Теоремы о неявных операторах в условиях групповой симметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 1. С. 31-43

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.988.67

Теоремы о неявных операторах в условиях групповой симметрии *

Б. В. Логинов

Ульяновский государственный технический университет

И. В. Коноплева

Ульяновский государственный технический университет

Ю. Б. Русак РЛИОБЧЛ, Канберра

Аннотация. Доказаны О-инвариантные теоремы о неявных операторах для стационарных и нестационарных задач теории бифуркаций без предположения компактности допускаемой непрерывной группы О на основе общей теоремы о наследовании симметрии нелинейной задачи уравнениями разветвления и уравнениями разветвления в корневых подпространствах.

Ключевые слова: метод Ляпунова - Шмидта; уравнение разветвления; уравнения разветвления в корневых подпространствах; групповая симметрия.

Современная симметрийная теория ветвления решений нелинейных уравнений, начиная с 60-х годов прошлого века, выделилась в отдельную дисциплину в нелинейном функциональном анализе. Симметрий-ные методы в теории ветвления впервые были применены В. И. Юдови-чем (1967), затем Б. В. Логиновым и В. А. Треногиным (1971), D. Ruelle (1973). В 80-90-е годы опубликованы монографии, содержацие приложения метода Ляпунова - Шмидта (D. Sattinger, 1979; A. Vanderbauwede, 1982; Б. В. Логинов, 1985; M. Golubitsky, D. Schaeffer, I. Stewart, 19841986) и методы центрального многообразия(А. Mielke, 1971; J. Iooss,

* Полученные результаты поддержаны проектом No. 2.1.1/6194 программы Развитие научного потенциала ВШ Минобразования РФ, РПЦ Научные и научнопедагогические кадры инновационной России ГК П1112 и составляют часть проекта 11-01-00074 РФФИ.

1. Введение

M. Adelmeyer, 1982, J. Iooss, P. Chossat, 1994) в условиях групповой симметрии. A. Vanderbauwede (1980) и N. Dancer (1980) доказали G-инвариантную бесконечномерную теорему о неявных операторах в общем случае неинвариантного ядра в предположении компактности допускаемой группы. Отметим общие результаты о конечномерных редукциях при вариационной формулировке нелинейных задач: В. А. Трено-гин, Н. А. Сидоров (1992), общая теорема о потенциальности уравнения разветвления (УР) с применением теории Морса-Конли, Ю. И. Сапронов (1991,1996) - конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах.

Случай неинвариантного ядра линеаризованного оператора возникает в задаче о несимметричных локализованных волновых структурах в стратифицированной жидкости [6, 7], где было доказано, что в вариационном случае с инвариантным относительно некомпактных групп симметрий функционалом уравнение разветвления Ляпунова -Шмидта действием группы может быть редуцировано к системе меньшей размерности. Теоремы о наследовании уравнениями разветвления (уравнениями разветвления в корневых подпространствах) групповой симметрии общих нелинейных стационарных и нестационарных задач в случае неинвариантного ядра линеаризации были доказаны в [5, 4] (соответственно [1, 2, 8]) для невариационных нелинейных задач. Они позволили получить результаты о редукции вариационных УР [4, 1, 2, 3, 8], движущихся по траектории точки ветвления.

Целью данной работы является доказательство G-инвариантной теоремы о неявных операторах в стационарных и нестационарных задачах без предположения компактности допускаемой непрерывной группы G на основе общей теоремы о наследовании симметрии уравнениями разветвления и уравнениями разветвления в корневых подпространствах.

В работе [1] для стационарной F(x,e) = 0, F(x0,е) = 0 и динамической бифуркации F(p,x,e) = 0, p = df, F(0,x0,e) = 0 в банаховых пространствах Ei и доказаны теоремы о наследовании групповой симметрии нелинейных операторов F сответствующими уравнениями разветвления в корневых подпространствах (УРК) А. М. Ляпунова и Э. Шмидта, движущимися по орбите точки ветвления Хо.

При наличии непрерывной групповой симметрии нелинейных уравнений с операторами, действующими в банаховых пространствах, группа Ли Gi = Gi(a), a = (a1,...,ai) - ее существенные параметры, предполагается l-мерным дифференцируемым многообразием, удовлетворяющим условиям [6, 7]:

ci) представление a ^ Lg(a)X0, действующее из окрестности единичного элемента Gi (a) в пространство Ei принадлежит классу C1, так что Xxo £ Ei для всех инфинитезимальных операторов Xx = lim t-1 Lg(a(t))X — x в касательном к Lg(a) многообразии Т^^;

с2) стационарная подгруппа элемента ж0 Є Е определяет представление Ь(С8) локальной группы Ли С С Сі, 8 < I, с 8-мерной подалгеброй Т^(а) инфинитезимальных операторов. Это означает, что для

стационарной (нестационарной) бифуркации элементы Xкж0,Хк Є Т^а) образуют в подпространстве нулей линеаризованного оператора к = (I — §)-, (2к = 2(1 — з))-мерное подпространство и базисы в нем и в алгебре Т^а) можно упорядочить так, что ХкЖо = £кVк(ЬVк+£кУк),1 < к < к, X,ж0 = 0 для і > к + 1.

2. Стационарные бифуркационные задачи

В вещественных банаховых пространствах Е и Е рассматривается общая задача стационарного ветвления

Е (ж,е)=0, Е (жо,е) = 0, (2.1)

в предположении, что нелинейное уравнение (2.1) имеет линеаризацию в окрестности точки бифуркации (жо; 0)

ЕХо(ж - жо) = Вхо(е)(ж - жо) - Д(жо, ж - жо,е), (22)

Я(жо,0,е)=0, ||я(жо,ж - жо,е)|| = о(||ж - жо||) ( .

где Ех0 - фредгольмов оператор с плотной в Е1 областью определения Овхо С ПВхо(£),Ж(Вхо) = 8рап{уг}п, уг = уг(жо) - подпространство нулей (ядро) оператора Вх0, N*(Вх0) = 8рап(^г}™, фг = ^г(жо) - подпространство дефектных функционалов, {7»}™, 7» = 7»(жо) £ Е*, {¿г}™, =

¿г(жо) - соответствующие биортогональные системы (уг,7з) = ¿3, (¿г,^) = ¿3; Ехо (е) достаточно гладкий по е линейный оператор; нелинейный оператор Л непрерывно дифференцируем по своим переменным и непрерывен по е.

Определение 1. Элементы у^з = 1,Рк, & = 1,п образуют полный канонический обобщенный жорданов набор (ОЖН = Е(е)-ЖН) оператор-функции В - В(е) : Е1 ^ Е2, если

Еу^ = — Е^у^-^, В(е) = В1е + В2е2 + ..., (у^, 7г) =0,8 = 2,рь 3=1

= ёе1 £ (Е^-у^+1_^),^(1)) = 0, Ук = у[.1),^г = ^(1), М = 1,п.

3 = 1

(2.3)

Этот набор биканонический, если ОЖН сопряженной оператор-функции В* - В*(е), отвечающий элементам {^г}П также канонический,

и три-канонический, если кроме того

/..O') y(l)\ _ г г Y(l) _+ R*^(pfc +2—1—s) / (.?) „/,(l)

,7fc ) = Ггкrjl, 7fc = £ BsWk

s=1

(j) Pfc+i—^ (pi+2—j—s) (s) (s) / ч

Z(j) = £ Bs.r j % .() = . )(X0),

Ф = $(xo) = (.11), . . . ,.1P1), . . . ,.П1), . . . ,.nn)),

(2.4)

векторы y = y(x0), Ф = Ф^0) и Z = Z(x0) определяются аналогично. Для линейной оператор-функции B — eB1 ОЖН всегда может быть выбран три-каноническим.

Лемма 1. Если для фредгольмовой оператор-функции Bx0 — Bx0 (е) существует полный три-канонический ОЖН, то определены проекторы

n Pi

Pxo = £ £ (', Y(j’(xo))^Ы = (■, Y)Ф : El ^ Ef

(j).

i=1j=1

Ef = K (Bxo ,Bxo (є)) = span{ ^>(j)(xo)},

n P i £ £ i= 1 j= 1

Qxo = £ £ (•,^(j)(xo))z(j)(xo) = (■, Ф)£ : E2 ^ E2,f (j-)/

j

(2.5)

Е2,к = 5рап{^-3)(жо)},

порождающие разложения Е1 и Е2 в прямые суммы, отвечающие точке жо

E1 = Ef + E1oc-f, E2 = E2,f + E^-f. Оператор B0 = BXo сплетается проекторами Pxo и Q

(2.6)

cxo

BxoPx — QBxox на DBXo , Bxoф — AoZ

BXoФ = Aoy, Ao = diag(A1,..., An),

/00 0 0

A =

0 1

0 1

0

— (pi x pi) — матрица

(2.7)

V

и Во : Ев0 П Е0°_К(жо) ^ Е2,0_к(жо) является изоморфизмом.

Следствие 1. Для линейной по е оператор-функции Во - В(е) (Е(е) = еЕ1) три-канонический ОЖН существует и свойства (2.4) могут быть дополнены следующими

B1P = QB на DBl, B1 Ф = A1Z, Б1*Ф = A1Y

(2.8)

где А1 = ¿гад(Л1,..., Лп) - клеточно-диагональная матрица, Лг - (рг х рг) — матрицы с единицами вдоль побочной диагонали и нулями в

остальных местах. Таким образом, операторы Во и В1 действуют в инвариантных парах подпространств , Е2,к и Е0°-К, Е2,0-к, отвечающих точке ж0, и Во : Едор| Е0°-К ^ Е2,0-к, В1 : ЕК ^ Е2,К являются изоморфизмами.

Теорема 1. Пусть точке ветвления ж0 отвечает полный три-кано-нический ОЖН оператор-функции Вхо — Вхо (е). Задача определения малых решений уравнения (2.2) в окрестности точки ж0 эквивалентна разысканию малых решений конечномерных УРК А. М. Ляпунова (2.9) и Э. Шмидта (2.10).

Доказательство. В соответствии с разложениями (2.6) полагая ж = и+

V, V = ^(жо,0 = £ Сгк^(жо) = С ■ Ф е (жо), и = и(жо) е £°-К(жо), запишем уравнение (2.2) в проекциях

(I — рхо)Вхои = (/ — Рхо)Вхо(е)(и + v) + (/ — Рхо)Д(жо, v(Жо, С) + и(жо),е),

Рхо Вхо v — Рхо Вхо

(е)(и + V) + Рхо Й(жо, v(Жо, С) + и(жо), е).

По теореме о неявных операторах и лемме 1 из первого уравнения однозначно определяется и = и(жо) = и(жо, v(ж0, С), е). Его подстановка во второе уравнение дает УРК А. М. Ляпунова

/(жо^(жо,С,е)) = АоС — (Вхо(е)(v(жо,С) + и(жо^(жо,С),е))+ (2 9)

+Л(жо, v(жо,С) + u(жо,v(жо,С),е)), Ф(жо)) =0 ( . )

^-1 ^

Введение регуляризатора Э.Шмидта Гхо = Го =Вхо , Вхо = Вхо +

П (1) (1) ^

£(•,7} )(жо))^} )(жо) сводит (2.2) к системе Вжо (ж — жо) = ВЖо(е)(ж —

г=1

П /1) / ) ___

жо) + Я(жо, ж — жо,е) + £ Сг1^- )(жо), С«ст = (ж — жо,7«), у = 1,Р«, « =

г=1

1, п, решение которой ищем в виде ж—ж0 = -ш+С-Ф(ж0) = w+v(ж0, С). То-

^ П рз /,) П Рз /,)

гда Вхо ^ }Вхо^ ) (жо) = ВЖо (е)-ш + £ £ }Вхо (е)^} )(жо) +

}=1к=2 }=1к=1

Я(жо, w+v(ж0, С), е), и использование формул преобразования элементов

ОЖЦ оператором Го, дает УРК Э. Шмидта

^1(жо^(жо,С),е) = — £ С}1 ((I — Вхо(е)Го)-1Вхо(е)^}1)(жо),^/1)(жо)) — }=1 }

((/ — Вхо (е)Го)-1Л(жо, ад(жо^(жо,С),е) + v(жо, С), е), ^(1)(жо)) = 0,

^ (жо, v(жо,С),е) =

= С- — I: Ы(1 — Вхо(е)Го)-1Вхо(е)^(жо), 4Рз +2-ст)(жо)) —

}=1

— ((/ — Вхо (е)Го)-1Л(жо, ад(жо, v(жо,С),е) + v(жо,С),е),■0SРг'+2-ст)(жо)) = 0, у = 2,... ,р«.

(2.10)

□

Следствие 2. Пусть Bx0(е) = еВ^ Тогда УРК Шмидта принимает вид

ísi(xo,v(xo ,{),е) = - {si-

-((/ - eBiro)-1R(xo, w(xo,v(xo,{),e) + v^o, {), е), ^(жо)) = 0, ísa(xo,v(xo,{),e) = Csa - J—pS&1-

-((/ - eBiro)-1R(xo, w(xo, v(xo, {), е) + v(xo, {), е), ^SPs+2_a)(xo)) = 0,

a = 2,ps.

Замечание 1. УРК Шмидта (2.9) имеет тот же вид, что и УРК Ляпунова (2.10). Можно привести явный вид преобразований из (2.9) в (2.10) для линейного случая Bx0 (е) = eBi.

Далее предполагается, что оператор F допускает группу G, т. е. существуют ее представления Lg в Ei и Kg в E2, сплетающие F

KgF(ж, е) = F(Lgж, е) (2.11)

При этом точка ветвления (xo, 0) движется по траектории Lgxo элемента xo и для линеаризации (2.2) уравнения (2.1) справедливы соотношения [1-4]

Kg Дсо = BLgЖ0 Lg и KgBxo (е) = Ж0 (^)Lg,

KgR(xo, ж - xo, е) = F(Lgж, е) - F(Lgxo, е)- (2.12)

-(Bl9Х0 - Bl9X0^))Lg(ж - жo) = R(Lgжo,Lg(ж - жo),e)

^í(LgЖo) = Lg^¿^o), Yj(Lg) = L*"S^o), i, j = lyñ,

показывающие, что фредгольмов оператор Bx0 обладает симметрией только относительно стационарной подгруппы точки жo. Для области значений R оператора ВХ0 выполнено соотношение

R(Bx0) = R(Kg Bx0 L-1) = Kg R(Bx0).

Аналогичные соотношения выполнены для оператора Bx0 (е). Тогда для ядра сопряженного оператора B*0 имеем

N*(Bx0) = spanj^i^o),..., V^o)} =^

N*(BLsx0) = span{Kg;_1^i(^o),..., K*-V^o)}, (2.13)

Zj (Lg жo) = Kg zj (жo), j = 1,n и можно доказать, что элементы упорядоченых по возрастанию длин цепочек ОЖН преобразуются по формулам

^ís)(Lg ^ = Lg ^ (жo); ^ís)(Lg Жo) = (2.14)

z(s)(Lg ж0) = Kg ^Ы.

В то же время обобщенные жордановы наборы в точках орбиты удовлетворяют условиям биортогональности (2.4). Из (2.12)—(2.14) следует утверждение

Лемма 2. В условиях существования три-канонического ОЖН оператор-функции Вхо — Ахо (е) проекторы, определенные формулами (2.6), удовлетворяют свойствам сплетения

РЬдЖо = ЬдРжоЬд 1 или ЬдРжо = РЬдЖоЬд, (2 15)

QЬgхо — Кд рхо Кд или Кд Рхо — Q-KgЗД

и порождают разложения (2.6) банаховых пространств Е1 и Е2 в прямые суммы. При этом базисы в подпространствах нулей N(Вхо) и дефектных функционалов N * (Вхо) и, соответственно, в корневых подпространствах ЕК(ж0) и Е2,к(ж0) могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись следующие соотношения

Е1 = ЕК(Ьджо) + Е0°-К(Ьджо), ЕК(Ьджо) = ЬдЕ^(жо),

Е0°-К(Ьджо) = ЬдЕ0°-К(жо), Е2 = Е2,К(Ьджо) + Е2,о-к(Ьджо),

Е2,К(Ьдж0) = КдЕ2,К(ж0), Е2,0-К(Ьдж0) = КдЕ2,0-К(ж0).

(2.16)

Теорема 2. В условиях существования три-канонического ОЖН оператор-функции Вхо — Вхо(е) УРК А. М. Ляпунова (2.9) и Э. Шмидта (2.10) наследуют групповую симметрию уравнения (2.2)

/ (Ьд жо,Ьд v(жо,С),е) = / (Ьд жо^(Ьд жо,С),е) = Кд / (жо^(жо,С),е)

(2.17)

¿(Ьд жо,Ьд v(жо,С),е) = ¿(Ьд жо,v(Ьg жо,С),е) = Ьд ^жо^(жо,С),е)

(2.18)

Доказательство проводится методами [1, 4].

Замечание 2. 10. Если ж0 изолированная точка бифуркации уравнения (2.1), то в случае существования три-канонического ОЖН оператор-функции Вхо —Вхо (е) и групповой симметрии (2.11), получается обобщение теоремы о наследовании групповой симметрии УРК при нелинейной зависимости от е оператора Вхо (е). 20. В достаточно общем случае, когда для оператор-функции Вхо — Вхо (е) и сопряженной к ней существуют канонические ОЖН (биканонические наборы) к формулам (2.3)

добавляются В,*о-.^(жо) = £ В*^(«-}), Ер = 0.

}=1

3. Динамические бифуркационные задачи

В вещественных банаховых пространствах Е и рассматривается бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной

К(р,ж,е) = 0, р = Ц, К(0,жо,е) = 0, Ьр(0,жо, 0) = Ахо = Ао,

(0,жо,0) = —Вхо = —Во, Ь^(0,жо,е) = Ао + АЖо(е) = А(е), (3.1)

ьх(0,жо,е) = —Во + Вхо(е), Ево = Е1, ЕБо С Е(А(е))

Предположим, что А0-спектр ст^о (Во) фредгольмова оператора Во распадается на две части: (Во) лежит строго в левой полуплоскости

и ст°0 (Во) состоит из собственных значений ±ш кратности п с собственными элементами и = и у ± Ш2), V; = Vlj ± ТО2) - собственными элементами сопряженного оператора с обобщенными жордановыми це-

г, (к) —(&)

почками длин р^-. Это означает существование элементов и) , и) и , таких, что и)1) = и), = V), (Во — гаА0)и(к) = Аои(к-1), (Во +

гаАо)й)к) = — Аой(к-1); (В0 + шАо)) = — А0^к-1), (В* — гаА0)^к) =

А0^)к 1). Общий случай, когда спектр ст^(Во) состоит из конечного количества ненулевых точек ±шг, аг = а кратности пг, г = 1,...^, причем пг и — целые числа, не имеющие нетривиальных общих делителей, вызывает технические трудности. Ао-жорданов набор всегда можно выбрать три-каноническим. По лемме о биортогональности ОЖН можно принять (Ао■и1к)^(Р'т+1 г)) = ¿ы.

В предположении достаточной гладкости К уравнение (3.1) принимает вид

Ао т! = Во (ж — жо) — Ахо (е) — Вхо (е)(ж — жо) — Д(жо, ^, ж — жо,е)

(3.2)

Введением подстановки А. Пуанкаре £ = , ж(£) = у(т) задача постро-

ения 0+;-периодических решений (^-малая добавка к частоте колебаний) сводится к определению 2п-периодических решений уравнения

ВхоУ = у + (а + ^)Ахо (е) Зу + Вхо (е)у + Я(жо, (а + ^) Зу, У, е) =

= у + ЭТ(жо, зУ,У,^,е),

ВхоУ = (ВоУ)(т) = ВоУ(т) — аАо зУ, (сУ)(т) = Ао зУ

(3.3)

Фредгольмов оператор (Воу)(т) и операторы (3.3) отображают пространство У 2п-периодических непрерывно дифференцируемых функций т со значениями в £1 = Е +*Е в пространство 2 2п-периодических

непрерывных функций т со значениями в £2 = Е + 2Е2 при использовании функционалов специального вида ((у, /)) = /02п(у(т), /(т))^т, у е

Y, f G Y * (y £ Z, f G Z *). Подпространства нулей операторов Во и B0

2п-мерны, N (Во) = spanl^j1^ = ^j (xo,T) = Uj (xo)eiT; ^(}; N (В0) =

spanl^j1 = (хо,т)= Vj(xo)eiT; ^j^} c Ao- и А*-ЖЦ ^>jfc) = ujfc)(xo)eiT,

^jfc) = vf(x0)eiT, соответствующими формулам (2.3) и (2.4) удовлетворяющими условиям биортогональности

((j^0)) = Mfcb ((zjfc),^S0)) = j¿fcb

k(l) = 1,pj (Ps),yS¿) = A0^(Ps+1-1),zjfc) = Ao j+1-k),j(s) = 1“ñ.

n P j (1) (1)

Лемма 3. Определим проекторы Px0 = £ = ((•,Y))Ф,

j=1fc=1 j j

Pxo; Qxo = £ £ ((^, ^j )))zj ) = ((^, ^))Z, Qx0; Pxo = Ржо + Ржо, Qxo = j=1 k=1

Qx0 + Qx0, порождающие разложения банаховых пространств Y и Z

в прямые суммы Y = Y2n(x0) + YTO-2ra(x0), Z = Z2n(x0) + Z^-2ra(x0). Операторы Bo и Ao сплетаются проекторами Px0 и Qx0, Px0 и Qx0, BoPx0u = Qx0Bou на Db0, Bo$ = AoZ, В0Ф = AoY, Ao = diag|B1,..., Bn},B¿-(pi x p¿)-матрица (2.7), CPX0u = QX0Cu на Da0, A^ = A1Z, A*Ф = A1y, A1-(pi x рг)-матрица (2.7). Операторы Ao и Bo действуют в инвариантных парах подпространств Y^(x0), Z2,k(x0)

и Y~-K(xo),Z2,^_K(xo), Bo : Ab> П Y~-K ^ ^-K, Ao : YK ^ Z2,k являются изоморфизмами.

Теорема 3. В сделанных предположениях задача о 2п-периодических решениях уравнения (3.3) в окрестности точки бифуркации х0 эквивалентна отысканию малых решений конечномерных УРК А. М. Ляпунова (3.4) и Э. Шмидта (3.5).

Доказательство. Действуя соответственно п.2, запишем уравнение (3.3) в проекциях на корневые подпространства и их прямые дополнения, отвечающие точке xo (теорема 1). При таком подходе получаем УРК

А. М. Ляпунова в базисе |^>,^}

f(xo,v(xo,C,C),^,e) = Qx0M...j + R(xo, dT[...], [...],^,£) =

= [Ao - C -((R(xo, dT [...], [...], ^),ФЫ)) = 0, _ (3.4)

f(xo, v(Xo, C,C), ^,e) = 0, [...] = u(v(xo,C,C), ^,e) + v(xo,C,C).

Подробнее остановимся на выводе УРК Э. Шмидта. Записывая как и в п. 2 уравнение (3.3) в виде эквивалентной системы

Bo= ^СУ + R(^ dF, У, ^ e) + £ (C¿1^(1) + C¿1z(1)), j = ((y,YSCT))),Csa = ((У,7S<J))),

53о= ©0+Е[((-,7(1)))^(1)+((',7(1)))^(1)] - регуляризатор Шмидта, 33жо = Гхо, ее решение ищем в виде у = ад + £ ■ Ф + £ ■ Ф = ад + -и(ж0,£,£).

П рг ( •) ( •)

Аналогично п. 2 получаем ад = — (/ — иГХоС)х1 Е Е (£¿7+ £¿7^ ) +

¿=18=2

и(/ — ^ГхоС)х1 ГхоС(£■ Ф + £■ Ф)+Гхо(I — ^СГхо)х1^(жо, (а + и)дТ[^(жо) + и(ж0,£,£)],ад(ж0) + ^(ж0, £,£), и, в). Подставляя ад во вторые уравнения системы и учитывая соотношения Гхо7|1)(ж0) = ^1(ж0), ГХо7]8)(ж0) = +2 8)(ж0),§ > 2, получаем УРК Э. Шмидта

^1 (ж0,и(ж0,^,е) = —и((С(/ — ^ГхоС)х1(£ ■ Ф + £ ■ Ф),^1^))) —

— (((I — ^С Гхо )х1^(...),^81}(ж0))) = 0,

П рг г •) _ г •)

(ж0,и(ж0,^,в) = (((/ — ^ГхоС)х1 Е I] (£г7^ + £г7^( ) —

¿=17=2

—и(/ — ^ГхоС)х1ГхоС(£ ■ Ф + £ ■ Ф)^)) —

— (((I — ^С Гхо )х1^(...),^8Рз+2хст)(ж0))) = 0.

Учитывая соотношения

" рз

, . , . 1 - - ¡г 3 I

¿Стх1^7ст)(ж0) = (ГхоС)ст-1^7 ) (ж0) = 3 ' (ж0),

получаем УРК Э. Шмидта

Ыж0,И(ж0 ^,в) = — т-г]^ £81 — (((/ — ^ГхоС )-1^(...),^81)(ж0))) = 0, ^ (ж0, и(ж0,^,е) =

= £8. — 1(Х^^^)Рт £81 — (((/ — ^Гхо С )-1^(...), 4Рз+2-ст) (ж0))) = 0,

8 = 1, п, а = 1,р8.

(3.5)

□

Замечание 3. Можно дать явный вид преобразований от УРК (3.4) к (3.5).

Рассматривая УРК А. М. Ляпунова (3.4) и Э. Шмидта (3.5) для периодических решений в условиях групповой симметрии, отметим, что в силу три-каноничности ОЖН вся теория, изложенная в п. 2, переносится на рассматриваемую ситуацию. Поэтому здесь мы сформулируем окончательные результаты в базисе {^,^1, ...,^га,^П}.

Теорема 4. УРК А. М. Ляпунова (3.4) и Э. Шмидта (3.5) наследуют групповую симмтрию уравнения (3.1)

{(¿0ж0,ьй ■и(ж0,£,£),^,е) = {(¿0ж0,и(Ь0ж0,£,£),^,е) =

= Кд {(ж0,и(ж0,£,£),^,е), _

^¿0ж0, -и(ж0, £, £), и, в) = ^0ж0, ^(¿0ж0, £, £), и, в) =

= ^ж0,-и(ж0,£,£),и,в)

4. Теоремы о неявных операторах

Теорема 5. Пусть в задаче стационарного ветвления (2.1) точке ветвления отвечает полный три-канонический ОЖН оператор-функции Bx0 = Bx0(e), причем в условии c2) к = n и GS,s < 1 является нормальным делителем G с соответствующей идеалом Tg(a) инфи-нитезимальных операторов. Тогда при сделанных предположениях о гладкости действия непрерывной группы Gr существует непрерывная функция v(x0, C, e) = v(x0, C) + u(x0, v(x0, C), e) : T™(a)X0 x (—¿, ¿) ^ E1, инвариантная относительно фактор-группы = G¿/Gs на

T™x0 и такая, что

F(xo + v(xo, C, e) = 0 при v(xo,C) G Tn>)xo, |e| <¿ (4.1)

Доказательство. На основании свойств сплетения (2.15)—(2.16) проекторов Px0 и Qx0 существует линейный изоморфизм

Bo = Bx0 : DB0 n E1oc-fc(xo) ^ E^-fc, (4.2)

сплетаемый проекторами Px0 и Qx0, т. е. BoPX0x = Qx0Box, x G Db и BLgX0PLgX0x = Ql9X0BLgx0x, x G L^D^, в то время, как теорема о наследовании УРК групповой симметрии возвращает нас к G-инвариантности уравнения (4.1). □

Теорема 6. В задаче динамического ветвления (3.1) в точке ветвления Atj-жорданов набор всегда можно выбрать три-каноническим. Пусть в условии c2) к = n и Gs, s < 1 является нормальным делителем G с соответствующим идеалом TflS(a) инфинитезимальных операторов. Тогда при сделанных предположениях относительно гладкости действия непрерывной группы G существует непрерывная функция v(xo,C,e) = v(xo,C,C)+u(xo, v(xo,C,C),^,e) : T2™)xo x(-¿, ¿) ^ E1, инвариантная относительно фактор-группы G2k = G2n = G¿/Gs на Tfl2™)x0 и такая, что F(x0+v(x0, C, C, e), e)) = 0 при v(x0,C,C) G Tg^xo |e| < ¿.

Схема доказательства та же, что и в предыдущей теореме.

Следствие 3. Теоремы 5 и 6 соответственно справедливы для полу-простых точек ветвления, т. е. для точек, у которых отсутствуют обобщенные жордановы цепочки.

Список литературы

1. Коноплева И. В. Симметрия и потенциальность уравнений разветвления в корневых подпространствах в неявно заданных стационарных и динамических

бифуркационных задачах / И. В. Коноплева, Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Изв. высших учеб. заведений. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. - 2009.

- Спецвыпуск. - C. 115-124.

2. Коноплева И. В. Симметрия и потенциальность уравнений разветвления в корневых подпространствах в неявно заданных стационарных бифуркационных задачах / И. В. Коноплева, Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак// Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений АМАДЕ : тр. 5-й междунар. конф. (Беларусь, Минск, 14-19 сентября 2009 г.). - 2009.- Т. 1. - C. 90-95.

3. Коноплева И. В. Бифуркация, симметрия и косимметрия в дифференциальных уравнениях, не разрешенных относительно производной, с вариационными уравнениями разветвления / И. В. Коноплева, Б. В. Логинов// ДАН. Математика.

- 2009. - T. 427, № 4. - C. 452-457; Doklady Mathematics. - 2009. - Vol. 80, N 1.

- C. 541-546.

4. Логинов Б. В. Симметрия и потенциальность в общей задаче теории ветвления / Б. В. Логинов, И. В. Коноплева, Ю. Б. Русак // Изв. вузов. Математика. -2006. - Т. 4(527). - C. 30-40.

5. Логинов Б. В. Общая задача теории ветвления в условиях групповой симметрии / Б. В. Логинов // Узбек. мат. журн. - 1991. - № 1. - C. 38-44.

6. Макаренко Н. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений / Н. И. Макаренко // ДАН. Математика. - 1996. - Vol. 348, N 3. - C. 302-304.

7. Макаренко Н. И. Симметрия и косимметрия вариационных задач в теории волн / Н. И. Макаренко // Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов : тр. междунар. школы-семинара (Сочи, 14-18 сентября 2001 г.). - Ростов н/Д. : Ростов. гос. ун-т, 2001. - C. 109-120.

8. Bifurcation and symmetry in differential equations non-resolved with respect to derivative / B. V. Loginov, O. V. Makeev, I. V. Konopleva, Yu. B. Rousak // ROMAI J. - 2007. - Vol. 3, N 1. - C. 151-173.

B. V. Loginov, I. V. Konopleva, Y. B. Rousak

Implicit operator theorems under group symmetry conditions

Abstract. On the base of the general theorem about the inheritance of nonlinear problem group symmetry by the relevant branching equation and branching equation in the root-subspace G-invariant implicit operator theorems are proved for stationary and nonstationary bifurcation problems without assumtion on compactness of allowing group.

Keywords: Lyapounov-Schmidt method, branching equation, branching equation in the root-subspaces, group symmetry

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра высшей математики, Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 тел.: (8422)431547 ([email protected])

Коноплева Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 тел.: (8422)431749 ([email protected])

Русак Юрий Борисович, кандидат физико-математических наук, сотрудник Министерства общественных взаимоотношений, Канберра, Австралия ([email protected])

Loginov Boris, Ulyanovsk State Technical University, 32, Severny Venetz St., Ulyanovsk, 432027, Ulyanovsk, professor, Phone: (8422)431547 ([email protected])

Konopleva Irina, Ulyanovsk State Technical University, 32, Severny Venetz St., Ulyanovsk, 432027, Ulyanovsk, Docent Phone: (8422)431749 ([email protected])

Rousak Yuri, FAHCSIA, Canberra, Australia, PHD, ([email protected])