CC BY
23
УДК 530.1;519.6
ДИСКРЕТНОЕ ОПИСАНИЕ НЕМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
О. Л. Бакшеева, Л. А. Шелепин
В рамках немарко в скогю подхода рассмотрена простейшая модель - аналог двухуровневой системы в квантовой механике. Показано, что известная теория Кейнса учитывает немарковский характер экономических процессов.
В работе [1] были рассмотрены уравнения, описывающие немарковские процессы, или процессы с памятью. В общем случае это нелинейные интегродифференциальные уравнения вида
<*Р(*)М = / Л(т)£[Р(* - т)]<1т, (1)
где Р(£) - вероятностная функция, Л(т) задается конкретными условиями, ф - нелинейный оператор. При Р) = Р уравнение (1) становится линейным. Переходя в этом случае к дискретному описанию, имеем
[Р, - Р<_1]/[* - (« - 1)] = ± Л(0Р(< - «•)■ (2)
¿=1
В результате получаем конечно-разностное немарковское уравнение
= ¿-2,...,*-п, *). (3)
Наиболее простое уравнение этого типа, сохраняющее немарковские свойства, имеет вид
Рх = ах^-1 + а2Рг. 2 + /(*)• (4)
Решение (4) находится с помощью характеристического уравнения [2] 22
А2 — ai А — а2 = О,
(5)
имеющего корни А^г = (ог!/2) ± ^(а|/4) + а2. При действительных Ах ф \2 оно имеет вид
Ре = А1\[ + А2\1
(6)
при Ai = А2 = А
Pt = {Аг + A2t) А4.
(7)
Величины А\ и Л2 определяются из начальных условий (значений Pt при t = 0,1,..., п —
Для немарковских процессов уравнение (4) играет принципиальную роль. Эта базовая модель, содержащая два состояния, является своеобразным аналогом двухуровневой системы в квантовой механике (для марковских процессов). Она описывает целую совокупность режимов для процессов с памятью. При дискриминанте В — с*2 + 4с*2 > О имеется два корня. Если о^ > 0 и а2 > 0, то обе компоненты решения (б) - монотонные геометрические прогрессии, если имеется отрицательный корень, то возникает знакочередующаяся составляющая. Случаю В = 0 соответствует решение (7). При Б < О решение можно представить в виде
где Aii2 = p(coswt -H'sinwi), р = |Ai| = |А2|, Bi,B2 - постоянные, определяемые начальными условиями. В этом случае решение имеет колебательный характер. Амплитуда колебаний может возрастать при р > 1 и убывать при р < 1. Решение считается устойчивым, если Pt —> 0 при t —у оо. Условие устойчивости имеет вид — 1 < a2 < 1 — |oti |.
Если это условие не выполняется, то проявляется неустойчивость - возникают взрывные нарастающие колебания или неограниченный рост. Таким образом, в базовой двухуровневой немарковской модели режим системы определяется ее конкретными параметрами.
Как известно, теория Кейнса, являясь фундаментом современной макроэкономики, нашла широкое применение в практике. Ряд конкретных моделей экономической динамики Кейнса по существу основывался на двухуровневой немарковской системе. В
Pt = pt(Bi cosa;f + В2 sinarô),
(8)
динамической модели Самуэльсона-Хикса [4, 5], включающей в себя рынок благ, экономика находится в состоянии рановесия, если
У1 = (Суг+ к)у1-1 - Кух-2 + Аг. (9)
Здесь ух - совокупный спрос (национальный доход), Геп = /с(?/*_1 — г) ~ индуцированные инвестиции, вкладываемые предпринимателями, ориентирующимися на повышение совокупного спроса в предшествующем периоде, Суу - функция потребления, А( экзогенная величина автономного спроса. Уравнение (9) характеризует динамику национального дохода. В соответствии с приведенным выше анализом немарковской системы (4), если (Су + к)2 — 4к > О, то меняется монотонно, если меньше нуля, то изменение у1 происходит колебательно. Всего имеется пять типов изменения уг. Каждому из них соответствует своя область параметров Су и к.
В динамической модели Тевеса [6] учитывается денежный рынок, который взаимодействует с рынком благ через ставку процента г. Она также записывается в канонической форме [4]
у{ = (Су + 1 - («+ иьу/ь о + а';. (ю)
Здесь - инвестиции, М = Ьуу + ¿¿г - условия равновесия на рынке денег, М - предложение денег, заданное экзогенно, Ьу - спрос на деньги для сделок, Ь{ - спрос на деньги как на имущество, А![ = Аг — + М/,/
В модели Тевеса, учитывающей рынок денег, условия устойчивости меняются по сравнению с моделью Самуэльсона-Хикса. При этом область устойчивого равновесия сужается. Из свойств двухуровневой немарковской системы, описываемой (4), вытекает возможность ее регулирования подходящим изменением параметров. В [7] рассматривалась возможность регулирования конъюнктурных колебаний экономической активности через посредство банковской системы. Так, при ориентации объема предложения денег Центральным банком на величину национального дохода предшествующего периода и текущую ставку процента динамическая функция предложения денег может быть представлена в виде М< = а(/г_1 + 6,, где а, Ь - параметры регулирования денег в обращении. В этом случае уравнение для может быть представлено в канонической форме [4]
уг = (Су + /с)у,_! - (к - 2 + А', (11)
где И = /,(а — ЬУ)/(Ь{ — Ь). За счет соответствующего подбора регулирующих параметров а и Ь Центральный банк может сдвигать области устойчивого равновесия, например так, чтобы в случае возмущений возникали не взрывные, а затухающие колебания.
Двухуровневая схема (4) применяется и в посткейнсианских моделях, описывающих равновесный рост за длительный период. Это относится, в частности, к модели Харрода [8], где был сделан вывод о неустойчивости динамического равновесия в условиях экономического роста (без технического прогресса). Таким образом, теория Кейнса в той или иной мере учитывает немарковский характер экономических процессов и многое в ней может получить обоснование из первых принципов.
Выше были рассмотрены уравнения типа (4), т.е. аналоги квантовых систем с двумя состояниями. Могут применяться и аналоги систем с большим числом состояний, например, с тремя
Р1 = ахР^ 1 + а2Рг-2 + азРг-з-
Методика их анализа рассмотрена в [2]. Уравнения этого типа могут быть применены для исследования временных рядов и вероятностного предсказания изменений, в частности, при колебаниях биржевого курса.
Уравнения типа (1) и их дискретные формы составляют лишь часть немарковского подхода. Чтобы понять ситуацию, обратимся сначала к аналогиям из квантовой статистики [9]. В ее основе, как известно, лежит уравнение
др1д1 = {111г)[р,Н}, (12)
где р - матрица плотности, Н - гамильтониан системы. Это уравнение неравновесной квантовой теории. Для равновесной теории справедливо уравнение Блоха
др/др = нр, (13)
где /3 = 1 /Т - обратная температура.
Немарковские (линейные) аналоги уравнений (12), (13) можно записать в форме (ср.
[1])
дР{1)/д1 = У Л(т)Р(* - т)<*т, (14)
= У Я(<т)Р(5 - сг)Жт, (15)
где S - негэнтропия. Уравнение (15) имеет простое решение типа
Р = Роехр(-5/0),
(16)
где в определяется из соотношения — \/в = / 7?(<т)'ехр(<т/0)с1сг, что соответствует распределению Р(¿) = Р0ехр(—¿/т), рассмотренному в [1].
Негэнтропия 5 характеризует степень упорядоченности, сложность структуры, и распределения по 5 естественным образом возникают в самых различных биологических, экономических и социальных проблемах [10, 11]. Наряду с (16), здесь значительный интерес представляет возможность использования двухуровневой немарковской модели типа (4)
в которой существуют решения типа (6) - (в), могут реализоваться колебательные (по 5") режимы и возникать неустойчивости. Такой подход может оказаться полезным при анализе совокупностей фазовых переходов.
В целом, наиболее существенный момент проведенного рассмотрения состоит в том, что показана немарковская природа экономических моделей теории Кейнса и вырисовываются пути их дальнейшего совершенствования.
Авторы выражают признательность А. Л. Шелепину и РФФИ (грант N 97-06-80045) за поддержку.
[1] X а р и т о н о в А. С., Ш е л е п и н J1. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 1, 17 (1998).
[2] Г е л ь ф о н д А. О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967.
[3] К ейнс Дж. Общая теория занятости, процента и денег. М., 1978.
[4] Samuelson Н. Rev. Econ. Stat., 21, 75 (1939).
[5] Н i с k s J. A contribution to the theorie of the trade cycle. Oxford, 1950.
[6] T h e w e s T. Weltwirtshaft. Arch., N 96 (1996).
[7j Гальперин В. M., Гребенников П. И., JI е у с с к и й А. И., Т а р а с е в и ч Л. С. Макроэкономика. С.-П., Высшая школа, 1994.
[8] Н а г г о d R. Econ. Journ., 49, N 3, 1939.
[9] И с и х а р а А. Статистическая физика. М., Мир, 1973.
Vs = biys-i + b2ys-2 + f(S),
(17)
ЛИТЕРАТУРА
[10] Б ы с т р о в а Т. В., Ш е л е п и н Л. А. Труды ФИАН, 218, 60 (1994).
[11] Л а. з е б н и к Б. Д., Ш е'л е п и н Л. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9 - 10, 35 (1997).
Поступила в редакцию 3 декабря 1997 г.
