%) = /а[ — 0). (12)

Решение дифференциального уравнения (12) представим как

/'(%) = V (%) • 2 (%), V (%) = С1 • е~ас% = С1 • е—а%, г (%) = Г^ ~ V + С2, (13)

V (%)

где С15 С2 - постоянные интегрирования.

Решение (13) зависит от функции /1(а) — 0), определяющей параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней со стороны стержня 1.

Рассмотрим задачу, когда подходящая к упругому элементу волна деформации / (а^) имеет экспоненциальную форму с убывающей интенсивностью:

( ¡£(0)в-р"т, 0 < X < Т, /Ла1) =|0, X> Т, (14)

где 8(0) — значение функции /1'(aíX) при X = 0; р — параметр, определяющий интенсивность изменения функции /О на интервале 0 < X < Т ; Т - длительность действия падающей волны; X — время.

Полагая, что при X = Т функция /'(а^) = 8(Т), находим из (14)

8(0)е—р = е(Т), ер = е(0) / в(Т), р = 1и(е(0) / е(Т)), где е(Т) — значение функции /1 '(О) при X = Т .

С учётом изложенного функция /'(а^), определяющая параметры волны деформации, падающей на границу сопряжения стержней со стороны стержня 1, примет вид

,'( ,) \е(0) • е—0 < X < Т, (,5)

Л (а,0={„, X > Т, (15)

где % = а^ - новая переменная.

Учитывая (15) в (13) при определении функции 2(%), находим на интервале 0 < X < Т

2% = ^)с% + С2 = £(0)£|е—р%/(-Т)еа%С% + С2 .

Интегрируя, находим

г (%) = г(0) е<а—р КлТ ))сС% + С2 =г(0)£--1-е[а—р (аТ))% + С2.

С^ 2 С1 а— р /(а2Т) 2

Преобразуем данное равенство к виду

2(%) = 8(0)£ ааТ е(а—р(аТ))+ С2. аС1 аа2Т — р

Решение (13) на интервале 0 < X < Т примет вид

/2'(%) = V(%) • 2(%) = 8(0)£ аа2Т е(а—р(а{Т)]% + Се—а% . (16)

а аа2Т — р

Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в начальный момент времени при % = 0 упругий элемент не деформирован и значение /2'(0) = 0. Тогда имеем

£ аа2Т С С £ аа2Т

0 = 8(0)——--2-+ С , С = —в(0)£-

а аа2Т — р а аа2Т — р

Подставив значение С в (16 ) и, учитывая, что % = а^ , получим

/'(%)= 8(0)а• аа/ (е—р'Т — еа), 0<X<Т . (17)

а аа2Т — р

Рассмотрим теперь процесс формирования волны деформации /2'(%) после завершения действия падающей волны на интервале X > Т , когда /1'(aíX) = 0. Учитывая в (13) при определении функции 2(%), что на интервале X > Т функция /'(а^) = 0, находим

г (%) = |

Р/№) V (%)

4% + с2 = с2, г> т.

а решение (13) на интервале t > Т представим как

/'(%) = V(%) • г(%) = Се'а.

г>т.

(18)

Постоянную интегрирования С найдём из условия, что в момент времени 1 = Т значение функции /2'(%) определяется из (17) при t = Т :

/2'(а2Т) = £(0)Р аа2Т (е-р — е—аа2Т).

а аа2Т — р

Из (18) при t = Т следует

/'(аТ) = С • е—

С = /'(а2Т) • еа

Подставив значение С в (18), получим

/'(%) = /2'(а2Т) • е—а^—Т\ t > Т, а с учётом (17) для /2'(а2Т), имеем

/2'(%) = е(0)Р аа2Т (е—р — е—аа2Т) аа2('—Т), t > Т . а аа2Т — р

Падающая волна / (а/) и формируемая в стержне 2 волна деформации /2'(а^) имеют вид

(19)

/1' (а/) = М0) •е |0,

0 < t < Т, t > Т,

/'^О = <

е(0)^ •

р ааТ (е—р^т — еа), 0 < t < Т,

а аа2Т — р

е (0)аа2Т (е—р — е—аа2Т) • е—^—Т), t > Т, а аа2Т — р

Из (10) формируемая в сечении х = 0 обратная волна определяется как

р'ЦО = — ^ /^) + /(а/) = — 1 ^ /'(а20 + /l'(аlt).

Е1Л1 а1а2

г а.

Для большей универсальности целесообразно перейти к относительным величинам при определении падающей и формируемых волн.

Так относительное значение функции падающей прямой волны

/' ) =

/1' (а/) е(0)

— pt/Т

0 < t / Т < 1, t / Т > 1,

/2'(а20 =

_ /2(а2:)

е(0)

Р аа2Т (е—р"Т — е—аа2'), 0 < t / Т < 1, а аа2Т — р

(е—р — е—аа2Т) • е—аа2('—Т), t / Т > 1,

а аа2Т — р

рцо=е?=— --л^)+/^).

е(0) г а1

При расчёте значений /2(а2() целесообразно учитывать, что

е(0) р 2ка1 Е2Л2 г 2г а1

е(Т) ' а Е2 Л2 а2 к (г + 1) г +1 а2

г + 1 t и г + 1 Е2 Л2 г ' Д1 г 'ДТ " t t ДТ и

(20)

(21)

(22)

р = 1п

аа21 =

г +1

Е2 Л2

~ г +1 Т ~ г +1 ~

аа2Т = к---= к-Т ,

г ДТ г

Т ДТ Т Т

где Д/ - единица длины стержня 2; k = k •Д/ /(Е2 Л2)- отношение жёсткости упругого элемента к продольной жёсткости единицы длины стержня 2; ДТ = Д/ / а2 - время прохождения волной деформации расстояния А/ во втором стержне; X = X / ДТ - отношение текущего времени X к ДТ; Т = Т / ДТ - отношение длительности падающей волны Т к ДТ . С учётом представленных равенств имеем

/>,0 = £Ш = {'""• 1 (23)

8(0) |0, X / Т > 1,

fW) = ^ 2 2 8(0)

R aaJ (e-p{,f - e-aa2I), 0 < t / T < 1, a aa2T - p

R т (24)

R aa2T (e-p - eaT ) _ eaT(t/т-1) ^ / T > 1 a aa2T - p

= ^OT = -1 -Л'(a21) + ¿'M. (25)

e(0) r a1

Полученные аналитические зависимости (24) и (25) для расчёта формируемых в стыке стержней прямой и обратной волн позволяют провести анализ эффективности переноса энергии падающей волны деформации экспоненциальной формы через границу сопряжения стержней.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - М. : Наука, 1985. - 354 с.

2. Манжосов В. К. Продольный удар. - Ульяновск :УлГТУ, 2007. - 358 с.

3. Манжосов В. К., Новикова И. А. Преобразование продольной волны деформации на границе сопряжения стержней с упругим элементом // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С. П. Королева (национального исследовательского университета). - 2011. - №2, - С. 186-194.

4. Саруев Л. А., Шадрина А. В. Исследования распространения упругих волн в колонне буровых штанг при ударно-вращательном бурении скважин в лабораторных условиях // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309, №6. - С. 140-144.

5. Шапошников И. Д. Продольный удар. Бурение скважин, влияние стыков штанг // Современные проблемы теории машин: Материалы 2-й Международной научно-практической конференции. - Новокузнецк : Издательский центр СибГИУ, 2014. - С. 111-121.

6. Yang Ke. A unified solution for longitudinal wave propagation in an elastic rod // Journal of Sound and Vibration. - 2008. V. 314. Issue 1-2. - P. 307-329.

7. Lundberg B., Gupta R. and Andersson L.E. Optimum transmission of elastic waves through joints. Wave Motion. - 1979. - №1. - Р. 193-200.

8. Nygren T., Andersson L.E. and Lundberg B. Optimum transmission of waves through a non-uniform viscoelastic junction between elastic bars // European Journal of Mechanics A-solids. - 1996, 15, №1. -Р. 29-49.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии в области динамики машин, в области распространения и преобразования продольных волн деформаций в стержнях. [e-mail: [email protected]]. Новикова Ирина Александровна, старший преподаватель кафедры «Измерительно-вычислительные комплексы» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области распространения и преобразования продольных волн деформаций в стержнях. [e-mail: [email protected]].

Поступила 21.11.2017 г.