Ветвление решений нелинейных уравнений в пространствах функций на многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.954

Т.Эргашбаев

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ

ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 16.01.2014 г.)

В статье приводится общая постановка задачи теории ветвления нелинейных уравнений, инвариантных относительно некоторой группы симметрии.

Ключевые слова: уравнение разветвления - инвариантность - группа - бифуркация - действие группы - нелинейное уравнение.

Общая задача теории ветвления (теории бифуркации) в банаховых пространствах заключается в следующем:

Рассматривается операторное уравнение

Ф( х,Л) = 0, (1)

где Ф - оператор, непрерывно зависящий от параметра Л. Требуется описать множества решений

уравнения (1), близких к заданному решению (х0, Л) . Если Ф - нётеров оператор, то для описания

такого множества уравнения (1) с помощью конструкции Ляпунова-Шмидта заменяется уравнением разветвления:

<р(у> Л) = 0, (2)

где у - элемент пространства кег В, здесь В означает линейную часть оператора Ф в точке х0.

Оказывается, что если оператор Ф инвариантен относительно некоторой группы Ли, то в определённых условиях вместо уравнения (2) можно написать уравнение

Ф(у,я) = 0, (3)

где у - элемент некоторого подпространства в кег В. Таким образом, исследование уравнения (1) сводится к исследованию уравнения (3), которое зависит от меньшего числа вспомогательных параметров.

Уравнение ф (у, /I) = 0, заданное в области конечномерного пространства V х Л0, называется редуцированным уравнением для исходного уравнения (1). Таким образом, получается конечное число уравнений, зависящих от конечного числа параметров. При этом исходный оператор может не

Адрес для корреспонденции: Эргашбаев Т. 735700, Республика Таджикистан, г. Худжанд, проезд Мавлянбеко-ва 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]

быть нётеровым, так как его ядро может быть бесконечномерным, если банахова группа имеет бесконечную размерность.

Определение: Действием группы на многообразии X называется отображение ж : X х О ^ X, подчиненное условиям:

1) ж(х,е) = х, 2) ж(х, gh) = ж(ж(x, g), к),

где е - единица группы.

Образ элемента (х, g) при отображении ж обозначим через gx . Множество g е О}

называется орбитой точки х0. Действие группы дифференцируемо, если дифференцируемо отображение ж. Если X = Е - банахово пространство, то отображение ж будем обозначать Ь ■ Рассмотрим задачу о точке бифуркации

Вх = Я (х, к), Я (0,к) = 0, Ях (0,0) = 0 (4)

В : Е ^ Е - линейный нётеров ограниченный оператор с й -характеристикой (п, т), Я (•, к) -нелинейный оператор, определённый в окрестности нуля пространства Е1. Пусть уравнение (4) допускает группу О , то есть существуют её представления Ь и К в пространствах Е1 и Е2 соответственно такие, что для любого g е О;

В^х = КВ, Я (LgX, к) = КЯ (х, к) .

Тогда подпространство кег В инвариантно относительно операторов , а 1т В - относительно К . Предположим выполненным

Условие: существует прямое дополнение Е" п к ядру оператора В, инвариантное относительно представления Ь .

Нелинейное функциональное уравнение может быть задано на £ -мерном компактном многообразии V с краем йу или без края в (£ +1) -мерном пространстве Я£+1. Если V имеет край, то к

уравнению следует добавить краевое условие. Как правило, соответствующие нелинейные операторы, определённые в функциональных пространствах, на многообразиях допускают группу симметрии многообразий и некоторую её часть. При изучении ветвления решений таких уравнений мы будем использовать элементы группового анализа. Приведём вначале простые примеры, первый из которых заимствован из работы [1].

Пусть уравнения ^ = ^ (^,т2) = 0, i = 1,2 допускают группу вращений плоскости Я2

Ag(a) Bg(a)

с СОБа - БШа^

УБта соБа J

(5)

Теорема 1. Двумерное аналитическое уравнение с симметрией SO (2) имеет вид:

ч (^, ^) = ЕCk (т12+т22) (^со55 а - ^ ^п а) =0,

k=0 (6)

Ч (^ ) = Е Ck (Т12 + Т22 )(*! sinаk + ^ СО^ ) = 0

k=0

В случае симметрии О (2) (дополнительная инвариантность относительно отражения J (г1, г2) = (г1, — г2) в (6)) ак = 0 при всех к .

Согласно общей теории группового анализа [2], выписываем инфинитезимальный оператор группы преобразований (5):

Х =

Л Л

v „ , д д д д Х, T = —г2-+ r--t2-+ tx-

V ) дтх дт2 д ^ д tl

Переходя к полярным координатам r = r cosp, r2 = r sinp, r = ^ cosp +12 sinp ,

• д /""i ~

rp = —1 sin p +12 cosp , находим Х =-. Следовательно, Ix = r = *Лтх +T2, I2 = tr, I3 = t обра-

p др

зуют полную систему функционально независимых инвариантов. Поскольку r = 1, редуцированное уравнение записывается в виде tr = U (r) = 0, t^ = V (r) = 0, откуда в силу аналитичности t (r, r) получаем (6).

В дальнейшем удобнее выполнять подобные рассуждения в комплексных переменных

=^ (Г1 + ir2 ) , <í = ^2 = ^ (Г1 — ir2 ) , & = С0Г 5

f = fl = ^ (t1 + it2 ) , f = f2 = ^ (t1 — U2 ) , f = C0t • Аналогичные рассуждения приводят к общему виду двумерного уравнения разветвления:

ад ад

fl (S) = Е к fé 6Í & = 0, 72 = Е с*®"'01 к Z )Ч = 0 •

к=0 к=0

Дополнительная симметрия J (&) = (<&2, даёт a = 0 •

2. Пусть уравнения разветвления t¿ = tf (r,r2) = 0, ' = 1,2 допускают гиперболический поворот

Г cha sha^l

Ag(a) Bg(a) Ag(a)

V sha ска )

Выпишем инфинитезимальный оператор соответствующей группы преобразований

д д д д Х = т2--Ь тх--Ь t2--Ь t2-

д^ дг2 д ^ д t2

и систему функционально независимых инвариантов

!1 (г) = г12 — Z2, h (z> t) = ^2 "r2t1. /3 (t) = t12 -t:

Так как г = 1, по теореме Л.В.Овсянникова получаем редуцированные с помощью инвариантов уравнения

Z1t2 -T2t1 = \ (Z -Т22 ) >

t12 - t2 = h2 (*! ) .

откуда методом неопределённых коэффициентов определяется уравнение разветвления. Если использовать другую систему инвариантов

I1 (Z) = Z - Z2, /2 (z>t) = ^2 — Z2 t1 , h (z> t) = - Z2 t2 ,

то приходиться исключать особое инвариантное многообразие zf — г2 = 0.

Поступило 16.01.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев Н.Н. - Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. - Ташкент: Фан, 1987, с. 183-195.

2. Овсяников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978, 400 с.

3. Эргашбаев Т.С. - Успехи мат. наук, 1984, т.39, № 6, с. 213-214.

Т.Эргашбоев

ШОХАРОНИИ Х,АЛЛХ,ОИ МУОДИЛА^ОИ ГАЙРИХАТТЙ ДАР ФАЗО^ОИ

ФУНКСИЯ^О ДАР БИСЁРШАКЛА^О

Донишгохи давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Рафуров

Дар макола гузориши умумии масъалаи шохаронии даллдои муодиладои гайрихаттй нисбат ба гуруди симметриядо инвариантй оварда шуда, муодилаи шохаронии гуруддои SO (2)

ва O (2) ба вучудоварда омухта мешавад.

Калимацои калидй: муодилаи шохаронй - инвариантй - гуру% - бифуркатсия - таъсири гуру% -муодилаи гайрихаттй.

T.Ergashbaev

BRANCHING OFF THE SOLUTION OF NON-LINEAR EQUITATION IN SPACE

FUNCTIONS OF DIVERSITIES

B.Gafurov KhujandState University The article deales with the description of theory of branching off non-linear equations which are the invariants towards some groups of symmetry. Equation of the branching off the groups SO(2) and O(2) have also been studied.

Key words: Branching off - equation - invariant - group - bifurcation - group action - nonlinear equation.