CC BY
29
УДК 530.1:533.7
ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ НЕМАРКОВСКОГО ПОДХОДА
Ю. А. Кулагин, Р. И. Сериков, И. В. Симановский, Л. А. Шелепин
В отличие от марковских процессов (или процессов без последействия), которые описываются дифференциальными и псевдодифференциальными уравнениями, немарковские процессы (сохраняющие память о прошлом) моделируются в общем случае нелинейными, нелокальными по времени интегродифференциальными уравнениями типа
где /(т) - функция, описывающая процесс, ф - нелинейный оператор, Л - заданная функция. Упрощенное описание ряда немарковских процессов проводилось с помощью конечно-разностных уравнений типа
Ранее нами была разработана методика решения интегральных уравнений Фред-гольма 1-го рода, относящихся к классу некорректных задач [2]. Были рассмотрены математические основы метода регуляризации и предложен критериальный отбор параметра регуляризации. Предложенный алгоритм достаточно просто переносится на интегродифференциальные уравнения типа (1), что позволяет решать немарковские уравнения.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы показать наличие широкого класса конкретных физических задач, связанных с немарковскими процессами, а также рассмотреть возможности упрощенных немарковских схем, описываемых конечно-разностными уравнениями.
Рассматриваются области физических приложений немарковского подхода и связанных с ним интегродиффе-ренциальных уравнений. Обсуждаются пути практического решения задач, учитывающих память о прошлом.
[1]:
(1)
1 = Оо/< -(- аг/( + а2/<-1-...
(2)
Как будет показано ниже, к немарковским относится обширный класс физических задач, но их немарковская природа присутствует неявно, скрыто, она остается на втором плане. В конкретных задачах основное внимание обращается на нелинейность. Одна ко нелинейное описание по своей сути остается незамкнутым. Рассмотрим конкретные примеры.
Модель "хищник" - "жертва" нашла широкую область применений в математиче ской экологии [3]. В модели предполагается существование двух видов организмов. Один из них - "жертвы", с числом особей N1(¿), может неограниченно получать питание из окружающей среды, второй вид - "хищники", с числом особей Л^), питается только представителями первого вида. Изменение числа "жертв" может быть представлено уравнением
= (3)
где - скорость размножения жертв, - коэффициент пропорциональности, стоящий перед числом встреч "хищника" и "жертвы", кончающихся гибелью последних. Изменение числа "хищников" складывается из убыли за счет естественной смерти и прироста за счет рождаемости, зависящей от питания в течение некоторого времени т, предшествующего появлению потомства. Соответствующее уравнение может быть представлено в виде
¿ЛГг/Л = [-к2 + б2 Г N^1 - т)^(т)Л-]ЛГ2(*), (4)
•/о
где г характеризует влияние количества съеденной "хищником" в момент времени т пищи на рождаемость в момент
Таким образом, численность популяций удовлетворяет системе нелинейных урав нений (3) - (4), одно из которых является дифференциальным, а другое интегродиф ференциальным. Иными словами, система "хищник" - "жертва" как целое является немарковской и зависит от предыстории. Однако обычно в подавляющем большинстве работ вместо уравнения (4) используют уравнение
сН^/А = [~к2 + (5)
Т.е. рассматривается система дифференциальных уравнений, и немарковость остается за кадром.
Аналогичная картина наблюдается в обширной литературе по колебательным химическим реакциям, в частности, по реакции Белоусова-Жаботинского. Ряд экспериментальных исследований [5] указывал, что индукционный период до начала колебаний зависит от предыстории. Однако известные теоретические модели брюсселятора и оре-гонатора, включающие соответственно 2 и 5 дифференциальных уравнений, являются марковскими. Они качественно согласуются с экспериментом. Вместе с тем, параметры, появляющиеся в моделях этого типа, редко известны с высокой точностью. Количественная оценка их роли дается на основе анализа чувствительности. Эдельсон и Рабиц [6] провели такой анализ применительно к проточным химическим системам. Предполагая зависимость параметров от времени, они интерпретировали функциональный коэффициент чувствительности как чувствительность г-го компонента в момент времени Ь по отношению к ]-му параметру в предшествовавший момент г. Такие характеристики дают нелокальный по времени отклик системы и поэтому содержат информацию о памяти. Здесь, также как и для модели "хищник" - "жертва", можно сказать, что общеупотребительные модели (орегонатор, брюсселятор) неполны и должны быть дополнены зависимостью от памяти. Таким образом, в общем случае колебательные химические процессы следует рассматривать как немарковские.
Большое внимание в литературе уделяется проблемам самоорганизации в жидкости. Ламинарное и турбулентное движение ньютоновской жидкости (для которой имеет место линейная зависимость между тензорами напряжений П и деформации 7) описывается уравнениями Навье-Стокса. При этом все процессы самоорганизации рассматриваются на основе немарковского подхода. Наиболее общее (линейное) соотношение между напряжением и скоростью деформации 7 имеет вид
Зависящее от времени ядро 77 называется функцией вязкой памяти. Напряжение определяется не только текущим значением скорости деформации, но является линейным функционалом предыстории изменения скорости деформации. Ранее интегродифферен циальные уравнения использовались для полимерных неньютоновских жидкостей. Этот подход характерен для реологии - совокупности методов исследования течения и дефор мации реальных сред. В работе [8] отмечается, что все жидкости в определенном смысле слова являются вязкоупругими, поскольку затухание флуктуаций равновесного напряжения занимает конечное время. Поэтому в общем случае любую жидкость в принципе следует рассматривать как немарковскую систему.
(6)
Уравнение Больцмана, описывающее газовую кинетику, является хотя и интегро дифференциальным, но локальным по времени, т.е. марковским. В работе [7] оно есте ственным образом обобщено на немарковский случай. Это обобщение учитывает длительность парных атомных столкновений для плотного газа, когда, в частности, мог: I образовываться водородные связи между молекулами. Обобщенное уравнение имеет вид (1) с величиной ф, задаваемой оператором Больцмана:
где и, V - скорости молекул до столкновения, £/, V - скорости молекул после столкнове ния, /г - ядро интеграла, п - вектор единичной длины, характеризующий направление переданного при столкновении импульса.
Немарковские уравнения возникают при описании процессов, связанных с гистерезисом. Так для тока в электрических цепях при наличии гистерезиса имеем [8]
где Т*1 - ядро интеграла, / - некоторая заданная функция.
Приведенные примеры, связанные с биологическими, химическими процессами, физикой газов и жидкости, электрических цепей, - это только небольшая часть имеющихся прикладных возможностей. По-видимому, современную физику можно рассматривать как марковское приближение будущей теории.
Во всех этих задачах в принципе может быть применен метод решения интегро дифференциальных уравнений, разработанный в [2]. Однако в настоящее время обычно ядро в интегралах известно лишь с малой степенью точности. Это хорошо видно на примере уравнения (4), относящегося к модели "хищник - жертва". Поэтому для решения практических задач целесообразно использовать конечно-разностные уравнения типа (2), возникающие при представлении функции /(¿) в виде ряда. При его подстановке в (1) возникает бесконечная система разностных уравнений. Если оборвать ряд (и удер жать малое число членов) возникают упрощенные немарковские уравнения. Изучение их свойств позволяет отыскивать универсальные характеристики поведения простых систем, которые, по-видимому, не зависят от конкретных деталей модели. Наглядной иллюстрацией этого положения служат конечно-разностные нелинейные уравне ния марковского типа (в которых сохраняется лишь первый член): /¿+1 = Было
проведено детальное исследование нелинейного разностного уравнения
(8)
Хп=1 = гх„(1 - хп). (9)
Несмотря на кажущуюся простоту, оно обнаруживает столь сложное поведение, что может служить моделью перехода к хаотическому состоянию. В работе [9] было показано, что поведение системы типа (9) сильно меняется при добавлении слабого шума. Т.е. небольшая немарковская добавка может играть существенную роль.
В этой связи значительный интерес представляет вопрос: как оптимально воспринять и использовать память о прошлом, сколько членов ряда целесообрано учитывать? Рассмотрим эту проблему на примере линейного уравнения (2) для двух случаев с двумя и тремя членами ряда в правой части, применительно к процессу ценообразования [10]. Ценообразование определяется спросом - предложением. В простейшем случае числовая последовательность величин укоторые определяют отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию
У*+1 = ~ЯУи (Ю)
где q - характерный параметр, зависящий от функций спроса и предложения. При д > 1 последовательность у( неограниченно возрастает и амплитуда колебаний цен увеличивается. При немарковском подходе товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется не на последнюю по времени цену, а принимает во внимание ее динамику. Чтобы сделать более адекватный прогноз уровня цен на завтра, он исходит из информации о ценах "сегодня" и "вчера". При этом прогнозируемая цена уже не равна а имеет некоторое промежуточное значение между уг и уг-\. Тогда вместо (10) имеем
У«+1 = -9(1 ~г)Уг ~ 9П/«-1- (11)
Прогноз может опираться на больший объем памяти о прошлом, учитывая "позавчера , наряду с "сегодня" и "вчера". Этому случаю соответствует уравнение
Ун-1 = -9(1 ~ Г)У< - ЯгУг-1 + ¿>У<-2- (12)
Здесь мы уже получаем дополнительный параметр регулирования и можем в принципе уточнить прогноз ценообразования. Однако это увеличивает сложность анализа.
Оценим влияние члена а3 = Ь на процесс устойчивости и сходимости итерационного процесса динамики цен (12). Под устойчивостью здесь понимается устойчивость
40
20
-20 -
-40
0 50 100 150 200 250 300
I
-0.5
Рис. 1. Решение уравнения (11) при а! Рис. 2. Решение уравнения (11) при а! :
10 20 30
: -1.1, а2 = -0.09. -1.0, а2 = -0.09.
решения у(¿) к малым возмущениям коэффициентов системы а!,а2,аз, а. сходимость понимается в смысле выполнения условия ?/(£) —* 0 при 2 —> оо. Решением разностного уравнения (12) с постоянными коэффициентами являются линейные комбинации функ ций вида у(£) = А', где А является корнем следующего характеристического уравнения:
А3 — а\А2 — а2 А — аз = 0.
(13)
Его решением являются действительное число Ах(а!,а2,аз) и пара комплексно сопряженных корней А2,з(а1) а2,аз) = />ехр Общее решение уравнения (12) имее:
вид:
У(<) = АХ[ + Вр\соз(у»/) + пп(^)], (14)
где значения коэффициентов А и В определяются начальными условиями, модуль и фаза комплексного числа являются функциями переменных а!,а2,аз.
Точное аналитическое выражение для решения У(1) является слишком громоздким, чтобы его здесь приводить, поэтому ограничимся качественным графическим анализом полученного решения. Сравним данное решение с решением разностного уравнения (11), которое в случае положительного дискриминанта имеет вид
= + + + . (15)
Из рис. 1 и 2 видно, что прогнозирование динамики цен на основании информации о ценах "сегодня" и "вчера" является неустойчивым процессом, т.к. небольшие измененш
Y
р, X
1.5
1
-0.5
0.5
-I
0
0.5
О
О
5
10
15
20
О
0.2 0.4 0.6 08
t
Рис. 3. Решение уравнения (12) при = —1.0, а2 = -0.09, а3 = 0.136(1) и = —1.0, а2 = -0.09, а3 = 0.148(2).
Рис. 4. Зависимость амплитуд от параметра а3: р( —1.1, —0.09) (1) и А(—1.1, —0.09) (2).
в коэффициентах системы (11) приводят к сильному возмущению. При этом решение кардинальным образом меняется от "раскачивания" амплитуды цен до установления равновесного значения.
Из рис. 3 видно, что учет памяти о прошлом "позавчера" дает возможность, во-первых, получить решение Y(t), устойчивое к малым возмущениям входных данных; во-вторых, получить сходящееся решение даже для тех значений коэффициентов ai,a2. при которых в системе с обучением (11) не существует устойчивого решения; в-третьих, . увеличить скорость сходимости в несколько раз.
Очевидно, сходимость решения Y(t) определяется одновременым выполнением неравенств |Ai(ai,а2,а3)| < 1 и |/э(а1,а2,аз)| < 1. На рис. 4 даны графики зависимостей амплитуд действительного и комплексного чисел от параметра 0 < аз < 1 для заданных значений ai,a2. Отсюда видно, что при выборе параметра а3 из условия минимума функции /э(а1,а2,аз) сходимость решения достигается за меньшее число итераций по времени. При а3 > 0.58 решением является знакопеременная функция с увеличивающейся амплитудой. Следовательно, учет полной информации о прошлом с весовым множителем а3, близким к единице, приводит к неустойчивости решения.
[1] А з р о я н ц Э. А., Шелепин JI. А. Немарковские процессы и их приложения.
ЛИТЕРАТУРА
Препринт ФИАН N 58, М., 1998.
[2] Кулагин Ю. А., Сериков Р. И., Симановский И. В., Шелепин Л. А. Расчет сечений физико-химических процессов методом обратной задачи. Препринт ФИАН N 25, М., 1999.
[3] С в и р е ж е в Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1987.
[4] Ф и л д Р. В сб. Колебательные и бегущие волны в химических системах. М., Мир, 1988, с. 75.
[5] Эдельсон Д.,Рабиц Г. В сб. Колебательные и бегущие волны в химических системах. М., Мир, 1988, с. 217.
[6] Э в а н с Д. Дж., X э н л и Г. Дж., Г е с с 3. В сб. Физика за рубежом. Серия А. М., Мир, 1986, с. 7.
[7] П о п ы р и н С. Л. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 10 (1999).
[8] В а с и л ь е в а А. Б., Т и х о н о в Н. А. Интегральные уравненния. М., Изд. МГУ, 1989.
[9] Йорк Дж. А., Йорк Э. Д. В сб. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М., Мир, 1984, с. 101.
[10] Лебедев В. В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., Изограф, 1997.
Поступила в редакцию 25 мая 1999 г.
