В моделирование процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков с тержней с линейным упругим элементом Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.К. МАНЖОСОВ, С.В. МАСЮКОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ РАЗНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ СТЕРЖНЕЙ С ЛИНЕЙНЫМ УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Рассмотрена задача о преобразовании продольной волны деформации на границе разнородных участков стержней с линейным упругим элементом. Изложена процедура расчета процесса преобразования волны деформации в стержневой системе, представляющей множество последовательно сопряженных разнородных участков.

Вопрос о преобразовании продольной волны деформации на границе разнородных участков, разделенных упругим элементом, рассматривался в работах Александрова Е.В., Соколинского В.Б. [1], Алимова О.Д., Дворникова Л.Т., Шапошникова И.Д. [2], Алпеевой В.А., Манжосова В.К. [3-7], Сли-стина А.П. [8] и других исследователей.

В данной работе изложен подход, позволяющий перенести решение задачи о преобразовании участка падающей волны на границе разнородных участков на процедуру расчета сложных стержневых систем. Рассматривается стержневая система, схема которой изображена на рис. 1.

¡т.

иис. I. I хема степжневои системы

Предполагается, что некоторые два разнородных участка стержня в сече-

Лт?Т1 ^ — i г»пп ттоттйттт т т тпт гттэг» ж *ч ттлилаттгрл* е мгорттлгчпфг 1т- Т—Гга гтчптттхтп/ V Г ЛА птлп А — ^ paJДvJxvлlэl ^и^тигш п, . ни а Л — ^

стороны участка 1 падает прямая волна /^я,/-!), а со стороны участка 2 -обратная волна <р 2(а2/ + /,). Параметры падающих волн считаются известными. Требуется определить формируемую в сечении х-Ь прямую волну у. г — т\ _ распространяющуюся в направлении оси х по участку 2, и

обратную волну + Х-), распространяющуюся по участку 1 в противоположном направлении.

Движение сечений стержневой системы описывается волновыми уравнениями вида:

а~и л{хХ) 1 а2к1(х,0_п д~и2{х,г)__1 ои2(х,р

дГ2 "Г НГ2 ' 2 -и2 '

ах а\ т ах а2 т

где м, (*,/), «2 (•*>*) ~ перемещение сечений соответственно на участках I и 2

стержневой системы.

Уравнения ( 1 ) дополнены начальными и граничными условиями:

при / = 0, «,(х,0) = м,(х), м2(л,0) = «2(х),

при х = Ь

(2) (3) (О

где ЕиЕ2 - модули упругости 1-го рода материала 1-го и 2-го участков стержня; Л1,Л2 - площади поперечных сечений соответствующих участков; к-жесткость упругого элемента.

По методу Даламбера решения ( 1 ) представим в виде

и Х(х, 1) = /(ах1 - х) + ф/^ * + х), " 2(х, О = (Ч *+

(5)

(6)

Тогда

Г)¥.

ди (х

—= -х) + <р> (а2г +

ос

(7)

(8)

Учитывая (5)-(8)в граничных условиях (3 ) и ( 4 ), после преобразований получим:

* I

л V

а\ /(„* ---.-А 1 а 1) /(.<, г\.

и7 - ~ г , 'У I V"!1 г"7'1 1 ^ "" У2 - ■

Е2Л7 а2 V г/

к

(9)

* ^ У („ * т\ "2Л2

' ¿И,

/2 - - фя^У + ¿ Л,

/ 1П\

\ хи у

где г - —- ~ отношение волновых сопротивлений первого и второго Е2А2 ах

участков стержневой системы.

Решение дифференциального уравнения ( 9 ) строится методом последовательных приближений. Учитывая, что

ff

a2f{(a2t -L) = aJh + \a\f2 (a2t - L)dtt

(И)

'o

ТГ

а также выражения ( 9 ) для /2 (а2Г - £), получим для /-го приближения (в дальнейших выражениях для упрощения опущены аргументы функций):

V к fi,i = Л', О +а2 У

to

E2Az

Г Ф2

dt, (12)

где /2>0 - значение функции /2'(а2/ - L) при t = t0; i = 1,2,3,... - число последовательных приближений.

Аппроксимируя падающие волны ступенчатыми участками, можем принять, что на рассматриваемом малом интервале времени /0 < t /0 + Ai /7= const, ф2 = const, ф2 = 0. Полагая, что значение в предыдущем

(13)

ПриблйЖСНйй ее 1С ПОСТОйННаЯ, ирйХОДйМ К ЗЫрЗЖсЕИш!

гтти - *_ '

— 1 »р.

Число последовательных приближений 1 = 1,2,3,... стремится к тому значению, пока не будет обеспечено неравенство:

(14)

/2,» ~ /2,1-1 <

Д.'

где А? — относительная малая величина, характеризующая степень приближения (как правило, Д/* < 0,001).

После того как будет найдено значение /2' , используя ( 10 ), находим:

4\(axi + L) = fi(axt-L)-E*Al

Е -Л -

Поолольная сила в соппяженных сечениях:

/2 (fli-£)~92(a2i + L)

(15)

/>(!.,*)« Е,А{- //(а/ - + + Ь)\ Р2(и) = ЕгЛ\- /2'(я2/ - £) + <р'2(ч + ¿)].

Осуществлена реализация предложенного подхода расчета процесса преобразования продольной волны на границе разнородных участков стержней, разделенных линейным упругим элементом. Расчетная схема стержневой системы изображена на рис. 2. Число элементарных участков, на которые условно разделена механическая система, расположенных слева от упругого элемента жесткостью « к », равно Ь. Суммарное число элементарных участков равно N. Длина элементарного участка равна А1.

Рис. 2. Расчетная схема неоднородной стержневой системы

На рис. 2 границы элементарных участков стержневой системы обозначены последовательно как /-0, 2, N.

е Га,1— эс1 ),

(а 4+1Ь —X])

¡1 а *у ^

' ■-■ з - ' 1- \

Рт.Ю Ч С^уг&ЦЯ'* ПтКжЛт

При идеальном сопряжении элементарных участков (рис. 3) для произвольной ] -й границы идеального сопряжения, на которую падают волны

( \ ' \

/■ ,-^и — Ху I и ф 1+1 "г а \, имеют место с л с дую и ¿и с равенства

/и&Л - */) = Qj^fAajt - +

Ф}(а ,Г + х,) = + х,) + Яул /¡{а/ - хД

гп?> #*) . - тгпчААнпнрнт пппул-агпрнно «рг^ч /-р тяншшл(> лйирннр пяпя1птрй

-•-*■■- ------п----~-г—.......! ^ .....,------—, ----,—

прямой волны /ди^/ — ]; 2 — коэффициент прохождения через гра-

ничное сечение падающей обратной волны ср+ Rj l - коэффициент отражения от у'-го сечения падающей прямой волны /Да/ -коэффициент отражения от у-го сечения падающей обратной волны + а^а^х - скорости распространения волн на у-м и (у+/)-м участках; х} - координата у - го сечения.

Значения коэффициентов прохождения и отражения волн определяются

как

е,. -

2ги*

(ГЛЛ1 +>Ь«

Л _ у-м.^ ]<Г%

Ч,]+1

Е А

где г, /+, - отношение волнового сопротивления у- го участка к волновому

сопротивлению^/*/}- го участка.

Для ¿—го сечения, где расположен упругий элемент, параметры прошедшей через сечение и отраженной от сечения волн определяются из ( 13 ) и

(10) как

Г Л Г Л 1

*' = А

-'¿+М £+1,0 '

«¿+1 V г,; V ги) \

Ь'

я>1 - // -Ф1+0.

Е1ЕЬ

ка1+1м

Процедура решения реализована в соответствующих алгоритмах и программах. Проверка процедуры осуществлена при рассмотрении тестовой задачи преобразования волны прямоугольной формы на границе однородных полуограниченных стержней, разделенных упругим элементом (рис. 4) жесткостью «к».

^(а^-х)

ч

1—\

-1_1

О!

N

Рис. 4. Схема сопряжения однородных ^хержней

Для тестовой задачи в работе [5] получено аналитическое решение для расчета относительного значения продольной силы в сечении х1:

—(е-0"-" -1), г +1 ;

О <t<T,

2 г

—- ^.(«-1 ^ , > Т ^г +1 '

к(г +1)

а = —--—

ЕШАМа1

(П)

где Г - длительность падающей волны.

Выражение (17) можно преобразовать к виду:

2г

-1], 0

(18)

г + 2 г

.г-и

« = 0,1,2,...

Для тестовой задачи, ко1 дач со1 фяженные стержни однородные, отношение волнового сопротивления г ~ 1,

Тогда выражения (18 ) примут вид:

0</!< Л

-2Ьп г

(19)

Сопоставление значений Ри1, рассчитанных для тестовой задачи по разработанной процедуре численного расчета и по аналитическим зависимостям ( 19 ), показывает их удовлетворительное совпадение (различие в основном не более 1% при разбиении стержней на множество элементарных участков А/ = 0,02ХЬ, где Ьь - длина стержня, охваченного падающей волной).

На рис. 5 приведены диаграммы, характеризующие изменение силы Р1+] в сечении с линейным упругим элементом. По оси абсцисс отложены величины, характеризующие отношение текущего времени I к длительности падающей волны Г.

Из рис. 5 видно, что прошедшая через сечение х; волна существенно отличается по гЬопме от ппямгууголкной палаютией волны. Она состоит из уча-етка роста (передний фронт) и участка спада (задний фронт) силы Рш.

р 0,8

0,4

1 Ь=0,01 \ 2 Ь=0,05 \ г— 1

/

/

\/

0,5

1,5

Т

Рис. 5. Диаграммы изменения силы Р1+] от времени \ГТ

V

Длительность переднего фронта волны соответствует длительности исходной падающей волны. Чтобы прошедшая через сечение волна обеспечила практически тот же уровень продольной силы, что и в падающей волне (порядка 0,99), необходимо, чтобы длительность падающей волны была не ~ 4,6 А,+1

П _«-ч _ гттг'"ЧТТТгчг»пгт »/отогм.тогто

¿+1 9 Д^ + 1 1*1 А

т^лд^С

г +1

Учитывая, что

к

А,

ь =

к1

к

а

ш

получим:

л к — Ч-.и ¡,

1> ~ "" ' (20) Ь(г + \)

где т - время, в течение которого волна деформации, распространяясь со скоростью аш , пройдет расстояние /0, равное единице длины стержня

(/0 = \м ) ; Ъ - отношение жесткости упругого элемента к продольной жесткости единицы длины стержня /0 с модулем упругости Е^. и площадью поперечного сечения А.^. .Для стали, например, т = 2 -104с при Ь = 2,5 и г - 1 длительность падшощей волны должна быть Т > 1,84 -10" с.

Если материал на всех малых участках стержней одинаков саг, = а2 —... - а а, то от ( 20 ) можно прийти к неравенству

Ь,ь

4.6/

>

Ь{г +1)

{и \

г де Ьь — аТ - длина стержня, охваченного падающей волной.

Неравенство (21) определяет минимальную длину падающей волны, при которой сила Р!М успеет достигнуть значения 0,99 Р0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем. М.: Наука, 1969.

2. Алимов О.Д., Дворников Л.Т., Шапошников И.Д. Амортизация волнового импульса с помощью упругого элемента малой длины^Труды Фрунз . политехи, ин-та. Вып. 38. Фрунзе, 1969. С. 82-91.

3.Алиеева В.А., Манжосов В.К. Преобразование линейного участка волны деформации при прохождении через линейный упругий элемент, расположенный на границе двух разнородных участков стержня//Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр. Бишкек: КГУ, 1992. С. 19-28.

4. Манжосов В.К. Преобразование волны деформации постоянной интенсивности при прохождении через сосредоточенную упругость в стержневой системе^Динамика механизмов для возбуждения ударных нагрузок: Сб. науч. тр. ■ Фрунзе: ФПИ, 1987. С. 13-23.

5. Манжосов В,К. Удар стержня конечной длины о полу бесконечный стержень при линейном упругом элементе между ними// Прикладные задачи механики: Сб, науч. тр. Бишкек: КГУ, 1992. С. 3-10.

6. Манжосов В.К. Преобразование продольной волны постоянной интенсивности на границе стержневой системы // Механика и процессы управления: Си, науч. тр. Ульяновск: >л1'1У, 1996. С. 13-29.

7. Манжосов В.К. Отражение и прохождение продольной волны деформации нз гпянидр- сопояженных стеожней // Вестник УяГТУ. 1999. X? I . С 70-78.

8. Слистин А.П. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по составным стержням: Автореф. ... канд. техн. наук: 01.02.06. Томск, 1990.

¿пйЫЖосов Владимир Кулгмич, доктор технических наук, профессор, завеоующии кафедрой « Теоретическая и прикладная механика » Ульяновского государственного технического университета, окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

^ 1?П и Л ТлАт.ЦПЛЛ "»«" 1/1.»." ' ^' 71. ;»»" V/»

- ' - ' -. - ^ — •» -»14 . у/Ы 1^ V .V. I «-» ^.и^ли".!.«!. ■/

новско?.а государственного технического университета. Имеет публикации в области продольного удара в стержневых системах.