CC BY
67
УДК 373.5.016:51+37.016:51 ББК 74.262.21+22.1 р30
ГАРМОНИЧНОЕ СОЧЕТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО И ИНТУИТИВНОГО ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ
I Э.К. Брейтигам
202
Аннотация. В статье обоснована целесообразность гармонизации рационального и интуитивного компонентов познания и мышления для повышения уровня математического образования, достижения обучающимися понимания при усвоении учебного (математического) материала. Показывается необходимость выделения «ядра» математического образования на всех уровнях обучения математике, в основе которого лежит принцип фундаментальности. Это позволит сохранить традиции российского математического образования в развитии рационального компонента в познании и теоретического мышления обучающихся. Одновременно с созданием прочной основы из элементарных математических знаний, умений, а также первичных элементов математической культуры обосновывается необходимость развития эвристического потенциала обучающихся, результатом чего должна стать выработка интеллектуальной интуиции. Одним из путей реализации задачи одновременного развития рационального и интуитивного опыта в процессе обучения математике, по мнению автора, является внедрение организационно-методической системы «понимающего усвоения» предмета.
Ключевые слова: математическое образование, рациональное мышление, эвристическое обучение, интеллектуальная интуиция, «понимающее» усвоение математики.
HARMONIOUS COMBINATION OF RATIONAL AND INTUITIVE WITHIN THE PROCESS OF TEACHING MATHEMATICS AT SCHOOLS AND UNIVERSITIES
| E.K. Breytigam
Abstract. The article substantiates the expediency of harmonizing the rational and the intuitive components of cognition and thinking to raise the level of mathematical education, helping the students to achieve understanding in mastering academic (mathematical) material. The necessity of separation
"core" of mathematical education at all levels of teaching mathematics, which is based on the principle of fundamental. This will keep the traditions of the Russian mathematical education in the development of a rational component in knowledge and theoretical thinking of students. Along with creation of a strong basis from elementary mathematical knowledge, skills, and also primary elements of mathematical culture, the article defines the need of development of heuristic potential of students, development of an intellectual intuition as a result. One of the ways of implementation of a problem of simultaneous development of rational and intuitive experience in the process of training in mathematics, according to the author, is introduction of organizational and methodical system of «the understanding assimilation» of a subject.
Keywords: mathematical education, rational thinking, heuristic learning, intellectual intuition, "understanding of the assimilation of mathematics.
Развитие мировой науки в последние десятилетия характеризуется применением в исследованиях синтеза естественнонаучного и гуманитарного подходов. Во всем мире реализуются нанотехнологические инициативы, которые направлены на развитие всего блока наноинфобиокогни-тивных ^В1С — NanoBioInfoCognito) технологий. Однако последнее десятилетие показало, что и этого недостаточно, и что к этому синтезу надо добавить социальные технологии @СВШ - SocюCognitoInfbBюNano).
По многочисленным научным прогнозам XXI век будет веком человека. Развитие возможностей и способностей людей и коллективов станет магистральным направлением прогресса.
В настоящее время образование из способа передачи опыта растущему человеку превращается в механизм развития его внутренней культуры и природных дарований. Современная образовательная система должна выступать как своеобразный социокультурный инструмент ста-
новления и развития единства моти-вационно-смысловой, предметно-де-ятельностной и интеллектуально-коммуникативной сфер личности.
История российского математического образования имеет богатый опыт по развитию личности, мыслительной деятельности в процессе обучения математике на всех ступенях обучения. Основным отличием и достижением российского математического образования является то, что 203 оно учило обучающихся думать. Сохранение этих традиций в настоящее время является весьма актуальным. К сожалению, в связи с введением ЕГЭ как единственного способа оценки достижений школьника по математике в практике обучения общеобразовательной школы значительное место стало отводиться «рецептурному» способу обучения, при котором основное внимание уделяется формированию приемов решения определенного типа задач зачастую без соответствующего обоснования.
Отметим также, что математика является абстрактной дисциплиной
ВЕК
204
и ее изучение требует систематической и непрерывной работы, основанной на понятийном мышлении. Тенденция превалирования у обучающихся «клипового» мышления усиливает проблемы в процессе понимания математики: отражение разнообразных свойств математических объектов без учета связей между ними, фрагментарность информационного потока, алогичность, отсутствие целостной картины восприятия фундаментальных идей математики. Это отрицательно сказывается, в первую очередь, на мотивированности обучения математике. В то же время в современных образовательных стандартах указывается, что развитие мышления (математического и логического) остается одной из ведущих задач в процессе обучения. Известный российский математик, лингвист и популяризатор науки В.А. Успенский, уточняет, что обучение математике должно быть направлено на формирование «дисциплины мышления» (в смысле приверженности к порядку и способности ему следовать) [1, с. 33]. Помимо этого, он называет «еще три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия», и перечисляет их в порядке возрастания важности: «первое — это умение отличать истину от лжи (...); второе — это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье — это умение отличать понятное от непонятного [2, с. 28]. И если «дисциплина мышления» связана с рациональным компонентом мыслительного процесса, то остальные умения, перечисленные В.А. Успенским, теснейшим образом связаны с эвристикой, интуицией, воображением, рефлексией.
Исследованиями психологов в течение трех последних десятилетий доказано, что у человека есть две отличные, но взаимодействующие системы для обработки информации. Одна система ориентирована на эвристику, приводящую к интуитивным ответам, другая связана с аналитической обработкой, что, в свою очередь, соответствует двум познавательным стилям — рациональному и интуитивному [3]. И эта двойственность мышления отражает многомерность мира человека, принципиальные различия в типах проблем, которые субъект должен решать в эмпирической, социокультурной и экзистенциальной реальностях [4].
С учетом приведенных выше факторов реализация системно-дея-тельностного подхода, являющегося идейной основой образовательных стандартов школы, и компетентност-ного, лежащего в основе ФГОС высшего образования, возможна в полной мере лишь при условии гармонизации рационального и интуитивного компонентов познания с учетом того, что важнейшими характеристиками современного обучения, в частности, математике станут:
• перенос акцента с информационного на смысло-поисковое обучение;
• опора на имеющийся субъектный (личностный) опыт обучающегося и направленность на преобразование этого опыта, рефлексию;
• внимания к становлению лич-ностно-смысловой сферы обучающегося;
• создание условий для раскрытия индивидуальности обучающегося, его самореализации и творчества.
Для реализации этих положений необходимо достаточно глубокое пе-
реосмысление как имеющегося опыта развития рационального компонента мыслительной деятельности при обучении математике, так и процесса выработки интуиции в предметной области «математика».
Как уже отмечалось выше, в настоящее время происходит усиление влияния так называемого «вычислительного подхода» [5] к развитию мышления обучающихся (обучение алгоритмам без достаточно глубокого осознания их сути), что, в свою очередь, приводит к отказу учителей математики от решения задачи развития теоретического мышления учащихся в процессе изучения ими математики; то есть обучение математике и в школе, и в вузе все более приближается к ««рецептурному» сценарию: выдача правил и алгоритмов решения стандартных ситуаций (типовые задачи, типовые проекты, известные алгоритмы). Это объясняется уменьшением часов, отводимых на изучение математики, системой контроля знаний (ОГЭ, ЕГЭ, тестирование в вузе или экзамен в письменной форме). При таком обучении не реализуется важнейшая функция этой дисциплины (формирование «дисциплины мышления») и утрачивается такая характеристика математического образования, как фундаментальность. Последнее может привести (и уже приводит) к снижению математической культуры обучающихся, полному непониманию общеобразовательного и культурного значения математики в жизни общества. Для преодоления этой негативной тенденции в сложивших обстоятельствах мы считаем необходимым четкое определение «ядра» математического образования как в школе (на разных ступенях обучения), так и в
вузе (с учетом профиля). Поскольку единственном местом получения научных знаний для подростков является школа, понятия и факты, включенные в «ядро», должны изучаться на достаточно высоком научном уровне (именно при реализации такого требования могут быть достигнуты наивысшие результаты в математическом образовании, о чем убедительно свидетельствовала практика обучения математике в конце 50-х и 60-х гг. прошлого века). Опыт развития рационального компонента мышления, теоретического мышления обучающихся при обучении математике еще сохранился как в лучших школах, так и в некоторых вузах. Подчеркнем, что для достижения рационального опыта в процессе обучения математике школьники не только должны знать определения понятий и формулировки теорем или уметь решать задачи. Многие специалисты подчеркивают, что в настоящее время кругозор, порой, важнее, чем глубокое знание узкой области. Обучающиеся должны иметь в своем опыте пример работы с целостной математической теорией, понимать ее структуру и закономерности. Результатом реализации принципа научности и фундаментальности математического образования, которые традиционно относились к отличительным особенностям российского математического образования, должны стать такие элементы математической культуры и элементарные умения, как различения математического понятия и утверждения, знание их структуры, понимание разницы формулировок теоремы, аксиомы и определения, умение чтения математического текста, анализ структуры математического предложения и др.
205
Параллельно с созданием прочной основы из элементарных математических знаний, умений, а также первичных элементов математической культуры необходимо развивать эвристический потенциал обучающихся на основе их свободных размышлений. В такой работе полезны задания на прикидку результата вычисления с последующим объяснением полученного результата; установление аналогий при изучении нового материала с изученным ранее не только в предметной области «математика», но и в других предметных областях; использование эмпирического опыта, например, для возникновения ассоциаций между абстрактными и реальными объектами и др. Результатом развития эвристического потенциала обучающегося может стать выработка интуиции.
Остановимся подробнее на этом понятии. Понятие интуиция достаточно подробно исследуется в философии, теории познания, психологии, теологии. Чаще всего Интуиция (от лат.
ЧПС — пристально смотрю) опреде-
206 ляется как способность постижения истины путем ее усмотрения без обоснования с помощью доказательств. Интуиция понимается как форма непосредственного получения знания без его логического выведения и доказательств, путем целостного схватывания ситуации. Еще ее определяют как чутье, проницательность, непосредственное познание, основанное на предшествующем опыте и теоретических научных знаниях. Отмечается также, что интуиция — это плод переплетения логических и психологических механизмов мышления.
Выделяют формы интуиции: чувственную и интеллектуальную.
Интуитивное мышление следует за осознанным мышлением в плане проблематики, но часто опережает его во времени решения задач. Оно всегда эмоционально окрашено и дает лишь некоторый ключевой элемент в решении проблемы, требующей последующего рационального обоснования способа решения и полученного результата. Учение об интеллектуальной интуиции, основанное на непосредственном видении связей между умственными операциями, отличается от учения об априорных знаниях.
Проанализировав различные описания понятия «интуиция» в исследованиях философов, психологов и педагогов, собственный опыт преподавательской деятельности, мы считаем, что, ведя речь о развитии интуиции в процессе обучения математике, целесообразно говорить о развитии интеллектуальной интуиции, для которой характерно следующее: 1) интуитивное знание, в отличие от рассудочного, возникает в сознании мгновенно и сразу, а не поэтапно и постепенно, но опирается на предшествующий опыт и осознанное мышление; 2) интуитивное знание — это целостное знание вещей, целостное охватывание проблемной ситуации; 3) интуитивное знание чаще всего эмоционально окрашено.
В системе российского математического образования имеется богатый опыт развития как рационального, так и интуитивного компонентов мышления обучающихся. В частности, практика показывает, что многие преподаватели математики школ и вузов активно применяют в своей работе различные мнемонические правила, стихи, поговорки, по-
ЕК
могающие обучающимся запомнить правила или определения, используют ассоциативные связи для раскрытия сущности вводимых понятий или теорем. Тем самым они привлекают жизненный опыт обучающихся, их эмоции для усвоения нового, развития интуиции. Чем абстрактнее математическое понятие, чем сложнее логическая структура его определения, тем целесообразнее для организации усвоения такого понятия привлечение эмпирического опыта обучающихся, примеров эвристического описания, интуиции.
Гармонизация этих двух направлений: формирование ядра научных математических знаний и развитие интуиции, как доказано исследованиями психологов, педагогов, опытом преподавателей математики школы и вузов, позволят совершить переход к современному образованию, которое будет соответствовать новым закономерностям научно-технического прогресса. Одним из путей реализации задачи одновременного развития рационального и интуитивного опыта в процессе обучения математике является внедрение организационно-методической системы «понимающего усвоения» предмета.
Проблемами понимающего усвоения математики занимается Санкт-Петербургская методическая школа (Е.И.Лященко, Н.С. Подходова, В.В. Орлов, В.М. Туркина и др.). Опираясь на их работы и собственные исследования, мы уточнили трактовку «понимающего усвоения» математики. Оно включает выполнение следующих условий: 1) целостность и системность содержания и его знакового представления, 2) постижение различных аспектов (логико-се-
миотический, структурно-предметный, личностный и др.) смысла математических понятий (фактов) и 3) направленность процесса обучения математике на приобретение и рефлексию личностного опыта, имеющего символико-смысловую природу [6].
Целесообразность внедрения организационно-методической системы «понимающего» усвоения математики объясняется тем, что особая роль при построении личностной научной картины мира средствами математики принадлежит категориям «смысл» и «понимание» [7].
К основным дидактико-методиче-ским требованиям реализации организационно-методической системы понимающего усвоения математики относятся:
• построение процесса обучения как последовательности взаимосвязанных учебно-познавательных ситуаций (учебно-познавательные ситуации организуются как средство преодоления противоречия между имеющимся эвристическим опытом и новыми фактами);
• осуществление актуализированного способа формирования математических понятий (при раскрытии содержания понятий) на основе выявленного эвристического опыта учащихся по данной проблеме и направленного на постижение различных контекстов смысла (логико-семиотический, структурно-предметный и личностный) понятия;
• выявление структуры учебной деятельности и использование двух форм ее регуляции (предметно-понятийной и смысловой) при формировании математических понятий;
• выявление средств и приемов организации понимающего усвоения
207
ВЕК
абстрактных математических понятий (диалог, интерпретация абстрактных понятий, установление ассоциаций с реальными объектами, рефлексия и др.).
Условиями реализации названной организационно-методической системы при обучении математике в школе и вузе являются:
• выделение смысловых элементов деятельности в процессе формирования математических понятий с учетом установленных аспектов категории «смысл» при обучении математике;
• применение диалога как ведущего метода осмысления учебного материала;
• использование различных форм представления содержания понятия через целенаправленную организацию знаково-символической деятельности;
• обучение моделированию реальных ситуаций через различные интерпретации абстрактного математического понятия (задания на творческий поиск возможных истол-
208 кований нового знания);
• коррекция обучающимися собственной учебно-познавательной деятельности через рефлексию полученных знаний и приобретенного опыта в данной предметной области;
• решение специально подобранных задач, направленных на актуализацию опыта учащихся по рассматриваемой проблеме, выявление смысловых контекстов понятия и его применение;
• организация информационно-коммуникационной предметной среды при выполнении лабораторных работ, проектов и специальных творческих заданий по математике, на-
правленных на выявление сущности абстрактных математических понятий, небольших теорий.
Следует отметить, что в связи с высокой абстрактностью математического знания, использованием специального математического языка и задачей организации понимающего усвоения предмета были выделены функции символизации, наиболее характерные для математики и ее изучения:
• репрезентирующая или замещающая (знак замещает другой, отличный от него предмет);
• творческая (преемственность знания, влияние прошлого опыта и т.д.);
• операциональная (роль символов в выработке алгоритмов);
• опосредующая (связь между предметами и действиями, средство осмысления).
Необходимость такого выделения объясняется тем, что исследованиями психологов (Н.Ф. Талызина, Е.Г. Салмина и др.) установлено, что одной из основных трудностей, которую испытывают обучающиеся при усвоении математического материала, является непонимание символики (смысла и значения символа), неумение ею пользоваться: незнание правил работы с символами, отсутствие навыков в их использовании, неспособность перейти от символически записанного математического предложения к вербальному или геометрическому и наоборот.
Выделение функций символизации и их учет при обучении математике позволят преподавателю совместно с обучающимися установить роль символов при изучении основных математических понятий, ис-
пользовать интеграцию различных форм представления (символьную, вербальную, графическую) для более глубокого и осознанного усвоения материала.
Не раскрывая подробнее основные положения данной организационно-методической системы [6; 7], обратим лишь внимание на использование эвристического потенциала предмета для развития интуиции обучающихся. При этом значительное внимание уделяется формированию эвристических представлений абстрактных понятий, установлению ассоциативных связей между фактами изучаемой темы, обогащению личностного опыта обучающегося, установлению связи между его житейским и научным опытом, расширению возможности применения изученного материала как в рамках данной дисциплины, так и в смежных дисциплинах. Процессы формирования интуиции в предметной области «математика» тесно связаны с процессом смыслооб-разования, с выявлением «сущностных» свойств понятий и их ассоциативных связей.
Гармонизация рационального и интуитивного опыта обучающихся способствует преодолению трудностей при понимании сложного учебного материала, так как дает возможность обучающемуся установить взаимосвязь формально-логического определения математического понятия и его смысла, как предметного (геометрического, физического и др.), так и содержательного (идея, история возникновения, место в системе математического знания, ассоциации на уровне эвристик). Интеграция рационального и интуитивно-
го опыта, использование разнообразных форм и видов представления информации создают новые возможности для интерпретации и создания внутреннего образа нового факта, понятия. Наконец, появление целостного представления об изучаемом материале возможно лишь при выявлении в материале как формально-логических структурных и функциональных связей, так и возникших ассоциаций, эвристических описаний [8].
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Успенский, В.А. Апология математики: [сборник статей] [Текст] / В.А. Успенский. - СПб.: Амфора. ТИД Амфора, 2009. - 554 с.
2. Успенский, В.А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера [Текст] / В.А. Успенский. - М.: МЦНМО, 2011. -48 с.
3. Знаков, В.В. Экзистенциальный опыт и постижение как методологические проблемы психологии понимания [Текст] / В.В. Знаков // Человек. Сообщество. Управление. - 2014. - № 3. - С. 67-82.
4. Знаков, В.В. Многомерный мир человека: 209 типы реальности, понимания и социального знания [Текст] / В.В. Знаков // Вестник Московского университета. - 2012. -
Сер. 14. Психология (3). - С. 18-29.
5. Брунер, Дж. Культура образования [Текст] / Дж. Брунер; [пер. Л.В. Трубицыной, А.В. Соловьева]; Моск. высш. шк. социальных и экон. наук. - М.: Просвещение, 2006. - 223 с.
6. Брейтигам, Э.К. Деятельностно-смысло-вой подход в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа. Монография [Текст] / Э.К. Брейтигам. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 2004.- 290 с.
7. Брейтигам, Э.К. Теоретические основы обеспечения качества обучения математике: достижение понимания и логико-семиотический анализ. Монография [Текст] /
Э.К. Брейтигам, С.Д. Каракозов, И.В. Ки-сельников, Н.И. Рыжова. - Барнаул, АлтГПА, 2011. - 229 с.
8. Брейтигам, Э.К. Интеграция рационального и интуитивного опыта как средство обеспечения понимания учебного материала по математике [Текст] / Э.К. Брейтигам // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 1 [Электронный ресурс]. - URL: http://www.science-education. ru/121-17971 (дата обращения: 20.03.2015).
REFERENCES
1. Brejtigam E.K., Dejatelnostno-smyslovoj podhod v kontekste razvivajushhego obu-chenija starsheklassnikov nachalam mate-maticheskogo analiza, Monografija, Barnaul, Izd-vo BGPU, 2004, 290 p. (in Russian)
2. Brejtigam E.K., Integracija racionalnogo i intuitivnogo opyta kak sredstvo obespech-enija ponimanija uchebnogo materiala po matematike, Sovremennye problemy nauki i obrazovanija, 2015, No. 1, available at: www.science-education.ru/121-17971 (accessed: 20.03.2015). (in Russian)
3. Breitigam E.K., Karakozov S.D., Kiselni-kov I.V., Ryzhova N.I. Teoreticheskie osnovy obespecheniya kachestva obucheniya matematike: dostizhenie ponimaniya i logiko-semioticheskii analiz, Monografiya, Barnaul, Izd-vo AltGPA, 2011. 229 s. (in Russian)
4. Bruner Dzh., Kultura obrazovanija, Moscow, Prosveshhenie, 2006, 223 p. (in Russian)
5. Uspenskij V.A., Apologija matematiki, St-Petersburg, Amfora. TID Amfora, 2009, 554 p. (in Russian)
6. Uspenskij V.A., Matematicheskoe i gumani-tarnoe: preodolenie barera, Moscow, MC-NMO, 2011, 48 p. (in Russian)
7. Znakov V.V., Ekzistencialnyj opyt i postizhe-nie kak metodologicheskie problemy psi-hologii ponimanija, Chelovek. Soobshhestvo. Upravlenie, 2014, No. 3, pp. 67-82 (in Russian)
8. Znakov V.V., Mnogomernyj mir cheloveka: tipy realnosti, ponimanija i socialnogo znanija, Vestnik Moskovskogo universiteta, 2012, Ser. 14, Psihologija (3), pp. 18-29 (in Russian)
Брейтигам Элеонора Константиновна, доктор педагогических наук, профессор, кафедра алгебры и методики обучения математике, Алтайский государственный педагогический университет, [email protected] 2|0 Breytigam E.K., ScD (Pedagogy), Professor Department of Algebra and Methods of Teaching Mathematics, Altai State Pedagogical University, [email protected]
