Модель переноса энергии продольной волны деформации на границе разнородных стержней с линейным упругим элементом Текст научной статьи по специальности «Физика»

были выполнены с применением робастного метода Хыобера на этапе выделения трендовой составляющей и без использования робастного метода.

Применение робастных методов для оценивания параметров тренда при моделировании временных рядов позволяет несколько улучшить качество модели по внешней и по внутренней точности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крянев, А. В. Математические методы обработки неопределенных данных / А. В. Крянев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 211 с.

2. Хыобер, П. Робастность в статистике / П. Хьюбер. - М.: Мир, 1984. - 304 с.

3. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений / С. Г. Валеев. -М.: Наука, 1991.-273 с. (2-е изд.: Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - Казань : ФЭН, 2001. - 272 с.).

4. Валеев, С. Г. Адаптация пакета АС ДРМ к решению экономических и производственных за-

I

УДК 539.3; 004.942 В. К. МАНЖОСОВ, И. А. НОВИКОВА

дач / С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова // Вопросы современной науки и практики. Университет им.

В. И. Вернадского. - 2008. - №2(12). - С. 60-63.

Валеев Султан Галимзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.

Кувайскова Юлия Евгеньевна, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования и разработки информационных технологий.

Юдкова Марина Викторовна, окончила экономико-математический факультет Ульяновского государственного технического университета.

МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ РАЗНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ С ЛИНЕЙНЫМ УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Рассмотрена задача о преобразовании продольной волны деформации на границе разнородных стеро/сней с линейным упругим элементом. Изложена процедура расчёта процесса преобразования волны деформации е стержневой системе, определения энергии волны деформации и эффективности переноса энергии волны на границе.

Ключевые слова: волна деформации, преобразование волны, энергия волны деформации, стержневая система, граница разнородных стержней.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009 - 2013 гг.), ГК № П 1122.

Вопрос о преобразовании продольной волны деформации на границе разнородных стержней является важным при анализе ударных систем, обеспечивающих передачу энергии удара к технологической среде по составному волноводу. Эти задачи рассматривались в работах Алимова О. Д., Дворникова Л. Т., Еремьянца В. Э. [1], Алпеевой В. А. [2], Горбунова В. Ф., Цуканова А. Г., Саруева Л. А., Кашка-рова Г. М. [3], Манжосова В. К. [4, 5], Саруева Л. А., Слистина А. П., Авдеевой А. И. [6, 7] и других исследователей.

В данной работе рассмотрена задача о преобразовании продольной волны деформации на границе разнородных стержней с линейным упругим элементом. Схема стержневой системы изображена на рис. 1.

© Манжосов В. К., Новикова И. А., 2010

1 Ыа^-Ц Ъ(аг1-Ь)

\ -------- К. **

—--------------------------------------~~

л:

V, (аг I + Ц ь %(аг1 + 1)

Рис. 1. Схема стержневой системы

Предполагается, что два разнородных стержня в сечении х-Ь разделены упругим элементом жёсткостью к . На границу х = Ь со стороны стержня 1 падает прямая волна, описываемая функцией

, где а] - скорость распространения волны в стержне 1. Со стороны стержня 2 на границу

х-Ь падает обратная волна, описываемая функцией (р2{а21 + Ь), где а2 - скорость распространения волны в стержне 2. Параметры падающих волн считаются известными. Требуется определить формируемую в сечении х = Ь прямую волну /2(й2/ - Ь), распространяющуюся в направлении оси

х по стержню 2, и обратную волну ^(а^ + Ь), распространяющуюся по стержню 1 в противоположном направлении.

Движение сечений стержневой системы описывается волновыми уравнениями вида

д2и ,(х,р____1 д2и](х,р=0 д2и2{х,1)____1 <?Ц2(х,0=0

дх} а\ д? ’ дх1 а\ д/2

где иДх,/), и2(х,{) - перемещение сечений соответственно на участках 1 и 2 стержневой системы.

Уравнения (1) дополнены начальными и граничными условиями:

/ ч / % / \ диЛ:с,0) х ч дщ (х,0) Л

при / = О, щ (х,0) = м, (х), и2(х,0) = 0, ---- ---~=у(х), ——------- = 0,

(2)

= 1 -Е,Л, —+ Е2Л2 = 0) Е2А2 — -к[и2 (£,<)-», (£,<)] = 0, (3)

д х $ эс (у х

где Ех,Е2 - модули упругости 1-го рода материала 1-го и 2-го стержня; А],А2 - площади поперечных сечений соответствующих стержней; А:-жёсткость упругого элемента.

По методу Даламбера решения (1) представим в виде

II (I I) ~ ^ (п * — Т\л.гп (г/ (мТ\ 7/ ( Т ^ ~ / (п 1 — I Л 4- СГ (П / 4- / \

• к* «я % * •

ди,(Ь,А , ,

Тогда ---------------- — -Ь) + <рх(а/ + Ь), --------^------ = -/2 (а2/ - Ь) + <р2(а21 + Ь).

дх

дх

Учитывая (4) - (5) в граничных условиях (3), после преобразований получим

Е2А2 а2

ЕЛ

'1+Г

г,

+(р'г(аг1 + ^)~

к

Е,А

1 н—

Ма^ + Ь),

<р\{а{ +1) = /, (а^-Ь)-^7

£|4 а2

где г = —1—1—-— отношение волновых сопротивлении первого и второго стержней.

Е2А2 С11

(4)

(5)

(6)

(7)

. ч ди2(х, 0)

Так как из начальных условий м2(х,0) = 0, ---------—-----= 0, то начальные значения функций

/2(я-,/0 ~-х) - 0, <р2(а2(0+х) = 0. Упростим постановку задачи, полагая, что граничные условия на

левом конце первого стержня и на правом конце второго стержня не влияют на процесс преобразования падающих на границу сопряжения волн, т. е. стержни являются полуограниченными. В этом случае в дифференциальных уравнениях (6) и (7) в правых частях отсутствуют слагаемые ср" (а21 + I) и

<р'2 (а2/ + Ь) . В результате эти уравнения примут вид

/2 (а/-£) +

/

\

1 + 1

г )

/2 (а21 - V) = 2

Е1А1 а.

(8)

' Е,А

(р'Ла{ + Ь) = ^ -~-/2 .

М

(9)

Энергия падающей на границу сопряжения волны деформации, описываемой функцией

равна

т

Е1\ = \ЕАа\Ш<*х‘- Ц? ж, (Ю)

о

где Г-длительность действия падающей волны.

Энергия прошедшей через границу сопряжения волны, описываемой функцией /2(я2^ “

і

Е/2 = |Е2А2а2[/2(я2^~^)]2 &, і> Т.

(10

о

Коэффициент эффективности передачи энергии во второй стержень определяется отношением

Рассмотрим случай, когда падающая волна является волной постоянной интенсивности:

(а 1!-Ь) = £, 0 <* <7\

(12)

(13)

Тогда при начальных условиях

ди ,(£,/)

\

\

дх

/

-О,

Л=0

ди^)

\

дх

/

Г)

1=Т

дх

, решение диф-

ференциального уравнения (9) имеет вид

(р[ (а,ґ + V) -

г-1

£ +

Д/

г +1 г + 1

(р[ (а^ + Ь) =-

2є г +1

-Ї(г+1)-

1-Є *

-А(г-И)

/-7"

Д7'

, />г,

(14)

А/ м .. Г ^ л /

где Д? =-------время прохождения волной единицы длины А/ первого стержня; К =-----------------Д/ -

я

отношение жёсткости «Ь> упругого элемента к продольной жёсткости

ЕЛ

А/

М.

единицы длины первого

стержня.

Параметры волны, прошедшей через границу х = I, определяются функцией

г,, гч ^ г а, . -*>+От

/2(а,/-£) = 2

Г + 1 АТ,

1-в

д/

г + 1 д.

-А:(г+1)

1-Т

д/

(15)

Продольная деформация в сечении х-Ь второго стержня равна

ди2(Ь,/) дх

= -ДШ - £) = -2

г а

г + \ а.

—к(г +1)—

1-е Л/

, О</<7\

ди2(Ь,1)

дх

= -2

г я

Г + 1 <7-

£

л' , / > т.

Максимального по модулю значения продольная деформация в сечении х = I второго стержня достигнет в момент времени / = Т :

ди,(Ь,Т)

дх

Г + 1 Л

1

1-<? А'

,=г 2

Продольная деформация в сечении х = Ь первого стержня, возникающая в результате действия падающей волны (я постоянной интенсивности, равна

дщ (1,0'

/

V

дх

= -/{(а ,/-!) = -є, 0 <{ <Т.

'А

Коэффициент усиления падающей волны (я,/-/,) по продольной деформации при прохожде-

НИИ через границу х = Ь оценим из отношения

\

/

г + 1 а.

-Іс(г+1)—

1-е *

А

Если отношение Т / А( заменить отношением

Г/д/=^1 = А = 1;

я, А/ А/

то коэффициент усиления

Г Л

г + 1 а

1-е

-А(г+1)Л

где А - длина волны; Я = А / А/ - отношение длины волны к единице длины стержня.

Коэффициент усиления £ зависит от относительной жёсткости упругого элемента к, отношения волновых сопротивлений г, отношения длины волны к единице длины стержня Я . Чем больше от-

г -А-(/-+пЯ

носительная жёсткость упругого элемента к, тем меньше величина слагаемого е и тем

больше коэффициент усиления. При к —> оо слагаемое е

V о г а-

<5 -> 2

-*(г+1)Л

Г+1 А,

Энергия падающей на границу сопряжения волны деформации

т

Ж = Е1А1£2а]Т.

(16)

о

Энергия прошедшей через границу сопряжения волны

I т

Е/2 = |£2Л2я2[/2(я2/-£)]2 Ж = |£2/42а2[/2(«2/-1)]2 Ж + |£2Л2д2[/2'(й2*-£)]2Л/ •

о о у

Учитывая (15), найдём значение энергии, переданной во второй стержень в первой фазе движения системы, когда I = Т:

/

\

о )і Е2А2а:

2 Г а'

\

г + 1 а

2 у* /

2 У

О

-Л(г+1)—

1-е Л'

\

СІІ =

У

Е2 Л2 О 2

2 Г

Л

V

г + 1 <х>

/

А/1

2Л(г + 1)

Г

N

2к(г + 1) — + 4е л' — е л'

А/

п

— о

V

/

Значение энергии, переданной во второй стержень во второй фазе движения системы, когда

ОТ:

(іу )и Е2А2а.

ґ \2 о Г а\ „

ч

г + 1 а

(Е/ )ц Е2А2а:

ґ

2 У

Ч 2

Г

~к(г+1)

1-е *

\

т

/

Д/

ч

Ж, (>т,

у

V

г + 1 а

-*(г+1)—

1-е *

АI

2£(г+ 1)

Ґ - 1-Т \

-2А-(г+1)

1-е

Аг

V

Г>7\ (17)

у

Энергия прошедшей через границу сопряжения волны

Щ -) Е2 А2 а

і

ч

/

+

г + 1 а-

т \

А/

2£(г + 1)

/

Т

\

2к(г + \)— + 4е

А/

А(г+|)7, 2<?(г+1)г

\

Д/

— Є

л/

-3

/

+

-Иг+І)

1-е А'

Ґ

\

1-Т

\

-2/г(г+1)

1-е А(

V

у

1>Т.

(18)

Эффективность передачи энергии во второй стержень определится из (12) с учётом (18) и (16) как

П-Е.ІЕ..

/

ЕхАха

і

\

\

г + 1 а

2 У

А Г/Г

2&(г + 1)

/

2&(г + 1)—+ 4е

Нг+\)т

Д/

— е

2к(г+\)г Д/

\

3

ч

ш

у

+

+

V

2 ^ -/ \*-Т \

-2Л(г+1)----

1-е Л/

V

У

от.

(19)

Максимальное количество энергии, переданное в стержень 2, может быть определено из условия,

-2к(г+\)—

что при / -> со составляющая е * в выражении (19) стремится к нулю. Тогда из (19)

^Апах

4 г А/

(/• + 1)3 2кТ

V

2к(г + 1) — + 4е

Д/

_ *(г+1) *С£±1>7.

Д/

-в

Д/

-3

\ ( и Л г Л2

-А-(г+1)—

1-е

у

+

V

/

Последнее равенство можно преобразовать к виду

/

4 г А/

^шах “ ’ ~

(г + 1)л кТ

' Г

£(/* + !)----------1-е

Д/

N

-1

V

А/

у

Если отношение Г / А/ заменить отношением

а, Аі А/

то

*7

4г

шах

(г +1):

/

ч

V

Як (г +1)

/

(20)

где Я - длина волны; Я = Я/ А1- отношение длины волны к единице длины стержня.

Эффективность передачи энергии во второй стержень зависит от относительной жесткости упру-

гого элемента к, отношения волновых сопротивлений г, отношения длины волны к единице длины

Л/

стержня Я .

Чем больше относительная жёсткость упругого элемента к, тем меньше величина слагаемого

.-*(/•+1)Я

-1 е

. При к —» со слагаемое

-*(г+1)Л

-1

->0

а г)

4 г

—>

Щг + \) ' Лк(г +1) ’ (г + 1)2

Предельная эффективность передачи энергии через границу сопряжения стержней равна

4 г

Л

пр

(г + 1)

Так как

д?1

пр

4г-2(г+ 1)

(21)

дг (г +1)2 (г + 1)''

V . ^

то, приравнивая (21) к нулю, получим г + 1 — 2г = 0,* г = 1.

Из последнего равенства следует, что максимум Г}пр можно достичь лишь при равенстве волновых

сопротивлений сопряжённых стержней.

Падающая волна (я - £) при прохождении через сечение х = Ь трансформируется не только по форме и максимальному значению продольной деформации, но и по продолжительности. При длительности действия падающей волны (я — £), равной Т, длительность формирования волны /2(а^-1,) в сечении х = Ь для полуограниченных стержней стремится к бесконечности.

Можно ввести понятие конечной длительности действия волны /2(а2(-Ь), ограничиваясь заданным уровнем энергии волны [(£/ )п] по отношению к максимально возможному уровню переда-

чи энергии во второй фазе движения системы тах(£/ )ц, когда / —» со и слагаемое в мится к нулю. В этом случае

-2к(г+\)

1-Т

Аг

стре-

шах(£у )п= Е2А2а.

1

V

г + 1 а.

-*(г+|£

1-е *

2к(г + \)

(22)

КЕг) и]

Обозначим отношение --------1----- = [т72]. Учитывая (17) и (22), находим (полагая, что |?/2] будет

тах(£/;)„

достигнуто при / = Т,)

ш-

\

или в

-2 к(г+1)

тх-т м _

= 1 -[^г] •

/

Из последнего равенства следует, что

Т =----

1п(1-Ш)+Т.

2к(г + 1)

Если падающая волна деформации в первом стержне имеет продолжительность действия Т, а прошедшую во второй стержень волну деформации мы ограничиваем длительностью 7р то степень

трансформации исходной волны по продолжительности равна

Т

А/

Т

2к(г + 1)Т

Примем [?72] = 0,99. Тогда к1 =

Л

Т к [г + 1)7

2,3 Дг1 Г , , Т.

-+1. Если [т72] = 0,9, то к1 =

1,15Д/

Г к(г + \)Т

+1.

Ограниченная длительность волны деформации, прошедшей во второй стержень, всегда больше длительности падающей волны Т. Длительность Т} тем больше, чем меньше относительная жё-

сткость упругого элемента к и больше \г/2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Исследование прохождения ударных импульсов по стержневой системе с участками разного волнового сопротивления / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников, В. Э. Еремьянц, А. Ф. Лисовский, В. К. Манжосов // Физико-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. - 1973. - №6.

С. 66-68.

2. Алпеева, В. А. Возбуждение и преобразование волн деформаций в ударных системах машин для испытаний изделий: дисс... канд. техн. наук / В. А. Алпеева. - Фрунзе : ФПИ, 1990. - 281 с.

3. Горбунов, В. Ф. Результаты лабораторных испытаний передачи энергии удара по ставу штанг малого диаметра / В. Ф. Горбунов, А. Г. Цуканов, Л. А. Саруев, Г. М. Кашкаров // Изв. вузов. Горн, журнал. - 1969. -№10. - С. 63 - 65.

4. Манжосов, В. К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границе стержневой системы / В.' К. Манжосов // Механика и процессы управления. - Ульяновск :

УлГТУ, 1996.-С. 13-29.

5. Манжосов, В. К. Отражение и прохождение 'продольной волны деформации на границе сопряжённых стержней / В. К. Манжосов // Вестник УлГТУ. - 1999. - №1. - С. 70 - 78.

6. Саруев, Л. А. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии / Л. А. Саруев, А. П. Слистин, А. И. Авдеева. - Томск, 1995. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.95, №3164-В95.

7. Слистин, А. П. Расчёт параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф. дисс... канд. техн. наук / А. П. Слистин. - Томск, 1990. - 18 с.

Мапжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика » Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стерэ/сневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

Новикова Ирина Александровна, старший преподаватель кафедры «Измерительновычислительные комплексы» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

УДК 533.6.013.42 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД - ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ»

V

Предложены математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления», в которых для описания движения рабочей среды в трубопроводе применяется линейная теория, а для исследования динамики упругого элемента датчика - как линейная, так и нелинейные теории. Дано решение аэрогидродинамической части задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного. Получено уравнение, связывающее между собой давление рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, расположенного на другом конце трубопровода.

т

Ключевые слова: аэрогидроупругость, датчик давления, трубопровод, упругая пластина, деформация, динамика.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), гос. контракт №П1122.

Пусть на одном конце трубопровода (в сечении х = х0) задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик,

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Семёнова Е. П., 2010