CC BY
31
УДК 378 МОРОЗОВА Н.Н.
кандидат физико-математических наук, доцент, Академия ФСО России E-mail: natalia_n_morozova@mail.ru ПРОСКУРЯКОВА Л.К.
кандидат педагогических наук, доцент, Академия ФСО России
E-mail: natalia_n_morozova@mail.ru
UDC378 MOROZOVA N.N.
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate professor, The Academy of the Federal Guard Service of the
Russian Federation E-mail: natalia_n_morozova@mail.ru PROSKOURYAKOVA L.K. Candidate of Pedagogy, associate professor, The Academy of the Federal Guard Service of the Russian Federation E-mail: natalia_n_morozova@mail.ru
ПРИМЕНЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ
THE HEURISTIC METHODS APPLICATION IN STUDYING MATHEMATICAL DISCIPLINES IN A TECHNICAL HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTION
В статье представлены результаты исследования авторами возможностей повышения качества математической подготовки и развития творческих познавательных способностей обучающихся посредством использования эвристических методов, дано краткое описание основных эвристических методов с указанием методических особенностей и конкретных примеров их применения при изучении математических дисциплин в техническом вузе.
Ключевые слова: эвристические методы, математические дисциплины, творческие познавательные способности, развивающее обучение.
The article presents the authors' study results of heuristic methods possibilities for improving the quality of mathematical training and development of the creative cognitive abilities of students and briefly describes the main heuristic methods indicating methodological features and specific examples of their application in studying mathematical disciplines in a technical higher educational institution.
Keywords: heuristic methods, mathematical disciplines, creative cognitive abilities, developing education.
Математическое образование является одним из важнейших компонентов подготовки высоко компетентного специалиста технического профиля. В связи с тем, что ведущая идея современного реформирования высшей школы состоит в гуманизации и демократизации образовательного процесса в целях развития личности обучающегося, его способностей и возможностей, становится значимой задача повышения качества математической подготовки, как в аспекте ее фундамен-тализации, так и в аспекте развития математического мышления, интеллектуальных творческих способностей обучающихся. В процессе поиска эффективных способов решения стоящей задачи авторами статьи были выявлены большие возможности эвристических подходов при организации процесса изучения математических дисциплин поскольку в основе эвристического обучения лежит творческая, исследовательская учебно-познавательная деятельность, которая значительно важнее в познавательном, профессиональном и личностном аспектах, нежели освоение обучающимися определенных порций «готовой» информации, известных приемов доказательства теоретических положений и решения задач.
В современных условиях развития научно-технического прогресса те знания, умения, которые формируются при передаче содержания образования обучающемуся, быстро трансформируются и устаревают. «Любой стандартный набор знаний и умений «по образцу», которым должен сегодня владеть выпускник ВУЗа, делает его неконкурентно-способным и безоружным на рынке труда, практически непригодным для быстроменяющегося и усложняющегося мира... Одна из основных задач сегодняшнего образования - не учить человека (как в случае с формирующей педагогикой), а учить его учиться, создавать условия для развития заложенного в человеке потенциала, его самореализации, индивидуализировать процесс обучения» [17, с. 4-5]. В контексте решения этой задачи авторами статьи предлагается использование эвристических методов как элемента развивающего обучения в процессе математической подготовки.
Общепринятое понимание образования как усвоение обучающимися «. опыта прошлого вступает сегодня в противоречие с их потребностью в самореализации, необходимостью решения насущных проблем стремительно изменяющегося мира. От современного
© Морозова Н.Н., Проскурякова Л.К. © Morozova N.N., Proskouryakova L.K.
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
человека требуется, например, осмысленно действовать в ситуации выбора, грамотно ставить и достигать собственные цели, действовать продуктивно в образовательных, профессиональных и жизненных областях. Но для этого необходим иной подход к обучению» [16, с. 10-11].
Вопросы реализации эвристических идей в учебном процессе, организации эвристической учебно-познавательной деятельности, развития эвристических способностей обучающихся при изучении математики рассматриваются в работах Б. М. Балка, И. И. Ильясова, Ю. М. Колягина, Е. А. Кошелевой, Ю. Н. Кулюткина, Дж. Пойа, Г. И. Саранцева, Е. И. Скафы, Л. М. Фридмана, А. В. Хуторского и др. Однако изучение монографий, периодических научных изданий, опыта педагогической работы позволило констатировать, что остается недостаточно разработанной методика организации математической подготовки в вузах технического профиля, основанная на эвристическом подходе.
В процессе исследования возможностей построения такой методики были выявленные противоречия: между необходимостью в специалистах, способных к адекватным действиям в нестандартных ситуациях профессиональной деятельности, и степенью готовности выпускников к подобным ситуациям; между возрастающими требованиями к уровню математической подготовки будущих специалистов и все еще доминирующими репродуктивными способами ее организации; между характерной для математической подготовки необходимостью решения обучающимися не только типовых теоретических и практических задач, задей-ствующего умения выполнять алгоритмическую деятельность, но и большого числа задач эвристического содержания, для успешного решения которых необходимы умения выдвигать и проверять различные гипотезы, выстраивать нестандартную, творческую деятельность, и, как правило, отсутствием целенаправленной педагогической работы по вооружению обучающихся способами такой деятельности.
Все это актуализирует необходимость активизации работы по внедрению в практику изучения математических дисциплин эффективных приемов и методов, в том числе, эвристической направленности.
Эвристика концентрирует внимание на способах, операционных процедурах, ведущих к появлению идей, гипотез, планов решения. «В качестве главного своего предмета исследования эвристика рассматривает не сами по себе мыслительные акты - анализ, синтез, обобщение и т.п. (она оправляется от них как от данного), а те способы, какими отдельные операции структурируются в сложные образования типа стратегий и тактик, направленных на поиск необходимой информации и выработку решений. Эти сложные информационные структуры выступают как результат комбинации элементарных информационных единиц» [3, с. 3].
Реализуемые в образовательном процессе эвристические стратегии регулируются специальными эвристическими правилами, представляющими собой
определенные рекомендации по выбору возможного способа, приема, метода решения стоящей учебно-познавательной проблемы, и предназначены для координации эвристической деятельности с целью обеспечения ее успешности.
Методы эвристического обучения (как способы достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи; совокупности приемов или операций практического или теоретического освоения (познания) действительности [11, с. 795]) можно подразделить на «научные методы - методы исследований в различных предметных областях» [16, с. 127] и собственно эвристические методы.
Авторами статьи установлено, что при организации изучения математических дисциплин эффективными исследовательскими, эвристическими методами, которые подразделяются на методы-операции и методы-действия [8, с. 101], соответственно являются индукция, дедукция, моделирование, анализ, синтез, сравнение, выделение главного, абстрагирование, конкретизация, обобщение, аналогия, классификация, систематизащя и формализация, идеализация, постановка проблемы, выдвижение гипотезы и ее проверка [7].
Проведенное исследование позволило определить совокупность собственно эвристических методов, которые могут быть успешно реализованы в курсе математики. К ним относятся: интеллектуальная разминка, метод эвристических вопросов, метод сократовской беседы, инверсия, метод «открытых заданий», метод проектов, метод «если бы...», методы введения специальных условных обозначений, вспомогательных переменных и функций, метод проектов, метод «размышления вслух» и др.
Обоснование целесообразности выбора конкретных эвристических методов при организации изучения математических дисциплин базируется на необходимости обеспечения успешности их освоения как непосредственно в плане математической подготовки, так и в плане максимальной реализации способностей обучающихся, их интеллектуально-познавательного роста, личностного развития.
Проанализируем более подробно те эвристические методы, которые, как было установлено в ходе исследования, могут наиболее результативно использоваться в учебно-познавательной деятельности по изучению математических дисциплин в целях стимулирования развития творческого потенциала обучающихся и, как следствие, - повышения, в целом, качества подготовки компетентных специалистов.
Метод сократовской беседы (сократовский метод) был предложен древнегреческим философом Сократом и в последствие назван в честь его создателя. «... Сократ с помощью искусно поставленных вопросов и полученных ответов последовательно подводил собеседника к истинному умозаключению... Разработанная Сократом вопросно-ответная форма обучения помогала осуществлять эвристическую деятельность» [15, с. 7]. В настоящее время метод сократовской беседы представляет собой диалогический метод обучения, в процессе реа-
лизации которого преподаватель, задавая серию наводящих вопросов, выясняет, что известно обучающимся по тому разделу дисциплины, который планируется к изучению, а затем организует изучение этого раздела, продолжая выстраивать логическую цепочку вопросов и подводя таким образом обучающихся к требуемым правильным решениям и самостоятельным выводам. Сократовская беседа - это достаточно гибкая форма совместной творческой деятельности преподавателя и обучающихся с целью развития у них умения размышлять, принимать верное решение, аргументировать и отстаивать свою точку зрения, проявлять инициативу, творческую познавательную активность. В ходе эвристической беседы обучающиеся оказываются поставленными перед необходимостью корректно формулировать мысли, рассуждать и делать умозаключения, что способствует развитию краткой, точной, исчерпывающей математической речи [14, с. 328, 329]. Успешное применение сократовкой беседы ведет к самостоятельному «открытию» обучающимися новых знаний, способствуя лучшему их осмыслению и запоминанию. Сложность практического использования сократовского метода обусловлена тем, что преподаватель должен обладать умением рационально разбивать планируемую к освоению учебную информацию на небольшие порции, в соответствии с которыми предъявлять обучающимся серию четких вопросов, подразумевающих их короткие предсказуемые однозначные ответы, позволяющие необходимым образом выстраивать требуемое изложение учебного материала, формируя у обучающихся осознание полноценной причастности к этому процессу.
Например, при изложении теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с использованием метода сократовской беседы возможна следующая серия адресуемых обучающимся наводящих вопросов: Определение какого математического понятия необходимо использовать при доказательстве теоремы? В чем состоит первое условие определения общего решения дифференциального уравнения второго порядка? Каким образом можно убедиться в том, что данная функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению? Что должно быть дополнительно задано для проверки выполнения второго условия определения общего решения дифференциального уравнения второго порядка? Какую мате-магическую конструкцию необходимо построить, чтобы найти значения двух произвольных постоянных, при которых решение данного дифференциального уравнения будет удовлетворять заданным начальным условиям? На основании какой теоремы можно утверждать, что построенная система двух линейных уравнений имеет единственное решение? Каким образом можно записать соответствующее заданному начальному условию частное решение данного дифференциального уравнения? Какой вывод можно сделать по результатам проверки выполнения двух условий из определения общего решения дифференциального уравнения второго порядка?
Установлено также, что метод эвристической бесе-
ды эффективен при рассмотрении геометрической интерпретации определения предела функции по Коши, доказательстве достаточных условий точек экстремума функции и точек перегиба, выводе правил вычисления двойных и тройных интегралов, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода, доказательстве теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, введении алгоритмов исследования функций одного и двух переменных на экстремум, алгоритма нахождения области сходимости степенного ряда и др. Специфика указанного математического аппарата, глубокие внутридисциплинарные связи обусловливают большие возможности для организации в процессе его введения и последующего изучения плодотворной беседы с обучающимися для с целью их привлечения к изложению на лекциях соответствующих учебных вопросов.
Осознав эффективность метода сократовской беседы, обучающиеся нередко стараются организовать такую «беседу» с собой, дискретизируя изучаемый материал и задавая себе вопросы, позволяющие успешно продвигаться при его освоении.
Метод эвристических вопросов. Суть метода состоит в том, что преподаватель ставит перед учебной группой проблему (теорему, задачу), а затем путем целесообразных вопросов подводит обучающихся к ее решению [13, с. 149]. Метод базируется на принципах: системности и логической последовательности задаваемых вопросов, ключевыми из которых являются вопросы: Что? Зачем? Где ? Как? Когда? Чем? - и возможные их парные сочетания, порождающие новый вопрос, например: Как - Зачем?; снижения уровня проблемности решаемой учебной задачи за счет постепенного перехода от общих к частным, более конкретным вопросам с тем, чтобы в итоге обеспечить понимание обучающимися стоящей перед ними проблемы и определение возможных способов ее решения; дробления задачи на составные части (подзадачи), что позволяет составить план и детализировать процесс решения, облегчая тем самым его осуществление [2, с. 297].
Важно подчеркнуть, что вопросы, задаваемые преподавателем, «должны быть общими, применимыми не только к данной, конкретной задаче, но ко всевозможным задачам, если они имеют целью развить способности учащегося, а не просто какой-нибудь частный технический навык» [9, с. 30]. При этом необходимо выстраивать задание эвристических вопросов таким образом, чтобы обучающиеся осознали их познавательную пользу и в последующем сами бы ставили перед собой в процессе самостоятельной работы [9, с. 29]. Метод эвристических вопросов целесообразно применять в ходе организации решения обучающимися практически любой творческой, исследовательской задачи, поскольку стимулирует их интеллектуальную активность, порождает плодотворные идеи, способствует получению дополнительной информации на различных этапах решения (анализ условия, составление и реализация плана решения, проверка и исследование полученного
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
результата), позволяет значительно сократить время решения (что важно в условиях дефицита времени учебных занятий). В частности, эффективность этого метода несомненна при организации решения на занятиях трудоемких задач комплексного, междисциплинарного содержания, в частности, при решении задач прикладной направленности.
Метод символического видения в математике заключается в установлении связей между изучаемым математическим объектом и его символическим представлением. Наиболее широко употребляемыми в математике символами являются: да - символ бесконечности, ^ - символ суммирования, | - символ интегрирования, й - символ дифференцирования, а также логические символы: ^ - символ следования, « -символ равносильности; V - символ всеобщности, 3 - символ существования, 3! - символ существования и единственности; е - символ принадлежности; с -символ включения и др. Умение обучающихся осознанно, аргументировано оперировать математическими символами, записывать математическое понятие или доказательство теоремы в символьном виде, осуществлять переход от символьной записи к «словесной» есть проявление способности самостоятельно осуществлять свертку информацию, ее вариативное представление, что расценивается как творческое владение этой информацией, ее глубокое понимание. Особенно широко авторами статьи метод символического видения применяется при организации изучения теории пределов - максимально абстрактного, а потому трудного для усвоения первокурсниками учебного материала. Дополнение объемных текстовых определений пределов функции и числовой последовательности, бесконечно малых и бесконечно больших функций убедительными лаконичными, а потому психологически комфортными для использования символьными записями с последующей их наглядной графической интерпретацией способствует лучшему пониманию и запоминанию этих фундаментальных понятий математического анализа.
В целом, использование метода символического видения при формулировке понятий, доказательстве теорем, решении задач облегчает усвоение учебного материала и при этом способствует развитию математической культуры, познавательной самостоятельности обучающихся. Приведем примеры некоторых заданий, предполагающих реализацию метода символьного видения.
Запишите в символьном виде:
- формулировку «двойного» определения: «Функция /(х) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X с Я , если существует число М (т) такое, что для любой точки х из этого множества соответствующие значения функции не больше числа М (не меньше числа т)»;
- формулировку теоремы: «Для того чтобы график функции у = / (х) имел двухстороннюю невертикальную асимптоту у = кх + Ь необходимо и достаточно, чтобы при х ^ ж существовали конечные пределы
для нахождения к - предел отношения функции к ее аргументу, и b - предел разности между функцией и произведением числа к на переменную величину х ».
Сформулируйте в текстовом виде формулировку следующей теоремы: (а, b Ф 0. а L b ) ö а • b = 0.
Завершите представленные в символьной форме математические высказывания:
- « f (х)< f (х0) а Vx £ U(х0) ^ •••»;
1- V
- «Предел lim называется •..».
Дх^0 Ах
Представьте в «свернутом» виде доказательство достаточного признака сходимости закочередующегося ряда (признака Лейбница) [5].
Метод инверсии (метод обращений) состоит в применении альтернативного, противоположного подхода к решению стоящей проблемы в тех случаях, когда общепринятые приемы решения не дают желаемого результата. Данный эвристический метод плодотворно используется в процессе доказательства теорем «от противного», когда высказывается предположение, противоположное тому утверждению, которое требуется доказать, и устанавливается, что получаемое, исходя из этого предположения, заключение противоречит условию. Таким образом, появляются основания для вывода о несостоятельности выдвинутого предположения и, как следствие, - об истинности того утверждения, которое требовалось изначально доказать. Например, «от противного» доказываются: необходимое условие точки перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции, достаточное условие расходимости числового ряда, расходимость гармонического ряда и др.. Этот метод используется при выстраивании контрпримеров, например, в подтверждение несостоятельности теорем, обратных: теореме о непрерывности дифференцируемой функции; теоремам, выражающим необходимые условия существования точки перегиба графика функции и точек экстремума дифференцируемых функций одного и двух переменных [10].
Метод инверсии реализуется также при доказательстве теорем, содержащих в своих формулировках необходимое и достаточное условия, например, ортогональности и коллинеарности двух векторов; представления функции, имеющей конечный предел, в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции; сходимости ряда с неотрицательными членами и др. Для того, чтобы обеспечить осознанное понимание обучающимися логической конструкции «необходимое и достаточное условия», полезно целостную текстовую формулировку доказываемой теоремы разделять на две части - необходимое условие и достаточное условие - с последующей их записью в символьном виде. Подобный вариативный подход к формулировке двойных теорем дает возможность обучающимся четко увидеть их смысловую особенность: то, что было дано в необходимом условии теоремы, становится заключением в достаточном условии и - наоборот, то есть условия и заключения
меняются местами, что существенно облегчает понимание таких теорем и их самостоятельное практическое использование.
Методы введения вспомогательных переменных и функций. Метод введения вспомогательных переменных является одним из основных в интегральном исчислении, обеспечивающим возможность перехода от нахождения сложных интегралов к нахождению значительно более простых. Эвристический компонент реализации этого метода связан с необходимостью определения оптимальной для данного конкретного интеграла новой переменной интегрирования. Она или выбирается из известного набора подстановок, или «придумывается», исходя из специфических особенностей подынтегральной функции. Метод введения вспомогательных переменных широко используется при интегрировании иррациональных и тригонометрических функций.
Метод введения вспомогательных функций находит применение при решении таких обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, как однородные, линейные неоднородные (методом Бернулли). уравнения Бернулли. Этот метод дает также хорошие результаты при доказательстве, например, основных теорем дифференциального исчисления - теорем Лагранжи и Коши.
Методы эмпатии и смыслового видения наиболее эффективны в процессе применения метода математического моделирования. При их реализации создаются, например, ситуации: «Представьте себе, что вы инженер, которому необходимо определить параметры электрической цепи для обеспечения максимальной мощности потребителя», или - «Вы проектировщик, которому требуется сконструировать антенну с соответствующими техническими параметрами», и т. п. Формируя не только мысленные, но и образные представления об исследуемом объекте, обучающиеся получают возможность более отчетливо на чувственно-интеллектуальном уровне понять этот объект, его устройство, особенности функционирования и, как следствие, - более четко сформулировать решаемую задачу, конкретизировать ее условие и требования, выбрать оптимальный математический аппарат для построения модели и рациональный способ последующей работы с ней, адекватно оценить получаемые результаты и, при необходимости, внести коррективы в проделанную работу. В процессе использования этих эвристических методов у обучающихся: появляется больший познавательный интерес к выполнению предложенных заданий, поскольку формируется понимание практической значимости приобретаемых знаний, выявляются перспективы их реального применения в процессе дальнейшего обучения и самообразования; развивается интуиция, способность выдвигать и реализовывать обоснованные альтернативные подходы к решению стоящих проблем, включать в познание не только разум, но и эмоции.
Метод открытых заданий. Изучение и последующее закрепление практически любого математического понятия, метода, правила может быть организовано в
форме выполнения обучающимися, так называемых, открытых эвристических заданий, которые не имеют единого решения, но при этом находятся в рамках программного материала изучаемой дисциплины [16, с. 66] . Обучающимся, например, могут быть предложены задания следующего содержания: изложите аналитический и векторный методы решения задач на составление уравнения прямой линии на плоскости; обоснуйте взаимосвязь между возможными видами уравнения плоскости и соответствующими особенностями расположения плоскости в декартовой пространственной системе координат; сформулируйте и проиллюстрируйте конкретными примерами правило построения цилиндрической поверхности; составьте мини-конспект понятийно-формульного аппарата векторной алгебры, интегрального исчисления функций одного переменного и др.; проведите классификацию плоских линий в декартовой системе координат с указанием их характерных особенностей или классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, с указанием соответствующих им методов решения; придумайте десять задач на раскрытие различных видов неопределенности или на нахождение производных сложных функций, представьте их решение, и т.п. Работа по выполнению открытых заданий может быть организована как индивидуально, так и в составе малых групп. В последнем случае обучающимся могут быть предложены задания на составление подборок и решение практико-ориентированных задач с использованием математического аппарата дифференциального исчисления функций одного переменного, интегрального исчисления функций одного или нескольких переменных, обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобные открытые задания предоставляют обучающимся возможность для творческого самовыражения, вариативного самостоятельного переосмысления соответствующего учебного материала, его более глубокого усвоения и запоминания; тогда как обсуждение результатов их выполнения способствует расширению объема математических знаний и научного кругозора, формирует понимание значения творческого подхода к выполнению подобной работы и, при работе в малых группах, навыки коллективной учебно-познавательной и исследовательской деятельности, реально необходимых в предстоящей профессиональной деятельности [6].
Метод «интеллектуальная разминка» используется для мобилизации в короткие сроки интеллектуально-познавательных возможностей обучающихся, их готовности к напряженной интеллектуальной работе за счет активизации мыслительной деятельности в процессе решения достаточно большого числа несложных, разнообразных и интересных по содержанию задач, как правило, эвристического характера. Он особенно актуален, например, во вводной части обзорных занятий, на которых планируется интеллектуально насыщенный обзор изученного в соответствующем разделе курса математики учебного материала (базовых положений, методов,
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
алгоритмов, формул); на первом этапе проведения на занятиях или во внеаудиторное время интеллектуальных и деловых игр. Интеллектуальная разминка дает хорошие результаты практически на любом занятии, особенно если основная часть предлагаемых в ходе ее проведения заданий содержательно связана с учебным материалом занятия. В этом случае она фактически представляет собой проводимый в игровой форме экспресс опрос по выяснению уровня готовности обучающихся к занятию. В целом, данный эвристический метод способствует не только повышению познавательной и интеллектуальной активности обучающихся, но и созданию позитивного эмоционального настроя для дальнейшей успешной работы.
Метод моделирования. Реализация этого метода представляет собой «исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей . На идее моделирования по существу базируется любой метод научного исследования - как теоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели)» [11, с. 816]. Наиболее широко распространенными теоретическими моделями являются математические модели. «Математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Математическое моделирование - мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования ... Математические модели применяются в самых разных областях знания» [12, с. 343, 344].
Алгоритм реализации метода математического моделирования предполагает следующие этапы: построение математической модели исследуемого объекта или процесса некоторой конкретной предметной области; анализ и уточнение модели с целью непосредственного определения математического аппарата, планируемого к дальнейшему использованию; решение полученной собственно математической задачи; исследование результата решения; формулировка выводов на языке той предметной области, которой принадлежит исследуемый с помощью построенной математической модели объект или процесс. Освоение обучающимися практически значимого для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности метода математического моделирования происходит как на учебных занятиях, так и при самостоятельном выполнении заданий для внеаудиторной самостоятельной работы (включая домашние контрольные задания).
Метод «Если бы...» [16, с. 137]. При реализации этого метода обучающимся предлагается пофантазировать и представить себе, что могло бы быть, «если бы.». Например, «Что было бы, если бы в формулировке не-
обходимого и достаточного признаков сходимости ряда с неотрицательными членами отсутствовало требование неотрицательности членов ряда?», «Как изменилась бы теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения, если бы отсутствовало требование линейной независимости решений этого уравнения», «Что было бы с решением системы линейных неоднородных уравнений, если бы ее определитель был равен нулю?» и т. п. Выполнение подобных заданий не только развивает воображение обучающихся, но и позволяет лучше понять глубинные особенности соответствующих математических понятий, обязательность и значимость всех элементов их формулировок.
Метод рекурсии [1] является одним из методов рационального познания действительности через рассмотрение рекурсивных структур и принципов их организации. Под рекурсивными структурами понимают самовоспроизводящиеся, усложняющиеся структуры, включающие в себя алгоритмы собственного разворачивания через самоповтор [4, с. 4]. Их отличием от других структур является способность к бесконечному усложнению, что даёт возможность приблизиться к понятию бесконечности, трудно поддающемуся осознанию обучающимися.
На текущий момент развития науки рекурсивные (фрактальные) структуры вышли на первый план изучения во многих областях естественнонаучного знания. С учетом этого овладение методами работы с рекурсивными структурами и реализация рекурсивных подходов к решению теоретических и практических задач (в частности, разработки эффективных алгоритмов и программ) является важным элементом современного образования.
Математические дисциплины обладают исключительными содержательными и методическими возможностями по освоению данного эвристического метода.
Начальное знакомство с идеей рекурсивности осуществляется при рассмотрении рекуррентно задаваемых последовательностей: арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др.; функций: факториал (/(0) = 1, / (п) = п • /(п -1), п е N), гамма-функция ( Г ( +1) = г • Г(г), г е С, Яе(г) > 0); множеств - множество Кантора; специальных чисел,
2
например число Эйлера e = 2 + -
2 + -
3
= 2 + f (2)
3+
4
4 +...
где f (n) = -
n е N.
n + f (n + 1)
Рекурсивный метод при изучении математического анализа привлекается к введению понятия определителя матрицы, вычислению интегралов от функций вида ea" cos px, ea" sin Px, sinln x, cosln x, когда двукратное применение этого метода интегрирования приводит к алгебраическому уравнению относительно искомого интеграла, из которого он и находится.
Метод рекурсии активно используется в комбинаторике для решения различного рода задач о подсчете чис-
ла комбинаций, подчиненных определенным условиям. Например, в задаче о Ханойской башне решение осуществляется через получение рекуррентного соотношения T {н) = 2 • T(n -1) +1, п е N , при T(0) = 0. В задаче о числе способов вычисления неассоциативного произведения x1 • x2 •... • xn с помощью бинарных умножений приходим к рекуррентному соотношению un = u1un-1 + u2un-2 +... + un-1u1, u2 = 1. Для решения этих и подобных рекуррентных соотношений привлекаются методы решения линейных рекуррентных соотношений и достаточно сложный математический аппарат производящих функций решения нелинейных рекуррентных соотношений.
При изучении теории алгоритмов для формализации понятия алгоритма осуществляется построение специальных классов примитивно и частично рекурсивных функций.
Метод рекурсии привлекается к построению важных в практическом отношении алгоритмов с наилучшими на сегодняшний день оценками временной вычислительной сложности таких, как быстрое умножение чисел и матриц, быстрая сортировка массива, быстрое преобразование Фурье и др.
В целом при реализации эвристических методов необходим системный подход, элементы которого применяются для решения сложных учебных задач, которые
приближаются к реальным задачам исследовательского характера. Системный подход решает вопросы, как правильно ставить исследовательские задачи, какие методы их решения использовать, как сложное превратить в простое, как не только трудноразрешимую, но и труднопо-нимаемую проблему превратить в четкую серию задач, для которых известен или может быть достаточно легко найден метод решения [18, с. 5]. Он используется на практике при решении разнообразных по содержанию математических, физических, технических, экономических, организационно-управленческих, военных задач.
Необходимо отметить, что элементы эвристической деятельности имеют место и в традиционном обучении, однако, далеко не всегда это носит систематизированный характер, что важно для реализации ее интеллектуально развивающей функции и реального повышения качества математической подготовки. Знание обучающимися характерных особенностей и целевого назначения основных эвристических методов, личный положительный опыт их практического применения способствует осознанному, аргументированному, а потому более результативному их использованию при изучении математических дисциплин, что развивает способности обучающихся к нестандартной, творческой деятельности и повышает качество математической подготовки.
Библиографический список
1. Головешкин В.А., Ульянов М.В. Теория рекурсии для программистов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 296 с.
2. Кругликова О.В., Матвеева Е.В. Применение метода эвристических вопросов для развития творческих способностей студентов при изучении математики // Вестник ТОГУ. 2015. № 4 (39). С. 293-300.
3. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: Педагогика, 1970. 232 с.
4. ЛичутинА.В. Онтология рекурсивных структур. Дис. ... канд. философ. наук. Архангельск, 2006. 207 с.
5. МорозоваН.Н., Проскурякова Л.К. Организация рубежного контроля развития способностей обучающихся к исследовательской деятельности при изучении математических дисциплин // Ученые записки Орловского Государственного университета. 2016. № 4 (73). С. 322-327.
6. Морозова Н.Н., Проскурякова Л.К. Проектные задания как способ формирования профессиональных компетенций // Сборник научных трудов факультета дополнительного образования и повышения квалификации. Выпуск 13. Орел: Изд-во Орловского государственного университета им. И.С. Тургенева. 2016. C. 77-81.
7. Морозова Н.Н., Проскурякова Л.К. Реализация методов исследовательской деятельности в процессе математической подготовки в техническом вузе // Ученые записки Орловского Государственного университета. 2017. № 4 (77). С. 280-286.
8. Новиков А.М., Новиков ДА. Методология. М.: СИНТЕГ, 2007. 668 с.
9. ПойаД. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. 207 с.
10. Проскурякова Л. К., Морозова Н. Н. Развивающая роль примеров в математической подготовке // Современные проблемы физико-математических наук: материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (22 - 25 ноября 2018 г., г. Орел): Ч. 2. Орел: ОГУ им. И.С. Тургенева. 2018. С. 110-115.
11. ПрохоровА.М. (гл. ред.) Советский энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопедия, 1985. 1600 с.
12. ПрохоровЮ.В. (гл. ред.) Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.
13. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики: пособие для пед. ин-тов. - М.: Учпедгиз, 1958. 223 с.
14. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография. Донецк: Изд-во ДонНУ 2004. 440 с.
15. Столярова О.Е. Курс: эвристика. Юнита 1. Система педагогической эвристики. М.: Современный гуманитарный университет, 1999. 62 с.
16. Хуторской А.В. Развитие одаренности школьников. Методика продуктивного обучения: Пособие для учителя. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000. 320 с.
17. Хуторской А.В., Король А.Д. Эвристический практикум по основам педагогики: учебно-методическое пособие для студентов лечебного, педиатрического, медико-психологического, медико-диагностического факультетов. Гродно: ГрГМУ, 2009. 184 с.
18. Черняк Ю. И. Системный анализ в управлении экономикой. М.: Изд-во «Экономика», 1975. 191 с.
References
1. Goloveshkin V.A., UlyanovM.V. The recursion theory for programmers. M .: FIZMATLIT, 2006. 296 p.
2. Kruglikova O.V., MatveevaE.V. The use of the heuristic questions method for the development of students' creative abilities in the study of mathematics // Bulletin of Pacific national university. 2015. No. 4 (39). Pp. 293-300.
3. Kulyutkin Yu.N. Heuristic methods in the structure of solutions. M .: Pedagogy, 1970. 232 p.
4. LichutinA.V. Ontology of recursive structures. Dis. ... cand. philosopher. sciences. Arkhangelsk, 2006. 207 p.
5. MorozovaN.N, ProskuryakovaL.K. Organization of the midterm control of the development of students' abilities for research in the study
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
of mathematical disciplines // Scientific notes of Orel State University. 2016. No. 4 (73). Pp. 322-327.
6. MorozovaN.N, ProskuryakovaL.K. Design tasks as a way of forming professional competencies // Collection of scientific works of the faculty of additional education and advanced training. Issue 13. Orel: Publishing House of the Oryol State University. I.S. Turgenev. 2016. Pp. 77-81.
7. Morozova N.N, Proskuryakova L.K. Implementation of research methods in the course of mathematical training in a technical higher educational institution // Scientific notes of Orel State University. 2017. No. 4 (77). Pp. 280-286.
8. NovikovA.M., NovikovD.A. Methodology. M .: SINTEG, 2007. 668 p.
9. Polya G. How to solve the problem. M .: Uchpedgiz, 1959. 207 p.
10. Proskuryakova L.K., Morozova N.N. The developing role of examples in mathematical training // Modern Problems of the Physical and Mathematical Sciences: Materials of the IV All-Russian Scientific and Practical Conference with International Participation (November 22 - 25, 2018, Orel). Vol. 2. Orel: OSU them. I.S. Turgenev. 2018. Pp. 110-115.
11. ProkhorovA.M. (Ch. ed.) Soviet Encyclopedic Dictionary. M.: Soviet Encyclopedia, 1985.1600 p.
12. Prokhorov Yu.V. (Ch. ed.) Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M .: Soviet Encyclopedia, 1988. 847 p.
13. Repyev V.V. General methods of teaching mathematics: a manual for pedagogical institutes. - M .: Uchpedgiz, 1958. 223 p.
14. SkafaE.I. Heuristic teaching of mathematics: theory, methodology, technology. Monograph. Donetsk: Publishing house of DonNU, 2004. 440 p.
15. Stolyarova O.E. Course: heuristic. Unit 1. The system of pedagogical heuristics. M.: Modern University for the Humanities, 1999. 62 p.
16. Khutorskoy A.V. The development of students' giftedness. Productive Learning Technique: Teacher Manual. M.: Humanity Editional center VLADOS, 2000. 320 p.
17. KhutorskoyA.V., KorolA.D. Heuristic workshop on the basics of pedagogy: a teaching tool for students of medical, pediatric, medical and psychological, medical and diagnostic faculties. Grodno: State Medical University, 2009. 184 p.
18. Chernyak Yu. I. System analysis in economic management. M.: Publishing house "Economics", 1975. 191 p.
